Spred tre punkter i et plan, og mål deretter avstanden mellom hvert par av dem. Med all sannsynlighet vil du finne tre forskjellige avstander. Men hvis du ordner punktene i en likesidet trekant, så er hver avstand den samme. I et fly er dette umulig å gjøre med fire punkter. Det minste antallet avstander du kan konstruere er 2 - kantene og diagonalene til en firkant.

Men hvis du løfter et av punktene opp fra flyet for å lage en pyramide, hvis sider er en likesidet trekant, vil du ha et sett med fire punkter som er atskilt med en enkelt unik avstand – lengden på den ene siden av trekanten.

Hvis du har mange poeng, blir disse mønstrene enda mer uttalte. Hundre tilfeldig spredte punkter i et plan vil sannsynligvis definere 4,950 forskjellige parvise avstander. Men hvis du arrangerer 100 punkter i et flatt, firkantet rutenett, vil ethvert punkterpar bli atskilt med en av bare 50 mulige avstander. Løft punktene inn i et tredimensjonalt rutenett, og du kan redusere det antallet ytterligere.

Å svare på spørsmål om antall avstander mellom punkter kan høres ut som en esoterisk øvelse. Men i den flere tiår lange søken etter å løse slike problemer, har matematikere utviklet verktøy som har en lang rekke andre anvendelser, fra tallteori til fysikk.

"Når folk prøvde å løse problemet," sa Pablo Shmerkin fra University of British Columbia, "begynte de å oppdage forbindelser som var overraskende og uventede."

Den siste utviklingen kom sent i fjor, da et samarbeid mellom fire matematikere bevist et nytt forhold mellom geometrien til sett med punkter og avstandene mellom dem.

Listen over forskjellige avstander bestemt av et sett med punkter kalles dens avstandssett; tell hvor mange tall som er i den listen, og du får avstandssettets størrelse. I 1946 antok den produktive matematikeren Paul Erdős at for et stort antall punkter kan avstanden ikke være mindre enn det du får når du ordner punktene i et rutenett. Selv om problemet var enkelt i ansiktet, viste det seg å være ekstremt dypt og vanskelig. Selv i to dimensjoner er det fortsatt ikke fullt ut bevist, men i 2010, to matematikere kom så nærme at det nå anses som effektivt avgjort; den forblir åpen i høyere dimensjoner.

I mellomtiden formulerte matematikere også nye versjoner av formodningen. En av de viktigste av disse oppsto i en 1985 papir by Kenneth Falconer, en matematiker ved University of St. Andrews i Skottland. Falconer lurte på hva som kan sies om de distinkte avstandene mellom et uendelig antall punkter.

Hvis du har uendelig mange poeng, er det ikke lenger nyttig å bare telle. Men matematikere har andre måter å definere størrelse på. Falconers formodning antyder et forhold mellom geometrien til settet med punkter - karakterisert ved et tall kalt fraktaldimensjonen - og størrelsen på avstandssettet, karakterisert av et tall som kalles målet.

Den fraktale dimensjonen stemmer overens med vanlig intuisjon om dimensjoner. Akkurat som med det mer kjente dimensjonsbegrepet, har et linjestykke en fraktal dimensjon på 1, mens en firkant (med indre fylt ut) har en fraktal dimensjon på 2. Men hvis en samling av punkter danner et mer komplisert fraktalt mønster — som en kurve der mikroskopiske vendinger fortsetter å dukke opp uansett hvor langt du zoomer inn - dens fraktale dimensjon er kanskje ikke et helt tall. For eksempel har Koch snøfnuggkurven vist nedenfor, som har en endeløs serie med stadig mindre trekantede ujevnheter, en dimensjon på omtrent 1.26.

Generelt har en uendelig samling av punkter en fraktal dimensjon som omtrent avhenger av hvor spredt den er. Hvis den er spredt rundt planet, vil dens fraktale dimensjon være nær 2. Hvis den ser mer ut som en linje, vil dens fraktale dimensjon være nær 1. De samme typene strukturer kan defineres for sett med punkter i tredimensjonalt rom , eller i enda høyere dimensjoner.

På den andre siden av Falconers formodning er målet for avstanden satt. Mål er en slags matematisk generalisering av begrepet lengde. Et enkelt tall, som kan representeres som et punkt på en talllinje, har nullmål. Men selv uendelige sett kan ha null mål. For eksempel er heltallene så tynt spredt blant de reelle tallene at de ikke har noen kollektiv "lengde", og danner derfor et sett med mål null. På den annen side har de reelle tallene mellom for eksempel 3/4 og 1 mål 1/4, for det er så langt intervallet er.

Målingen gir en måte å karakterisere størrelsen på settet med distinkte avstander blant uendelig mange punkter. Hvis antallet avstander er "lite", betyr det at avstandssettet vil ha mål null: Det er mange dupliserte avstander. Hvis på den annen side avstandssettet har et mål som er større enn null, betyr det at det er mange forskjellige avstander.

I to dimensjoner beviste Falconer at ethvert sett med punkter med fraktal dimensjon større enn 1.5 har en avstand satt med mål som ikke er null. Men matematikere kom raskt til å tro at dette var sant for alle sett med en fraktal dimensjon større enn 1. "Vi prøver å løse dette 1/2 gapet," sa Yumeng Ou fra University of Pennsylvania, en av medforfatterne av det nye papiret. Dessuten strekker Falconers formodning seg inn i tre eller flere dimensjoner: For punkter spredt i en d-dimensjonalt rom, står det at hvis punktenes fraktale dimensjon er mer enn d/2, da må målet på avstanden som er satt være større enn 0.

I 2018 har Ou, sammen med kolleger, viste at formodningen holder i to dimensjoner for alle sett med fraktal dimensjon større enn 5/4. Nå Ou — sammen med Xiumin Du ved Northwestern University, Ruixiang Zhang fra University of California, Berkeley, og Kevin Ren fra Princeton University — har bevist at i høyere dimensjoner er terskelen for å sikre en avstand satt med mål som ikke er null litt mindre enn d/2 + 1/4. "Grensene i høyere dimensjoner, i denne artikkelen, for første gang noensinne, er bedre enn i dimensjon 2," sa Shmerkin. (I to dimensjoner er terskelen nøyaktig d/2 + 1/4.)

Dette siste resultatet er bare én inn en bølge av nyere fremskritt on Falconers formodning. Beviset raffinerte teknikkene i harmonisk analyse - et tilsynelatende fjernt område av matematikk som omhandler å representere vilkårlig kompliserte funksjoner i form av enkle bølger - for å styrke grensen. Men noen av disse teknikkene ble først utviklet for å takle det samme problemet.

Dette spørsmålet om avstander mellom punkter "har fungert som en lekeplass for noen av de største ideene innen harmonisk analyse," sa Alex Iosevich ved University of Rochester.

Selv om de bare har lukket halvparten av gapet som Falconer etterlot seg i hans artikkel fra 1985, ser matematikere den siste bølgen av arbeid som bevis på at hele formodningen endelig kan være innen rekkevidde. I mellomtiden vil de fortsette å bruke problemet som et testområde for sine mest sofistikerte verktøy.