I oktober skal en Falcon Heavy-rakett etter planen skytes opp fra Cape Canaveral i Florida, med NASAs Europa Clipper-oppdrag. Oppdraget på 5 milliarder dollar er designet for å finne ut om Europa, Jupiters fjerde største måne, kan støtte liv. Men fordi Europa konstant blir bombardert av intens stråling skapt av Jupiters magnetfelt, kan ikke romfartøyet Clipper gå i bane rundt månen selv. I stedet vil den gli inn i en eksentrisk bane rundt Jupiter og samle data ved gjentatte ganger å svinge forbi Europa – totalt 53 ganger – før den trekker seg tilbake fra den verste strålingen. Hver gang romfartøyet runder Jupiter, vil banen være litt annerledes, noe som sikrer at den kan ta bilder og samle data fra Europas poler til ekvator.

For å planlegge kronglete turer som denne, bruker baneplanleggere datamodeller som omhyggelig beregner banen ett trinn om gangen. Planleggingen tar hundrevis av oppdragskrav i betraktning, og den er styrket av tiår med matematisk forskning på baner og hvordan man kan slå dem sammen på kompliserte turer. Matematikere utvikler nå verktøy som de håper kan brukes til å skape en mer systematisk forståelse av hvordan baner forholder seg til hverandre.

"Det vi har er de tidligere beregningene vi har gjort, som veileder oss når vi gjør de nåværende beregningene. Men det er ikke et fullstendig bilde av alle alternativene vi har,” sa Daniel Scheeres, en romfartsingeniør ved University of Colorado, Boulder.

"Jeg tror det var min største frustrasjon da jeg var student," sa Dayung Koh, en ingeniør ved NASAs Jet Propulsion Laboratory. "Jeg vet at disse banene er der, men jeg vet ikke hvorfor." Gitt kostnadene og kompleksiteten til oppdrag til månene til Jupiter og Saturn, er det et problem å ikke vite hvorfor banene er der de er. Hva om det er en helt annen bane som kan få jobben gjort med færre ressurser? Som Koh sa: "Fant jeg dem alle? Er det flere? Jeg kan ikke si det.»

Etter å ha tatt doktorgraden fra University of Southern California i 2016, ble Koh interessert i hvordan baner kan katalogiseres i familier. Jovianske baner som er langt fra Europa danner en slik familie; det samme gjør baner nær Europa. Men andre familier er mindre åpenbare. For eksempel, for alle to kropper, som Jupiter og Europa, er det et mellompunkt der de to kroppenes gravitasjonseffekter balanserer for å skape stabile punkter. Romfartøy kan gå i bane rundt dette punktet, selv om det ikke er noe i midten av banen. Disse banene danner en familie kalt Lyapunov-baner. Legg litt energi til en slik bane ved å avfyre ​​en romfartøysmotor, og til å begynne med blir du i samme familie. Men legg til nok, og du vil krysse over til en annen familie - si, en som inkluderer Jupiter i sine baner. Noen banefamilier kan kreve mindre drivstoff enn andre, forbli i sollys til enhver tid eller ha andre nyttige funksjoner.

I 2021 kom Koh over et papir som diskuterte hvordan man kan takle kaotiske baner fra perspektivet til symplektisk geometri, et abstrakt felt innen matematikk som generelt er langt unna rotete detaljer i den virkelige verden. Hun begynte å mistenke at symplektisk geometri kunne ha verktøyene hun trengte for å bedre forstå baner, og hun tok kontakt med Agustin Moreno, forfatteren av papiret. Moreno, den gang postdoktor ved Uppsala universitet i Sverige, ble overrasket og glad over å høre at noen ved NASA var interessert i arbeidet hans. "Det var uventet, men det var også ganske interessant og på en måte motiverende på samme tid," sa han.

De to begynte å jobbe sammen, og forsøkte å bruke Morenos abstrakte teknikker på Jupiter-Europa-systemet og på Saturn og dens måne Enceladus, som, i likhet med Europa, kan ha liv i sitt underjordiske hav. Det siste året har de sammen med andre samarbeidspartnere skrevet en serie artikler som lage et rammeverk forum katalogisering av baner. I januar fullførte Moreno, nå professor ved Heidelberg University, et tidlig utkast som gjorde spørreundersøkelsen hans til en bok om emnet. Med boken ønsker han å gjøre det abstrakte feltet symplektisk geometri nyttig for ingeniører som prøver å planlegge romoppdrag. Hvis han lykkes, vil han gjenforene undersøkelsesfelt som har vokst fra hverandre gjennom århundrene.

Ingen kongevei til geometri

Symplektisk geometri har sine røtter i fysikk. For å ta et enkelt eksempel, se for deg en pendel. Bevegelsen kan beskrives av to parametere: vinkel og hastighet. Hvis hastigheten er lav nok, vil pendelen svinge frem og tilbake. Hvis hastigheten er høyere, vil den snurre rundt i en sirkel. I en idealisert pendel uten friksjon, når du først har valgt startvinkel og hastighet, er systemets oppførsel bestemt for all tid.

Du kan lage en graf med vinkelen som x-aksen og hastigheten som y-akser. Men siden å reise 360 ​​grader bringer deg tilbake til starten, kan du sy sammen de vertikale linjene der x er null grader og hvor x er 360 grader. Dette lager en sylinder. Sylinderen reflekterer ikke direkte den fysiske virkeligheten - den viser ikke stier som pendelen sporer - snarere representerer hvert punkt på den en bestemt tilstand av pendelen. Sylinderen, sammen med lovene som bestemmer banene pendelen kan følge, danner et symplektisk rom.

Siden tidlig på 17-tallet, da Johannes Kepler formulerte lovene sine, har fysikere og matematikere hatt et godt grep om hvordan de skal beskrive bevegelsen til to kropper som er underlagt tyngdekraften. Avhengig av hvor raskt de beveger seg, danner banene deres en ellipse, parabel eller hyperbel. De tilsvarende symbolske områdene er mer kompliserte enn den for en pendel, men fortsatt håndterbare. Men å introdusere et tredje objekt gjør eksakte, analytiske løsninger umulige å beregne. Og det blir bare mer komplisert hvis du legger til flere kropper i modellen. "Uten den analytiske innsikten, skyter du nesten alltid, på et eller annet nivå, inn i mørket," sa Scheeres.

Et romfartøy som kan bevege seg fritt i alle retninger - fra høyre til venstre, opp og ned, og foran til bak - trenger tre koordinater for å beskrive posisjonen, og tre til for å beskrive hastigheten. Det gjør et seksdimensjonalt symbolsk rom. For å beskrive bevegelsen til tre kropper, som Jupiter, Europa og et romfartøy, trenger du 18 dimensjoner: seks per kropp. Geometrien til rommet defineres ikke bare av antall dimensjoner det har, men også av kurvene som viser hvordan det fysiske systemet som beskrives utvikler seg over tid.

Moreno og Koh jobbet med en "begrenset" versjon av trekroppsproblemet der en av kroppene (romfartøyet) er så liten at den ikke har noen innvirkning på de to andre (Jupiter og Europa). For å forenkle ting ytterligere, antok forskerne at månens bane var perfekt sirkulær. Du kan ta dens sirkulære bane som en jevn bakgrunn for å vurdere romsondens bane. Det symplektiske rommet må bare gjøre rede for romfartøyets posisjon og hastighet, siden Jupiter og Europas bevegelse lett kan beskrives. Så i stedet for å være 18-dimensjonalt, er det tilsvarende symbolske rommet seksdimensjonalt. Når en bane i dette seksdimensjonale rommet danner en løkke, representerer den en periodisk bane for romfartøyet gjennom planet-månesystemet.

Da Koh kontaktet Moreno, var hun nysgjerrig på tilfeller der å legge til bare en liten bit av energi får et romfartøys bane til å hoppe fra en familie til en annen. Disse møtepunktene mellom familier av baner kalles bifurkasjonspunkter. Ofte vil mange familier møtes på et enkelt punkt. Dette gjør dem spesielt nyttige for baneplanleggere. "Å forstå bifurkasjonsstrukturen gir deg et veikart for hvor det er interessante baner du bør se på," sa Scheeres. Koh ønsket å vite hvordan man identifiserer og forutsi bifurkasjonspunkter.

Etter å ha hørt fra Koh, vervet Moreno noen få andre geometre: Urs Frauenfelder ved universitetet i Augsburg, Cengiz Aydin fra Heidelberg University, og Otto van Koert ved Seoul National University. Frauenfelder og van Koert hadde lenge studert trekroppsproblemet ved å bruke symplektisk geometri, selv avdekke en potensiell ny familie av baner. Men selv om ingeniører som planlegger romfartøysoppdrag har brukt en myriade av matematiske verktøy, har de de siste tiårene blitt skremt av den økende abstraksjonen av symplektisk geometri.

Gjennom de følgende månedene lærte ingeniøren og de fire matematikerne sakte om hverandres felt. "Det tar litt tid når du gjør tverrfaglig arbeid for, la oss si, komme over språkbarrierene," sa Moreno. "Men etter at du har gjort det tålmodige arbeidet, begynner det å lønne seg."

Verktøysettet

Teamet satte sammen en rekke verktøy som de håper vil være nyttige for oppdragsplanleggere. Et av verktøyene er et tall kalt Conley-Zehnder-indeksen som kan hjelpe til med å bestemme når to baner tilhører samme familie. For å beregne det undersøker forskere punkter som er nær - men ikke på - banen de ønsker å studere. Tenk deg for eksempel at et romfartøy følger en elliptisk bane rundt Jupiter, påvirket av tyngdekraften fra Europa. Hvis du dytter den av banen, vil dens nye bane imitere den opprinnelige banen, men bare grovt. Den nye banen vil spiral rundt den opprinnelige banen, og kommer tilbake til et litt annet punkt etter at den sirkler rundt Jupiter. Conley-Zehnder-indeksen er et mål på hvor mye spiral som foregår.

Overraskende nok er ikke Conley-Zehnder-indeksen avhengig av detaljene i hvordan du dytter romfartøyet - det er et tall som er knyttet til hele banen. Dessuten er det likt for alle baner i samme familie. Hvis du beregner Conley-Zehnder-indeksen for to baner, og du får to forskjellige tall, kan du være sikker på at banene er fra forskjellige familier.

Et annet verktøy, kalt Floer-nummeret, kan antyde uoppdagede familier av baner. Anta at flere familier kolliderer ved et bifurkasjonspunkt når energien treffer et bestemt tall, og flere familier forgrener seg fra det bifurkasjonspunktet når energien er høyere. Dette danner et nett av familier hvis sentrale nav er bifurkasjonen.

Du kan beregne Floer-tallet knyttet til dette forgreningspunktet som en enkel funksjon av Conley-Zehnder-indeksene knyttet til hver relevant familie. Du kan beregne denne funksjonen både for alle familier som har energi bare litt mindre enn bifurkasjonspunktet og for familier som har større energi. Hvis de to Floer-tallene er forskjellige, er det en pekepinn på at det er skjulte familier knyttet til bifurkasjonspunktet ditt.

"Det vi gjør er å tilby verktøy som ingeniører tester algoritmene sine mot," sa Moreno. De nye verktøyene er først og fremst utviklet for å hjelpe ingeniører med å forstå hvordan familier av baner passer sammen og for å få dem til å lete etter nye familier der det er nødvendig; det er ikke ment å erstatte teknikkene for å finne bane som har blitt finpusset over flere tiår.

I 2023 presenterte Moreno arbeidet til en konferanse arrangert av "Space Flight Mechanics Committee,” og han har vært i kontakt med ingeniører som forsker på rombaner, inkludert noen ved JPL og Scheeres' laboratorium i Boulder. Scheeres ønsket sammenblandingen av felt velkommen: Han hadde lenge visst om den symplektiske tilnærmingen til planetarisk bevegelse, men følte seg ute av dybden matematisk. "Det var veldig spennende å se matematikerne prøve å bringe sin ekspertise ned på ingeniørsiden," sa han. Scheeres' gruppe jobber nå med et mer komplekst system som involverer fire organer.

Ed Belbruno, en baneplanleggingskonsulent (og tidligere JPL orbital analytiker) som har jobbet med Frauenfelder, advarer om at søknadene ikke er direkte. "Selv om en matematisk teknikk som symplektisk geometri kan komme opp med baner som er veldig kule, og du får en hel mengde av dem, kan det være at svært, veldig få, om noen, tilfredsstiller begrensningen" som et ekte oppdrag kan trenge , han sa.

Selv om Clipper-banene allerede stort sett er avgjort, ser Moreno mot neste planet: Saturn. Han har allerede presentert sin forskning for oppdragsplanleggere ved JPL som håper å sende et romfartøy til Saturns måne Enceladus. Moreno håper at symplektisk geometri vil "bli en del av standard verktøysett for romoppdrag."