Tilfeldige prosesser finner sted rundt oss. Det regner den ene dagen, men ikke den neste; aksjer og obligasjoner øker og taper verdi; trafikkork smelter sammen og forsvinner. Fordi de styres av en rekke faktorer som samhandler med hverandre på kompliserte måter, er det umulig å forutsi den nøyaktige oppførselen til slike systemer. I stedet tenker vi på dem i form av sannsynligheter, og karakteriserer utfall som sannsynlige eller sjeldne.

I dag, den franske sannsynlighetsteoretikeren Michel Talagrand ble tildelt Abelprisen, en av de høyeste utmerkelsene i matematikk, for å ha utviklet en dyp og sofistikert forståelse av slike prosesser. Prisen, overrakt av kongen av Norge, er etter modell av Nobel og kommer med 7.5 millioner norske kroner (omtrent $700,000 XNUMX). Da han ble fortalt at han hadde vunnet, ble "sinnet mitt tomt," sa Talagrand. «Den type matematikk jeg driver med var ikke på moten i det hele tatt da jeg begynte. Det ble ansett som dårligere matematikk. Det faktum at jeg fikk denne prisen er et absolutt bevis på at dette ikke er tilfelle.»

Andre matematikere er enige. Talagrands arbeid "endret måten jeg ser på verden på," sa Assaf Naor ved Princeton University. I dag, lagt til Helge Holden, leder av Abelpriskomiteen, «det begynner å bli veldig populært å beskrive og modellere hendelser i den virkelige verden ved hjelp av tilfeldige prosesser. Talagrands verktøykasse kommer opp umiddelbart.»

Talagrand ser på sitt eget liv som en kjede av usannsynlige hendelser. Han bestod knapt grunnskolen i Lyon: Selv om han var interessert i naturfag, likte han ikke å studere. Da han var 5 år gammel mistet han synet på høyre øye etter at netthinnen løsnet; som 15-åring fikk han tre netthinneavløsninger i det andre øyet, noe som tvang ham til å tilbringe en måned på sykehuset med bandasjer i øynene, i frykt for at han skulle bli blind. Faren hans, en matematikkprofessor, besøkte ham hver dag, og holdt tankene hans opptatt ved å lære ham matematikk. "Dette er hvordan jeg lærte kraften til abstraksjon," Talagrand skrev i 2019 etter å ha vunnet Shaw-prisen, en annen stor mattepris som kommer med en dusør på $1.2 millioner. (Talagrand bruker noen av disse pengene, sammen med Abel-gevinstene sine, for å finne en egen pris, "som anerkjenner prestasjonene til unge forskere på områdene jeg har viet livet mitt til.")

Han gikk glipp av et halvt år på skolen mens han ble frisk, men han ble inspirert til å begynne å fokusere på studiene. Han utmerket seg i matematikk, og etter eksamen fra college i 1974 ble han ansatt av det franske nasjonale senteret for vitenskapelig forskning, Europas største forskningsinstitutt, hvor han arbeidet til han gikk av i 2017. I løpet av den tiden tok han doktorgraden; ble forelsket i sin fremtidige kone, en statistiker, ved første blikk (han fridde til henne tre dager etter å ha møtt henne); og gradvis utviklet en interesse for sannsynlighet, og publiserte hundrevis av artikler om emnet.

Det var ikke forhåndsbestemt. Talagrand begynte sin karriere med å studere høydimensjonale geometriske rom. "I 10 år hadde jeg ikke oppdaget hva jeg var god på," sa han. Men han angrer ikke på denne omveien. Det førte ham til slutt til sannsynlighetsteori, der "Jeg hadde dette andre synspunktet ... som ga meg en måte å se på ting annerledes," sa han. Det gjorde det mulig for ham å undersøke tilfeldige prosesser gjennom linsen til høydimensjonal geometri.

"Han henter inn sin geometriske intuisjon for å løse rent sannsynlighetsspørsmål," sa Naor.

En tilfeldig prosess er en samling av hendelser hvis utfall varierer etter tilfeldighet på en måte som kan modelleres - som en sekvens av myntsvingninger, eller banene til atomer i en gass, eller daglige nedbørsmengder. Matematikere ønsker å forstå sammenhengen mellom individuelle utfall og aggregert atferd. Hvor mange ganger må du vende en mynt for å finne ut om den er rettferdig? Vil en elv flyte over sine bredder?

Talagrand fokuserte på prosesser hvis utfall er fordelt i henhold til en klokkeformet kurve kalt en gaussisk. Slike fordelinger er vanlige i naturen og har en rekke ønskelige matematiske egenskaper. Han ønsket å vite hva som kan sies med sikkerhet om ekstreme utfall i disse situasjonene. Så han beviste et sett med ulikheter som satte tette øvre og nedre grenser for mulige utfall. "Å oppnå en god ulikhet er et kunstverk," sa Holden. Den kunsten er nyttig: Talagrands metoder kan gi et optimalt estimat på for eksempel det høyeste nivået en elv kan stige til i løpet av de neste 10 årene, eller størrelsen på det sterkeste potensielle jordskjelvet.

Når vi har å gjøre med komplekse, høydimensjonale data, kan det være vanskelig å finne slike maksimumsverdier.

Si at du vil vurdere risikoen for en elvflom - som vil avhenge av faktorer som nedbør, vind og temperatur. Du kan modellere elvens høyde som en tilfeldig prosess. Talagrand brukte 15 år på å utvikle en teknikk kalt generisk kjetting som tillot ham å lage et høydimensjonalt geometrisk rom relatert til en slik tilfeldig prosess. Metoden hans "gir deg en måte å lese maksimalt fra geometrien," sa Naor.

Teknikken er veldig generell og derfor allment anvendelig. La oss si at du vil analysere et massivt, høydimensjonalt datasett som avhenger av tusenvis av parametere. For å trekke en meningsfull konklusjon, ønsker du å bevare datasetts viktigste funksjoner samtidig som du karakteriserer det med bare noen få parametere. (Dette er for eksempel én måte å analysere og sammenligne de kompliserte strukturene til forskjellige proteiner på.) Mange avanserte metoder oppnår denne forenklingen ved å bruke en tilfeldig operasjon som kartlegger de høydimensjonale dataene til et rom med lavere dimensjoner . Matematikere kan bruke Talagrands generiske kjedemetode for å bestemme den maksimale mengden feil som denne prosessen introduserer - slik at de kan bestemme sjansene for at en viktig funksjon ikke er bevart i det forenklede datasettet.

Talagrands arbeid var ikke bare begrenset til å analysere de beste og verste mulige resultatene av en tilfeldig prosess. Han studerte også hva som skjer i gjennomsnittssaken.

I mange prosesser kan tilfeldige individuelle hendelser til sammen føre til svært deterministiske utfall. Hvis målingene er uavhengige, blir totalsummene svært forutsigbare, selv om hver enkelt hendelse er umulig å forutsi. Slipp for eksempel en rettferdig mynt. Du kan ikke si noe på forhånd om hva som vil skje. Snu den 10 ganger, og du vil få fire, fem eller seks hoder – nær forventet verdi på fem hoder – omtrent 66 % av tiden. Men snu mynten 1,000 ganger, og du vil få mellom 450 og 550 hoder 99.7 % av tiden, et resultat som er enda mer konsentrert rundt den forventede verdien på 500. "Det er usedvanlig skarpt rundt gjennomsnittet," sa Holden.

"Selv om noe har så mye tilfeldighet, kansellerer tilfeldigheten seg selv," sa Naor. "Det som i utgangspunktet virket som et fryktelig rot er faktisk organisert."

Dette fenomenet, kjent som målekonsentrasjon, forekommer også i mye mer kompliserte tilfeldige prosesser. Talagrand kom med en samling ulikheter som gjør det mulig å kvantifisere den konsentrasjonen, og beviste at den oppstår i mange forskjellige sammenhenger. Hans teknikker markerte en avvik fra tidligere arbeid i området. Å bevise den første slike ulikhet, skrev han i sitt essay fra 2019, var "en magisk opplevelse." Han var «i en tilstand av konstant oppstemthet».

Han er spesielt stolt av en av hans påfølgende konsentrasjonsulikheter. "Det er ikke lett å få et resultat som prøver å tenke på universet og som samtidig har et bevis på én side som er lett å forklare," sa han. (Han husker med glede at han en gang brukte en drosjetjeneste hvis eier kjente igjen navnet hans, etter å ha lært ulikheten under en sannsynlighetstime på handelshøyskolen. "Det var ekstraordinært," sa han.)

I likhet med hans generiske lenkemetode, vises Talagrands konsentrasjonsulikheter over hele matematikken. "Det er utrolig hvor langt det går," sa Naor. "Talagrand-ulikheter er skruene som holder ting sammen."

Vurder et optimaliseringsproblem der du må sortere varer av forskjellige størrelser i søppelkasser - en modell for ressursallokering. Når du har mange varer, er det veldig vanskelig å finne ut det minste antallet søppelkasser du trenger. Men Talagrands ulikheter kan fortelle deg hvor mange søppelkasser du sannsynligvis trenger hvis varenes størrelse er tilfeldig.

Lignende metoder har blitt brukt for å bevise konsentrasjonsfenomener i kombinatorikk, fysikk, informatikk, statistikk og andre settinger.

Nylig brukte Talagrand sin forståelse av tilfeldige prosesser for å bevise en viktig formodning om spinnbriller, uordnede magnetiske materialer skapt av tilfeldige, ofte motstridende interaksjoner. Talagrand var frustrert over at selv om spinnglass er matematisk godt definert, forsto fysikere dem bedre enn matematikere. "Det var en torn i foten vår," sa han. Han beviste et resultat - om den såkalte frie energien til spinnglass - som ga grunnlaget for en mer matematisk teori.

Gjennom hele karrieren har Talagrands forskning vært preget av "denne evnen til å bare gå tilbake og finne de generelle prinsippene som er gjenbrukbare overalt," sa Naor. «Han besøker og gjenbesøker, og tenker på noe fra alle slags perspektiver. Og til slutt gir han ut en innsikt som blir en arbeidshest, som alle bruker.»

"Jeg liker å forstå enkle ting veldig godt, fordi hjernen min er veldig treg," sa Talagrand. "Så jeg tenker på dem i veldig, veldig lang tid." Han er drevet, sa han, av ønsket om å «forstå noe dypt, på en ren måte, noe som gjør teorien mye enklere. Så kan neste generasjon starte derfra og gjøre fremskritt på sine egne premisser.»

I løpet av det siste tiåret har han oppnådd dette ved å skrive lærebøker — ikke bare om tilfeldige prosesser og spinnbriller, men også om et område han ikke jobber med i det hele tatt, kvantefeltteori. Han hadde ønsket å lære om det, men innså at alle lærebøkene han kunne finne var skrevet av og for fysikere, ikke matematikere. Så han skrev en selv. "Etter at du ikke lenger kan finne på ting, kan du forklare dem," sa han.