Kontakt med oss

Quantum

Ikke-klassiske baner ved frontale kollisjoner

Publisert

on

A. Kumar1,2, T. Krisnanda2, P. Arumugam1og T. Paterek2,3,4

1Institutt for fysikk, Indian Institute of Technology Roorkee, Roorkee 247667, India
2School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371, Singapore
3Institutt for teoretisk fysikk og astrofysikk, Fakultet for matematikk, fysikk og informatikk, Universitetet i Gdańsk, 80-308 Gdańsk, Polen
4MajuLab, International Joint Research Unit UMI 3654, CNRS, Université Côte d'Azur, Sorbonne Université, National University of Singapore, Nanyang Technological University

Finn dette papiret interessant eller vil diskutere? Scite eller legg igjen en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Rutherford-spredning blir vanligvis beskrevet ved å behandle prosjektilet enten klassisk eller som kvantemekaniske planbølger. Her behandler vi dem som bølgepakker og studerer deres frontale kollisjoner med de stasjonære målkjernene. Vi simulerer kvantedynamikken til dette endimensjonale systemet og studerer avvik fra den gjennomsnittlige kvanteløsningen fra den klassiske. Disse avvikene spores tilbake til de konveksitetsegenskapene til Coulomb-potensialet. Til slutt skisserer vi hvordan disse teoretiske funnene kunne testes i eksperimenter på jakt etter utbruddet av kjernefysiske reaksjoner.

Den uunngåelige eksistensen av en endelig momentumvarians innebærer at kvantemekaniske bølgepakker ikke kan stoppes helt. Derfor er situasjonene der klassiske partikler stopper, som frontale kollisjoner, naturlige kandidater til å undersøke fremveksten av ikke-klassikalitet. Vi demonstrerer dette fenomenet i det paradigmatiske Rutherford-spredningseksperimentet.

► BibTeX-data

► Referanser

[1] H. Geiger og E. Marsden, Proceedings of the Royal Society A 82, 495 (1909).
https: / / doi.org/ 10.1098 / rspa.1909.0054

[2] E. Rutherford, The London, Edinburgh og Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 21, 669 (1911).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 14786440508637080

[3] CJ Joachain, Quantum Collision Theory (North-Holland Publishing Company, Amsterdam-Oxford, 1975).

[4] P. Ehrenfest, Zeitschrift für Physik 45, 455 (1927).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01329203

[5] BC Hall, Quantum Theory for Mathematicians, 1. utg. (Springer-Verlag, New York, USA, 2013). 10.1007 / 978-1-4614-7116-5.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4614-7116-5

[6] M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics (McGraw-Hill, New York, USA, 1966).

[7] R. dE. Atkinson og FG Houtermans, Zeitschrift für Physik 54, 656 (1929).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01341595

[8] AS Eddington, Nature 106, 14 (1920).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 106014a0

[9] LA MacColl, Physical Review 40, 621 (1932).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRev.40.621

[10] VV Dodonov, AB Klimov og VI Man'ko, Physics Letters A 220, 41 (1996).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9601(96)00482-3

[11] BB Kadomtsev og MB Kadomtsev, Physics Letters A 225, 303 (1997).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0375-9601(96)00804-3

[12] MA Andreata og VV Dodonov, Journal of Physics A: Mathematical and General 37, 2423 (2004).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​37/​6/​031

[13] AV Dodonov og VV Dodonov, Physics Letters A 378, 1071 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2014.02.016

[14] R. Eisberg og R. Resnick, kvantefysikk av atomer, molekyler, faste stoffer, kjerner og partikler, 2. utg. (John Wiley & Sons, New York, USA, 1985).

[15] JLWV Jensen, Acta Mathematica 30, 175 (1906).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02418571

[16] A. Askar og AS Cakmak, The Journal of Chemical Physics 68, 2794 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.436072

[17] Z. Sun og W. Yang, The Journal of Chemical Physics 134, 041101 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3549570

[18] FJ Vesely, Computational Physics, 2. utg. (Springer, New York, USA, 2001). 10.1007 / 978-1-4615-1329-2.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4615-1329-2

[19] S. Majorosi og A. Czirják, Computer Physics Communications 208, 9 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2016.07.006

[20] MA Doncheski og RW Robinett, European Journal of Physics 20, 29 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0143-0807/​20/​1/​009

[21] M. Andrews, American Journal of Physics 66, 252 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.18854

[22] A. Goldberg, HM Schey og JL Schwartz, American Journal of Physics 35, 177 (1967).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.1973991

[23] M. Belloni, MA Doncheski og RW Robinett, Physica Scripta 71, 136 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1238 / Physica.Regular.071a00136

[24] HA Kramers, Zeitschrift für Physik 39, 828 (1926).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01451751

[25] G. Wentzel, Zeitschrift für Physik 38, 518 (1926).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01397171

[26] M. Selmke og F. Cichos, American Journal of Physics 81, 405 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.4798259

[27] N. Wheeler, Merknader om status og noen forgreninger av EHRENFESTS TEOREM (1998).

[28] W. Żakowicz, Acta Physica Polonica B 33, 2059 (2002a).

[29] W. Żakowicz, Acta Physica Polonica A 101, 369 (2002b).
https: / / doi.org/ 10.12693 / APhysPolA.101.369

[30] JJV Maestri, RH Landau og MJ Páez, American Journal of Physics 68, 1113 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.1286310

[31] PJA Buttle og LJB Goldfarb, Nuclear Physics 78, 409 (1966).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0029-5582(66)90617-1

[32] W. von Oertzen, Nuclear Physics A 148, 529 (1970).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9474(70)90646-9

[33] B. Imanishi og W. von Oertzen, Physics Reports 155, 29 (1987).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0370-1573(87)90101-3

[34] JM Sparenberg, D. Baye og B. Imanishi, Physical Review C 61, 054610 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevC.61.054610

[35] S. Edwards, Nuclear Physics 47, 652 (1963).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0029-5582(63)90911-8

[36] K. Ogata, M. Kan og M. Kamimura, Progress of Theoretical Physics 122, 1055 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1143 / PTP.122.1055

[37] P. Descouvemont, Physics Letters B 772, 1 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physletb.2017.06.024

[38] M. Liao, R. Grenier, Q.-D. Til MP de Lara-Castells og C. Léonard, Journal of Physical Chemistry C 122, 14606 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1021 / acs.jpcc.8b03555

[39] SM Nejad, S. Nedea, A. Frijns og D. Smeulders, Micromachines 11, 319 (2020).
https: / / doi.org/ 10.3390 / mi11030319

[40] R. Grenier, Q.-D. Til, MP d. Lara-Castells og C. Léonard, Journal of Physical Chemistry A 119, 6897 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1021 / acs.jpca.5b03769

[41] I. Galbraith, YS Ching og E. Abraham, American Journal of Physics 52, 60 (1984).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.13811

[42] CA Bertulani, Few-Body Systems 56, 727 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00601-015-0990-z

[43] S. Bacca og H. Feldmeier, Physical Review C 73, 054608 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevC.73.054608

[44] HS Park og WK Liu, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 193, 1733 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cma.2003.12.054

Sitert av

Kunne ikke hente Crossref sitert av data under siste forsøk 2021-07-19 15:06:23: Kunne ikke hente siterte data for 10.22331 / q-2021-07-19-506 fra Crossref. Dette er normalt hvis DOI nylig ble registrert. På SAO / NASA ADS ingen data om sitering av verk ble funnet (siste forsøk 2021-07-19 15:06:24).

PlatonAi. Web3 Reimagined. Data Intelligence Amplified.
Klikk her for å få tilgang.

Kilde: https://quantum-journal.org/papers/q-2021-07-19-506/

Quantum

Hvordan Bells teorem beviste 'nifs handling på avstand' er virkelig

Publisert

on

Vi tar for gitt at en hendelse i en del av verden ikke umiddelbart kan påvirke det som skjer langt borte. Dette prinsippet, som fysikere kaller lokalitet, ble lenge sett på som en grunnleggende antagelse om fysikkens lover. Så da Albert Einstein og to kollegaer i 1935 viste at kvantemekanikken tillater "skummel handling på avstand", som Einstein uttrykte det, virket denne funksjonen i teorien svært mistenksom. Fysikere lurte på om kvantemekanikken manglet noe.

I 1964, med pennestrøk, degraderte den nordirske fysikeren John Stewart Bell lokaliteten fra et høyt verdsatt prinsipp til en testbar hypotese. Klokke beviste at kvantemekanikk forutsa sterkere statistiske korrelasjoner i resultatene av visse langt fra hverandre målinger enn noen lokal teori muligens kunne. I årene siden har eksperimenter bekreftet kvantemekanikken igjen og igjen.

Bells teorem opprettholdt en av våre dypest holdte intuisjoner om fysikk, og fikk fysikere til å utforske hvordan kvantemekanikk kan muliggjøre oppgaver som ikke kan tenkes i en klassisk verden. "Kvanterevolusjonen som skjer nå, og alle disse kvanteteknologiene - det er 100% takket være Bells teorem," sier Krister Shalm, en kvantefysiker ved National Institute of Standards and Technology.

Slik viser Bells teorem at "uhyggelig handling på avstand" er virkelig.

Ups and Downs

Den "uhyggelige handlingen" som plaget Einstein innebærer et kvantefenomen kjent som sammenfiltring, der to partikler som vi normalt vil tenke på som forskjellige enheter mister sin uavhengighet. I kvantemekanikken kan en partikels beliggenhet, polarisering og andre egenskaper være ubestemt til det øyeblikket de måles. Likevel gir måling av egenskapene til sammenfiltrede partikler resultater som er sterkt korrelert, selv når partiklene er langt fra hverandre og måles nesten samtidig. Det uforutsigbare resultatet av en måling ser ut til å umiddelbart påvirke utfallet av den andre, uavhengig av avstanden mellom dem - et grovt brudd på lokaliteten.

For å forstå sammenfletting mer presist, bør du vurdere en egenskap av elektroner og de fleste andre kvantepartikler som kalles spinn. Partikler med spinn oppfører seg som små magneter. Når for eksempel et elektron passerer gjennom et magnetfelt opprettet av et par nord- og sørmagnetpoler, blir det avbøyd med en fast mengde mot den ene polen eller den andre. Dette viser at elektronens spinn er en størrelse som bare kan ha en av to verdier: "opp" for et elektron som er avbøyd mot nordpolen, og "ned" for et elektron som er avbøyd mot sørpolen.

Tenk deg et elektron som går gjennom en region med nordpolen rett over den og sørpolen rett under. Å måle avbøyningen vil avdekke om elektronens spinn er "opp" eller "ned" langs den vertikale aksen. Drei nå aksen mellom magnetstolpene bort fra vertikal, og mål avbøyning langs denne nye aksen. Igjen vil elektronet alltid avbøyes med samme mengde mot en av polene. Du må alltid måle en binær rotasjonsverdi - enten opp eller ned - langs hvilken som helst akse.

Det viser seg at det ikke er mulig å bygge noen detektor som kan måle en partikels spinn langs flere akser samtidig. Kvanteteorien hevder at denne egenskapen til spinndetektorer faktisk er en egenskap for spinn i seg selv: Hvis et elektron har en bestemt spinn langs en akse, er spinnet langs en hvilken som helst annen akse udefinert.

Lokale skjulte variabler

Bevæpnet med denne forståelsen av spinn, kan vi lage et tankeeksperiment som vi kan bruke til å bevise Bells teorem. Tenk på et spesifikt eksempel på en sammenfiltret tilstand: et par elektroner hvis totale spinn er null, noe som betyr at målinger av deres spinn langs en gitt akse alltid vil gi motsatte resultater. Det som er bemerkelsesverdig ved denne sammenfiltrede tilstanden er at selv om den totale spinnet har denne bestemte verdien langs alle akser, er hvert elektrons individuelle spinn ubestemt.

Anta at disse sammenfiltrede elektronene er atskilt og transportert til fjerne laboratorier, og at team av forskere i disse laboratoriene kan rotere magneten til deres respektive detektorer slik de vil når de utfører spinnmålinger.

Når begge lag måler på samme akse, får de motsatte resultater 100% av tiden. Men er dette bevis på ikke-lokalitet? Ikke nødvendigvis.

Alternativt, foreslo Einstein, kunne hvert par elektroner komme med et tilhørende sett med "skjulte variabler" som spesifiserte partikkelenes spinn langs alle akser samtidig. Disse skjulte variablene er fraværende i kvantebeskrivelsen av den sammenfiltrede tilstanden, men kvantemekanikken forteller kanskje ikke hele historien.

Skjulte variabelteorier kan forklare hvorfor målinger på samme akse alltid gir motsatte resultater uten brudd på lokalitet: En måling av ett elektron påvirker ikke den andre, men avslører bare den eksisterende verdien av en skjult variabel.

Bell beviste at du kunne utelukke lokale skjulte variable teorier, og faktisk utelukke lokalitet helt, ved å måle sammenfiltrede partiklers spinn langs forskjellige akser.

Anta, for det første, at et team av forskere tilfeldigvis roterer detektoren i forhold til det andre laboratoriet 180 grader. Dette tilsvarer å bytte nord- og sørpolen, så et "opp" -resultat for det ene elektronet vil aldri bli ledsaget av et "ned" -resultat for det andre. Forskerne kunne også velge å rotere det en mellomliggende mengde - 60 grader, sier. Avhengig av magnetenes relative orientering i de to laboratoriene, kan sannsynligheten for motsatte resultater variere hvor som helst mellom 0% og 100%.

Uten å spesifisere noen spesielle retninger, anta at de to lagene er enige om et sett med tre mulige måleakser, som vi kan merke A, B og C. For hvert elektronpar måler hvert laboratorium spinnet til en av elektronene langs en av disse tre akser valgt tilfeldig.

La oss nå anta at verden er beskrevet av en lokal skjult variabelteori, snarere enn kvantemekanikk. I så fall har hvert elektron sin egen spinnverdi i hver av de tre retningene. Det fører til åtte mulige verdisett for de skjulte variablene, som vi kan merke på følgende måte:

Settet med rotasjonsverdier merket 5, for eksempel, dikterer at resultatet av en måling langs akse A i det første laboratoriet vil være "opp", mens målingene langs aksene B og C vil være "ned"; det andre elektronens spinnverdier vil være motsatt.

For ethvert elektronpar som har rotasjonsverdier merket 1 eller 8, vil målinger i de to laboratoriene alltid gi motsatte resultater, uavhengig av hvilke akser forskerne velger å måle sammen. De andre seks settene med spinnverdier gir alle motsatte resultater i 33% av målingene på forskjellige akser. (For eksempel, for spinnverdiene merket 5, vil laboratoriene oppnå motsatte resultater når en måler langs akse B mens den andre måler langs C; dette representerer en tredjedel av de mulige valgene.)

Dermed vil laboratoriene oppnå motsatte resultater når de måler langs forskjellige akser minst 33% av tiden; tilsvarende vil de oppnå det samme resultatet på det meste 67% av tiden. Dette resultatet - en øvre grense for korrelasjonene tillatt av lokale skjulte variable teorier - er ulikheten i hjertet av Bells teorem.

Over the Bound

Hva med kvantemekanikk? Vi er interessert i sannsynligheten for at begge laboratoriene oppnår samme resultat når de måler elektronenes spinn langs forskjellige akser. Ligningene til kvanteteorien gir en formel for denne sannsynligheten som en funksjon av vinklene mellom måleaksene.

I følge formelen, når de tre aksene er så langt fra hverandre som mulig - det vil si alle 120 grader fra hverandre, som i Mercedes-logoen - vil begge laboratoriene oppnå det samme resultatet 75% av tiden. Dette overstiger Bells øvre grense på 67%.

Det er essensen av Bells teorem: Hvis lokalitet holder og en måling av en partikkel ikke umiddelbart kan påvirke resultatet av en annen måling langt borte, kan resultatene i et bestemt eksperimentelt oppsett ikke være mer enn 67% korrelert. Hvis skjebnen til sammenfiltrede partikler derimot er uløselig bundet selv over store avstander, som i kvantemekanikk, vil resultatene av visse målinger vise sterkere sammenhenger.

Siden 1970-tallet har fysikere gjort stadig mer presise eksperimentelle tester av Bells teorem. Hver og en har bekreftet de sterke korrelasjonene til kvantemekanikken. De siste fem årene har forskjellige smutthull har blitt stengt. Lokalitet - den langvarige antagelsen om fysisk lov - er ikke et trekk ved vår verden.

Redaktørens kommentar: Forfatteren er for tiden en postdoktorforsker ved JILA i Boulder, Colorado.

PlatonAi. Web3 Reimagined. Data Intelligence Amplified.

Klikk her for å få tilgang.

Kilde: https://www.quantamagazine.org/how-bells-theorem-proved-spooky-action-at-a-distance-is-real-20210720/

Fortsett å lese

Quantum

Momentum sparker i ufullkommen måling av hvilken vei

Publisert

on

Neha Pathania og Tabish Qureshi

Senter for teoretisk fysikk, Jamia Millia Islamia, New Delhi, India.

Finn dette papiret interessant eller vil diskutere? Scite eller legg igjen en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Det har vært en intens debatt om spørsmålet om hvorvidt et kvantum, som går gjennom en dobbeltspalte, opplever et "momentum kick" på grunn av hvilken vei deteksjon. Det har vært motstridende synspunkter på denne saken i mange tiår. Dette problemet behandles her i den generelle innstillingen der detekteringen av veien kan være ufullkommen. Det er vist her at tapet av forstyrrelse fortsatt kan tolkes som et resultat av små momentum som kvantumet ser ut til å motta, uavhengig av hvilken detektor det er. Interessant nok er størrelsen på de tilfeldige momentum kickene alltid $ textit {h / 2d, d} $ er spalteseparasjonen, uavhengig av hvor perfekt eller ufullkommen denveis deteksjonen er. Dette er i strid med det som er foreslått i den tidligere litteraturen. Ufullkommenheten med hvilken vei deteksjon avgjør hvor ofte momentum sparkene er. Det har blitt vist tidligere at for perfekt påvisning av en vei, får kvantet et momentum spark femti prosent av tiden. Her er det vist at for ufullkommen hvilken vei deteksjon, mottar kvantum momentum spark av samme størrelse, men sjeldnere. En nøyaktig sammenheng mellom frekvensen av spark og synligheten av interferens finnes her.

► BibTeX-data

► Referanser

[1] N. Bohr, “The quantum postulate and the recent development of atomic theory,” Nature (London) 121, 580-591 (1928).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 121580a0

[2] N. Bohr, i Albert Einstein: Philosopher-Scientist (red. Schilpp, PA) 200-241 (Library of Living Philosophers, Evanston, 1949); omtrykt i Quantum Theory and Measurement (red. JA Wheeler, WH Zurek,) 9-49 (Princeton Univ. Press, 1983).

[3] XJ Liu, Q. Miao, F. Gel'mukhanov, M. Patanen, O. Travnikova, C. Nicolas, H. Agren, K. Ueda, C. Miron “Einstein – Bohr recoiling double-slit gedanken experiment utført ved molekylæren nivå, ”Nature Photonics 9, 120-125 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nphoton.2014.289

[4] L.Ph.H. Schmidt, J. Lower, T. Jahnke, S. Schößler, MS Schöffler, A. Menssen, C. Lévêque, N. Sisourat, R. Taïeb, H. Schmidt-Böcking og R. Dörner, “Momentum Transfer to a Free Flytende dobbeltspalte: Realisering av et tankeeksperiment fra Einstein-Bohr-debatten, ”Phys. Prest Lett. 111, 103201 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.111.103201

[5] RS Utter, JM Feagin, “Trapped-ion realization of Einsteins recoiling-slit experiment”, Phys. Rev. A 75, 062105 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.75.062105

[6] MO Scully, BG Englert, H. Walther, "Quantum optiske tester av komplementaritet," Nature 351, 111-116 (1991).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 351111a0

[7] EP Storey, SM Tan, MJ Collett, DF Walls, “Path detection and the usikkerhetsprinsippet,” Nature 367, 626-628, (1994).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 367626a0

[8] B.-G. Englert, MO Scully, H. Walther, “Komplementaritet og usikkerhet,” Nature 375, 367 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 375367b0

[9] EP Storey, SM Tan, MJ Collett, DF Walls, “Komplementaritet og usikkerhet,” Nature 375, 368 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 375368a0

[10] H. Wiseman, F. Harrison, "Usikkerhet om komplementaritet?" Nature 377, 584 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1038 / 377584a0

[11] HM Wiseman, FE Harrison, MJ Collett, SM Tan, DF Walls, RB Killip, “Nonlocal momentum transfer in welcher Wegmålinger,” Phys. Rev. A 56, 55 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.56.55

[12] HM Wiseman, "Bohmian analyse av momentumoverføring i welcher Weg-målinger," Phys. Rev. A 58 1740 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.1740

[13] H. Wiseman, "Direkte observasjon av momentumoverføring i dobbel-spalte-veiseksperimenter" Phys. Lett. A 311, 285 (2003).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0375-9601(03)00504-8

[14] BG. Englert, “Fryns synlighet og hvilken vei informasjon: en ulikhet”, Phys. Prest Lett. 77, 2154 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.77.2154

[15] T. Qureshi, R. Vathsan, “Einsteins recoiling spalteeksperiment, komplementaritet og usikkerhet,” Quanta 2, 58-65 (2013).
https: / / doi.org/ 10.12743 / quanta.v2i1.11

[16] S. Dürr, G. Rempe, "Kan bølge-partikkel dualitet være basert på usikkerhetsforholdet?" Er. J. Phys. 58, 1021-1024 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.1285869

[17] R. Mir, JS Lundeen, MW Mitchell, AM Steinberg, JL Garretson, HM Wiseman, “A double-slit 'which-way' experiment on the complementarity – Usikkerhetsdebatt," New J. Phys. 9, 287 (2007).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​9/​8/​287

[18] Y. Xiao, HM Wiseman, JS. Xu, Y. Kedem, CF. Li, GC. Guo, "Observere momentumforstyrrelse i dobbeltslitt" hvilken vei "målinger" Sci. Adv. 5, eaav9547 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1126 / sciadv.aav9547

[19] T. Qureshi, “Hvilken måling og momentum sparker,” EPL 123, 30007 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1209/​0295-5075/​123/​30007

[20] K. Menon, T. Qureshi, "Bølgepartikkerdualitet i asymmetrisk stråleinterferens," Phys. Rev.A 82, 022130 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.022130

[21] ID Ivanovic, “Hvordan skille mellom ikke-ortogonale tilstander”, Phys. Lett. A 123, 257 (1987).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9601(87)90222-2

[22] D. Dieks, "Overlapp og skille mellom kvantetilstander," Phys. Lett. A 126, 303 (1988).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9601(88)90840-7

[23] A. Peres, "Hvordan skille mellom ikke-ortogonale tilstander," Phys. Lett. A 128, 19 (1988).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9601(88)91034-1

[24] G. Jaeger, A. Shimony, "Optimal skille mellom to ikke-ortogonale kvantetilstander," Phys. Lett. A 197, 83 (1995).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0375-9601(94)00919-G

[25] A. Luis, LL Sánchez-Soto, "Komplementaritet håndhevet av tilfeldige klassiske fasespark," Phys. Prest Lett. 81, 4031 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.81.4031

[26] CS Unnikrishnan, "Opprinnelse til kvantemekanisk komplementaritet uten momentum-back handling i atominterferometrieksperimenter," Phys. Rev. A 62, 015601 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.62.015601

[27] T. Qureshi, "Kvanteviskelæret med forsinket valg etterlater ikke noe valg," Int. J. Theor. Phys. (2021).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s10773-021-04906-w

[28] L. Neves, G. Lima, J. Aguirre, FA Torres-Ruiz, C. Saavedra, A. Delgado, “Control of quantum interference in the quantum viskelær,” New J. Phys. 11, 073035 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​11/​7/​073035

[29] YL Len, J. Dai, BG Englert, LA Krivitsky, “Unbtiguous pathrimination in a two-path interferometer,” Phys. Rev. A 98, 022110 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.022110

Sitert av

[1] Mohd Asad Siddiqui og Tabish Qureshi, "Multipath-bølgepartikkel-dualitet med en banedetektor i en kvanteoverstilling", Fysisk gjennomgang A 103 2, 022219 (2021).

[2] Mohd Asad Siddiqui og Tabish Qureshi, "Multipath-bølgepartikkel-dualitet med en banedetektor i en kvanteoverstilling", arxiv: 2010.15719.

Sitatene ovenfor er fra SAO / NASA ADS (sist oppdatert vellykket 2021-07-20 13:33:41). Listen kan være ufullstendig fordi ikke alle utgivere gir passende og fullstendige sitasjonsdata.

Kunne ikke hente Crossref sitert av data under siste forsøk 2021-07-20 13:33:39: Kunne ikke hente siterte data for 10.22331 / q-2021-07-20-507 fra Crossref. Dette er normalt hvis DOI nylig ble registrert.

PlatonAi. Web3 Reimagined. Data Intelligence Amplified.
Klikk her for å få tilgang.

Kilde: https://quantum-journal.org/papers/q-2021-07-20-507/

Fortsett å lese

Quantum

Ny form åpner 'ormehull' mellom tall og geometri

Publisert

on

Det største prosjektet i matematikk har mottatt en sjelden gave, i form av et enormt papir på 350 sider lagt ut i februar som vil endre måten forskere over hele verden undersøker noen av feltets dypeste spørsmål. Verket designer et nytt geometrisk objekt som oppfyller en dristig, en gang fantasifull drøm om forholdet mellom geometri og tall.

“Dette åpner virkelig for en enorm mengde muligheter. Deres metoder og konstruksjoner er så nye at de bare venter på å bli utforsket, ”sa Tasho Kaletha fra University of Michigan.

Arbeidet er et samarbeid mellom Laurent Fargues fra Institutt for matematikk i Jussieu i Paris og Peter Scholze ved Universitetet i Bonn. Det åpner en ny front i det langvarige "Langlands-programmet", som søker å knytte forskjellige grener av matematikk - som kalkulus og geometri - for å svare på noen av de mest grunnleggende spørsmålene om tall.

Papiret deres innser den visjonen, og gir matematikere en helt ny måte å tenke på spørsmål som har inspirert og forvirret dem i århundrer.

I sentrum av Fargues og Scholes arbeid er et revitalisert geometrisk objekt som kalles Fargues-Fontaine-kurven. Den ble først utviklet rundt 2010 av Fargues og Jean-Marc Fontaine, som var professor ved Paris-Sud University til han døde av kreft i 2019. Etter et tiår oppnår kurven først nå sin høyeste form.

"På det tidspunktet visste de at Fargues-Fontaine-kurven var noe interessant og viktig, men de forsto ikke på hvilke måter," sa Eva Viehmann fra det tekniske universitetet i München.

Kurven kan ha holdt seg begrenset til det tekniske hjørnet av matematikken der den ble oppfunnet, men i 2014 hendelser som involverte Fargues og Scholze, drev den til sentrum av feltet. I løpet av de neste syv årene utarbeidet de grunnleggende detaljene som var nødvendige for å tilpasse Fargues 'kurve til Scholeses teori. Det endelige resultatet ikke så mye bronummer og geometri som kollapser bakken mellom dem.

"Det er en slags ormehull mellom to forskjellige verdener," sa Scholze. "De blir bare det samme på en eller annen måte gjennom en annen linse."

Root Harvest

Langlands-programmet er en vidstrakt forskningsvisjon som begynner med en enkel bekymring: å finne løsninger på polynomiske ligninger som x2 - 2 = 0 og x4 - 10x2 + 22 = 0. Å løse dem betyr å finne “røttene” til polynomet - verdiene til x som gjør polynomet til lik null (x = $ latex pm sqrt {2} $ for det første eksemplet, og x = $ latex pm sqrt {5 pm sqrt {3}} $ for andre).

På 1500-tallet hadde matematikere oppdaget ryddige formler for å beregne røttene til polynomier med høyest styrke er 2, 3 eller 4. De søkte deretter etter måter å identifisere røttene til polynomer med variabler hevet til kraften 5 og utover. Men i 1832 oppdaget den unge matematikeren Évariste Galois at søket var fruktløst, og beviste at det ikke er noen generelle metoder for å beregne røttene til polynomer med høyere effekt.

Galois stoppet imidlertid ikke der. I månedene før han døde i en duell i 1832, 20 år gammel, la Galois ut en ny teori om polynomløsninger. I stedet for å beregne røtter nøyaktig - noe som ikke kan gjøres i de fleste tilfeller - foreslo han å studere symmetriene mellom røttene, som han kodet i et nytt matematisk objekt som til slutt ble kalt en Galois-gruppe.

I eksemplet x2 - 2, i stedet for å gjøre røttene eksplisitte, understreker Galois-gruppen at de to røttene (uansett hva de er) er speilbilder av hverandre så langt det gjelder algebra.

"Matematikere måtte gå vekk fra formler fordi det vanligvis ikke var noen formler," sa Brian Conrad fra Stanford University. "Å beregne en Galois-gruppe er et mål på å beregne forholdet mellom røttene."

Gjennom det 20. århundre utviklet matematikere nye måter å studere Galois-grupper på. En hovedstrategi innebar å lage en ordbok som oversettes mellom gruppene og andre objekter - ofte funksjoner som kommer fra kalkulator - og undersøke dem som en fullmektig for å jobbe direkte med Galois-grupper. Dette er den grunnleggende forutsetningen for Langlands-programmet, som er en bred visjon for å undersøke Galois-grupper - og egentlig polynomer - gjennom denne typen oversettelser.

Langlands-programmet startet i 1967, da navnebror, Robert Langlands, skrev et brev til en berømt matematiker som heter André Weil. Langlands foreslo at det skulle være en måte å matche hver Galois-gruppe med et objekt som kalles en automorf form. Mens Galois-grupper oppstår i algebra (som gjenspeiler måten du bruker algebra på for å løse ligninger), kommer automatiske former fra en helt annen gren av matematikk som kalles analyse, som er en forbedret form for kalkulator. Matematiske fremskritt fra første halvdel av det 20. århundre hadde identifisert nok likheter mellom de to til å få Langlands til å mistenke en grundigere kobling.

"Det er bemerkelsesverdig at disse gjenstandene av en helt annen art på en eller annen måte kommuniserer med hverandre," sa Ana Caraiani fra Imperial College London.

Hvis matematikere kunne bevise det som ble kalt Langlands-korrespondansen, kunne de trygt undersøke alle polynomer ved hjelp av kalkulatorens kraftige verktøy. Det formodede forholdet er så grunnleggende at løsningen også kan berøre mange av de største åpne problemene i tallteorien, inkludert tre av Millennium-prisproblemene på en million dollar: Riemann-hypotesen, BSD-formodningen og Hodge-formodningen.

Med tanke på innsatsen har generasjoner av matematikere blitt motivert til å bli med på innsatsen, og utviklet Langlands 'første antagelser til det som nesten helt sikkert er det største, mest ekspansive prosjektet i feltet i dag.

"Langlands-programmet er et nettverk av gjetninger som berører nesten alle områder av ren matematikk," sa Caraiani.

Tall fra figurer

Begynner tidlig på 1980-tallet Vladimir Drinfeld og senere Alexander Beilinson foreslo at det skulle være en måte å tolke Langlands antagelser i geometriske termer. Oversettelsen mellom tall og geometri er ofte vanskelig, men når det fungerer kan det knekke problemer vidt åpne.

For å ta bare ett eksempel, er et grunnleggende spørsmål om et tall om det har en gjentatt primfaktor. Tallet 12 gjør: Det faktorerer i 2 × 2 × 3, hvor de 2 forekommer to ganger. Tallet 15 gjør ikke det (det blir 3 × 5).

Generelt er det ingen rask måte å vite om et tall har en gjentatt faktor. Men det er et analogt geometrisk problem som er mye lettere.

Polynomer har mange av de samme egenskapene som tall: Du kan legge til, trekke fra, multiplisere og dele dem. Det er til og med en forestilling om hva det betyr for en polynom å være "prime". Men i motsetning til tall, har polynomer en klar geometrisk forkledning. Du kan tegne løsningene deres og studere grafene for å få innsikt i dem.

For eksempel hvis grafen er tangent til x-aksis når som helst, kan du utlede at polynomet har en gjentatt faktor (angitt nøyaktig på tangenspunktet). Det er bare et eksempel på hvordan et grumsete aritmetiske spørsmål får en visuell betydning en gang konvertert til sin analog for polynomer.

“Du kan tegne polynomer. Du kan ikke tegne et tall. Og når du tegner et [polynom], gir det deg ideer, ”sa Conrad. "Med et nummer har du bare tallet."

Det “geometriske” Langlands-programmet, som det ble kalt, hadde som mål å finne geometriske gjenstander med egenskaper som kunne stå for Galois-gruppene og de automatiske formene i Langlands antagelser. Å bevise en analog korrespondanse i denne nye setting ved å bruke geometriske verktøy kan gi matematikere mer tillit til de opprinnelige Langlands-formodningene og kanskje foreslå nyttige måter å tenke på dem. Det var en fin visjon, men også en litt luftig - litt som å si at du kunne krysse universet hvis du bare hadde en tidsmaskin.

"Å lage geometriske objekter som har en lignende rolle i innstillingen av tall, er en mye vanskeligere ting å gjøre," sa Conrad.

Så i flere tiår forble det geometriske Langlands-programmet på avstand fra det opprinnelige. De to ble animert av det samme målet, men de involverte så fundamentalt forskjellige objekter at det ikke var noen reell måte å få dem til å snakke med hverandre.

“De aritmetiske menneskene så liksom ut forvirret av [det geometriske Langlands-programmet]. De sa at det er bra og bra, men helt uten tilknytning til vår bekymring, ”sa Kaletha.

Det nye verket fra Scholze og Fargues oppfyller imidlertid endelig håpet knyttet til det geometriske Langlands-programmet - ved å finne den første formen hvis egenskaper kommuniserer direkte med Langlands opprinnelige bekymringer.

Scholze's Tour de Force

I september 2014 underviste Scholze på et spesialkurs ved University of California, Berkeley. Til tross for at han bare var 26, var han allerede en legende i matematikkverdenen. To år tidligere hadde han fullført sin avhandling, der han artikulerte en ny geometrisk teori basert på gjenstander han hadde oppfunnet, kalt perfectoid-rom. Han brukte deretter dette rammeverket til å løse en del av et problem i tallteori kalt vekt-monodromi-formodningen.

Men viktigere enn det spesielle resultatet var følelsen av muligheten rundt det - det var ikke noe å fortelle hvor mange andre spørsmål i matematikk som kunne gi dette skarpe nye perspektivet.

Temaet for Scholzes kurs var en enda mer omfattende versjon av hans teori om perfectoid-rom. Matematikere fylte setene i det lille seminarrommet, stilte seg opp langs veggene og sølte ut i gangen for å høre ham snakke.

"Alle ønsket å være der fordi vi visste at dette var revolusjonerende," sa David Ben-Zvi fra University of Texas, Austin.

Scholzes teori var basert på spesielle nummersystemer kalt p-drikke. "P" i p-adic står for "prime", som i primtall. For hver prime er det en unik p-adisk tallsystem: 2-adics, 3-adics, 5-adics og så videre. P-adiske tall har vært et sentralt verktøy i matematikk i over et århundre. De er nyttige som mer håndterbare tallsystemer der man kan undersøke spørsmål som oppstår i de rasjonelle tallene (tall som kan skrives som et forhold mellom positive eller negative hele tall), som er vanskelig å sammenligne.

Dyden til p-adiske tall er at de hver er basert på bare en enkelt prime. Dette gjør dem mer enkle, med mer åpenbar struktur, enn rasjonellene, som har uendelig med primtall uten noe åpenbart mønster blant dem. Matematikere prøver ofte å forstå grunnleggende spørsmål om tall i p-adics først, og deretter ta disse leksjonene tilbake til deres etterforskning av rasjonellene.

"The p-adiske tall er et lite vindu inn i de rasjonelle tallene, ”sa Kaletha.

Alle tallsystemer har en geometrisk form - de virkelige tallene har for eksempel form av en linje. Scholzes perfectoid-rom ga en ny og mer nyttig geometrisk form til p-adiske tall. Denne forbedrede geometrien gjorde at p-adics, sett gjennom hans perfectoid-rom, en enda mer effektiv måte å undersøke grunnleggende tallteoretiske fenomener, som spørsmål om løsningene av polynomiske ligninger.

“Han tenkte seg om p-adisk verden og gjorde den til geometri, ”sa Ben-Zvi. "Fordi de er så grunnleggende, fører dette til mange suksesser."

I løpet av Berkeley-kurset presenterte Scholze en mer generell versjon av teorien hans om perfektoidrom, bygget på enda nyere gjenstander han hadde tenkt ut som diamanter. Teorien lovet å utvide bruken av p-adiske tall. På det tidspunktet Scholze begynte å undervise, var han ikke en gang ferdig med å utarbeide den.

“Han holdt kurset mens han utviklet teorien. Han kom med ideer om kvelden og presenterte dem friske ut av sinnet om morgenen, ”sa Kaletha.

Det var en virtuos utstilling, og en av menneskene i rommet som hørte det var Laurent Fargues.

Ha kurve, vil reise

Samtidig som Scholze holdt forelesningene sine, deltok Fargues i et spesielt semester på Matematisk vitenskapelig forskningsinstitutt rett opp bakken fra Berkeley campus. Han hadde tenkt mye på p-adiske tall også. I løpet av det siste tiåret hadde han jobbet med Jean-Marc Fontaine i et område med matematikk p-adic Hodge teori, som fokuserer på grunnleggende aritmetiske spørsmål om disse tallene. I løpet av den tiden hadde han og Fontaine kommet med et nytt geometrisk objekt. Det var en kurve - Fargues-Fontaine-kurven - hvis punkter hver representerte en versjon av et viktig objekt kalt a p-adisk ring.

Som opprinnelig oppfattet, var det et veldig nyttig verktøy i en teknisk del av matematikken, ikke noe som sannsynligvis ville riste hele feltet.

“Det er et organisasjonsprinsipp i p-adic Hodge teori, det er slik jeg tenker på det. Det var umulig for meg å holde rede på alle disse ringene før denne kurven kom opp, ”sa Caraiani.

Men da Fargues satt og hørte på Scholze, så han for seg en enda større rolle for kurven i matematikk. Det aldri realiserte målet med det geometriske Langlands-programmet var å finne et geometrisk objekt som kodet svar på spørsmål i tallteori. Farger oppfattet hvordan kurven hans, smeltet sammen med Scholze's p-adisk geometri, kunne tjene akkurat den rollen. Rundt midten av semesteret dro han Scholze til side og delte sin begynnende plan. Scholze var skeptisk.

"Han nevnte denne ideen for meg over en kaffepause på MSRI," sa Scholze. “Det var ikke en veldig lang samtale. Først trodde jeg at det ikke kunne være bra. ”

Men de hadde flere samtaler, og Scholze skjønte snart at tilnærmingen kanskje ville fungere. 5. desember, da semesteret gikk ned, holdt Fargues et foredrag ved MSRI der han introduserte en ny visjon for det geometriske Langlands-programmet. Han foreslo at det skulle være mulig å omdefinere Fargues-Fontaine-kurven i forhold til Scholze's p-adisk geometri, og bruk deretter den omdefinerte gjenstanden for å bevise en versjon av Langlands-korrespondansen. Fargues forslag var en siste, uventet vending i det som allerede hadde vært en spennende sesong med matematikk.

“Det var som denne store finalen i dette semesteret. Jeg husker at jeg bare var i sjokk, ”sa Ben-Zvi.

En lokal korrespondanse

De opprinnelige antagelsene til Langlands handler om å matche representasjoner av Galois-gruppene av de rasjonelle tallene med automorfe former. De p-adics er et annet tallsystem, og det er også en versjon av Langlands-formodningene. (Begge er fremdeles skilt fra det geometriske Langlands-programmet.) Det innebærer også en slags samsvar, men i dette tilfellet er det mellom representasjoner av Galois-gruppen i p-adiske tall og representasjoner av p-adiske grupper.

Mens objektene deres er forskjellige, er ånden til de to antagelsene den samme: å studere løsninger på polynomer - når det gjelder rasjonelle tall i ett tilfelle og p-adiske tall i den andre - ved å relatere to tilsynelatende ikke-relaterte objekter. Matematikere refererer til Langlands-formodningen for rasjonelle tall som den ”globale” Langlands-korrespondansen, fordi rasjonellene inneholder alle primtallene, og versjonen for p-adikere som den “lokale” Langlands-korrespondansen, siden p-adiske tallsystemer håndterer en prime om gangen.

I desemberforedraget sitt på MSRI foreslo Fargues å bevise den lokale Langlands-formodningen ved hjelp av geometrien til Fargues-Fontaine-kurven. Men fordi han og Fontaine hadde utviklet kurven for en helt annen og mer begrenset oppgave, krevde definisjonen deres kraftigere geometri som kunne gi strukturen og kompleksiteten kurven til slutt ville trenge for å støtte disse utvidede planene.

Situasjonen var lik hvordan du kunne komme til en tresidig form som er uavhengig av en hvilken som helst bestemt geometrisk teori, men hvis du kombinerer den formen med teorien om euklidisk geometri, får den plutselig et rikere liv: Du får trigonometri, Pythagoras setning og veldefinerte forestillinger om symmetri. Det blir en fullverdig trekant.

"[Fargues] tok ideen om kurven og brukte den kraftige geometrien som Scholze utviklet for å utarbeide den ideen," sa Kaletha. "Dette lar deg formelt angi kurvens vakre egenskaper."

Fargues 'strategi ble kjent som "geometrization of the local Langlands correspondence." Men på det tidspunktet han laget det, hadde ikke eksisterende matematikk verktøyene han trengte for å utføre det, og nye geometriske teorier kommer ikke hver dag. Heldigvis var historien på hans side.

“[Fargues antagelse] var en dristig idé fordi Fargues trengte geometri som ikke eksisterte. Men da det viste seg at Scholze akkurat nå utviklet den, ”sa Kaletha.

Fundamentbygging

Etter at de var sammen i Berkeley, brukte Fargues og Scholze de neste syv årene på å etablere en geometrisk teori som gjorde det mulig for dem å rekonstruere Fargues-Fontaine-kurven i en form som passer for deres planer.

“I 2014 var det i utgangspunktet allerede klart hva bildet skulle være og hvordan alt skulle passe sammen. Det var bare at alt var helt dårlig definert. Det var ingen stiftelser på plass for å snakke om noe av dette, ”sa Scholze.

Arbeidet fant sted i flere trinn. I 2017 fullførte Scholze en artikkel kalt “Étale Cohomology of Diamonds, ”Som formaliserte mange av de viktigste ideene han hadde introdusert under sine Berkeley-foredrag. Han kombinerte papiret med nok et massivt arbeid at han og medforfatter Dustin Clausen fra Københavns Universitet utgitt som en serie forelesninger i 2020. Det materialet - alle de 352 sidene av det - var nødvendig for å etablere et fundament for noen få spesielle punkter som hadde kommet opp i Scholzes arbeid med diamanter.

"Scholze måtte komme med en helt annen teori som bare var der for å ta seg av visse tekniske problemer som kom opp på de tre siste sidene av hans [2017] papir," sa Kaletha.

Alt i alt tillot disse og andre papirer Fargues og Scholze å utvikle en helt ny måte å definere et geometrisk objekt på. Tenk deg at du begynner med en uorganisert samling av punkter - en "støvsky", i Scholeses ord - som du vil lime sammen på riktig måte for å montere gjenstanden du leter etter. Teorien Fargues og Scholze utviklet gir nøyaktige matematiske retninger for å utføre limingen og bekrefter at du til slutt vil få Fargues-Fontaine-kurven. Og denne gangen er den definert på riktig måte for oppgaven - adressering av lokal korrespondanse i Langlands.

"Det er teknisk sett den eneste måten vi kan få tak i," sa Scholze. "Du må gjenoppbygge mange fundament i geometrien i denne typen rammeverk, og det var veldig overraskende for meg at det er mulig."

Etter at de hadde definert Fargues-Fontaine-kurven, startet Fargues og Scholze neste trinn på reisen: å utstyre den med de funksjonene som er nødvendige for å bevise samsvar mellom representasjoner av Galois-grupper og representasjoner av p-adiske grupper.

For å forstå disse funksjonene, la oss først vurdere et enklere geometrisk objekt, som en sirkel. På hvert punkt i sirkelen er det mulig å plassere en linje som tangerer formen på akkurat det punktet. Hvert punkt har en unik tangentlinje. Du kan samle alle de mange linjene sammen til et ekstra geometrisk objekt, kalt tangentbunten, som er knyttet til det underliggende geometriske objektet, sirkelen.

I sitt nye arbeid gjør Fargues og Scholze noe lignende for Fargues-Fontaine-kurven. Men i stedet for tangente plan og bunter, definerer de måter å konstruere mange mer kompliserte geometriske objekter på. Et eksempel, kalt skiver, kan knyttes naturlig til punkter på Fargues-Fontaine-kurven slik tangentlinjer kan knyttes til punkter i en sirkel.

Skiver ble først definert på 1950-tallet av Alexander Grothendieck, og de holder rede på hvordan algebraiske og geometriske trekk ved det underliggende geometriske objektet samhandler med hverandre. I flere tiår har matematikere mistenkt at de kan være de beste objektene å fokusere på i det geometriske Langlands-programmet.

"Du tolker teorien om representasjoner av Galois-grupper på nytt når det gjelder skiver," sa Conrad.

Det er lokale og globale versjoner av det geometriske Langlands-programmet, akkurat som det er for det originale. Spørsmål om skiver er knyttet til det globale geometriske programmet, som Fargues mistenkte kunne koble til den lokale Langlands-korrespondansen. Problemet var at matematikere ikke hadde de riktige typer skiver definert på den rette typen geometriske gjenstander for å bære dagen. Nå har Fargues og Scholze skaffet dem via Fargues-Fontaine-kurven.

Slutten på begynnelsen

Spesielt kom de opp med to forskjellige typer: Sammenhengende skiver tilsvarer representasjoner av p-adiske grupper, og étale skiver til representasjoner av Galois-grupper. I deres nye papir beviser Fargues og Scholze at det alltid er en måte å matche en sammenhengende skive med en étale skive, og som et resultat er det alltid en måte å matche en representasjon av en p-adisk gruppe med en representasjon av en Galois-gruppe.

På denne måten beviste de endelig en retning av den lokale Langlands-korrespondansen. Men den andre retningen er fortsatt et åpent spørsmål.

“Det gir deg en retning, hvordan du går fra en representasjon av en p-adisk gruppe til en representasjon av en Galois-gruppe, men forteller deg ikke hvordan du skal gå tilbake, ”sa Scholze.

Arbeidet er en av de største fremskrittene så langt på Langlands-programmet - ofte nevnt i samme åndedrag som arbeid av Vincent Lafforgue fra Fourier-instituttet i Grenoble, Frankrike, om et annet aspekt av Langlands-korrespondansen i 2018. Det er også det mest håndgripelige beviset hittil at tidligere matematikere ikke var tåpelige å prøve Langlands-programmet på geometriske måter.

"Disse tingene er en stor rettferdiggjørelse for arbeidet folk gjorde i geometriske Langlands i flere tiår," sa Ben-Zvi.

For matematikken som helhet er det en følelse av ærefrykt og mulighet i mottakelsen av det nye verket: ærefrykt for måten teorien om p-adisk geometri Scholze har bygget siden forskerskolen manifesterer seg i Fargues-Fontaine-kurven, og muligheten fordi kurven åpner helt nye og uutforskede dimensjoner i Langlands-programmet.

“Det har virkelig forandret alt. De siste fem-åtte årene har de virkelig forandret hele feltet, ”sa Viehmann.

Det klare neste trinnet er å spikre ned begge sider av den lokale Langlands-korrespondansen - for å bevise at det er en toveis gate, snarere enn enveiskjøringen Fargues og Scholze har banet så langt.

Utover det er det den globale Langlands-korrespondansen i seg selv. Det er ingen åpenbar måte å oversette Fargues og Scholeses geometri av p-adiske tall i tilsvarende konstruksjoner for rasjonelle tall. Men det er også umulig å se på dette nye verket og ikke lure på om det kan være en måte.

"Det er en retning jeg virkelig håper å gå inn i," sa Scholze.

PlatonAi. Web3 Reimagined. Data Intelligence Amplified.

Klikk her for å få tilgang.

Kilde: https://www.quantamagazine.org/with-a-new-shape-mathematicians-link-geometry-and-numbers-20210719/

Fortsett å lese

Quantum

En videotur av standardmodellen

Publisert

on

Nylig, Quanta har utforsket samarbeidet mellom fysikk og matematikk om en av de viktigste ideene i vitenskapen: kvantefeltteori. De grunnleggende objektene til en kvantefeltteori er kvantefelt, som sprer seg over universet og gjennom sine svingninger gir de mest grunnleggende fenomenene i den fysiske verden. Vi har lagt vekt på den uferdige virksomheten i både fysikk og matematikk - måtene fysikere fortsatt ikke fullt ut forstår en teori de bruker så effektivt, og de store belønningene som venter matematikere hvis de kan gi en fullstendig beskrivelse av kvantefeltteorien. faktisk er.

Denne ufullstendigheten betyr imidlertid ikke at arbeidet til nå har vært utilfredsstillende.

For vår siste oppføring i denne "Math Meets QFT" -serien, utforsker vi den mest fremtredende kvantefeltsteorien av dem alle: standardmodellen. Som Cambridge-fysiker David Tong uttrykker det i den medfølgende videoen, det er "den mest vellykkede vitenskapelige teorien gjennom tidene" til tross for at den er satt på med et "søppelnavn".

Standardmodellen beskriver fysikk i de tre romlige dimensjonene og en tidsdimensjon i vårt univers. Den fanger samspillet mellom et dusin kvantefelt som representerer grunnleggende partikler og en håndfull ekstra felt som representerer krefter. Standardmodellen binder dem alle sammen til en enkelt ligning som forskere har bekreftet utallige ganger, ofte med forbløffende nøyaktighet. I videoen går professor Tong oss gjennom den ligningen term for term, og introduserer oss til alle delene av teorien og hvordan de passer sammen. Standardmodellen er komplisert, men det er lettere å jobbe med enn mange andre kvantefeltteorier. Det er fordi noen ganger feltene i Standardmodellen samhandler med hverandre ganske svakt, som forfatteren Charlie Wood beskrev i andre stykke i serien vår.

Standardmodellen har vært en velsignelse for fysikk, men den har også hatt litt bakruseffekt. Det har vært usedvanlig effektivt å forklare eksperimenter vi kan gjøre her på jorden, men det kan ikke redegjøre for flere hovedtrekk i det bredere universet, inkludert tyngdekraftens virkning på korte avstander og tilstedeværelsen av mørk materie og mørk energi. Fysikere vil gjerne gå utover standardmodellen til en enda mer omfattende fysisk teori. Men som fysikeren Davide Gaiotto legg den i første stykke i serien vår, gløden til standardmodellen er så sterk at det er vanskelig å se utover den.

Og det er kanskje der matematikken kommer inn. Matematikere vil måtte utvikle et nytt perspektiv på kvantefeltteori hvis de vil forstå det på en selvkonsistent og streng måte. Det er grunn til å håpe at denne nye utsikten vil løse mange av de største åpne spørsmålene i fysikk.

Prosessen med å bringe QFT inn i matematikk kan ta litt tid - kanskje til og med århundrer, som fysikeren Nathan Seiberg spekulert i tredje stykke i serien vår - men det er også allerede godt i gang. Nå har matematikk og kvantefeltteori utvilsomt møtt. Det gjenstår å se hva som skjer når de virkelig blir kjent.

PlatonAi. Web3 Reimagined. Data Intelligence Amplified.

Klikk her for å få tilgang.

Kilde: https://www.quantamagazine.org/a-video-tour-of-the-standard-model-20210716/

Fortsett å lese
esports3 dager siden

Hvordan redusere lag og øke FPS i Pokémon Unite

esports4 dager siden

Skinn for Ashe, Evelynn, Ahri, Malphite, Warwick, Cassiopeia avslørt for League of Legends

esports4 dager siden

Vil den lukkede beta-fremgangen i New World overføres til spillets fulle utgivelse?

Aviation5 dager siden

Og her er enda et bilde av Russlands nye kampflykonsept som blir offisielt avslørt i morgen

esports4 dager siden

Kan du sprint i New World?

esports3 dager siden

Hvordan legge til venner og feste i New World

esports3 dager siden

Hvordan gjøre krav på New World Twitch-dråper

esports5 dager siden

Hvordan fullføre FUTTIES Alessandrinis mål i FIFA 21 Ultimate Team

AR / VR3 dager siden

Moth + Flame samarbeider med US Air Force for å starte Virtual Reality forebygging av seksuelle overgrep og responsopplæring

esports3 dager siden

Twitch streamer blir utestengt i New World etter å ha melket ku

esports5 dager siden

Alt vi vet om Seer in Apex Legends

Aerospace5 dager siden

Boeing mannskapskapsel montert på Atlas 5-rakett for testfri flytur uten pilotering

esports5 dager siden

Evil Geniuses topplaner Impact slår alltid LCS tidlig rekord gullrekord i seier over Dignitas

esports5 dager siden

Når går League of Legends Patch 11.15 live?

Blockchain4 dager siden

Rothschild Investment kjøper aksjer i Gråskala Bitcoin og Ethereum

Blockchain4 dager siden

Uniswap (UNI) og AAVE teknisk analyse: Hva kan du forvente?

esports4 dager siden

Konami avslører Yu-Gi-Oh! Master Duel, en digital versjon av Yu-Gi-Oh! TCG og OCG formater

esports3 dager siden

Hvordan endre eller bli med i en ny verden i New World

esports4 dager siden

Team BDS legger til GatsH i VALORANT-stillingen som sjette mann før EU Stage 3 Challengers 2

esports4 dager siden

Overwatch League 2021 Grand Finals som avholdes i Los Angeles, sluttspillbrakett i Dallas

Trender