Det tok lang tid før Claire Voisin ble forelsket i matematikk.

Det betyr ikke at hun noen gang mislikte emnet. Da hun vokste opp i Frankrike – den 10. av 12 barn – likte hun å bruke timevis på å løse matematikkoppgaver sammen med faren sin, en ingeniør. Da hun fylte 12, hadde hun begynt å lese en algebra-lærebok fra videregående på egenhånd, fascinert av definisjonene og bevisene som er skissert på sidene. "Det var all denne strukturen," sa hun. "Algebra er egentlig en teori om strukturer."

Men hun så ikke på matematikk som et livslangt kall. Det var ikke før universitetsårene hun skjønte hvor dypt og vakkert det kunne være - og at hun var i stand til å gjøre nye oppdagelser. Inntil da drev hun seriøst flere interesser ved siden av matematikk: filosofi, maleri og poesi. («Da jeg var 20, tror jeg at jeg bare drev med matematikk og maling. Det var kanskje litt overdrevet», lo hun.) I begynnelsen av 20-årene hadde matematikk lagt inn alt annet. Men maleri og poesi fortsatte å påvirke henne. Hun ser på matematikk som en kunst - og som en måte å presse på og leke med selve språkets grenser.

Tiår senere, etter å ha blitt ledende innen algebraisk geometri, har Voisin igjen funnet tid til å male og lage leireskulpturer. Likevel fortsetter matematikk å oppta det meste av hennes oppmerksomhet; hun foretrekker å bruke tiden sin på å utforske denne «annerledes verden» der «det er som om du drømmer».

Voisin er seniorforsker ved det franske nasjonale senteret for vitenskapelig forskning i Paris. Der studerer hun algebraiske varianter, som kan betraktes som former definert av sett med polynomlikninger, slik en sirkel er definert av polynomet x² + y² = 1. Hun er en av verdens fremste eksperter på Hodge-teori, et verktøysett som matematikere bruker for å studere sentrale egenskaper til algebraiske varianter.

Voisin har vunnet en rekke priser for sitt arbeid, inkludert Clay Research Award i 2008, Heinz Hopf-prisen i 2015 og Shaw-prisen for matematikk i 2017. I januar ble hun den første kvinnen som ble tildelt Crafoord-prisen i Matematikk.

Quanta snakket med Voisin om matematikkens kreative natur. Intervjuet er komprimert og redigert for klarhet.

Du likte matte som barn, men så ikke deg selv forfølge det. Hvorfor ikke?

Det er magien til et bevis - følelsen du føler når du forstår den, når du innser hvor sterk den er og hvor sterk den gjør deg. Som barn kunne jeg allerede se dette. Og jeg likte konsentrasjonen som matematikk krever. Det er noe jeg etter hvert som jeg blir eldre finner mer og mer sentralt i matematikkutøvelsen. Resten av verden forsvinner. Hele hjernen din er til for å studere et problem. Det er en ekstraordinær opplevelse, en som er veldig viktig for meg - å få deg selv til å forlate verden av praktiske ting, å bo i en annen verden. Kanskje dette er grunnen til at sønnen min liker å spille videospill så mye.

Men det som gjorde meg til en senkommer til matematikk, på en eller annen måte, er at jeg absolutt ikke er interessert i spill. Det er ikke for meg. Og på videregående føltes matematikk som en lek. Det var vanskelig for meg å ta det seriøst. Jeg så ikke dybden i matematikken med det første. Selv da jeg begynte å oppdage veldig interessante bevis og teoremer etter videregående, trodde jeg ikke på noe tidspunkt at jeg kunne finne på noe selv, at jeg kunne gjøre det til mitt.

Jeg hadde et behov for noe dypere, mer alvorlig, noe jeg kunne gjøre til mitt.

Før du fant det i matematikk, hvor lette du etter det?

Jeg likte filosofi og dens insistering på ideen om et konsept. Frem til jeg var rundt 22 brukte jeg mye tid på å male, spesielt figurative stykker inspirert av geometri. Og jeg var veldig glad i poesi - av verkene til Mallarmé, Baudelaire, René Char. Jeg levde allerede i en slags annen verden. Men det er normalt, tror jeg, når du er yngre.

Men matematikk ble viktigere og viktigere. Det tar virkelig hele hjernen din. Når du ikke er ved skrivebordet og jobber med et spesifikt problem, er tankene fortsatt opptatt. Så jo mer jeg drev med matematikk, jo mindre malte jeg. Jeg begynte nylig å male igjen, nå som alle barna mine har forlatt huset og jeg har mye mer tid.

Hva gjorde at du bestemte deg for å bruke mesteparten av din kreative energi til matematikk til slutt?

Matematikk ble mer og mer interessant for meg. Som master og Ph.D. student, oppdaget jeg at matematikken på 20-tallet var noe veldig dypt og ekstraordinært. Det var en verden av ideer og konsepter. I algebraisk geometri var det den berømte revolusjonen ledet av Alexander Grothendieck. Allerede før Grothendieck var det utrolige resultater. Så det er et nyere felt, med ideer som er vakre, men også ekstremt kraftige. Hodge-teori, som jeg studerer, var en del av det.

Det ble mer og mer tydelig at livet mitt var der. Selvfølgelig hadde jeg et familieliv - en mann og fem barn - og andre plikter og aktiviteter. Men jeg innså at med matematikk kunne jeg skape noe. Jeg kunne vie livet mitt til det, fordi det var så vakkert, så spektakulært, så interessant.

Du har skrevet før om hvordan matematikk er et kreativt forsøk.

Jeg er en profesjonell matematiker, så arbeidsdagen min er offisielt organisert rundt matematikk. Jeg sitter ved et skrivebord; Jeg jobber på en datamaskin. Men det meste av matteaktiviteten min skjer ikke i løpet av den tiden. Du trenger en ny idé, en god definisjon, et utsagn som du tror du vil kunne utnytte. Først da kan arbeidet ditt starte. Og det skjer ikke når jeg står ved skrivebordet mitt. Jeg må følge tankene mine, for å holde meg selv til å tenke.

Det høres ut som matematikk er dypt personlig for deg. Har du oppdaget noe om deg selv i prosessen?

Når jeg driver med matematikk, må jeg mesteparten av tiden kjempe mot meg selv, fordi jeg er veldig uordnet, jeg er ikke veldig disiplinert, og jeg har også en tendens til å bli deprimert. Jeg synes ikke det er lett. Men det jeg oppdaget er at i noen øyeblikk – som om morgenen over frokosten, eller når jeg går gjennom gatene i Paris eller gjør noe tankeløst som å vaske – begynner hjernen min å fungere av seg selv. Jeg skjønner at jeg tenker på matematikk, uten å ha tenkt det. Det er som om du drømmer. Jeg er 62, og jeg har ingen reell metode for å gjøre god matematikk: Jeg venter fortsatt mer eller mindre på øyeblikket når jeg får litt inspirasjon.

Du jobber med veldig abstrakte objekter — med høydimensjonale rom, med strukturer som tilfredsstiller kompliserte ligninger. Hvordan tenker du om en så abstrakt verden?

Det er ikke så vanskelig, faktisk. Den mest abstrakte definisjonen, når du først er kjent med den, er ikke abstrakt lenger. Det er som et vakkert fjell som du ser veldig godt, fordi luften er veldig klar og det er lys som lar deg se alle detaljene. For oss ser de matematiske objektene vi studerer konkrete ut, fordi vi kjenner dem mye bedre enn noe annet.

Selvfølgelig er det mange ting å bevise, og når du begynner å lære noe, kan du lide på grunn av abstraksjonen. Men når du bruker en teori – fordi du forstår teoremene – føler du deg faktisk veldig nær de aktuelle objektene, selv om de er abstrakte. Ved å lære om objektene, ved å manipulere dem og bruke dem i matematiske argumenter, blir de til slutt din venn.

Og dette krever også å se dem fra forskjellige synsvinkler?

Jeg studerte ikke algebraisk geometri opprinnelig. Jeg jobbet med kompleks analytisk og differensialgeometri. I analytisk geometri studerer du en mye større klasse av funksjoner og formene som er lokalt definert av disse funksjonene. De har vanligvis ikke en global ligning, i motsetning til i algebraisk geometri.

Jeg tok ikke så mye hensyn til det algebraiske synspunktet først. Men jo eldre jeg blir og jo mer jeg jobber med dette området, jo mer ser jeg nødvendigheten av å ha disse to forskjellige språkene.

Det er en utrolig teorem, kalt GAGA, som er litt av en spøk; det betyr "senil" på fransk, men det står også for géometrie algébrique og géométrie analytique. Det står at du kan gå fra ett språk til det andre. Du kan foreta en beregning i kompleks analytisk geometri hvis det er enklere, og deretter komme tilbake til algebraisk geometri.

Andre ganger gir algebraisk geometri deg muligheten til å studere en annen versjon av et problem som kan gi ekstraordinære resultater. Jeg har jobbet mot å forstå algebraisk geometri som en helhet, i stedet for bare å fokusere på den kompleksgeometriske siden av den.

Det er interessant at du tenker på disse som forskjellige matematiske språk.

Språk er essensielt. Før matematikk er det språk. Mye logikk er allerede inne i språket. Vi har alle disse logiske reglene i matematikk: kvantifiserere, negasjoner, parenteser for å indikere riktig rekkefølge av operasjoner. Men det er viktig å innse at alle disse reglene som er livsviktige for matematikere allerede finnes i vårt daglige språk.

Du kan sammenligne et matematisk teorem med et dikt. Det er skrevet med ord. Det er et produkt av språket. Vi har bare våre matematiske objekter fordi vi bruker språk, fordi vi bruker dagligdagse ord og gir dem en bestemt betydning. Så du kan sammenligne poesi og matematikk, ved at de begge er helt avhengige av språket, men likevel skaper noe nytt.

Du ble tiltrukket av matematikk på grunn av Grothendiecks revolusjon innen algebraisk geometri. Han skapte egentlig et nytt språk for å gjøre denne typen matematikk.

Ikke sant.

Er det måter det matematiske språket du bruker nå kanskje fortsatt må endres på?

Matematikere omarbeider stadig språket sitt. Det er synd, for det gjør eldre aviser ganske vanskelig å lese. Men vi omarbeider tidligere matematikk fordi vi forstår det bedre. Det gir oss en bedre måte å skrive og bevise teoremer på. Dette var tilfellet med Grothendieck, med hans anvendelse av løvekohomologi til geometri. Det er virkelig spektakulært.

Det er viktig å bli kjent med objektet du studerer, til det punktet at det for deg er som et morsmål. Når en teori begynner å dannes, tar det tid å finne ut de riktige definisjonene, og å forenkle alt. Eller kanskje det fortsatt er veldig komplisert, men vi blir mye mer kjent med definisjonene og objektene; det blir mer naturlig å bruke dem.

Det er en kontinuerlig utvikling. Vi må hele tiden omskrive og forenkle, for å teoretisere om hva som er viktig, om hvilke verktøy vi skal gjøre tilgjengelig.

Har du måttet introdusere nye definisjoner i arbeidet ditt?

Noen ganger. I arbeid jeg gjorde med János Kollár, var det et vendepunkt der vi endelig var i stand til å finne det riktige synet på problemet – gjennom en bestemt definisjon. Dette var et veldig klassisk problem, og vi jobbet med klassiske verktøy, men beviset vårt var egentlig basert på denne definisjonen som vi satte opp.

I et annet tilfelle, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì og jeg viste en fin klassifiseringsresultat om objekter kalt hyper-Kähler-manifolder. Og utgangspunktet for det beviset var introduksjonen av en invariant, som vi opprinnelig kalte "a."[ler.]

Du kan kanskje undervurdere viktigheten av definisjoner i matematikk, men du bør ikke.

Definisjoner og språk er ikke de eneste styrende kreftene i matematikk. Det samme er formodninger, som kanskje eller kanskje ikke er sanne. Du har for eksempel gjort mye arbeid med Hodge-formodningen, et Clay tusenårsproblem hvis løsning kommer med en $ 1 million belønning.

Si at du har en algebraisk variant du vil forstå. Så du går til siden med kompleks-analytisk geometri og anser det i stedet som det som er kjent som en kompleks manifold. Du kan tenke på en kompleks manifold når det gjelder dens globale form, eller topologi. Det er et objekt, kalt en homologi, som gir deg mye topologisk informasjon om mangfoldet. Men det er ikke så lett å definere.

Vurder nå algebraiske undervarianter i din opprinnelige variant. Hver vil ha en topologisk invariant, viss topologisk informasjon knyttet til seg. Hvilken del av den komplekse manifoldens homologi kan oppnås ved å se på disse topologiske invariantene?

Hodge-formodningen gir et spesifikt svar. Og svaret er veldig subtilt.

Så matematikere er ikke sikre på om Hodge-formodningen vil ende opp med å være sann eller usann?

Du vil tro på Hodge-formodningen, fordi den er en slik guide i store teorier innen algebraisk geometri.

Du vil virkelig gjerne forstå hovedegenskapene til en algebraisk variant. Og hvis Hodge-formodningen er sann, vil det gi deg utrolig kontroll over geometrien til sorten din. Du vil få svært viktig informasjon om strukturen til varianter.

Det er noen sterke grunner til å tro på det. Spesielle tilfeller av Hodge-formodningen er kjent. Og det er mange dype utsagn om algebraiske varianter som antyder at Hodge-formodningen er sann.

Men det har vært nesten en fullstendig mangel på fremgang mot å bevise det. Jeg beviste også at det ikke er noen måte å utvide Hodge-formodningen til en annen setting der det ville virke naturlig. Så det var litt av et sjokk.

Etter flere tiår å ha jobbet som matematiker, føler du at du gjør matte enda dypere nå?

Nå som jeg er eldre har jeg mye mer tid til å bruke energien min på matematikk, til å være virkelig tilstede i det. Jeg har også en bedre evne til å gå hit og dit. Tidligere, kanskje fordi jeg hadde mindre tid, hadde jeg mindre bevegelighet – selv om det heller ikke er bra å være for mobil, bare å berøre problemer uten å holde seg til dem. Nå er jeg mer erfaren, og jeg kan bygge mitt eget bilde.

Du har et mye bedre bilde av det du ikke vet, av åpne problemer. Du har en detaljert oversikt over feltet ditt og dets grenser. Det må være noen gode sider ved å bli eldre. Og det er fortsatt så mye å gjøre.