W październiku z Przylądka Canaveral na Florydzie ma wystartować rakieta Falcon Heavy, która będzie nieść misję Europa Clipper należącą do NASA. Misja o wartości 5 miliardów dolarów ma na celu sprawdzenie, czy Europa, czwarty co do wielkości księżyc Jowisza, może podtrzymać życie. Ponieważ jednak Europa jest nieustannie bombardowana intensywnym promieniowaniem wytwarzanym przez pole magnetyczne Jowisza, statek kosmiczny Clipper nie może okrążyć samego Księżyca. Zamiast tego wsunie się na ekscentryczną orbitę wokół Jowisza i zbierze dane, wielokrotnie okrążając Europę – w sumie 53 razy – zanim wycofa się przed najgorszym promieniowaniem. Za każdym razem, gdy statek kosmiczny okrąża Jowisza, jego trasa będzie nieco inna, co umożliwi mu wykonywanie zdjęć i gromadzenie danych od biegunów Europy do równika.

Aby zaplanować tak zawiłe wycieczki, jak ta, planiści trajektorii korzystają z modeli komputerowych, które skrupulatnie obliczają trajektorię krok po kroku. Planowanie uwzględnia setki wymagań misji i jest poparte dziesięcioleciami badań matematycznych nad orbitami i sposobami łączenia ich w skomplikowane trasy. Matematycy opracowują obecnie narzędzia, które, jak mają nadzieję, można wykorzystać do bardziej systematycznego zrozumienia wzajemnych powiązań orbit.

„Mamy do dyspozycji poprzednie obliczenia, które przeprowadziliśmy i które stanowią dla nas wskazówkę podczas wykonywania bieżących obliczeń. Nie jest to jednak pełny obraz wszystkich opcji, jakie mamy” – stwierdził Daniela Scheeresa, inżynier lotniczy na Uniwersytecie Kolorado w Boulder.

„Myślę, że to była moja największa frustracja, gdy byłem studentem” – powiedział Dayung Koh, inżynier w Laboratorium Napędów Odrzutowych NASA. „Wiem, że te orbity tam są, ale nie wiem dlaczego”. Biorąc pod uwagę koszty i złożoność misji na księżyce Jowisza i Saturna, brak wiedzy, dlaczego orbity są tam, gdzie są, stanowi problem. A co, jeśli istnieje zupełnie inna orbita, na której można wykonać zadanie przy mniejszych zasobach? Jak powiedział Koh: „Czy znalazłem je wszystkie? Czy jest ich więcej? Nie mogę tego stwierdzić.

Po uzyskaniu doktoratu na Uniwersytecie Południowej Kalifornii w 2016 roku Koh zaczęła interesować się sposobami katalogowania orbit w rodziny. Orbity Jowisza odległe od Europy tworzą taką rodzinę; podobnie jak orbity w pobliżu Europy. Ale inne rodziny są mniej oczywiste. Na przykład dla dowolnych dwóch ciał, takich jak Jowisz i Europa, istnieje punkt pośredni, w którym efekty grawitacyjne obu ciał równoważą się, tworząc stabilne punkty. Statek kosmiczny może okrążyć ten punkt, mimo że w środku orbity nie ma nic. Orbity te tworzą rodzinę zwaną orbitami Łapunowa. Dodaj trochę energii do takiej orbity, odpalając silnik statku kosmicznego, a na początku pozostaniesz w tej samej rodzinie. Ale dodaj wystarczająco dużo, a przejdziesz do innej rodziny – powiedzmy takiej, która obejmuje Jowisza na swoich orbitach. Niektóre rodziny orbit mogą wymagać mniej paliwa niż inne, pozostawać cały czas w świetle słonecznym lub mieć inne przydatne funkcje.

W 2021 roku Koh natknął się na artykuł, w którym omówiono sposoby radzenia sobie z chaotycznymi orbitami z perspektywy geometrii symplektycznej, abstrakcyjnej dziedziny matematyki, która jest generalnie daleka od nieuporządkowanych szczegółów ze świata rzeczywistego. Zaczęła podejrzewać, że geometria symplektyczna może zawierać narzędzia potrzebne do lepszego zrozumienia orbit i nawiązała z nią kontakt Augustyna Moreno, autor artykułu. Moreno, wówczas stażysta podoktorski na Uniwersytecie w Uppsali w Szwecji, był zaskoczony i zadowolony, słysząc, że ktoś w NASA zainteresował się jego pracą. „To było nieoczekiwane, ale jednocześnie całkiem interesujące i w pewnym sensie motywujące” – powiedział.

Obaj rozpoczęli współpracę, próbując zastosować abstrakcyjne techniki Moreno w układzie Jowisz-Europa oraz w przypadku Saturna i jego księżyca Enceladusa, na których, podobnie jak w Europie, może istnieć życie w podziemnym oceanie. W zeszłym roku wraz z innymi współpracownikami napisali serię artykułów, które stworzyć ramy dla katalogowanie orbit. W styczniu Moreno, obecnie profesor na Uniwersytecie w Heidelbergu, ukończył wczesną wersję roboczą, która przekształciła jego pracę ankietową w dokument książkę na ten temat. Swoją książką chce uczynić abstrakcyjne pole geometrii symplektycznej użytecznym dla inżynierów próbujących zaplanować misje kosmiczne. Jeśli mu się to uda, ponownie połączy dziedziny badań, które rozdzieliły się na przestrzeni wieków.

Żadnej królewskiej drogi do geometrii

Geometria symplektyczna ma swoje korzenie w fizyce. Weźmy prosty przykład: wyobraźmy sobie wahadło. Jego ruch można opisać dwoma parametrami: kątem i prędkością. Jeśli prędkość jest wystarczająco niska, wahadło będzie oscylować w przód i w tył. Jeśli prędkość będzie większa, będzie się kręcić po okręgu. W wyidealizowanym wahadle bez tarcia, po wybraniu kąta początkowego i prędkości, zachowanie układu jest określone na zawsze.

Można utworzyć wykres z kątem jako x-oś i prędkość jako y-oś. Ale ponieważ podróż o 360 stopni prowadzi z powrotem na początek, możesz zszyć pionowe linie, gdzie x wynosi zero stopni i gdzie x wynosi 360 stopni. To tworzy cylinder. Cylinder nie odzwierciedla bezpośrednio rzeczywistości fizycznej — nie pokazuje ścieżek, które wyznacza wahadło — raczej każdy punkt na nim reprezentuje określony stan wahadła. Walec wraz z prawami wyznaczającymi tor, po którym wahadło może podążać, tworzy przestrzeń symplektyczną.

Od początków XVII wieku, kiedy Johannes Kepler sformułował swoje prawa, fizycy i matematycy doskonale wiedzieli, jak opisać ruch dwóch ciał podlegających grawitacji. W zależności od tego, jak szybko się poruszają, ich ścieżki tworzą elipsę, parabolę lub hiperbolę. Odpowiednie przestrzenie symplektyczne są bardziej skomplikowane niż przestrzeń wahadła, ale nadal można je zastosować. Jednak wprowadzenie trzeciego obiektu uniemożliwia obliczenie dokładnych, analitycznych rozwiązań. Sprawa staje się jeszcze bardziej skomplikowana, jeśli dodasz do modelu więcej brył. „Bez analitycznego wglądu prawie zawsze na pewnym poziomie strzelamy w ciemność” – powiedział Scheeres.

Statek kosmiczny, który może poruszać się swobodnie w dowolnym kierunku – od prawej do lewej, w górę i w dół oraz z przodu do tyłu – potrzebuje trzech współrzędnych, aby opisać swoje położenie i trzech kolejnych, aby opisać swoją prędkość. To tworzy sześciowymiarową przestrzeń symplektyczną. Aby opisać ruch trzech ciał, takich jak Jowisz, Europa i statek kosmiczny, potrzebujesz 18 wymiarów: po sześć na ciało. Geometrię przestrzeni definiuje nie tylko liczba jej wymiarów, ale także krzywe, które pokazują ewolucję opisywanego układu fizycznego w czasie.

Moreno i Koh pracowali nad „ograniczoną” wersją problemu trzech ciał, w której jedno z ciał (statek kosmiczny) jest tak małe, że nie ma wpływu na pozostałe dwa (Jowisza i Europę). Aby jeszcze bardziej uprościć sprawę, badacze przyjęli, że orbita Księżyca jest idealnie okrągła. Można przyjąć jej orbitę kołową jako stałe tło, na którym można rozważać ścieżkę sondy kosmicznej. Przestrzeń symplektyczna musi jedynie uwzględniać położenie i prędkość statku kosmicznego, ponieważ ruch Jowisza i Europy można łatwo opisać. Zatem zamiast być 18-wymiarową, odpowiadająca jej przestrzeń symplektyczna jest sześciowymiarowa. Kiedy ścieżka w tej sześciowymiarowej przestrzeni tworzy pętlę, reprezentuje ona okresową orbitę statku kosmicznego w układzie planeta-Księżyc.

Kiedy Koh skontaktowała się z Moreno, była ciekawa przypadków, w których dodanie niewielkiej ilości energii powoduje przeskok orbity statku kosmicznego z jednej rodziny na drugą. Te punkty spotkań rodzin orbit nazywane są punktami rozwidlenia. Często wiele rodzin spotyka się w jednym miejscu. Dzięki temu są szczególnie przydatne dla planistów trajektorii. „Zrozumienie struktury bifurkacji daje mapę drogową wskazującą, gdzie znajdują się interesujące trajektorie, na które należy zwrócić uwagę” – powiedział Scheeres. Koh chciał wiedzieć, jak identyfikować i przewidywać punkty rozwidlenia.

Po rozmowie z Kohem Moreno zatrudnił kilku innych geometrów: Ursa Frauenfeldera Uniwersytetu w Augsburgu, Cengiz Aydin Uniwersytetu w Heidelbergu i Otto van Koerta Uniwersytetu Narodowego w Seulu. Frauenfelder i van Koert od dawna badali problem trzech ciał, używając geometrii symplektycznej, nawet odkrywając potencjalną nową rodzinę orbit. Choć inżynierowie planujący misje statków kosmicznych korzystali z niezliczonych narzędzi matematycznych, w ostatnich dziesięcioleciach zniechęcała ich rosnąca abstrakcja geometrii symplektycznej.

Przez kolejne miesiące inżynier i czterej matematycy powoli poznawali swoje dziedziny. „W przypadku pracy interdyscyplinarnej potrzeba trochę czasu, aby na przykład przełamać bariery językowe” – powiedział Moreno. „Ale kiedy wykonasz cierpliwą pracę, zaczyna to procentować”.

Zestaw narzędzi

Zespół przygotował szereg narzędzi, które, jak mają nadzieję, okażą się przydatne planistom misji. Jednym z narzędzi jest liczba zwana indeksem Conleya-Zehndera, która może pomóc określić, kiedy dwie orbity należą do tej samej rodziny. Aby to obliczyć, badacze badają punkty znajdujące się blisko orbity, którą chcą badać, ale nie na niej. Wyobraźmy sobie na przykład, że statek kosmiczny porusza się po eliptycznej orbicie wokół Jowisza, pod wpływem grawitacji Europy. Jeśli zepchniesz go z ścieżki, jego nowa trajektoria będzie imitować pierwotną orbitę, ale tylko w przybliżeniu. Nowa ścieżka będzie krążyć wokół pierwotnej orbity, powracając do nieco innego punktu po okrążeniu Jowisza. Indeks Conleya-Zehndera jest miarą tego, jak silna jest spirala.

Co zaskakujące, wskaźnik Conleya-Zehndera nie zależy od specyfiki sposobu szturchania statku kosmicznego — jest to liczba powiązana z całą orbitą. Co więcej, jest ona taka sama dla wszystkich orbit w tej samej rodzinie. Jeśli obliczysz indeks Conleya-Zehndera dla dwóch orbit i otrzymasz dwie różne liczby, możesz być pewien, że orbity pochodzą z różnych rodzin.

Inne narzędzie, zwane liczbą Floera, może wskazywać na nieodkryte rodziny orbit. Załóżmy, że kilka rodzin zderza się w punkcie rozwidlenia, gdy energia osiąga określoną liczbę, a kilka kolejnych rodzin rozgałęzia się od tego punktu rozwidlenia, gdy energia jest wyższa. Tworzy to sieć rodzin, których centralnym węzłem jest rozwidlenie.

Można obliczyć liczbę Floera powiązaną z tym punktem rozwidlenia jako prostą funkcję indeksów Conleya-Zehndera powiązanych z każdą odpowiednią rodziną. Funkcję tę można obliczyć zarówno dla wszystkich rodzin, które mają energię nieco mniejszą niż punkt bifurkacji, jak i dla rodzin, których energia jest większa. Jeśli dwie liczby Floera różnią się, jest to wskazówka, że ​​z punktem rozwidlenia powiązane są ukryte rodziny.

„To, co robimy, to dostarczanie narzędzi, za pomocą których inżynierowie testują swoje algorytmy” – powiedział Moreno. Nowe narzędzia mają przede wszystkim pomóc inżynierom zrozumieć, w jaki sposób rodziny orbit do siebie pasują i zachęcić ich do poszukiwania nowych rodzin, jeśli jest to uzasadnione; nie ma na celu zastąpienia technik wyszukiwania trajektorii, które były doskonalone przez dziesięciolecia.

W 2023 roku Moreno zaprezentował swoją pracę na konferencji zorganizowanej przez „Komitet Mechaniki Lotów Kosmicznych” i był w kontakcie z inżynierami badającymi trajektorie kosmiczne, w tym z niektórymi z JPL i laboratorium Scheeresa w Boulder. Scheeres z zadowoleniem przyjął przenikanie się pól: od dawna wiedział o symplektycznym podejściu do ruchu planet, ale matematycznie zabrakło mu głębi. „To było naprawdę ekscytujące widzieć matematyków próbujących przenieść swoją wiedzę na inżynierię” – powiedział. Grupa Scheeresa pracuje obecnie nad bardziej złożonym systemem obejmującym cztery ciała.

Eda Belbruna, konsultant ds. planowania trajektorii (i były analityk orbitalny JPL), który współpracował z Frauenfelder, ostrzega, że ​​zastosowania nie są bezpośrednie. „Chociaż technika matematyczna, taka jak geometria symplektyczna, może wygenerować naprawdę fajne trajektorie, a można uzyskać ich całą masę, może się zdarzyć, że bardzo, bardzo niewiele, jeśli w ogóle, spełni ograniczenie”, którego może potrzebować prawdziwa misja , powiedział.

Chociaż trajektorie Clippera są już w dużej mierze ustalone, Moreno spogląda w stronę następnej planety: Saturna. Zaprezentował już swoje badania planistom misji w JPL, którzy mają nadzieję wysłać statek kosmiczny na księżyc Saturna Enceladus. Moreno ma nadzieję, że geometria symplektyczna „stanie się częścią standardowego zestawu narzędzi misji kosmicznych”.