Hvis du vil flislegge et baderomsgulv, er firkantede fliser det enkleste alternativet - de passer sammen uten hull i et rutemønster som kan fortsette i det uendelige. Det firkantede rutenettet har en egenskap som deles av mange andre flislegginger: Forskyv hele rutenettet med en fast mengde, og det resulterende mønsteret kan ikke skilles fra originalen. Men for mange matematikere er slike "periodiske" fliser kjedelige. Hvis du har sett en liten lapp, har du sett alt.

På 1960-tallet begynte matematikere å studere "aperiodiske" flissett med langt rikere oppførsel. Den kanskje mest kjente er et par diamantformede fliser oppdaget på 1970-tallet av den polymatiske fysikeren og fremtidige nobelprisvinner Roger Penrose. Kopier av disse to flisene kan danne uendelig mange forskjellige mønstre som fortsetter for alltid, kalt Penrose-flislegging. Men uansett hvordan du arrangerer flisene, vil du aldri få et periodisk gjentatt mønster.

"Dette er fliser som egentlig ikke burde eksistere," sa Nikolas Breuckmann, fysiker ved University of Bristol.

I over et halvt århundre har aperiodiske flislegginger fascinert matematikere, hobbyfolk og forskere på mange andre felt. Nå har to fysikere oppdaget en sammenheng mellom aperiodiske fliser og en tilsynelatende ubeslektet gren av informatikk: studiet av hvordan fremtidige kvantedatamaskiner kan kode informasjon til beskytte den mot feil. I en papir publisert på preprint-serveren arxiv.org i november, viste forskerne hvordan man kan transformere Penrose-flislegging til en helt ny type kvantefeilkorrigerende kode. De konstruerte også lignende koder basert på to andre typer aperiodisk flislegging.

I hjertet av korrespondansen er en enkel observasjon: I både aperiodiske flislegginger og kvantefeilkorrigerende koder avslører det ingenting om systemet som helhet å lære om en liten del av et stort system.

"Det er en av de vakre tingene som virker åpenbare i ettertid," sa Toby Cubitt, en kvanteinformasjonsforsker ved University College London. «Du tenker: 'Hvorfor tenkte jeg ikke på det?'»

Forbudt kunnskap

Vanlige datamaskiner representerer informasjon ved hjelp av biter med to distinkte tilstander, merket 0 og 1. Kvantebiter, eller qubits, har likeledes to tilstander, men de kan også lokkes til såkalte superposisjoner der deres 0- og 1-tilstander eksisterer side om side. Ved å utnytte mer forseggjorte superposisjoner som involverer mange qubits, kvante datamaskiner kan utføre visse beregninger mye raskere enn noen konvensjonell maskin.

Likevel er kvantesuperposisjoner skitne skapninger. Mål en qubit i en superposisjonstilstand, og den vil kollapse til enten 0 eller 1, og sletter all pågående beregning. For å gjøre vondt verre, kan feil som stammer fra svake interaksjoner mellom qubits og deres miljø etterligne de destruktive effektene av måling. Alt som gnider en qubit feil vei, enten det er en nysgjerrig forsker eller et bortkommen foton, kan ødelegge beregningen.

Denne ekstreme skjørheten kan få kvantedatabehandling til å høres håpløs ut. Men i 1995, den anvendte matematikeren Peter Shor oppdaget en smart måte å lagre kvanteinformasjon på. Kodingen hans hadde to nøkkelegenskaper. For det første kunne den tolerere feil som bare påvirket individuelle qubits. For det andre fulgte den med en prosedyre for å korrigere feil etter hvert som de oppstod, og forhindret dem i å hope seg opp og avspore en beregning. Shors oppdagelse var det første eksemplet på en kvantefeilkorrigerende kode, og dens to nøkkelegenskaper er de definerende egenskapene til alle slike koder.

Den første egenskapen stammer fra et enkelt prinsipp: Hemmelig informasjon er mindre sårbar når den deles opp. Spionnettverk bruker en lignende strategi. Hver spion vet svært lite om nettverket som helhet, så organisasjonen forblir trygg selv om noen blir tatt til fange. Men kvantefeilkorrigerende koder tar denne logikken til det ekstreme. I et kvantespionnettverk ville ingen enkelt spion vite noe i det hele tatt, men sammen ville de vite mye.

Hver kvantefeilkorrigerende kode er en spesifikk oppskrift for å distribuere kvanteinformasjon over mange qubits i en kollektiv superposisjonstilstand. Denne prosedyren transformerer effektivt en klynge av fysiske qubits til en enkelt virtuell qubit. Gjenta prosessen mange ganger med et stort utvalg av qubits, og du vil få mange virtuelle qubits som du kan bruke til å utføre beregninger.

De fysiske qubitene som utgjør hver virtuelle qubit er som de uvitende kvantespionene. Mål noen av dem, og du vil ikke lære noe om tilstanden til den virtuelle qubiten den er en del av - en egenskap som kalles lokal utskillelighet. Siden hver fysisk qubit ikke koder for informasjon, vil ikke feil i enkelt qubit ødelegge en beregning. Informasjonen som betyr noe er på en eller annen måte overalt, men ingen steder spesielt.

"Du kan ikke feste det til noen individuelle qubit," sa Cubitt.

Alle kvantefeilkorrigerende koder kan absorbere minst én feil uten noen effekt på den kodede informasjonen, men de vil til slutt bukke under ettersom feil akkumuleres. Det er her den andre egenskapen til kvantefeilkorrigerende koder starter - selve feilkorrigeringen. Dette er nært knyttet til lokal umulighet: Fordi feil i individuelle qubits ikke ødelegger noen informasjon, er det alltid mulig å reversere enhver feil ved å bruke etablerte prosedyrer som er spesifikke for hver kode.

Tatt for en tur

Zhi Li, en postdoktor ved Perimeter Institute for Theoretical Physics i Waterloo, Canada, var godt kjent med teorien om kvantefeilkorreksjon. Men temaet var langt fra tankene hans da han slo av en prat med sin kollega Latham Boyle. Det var høsten 2022, og de to fysikerne var på en kveldsbuss fra Waterloo til Toronto. Boyle, en ekspert på aperiodisk flislegging som bodde i Toronto på den tiden og nå er ved University of Edinburgh, var et kjent ansikt på disse skyttelturene, som ofte ble sittende fast i tett trafikk.

"Vanligvis kan de være veldig elendige," sa Boyle. "Dette var som den største gjennom tidene."

Før den skjebnesvangre kvelden visste Li og Boyle om hverandres arbeid, men forskningsområdene deres overlappet ikke direkte, og de hadde aldri hatt en en-til-en-samtale. Men i likhet med utallige forskere innen ikke-relaterte felt, var Li nysgjerrig på aperiodiske fliser. "Det er veldig vanskelig å ikke være interessert," sa han.

Interessen ble til fascinasjon da Boyle nevnte en spesiell egenskap ved aperiodisk flislegging: lokal utskillelighet. I den sammenheng betyr begrepet noe annet. Det samme settet med fliser kan danne uendelig mange fliser som ser helt forskjellige ut totalt sett, men det er umulig å skille to fliser fra hverandre ved å undersøke et hvilket som helst lokalområde. Det er fordi hver endelige lapp av enhver flislegging, uansett hvor stor, vil dukke opp et sted i annenhver flislegging.

"Hvis jeg pletter deg ned i den ene eller den andre flisleggingen og gir deg resten av livet ditt å utforske, vil du aldri kunne finne ut om jeg legger deg ned i flisleggingen din eller flisleggingen min," sa Boyle.

For Li virket dette fristende likt definisjonen av lokal umulig å skille mellom kvantefeilkorreksjon. Han nevnte forbindelsen til Boyle, som umiddelbart ble forvirret. Den underliggende matematikken i de to sakene var ganske forskjellig, men likheten var for spennende til å avvise.

Li og Boyle lurte på om de kunne trekke en mer presis sammenheng mellom de to definisjonene av lokal utskillelighet ved å bygge en kvantefeilkorrigerende kode basert på en klasse av aperiodiske fliser. De fortsatte å snakke gjennom hele den to timer lange skyttelturen, og da de ankom Toronto var de sikre på at en slik kode var mulig - det var bare et spørsmål om å konstruere et formelt bevis.

Kvantefliser

Li og Boyle bestemte seg for å begynne med Penrose fliser, som var enkle og kjente. For å transformere dem til en kvantefeilkorrigerende kode, må de først definere hvordan kvantetilstander og feil vil se ut i dette uvanlige systemet. Den delen var lett. Et uendelig todimensjonalt plan dekket med Penrose-fliser, som et rutenett av qubits, kan beskrives ved hjelp av det matematiske rammeverket til kvantefysikk: Kvantetilstandene er spesifikke fliser i stedet for 0-er og 1-er. En feil sletter ganske enkelt en enkelt oppdatering av flisemønsteret, slik visse feil i qubit-matriser sletter tilstanden til hver qubit i en liten klynge.

Det neste trinnet var å identifisere flisekonfigurasjoner som ikke ville bli påvirket av lokaliserte feil, som de virtuelle qubit-tilstandene i vanlige kvantefeilkorrigerende koder. Løsningen, som i en vanlig kode, var å bruke superposisjoner. En nøye valgt superposisjon av Penrose-fliser er beslektet med et baderomsfliserarrangement foreslått av verdens mest ubesluttsomme interiørarkitekt. Selv om en del av den rotete planen mangler, vil den ikke forråde noen informasjon om den generelle planløsningen.

For denne tilnærmingen til arbeidet måtte Li og Boyle først skille mellom to kvalitativt forskjellige forhold mellom distinkte Penrose-fliser. Gitt en hvilken som helst flislegging, kan du generere et uendelig antall nye flislegginger ved å flytte den i hvilken som helst retning eller rotere den. Settet med alle flislegginger generert på denne måten kalles en ekvivalensklasse.

Men ikke alle Penrose-fliser faller inn i samme ekvivalensklasse. En flislegging i en ekvivalensklasse kan ikke transformeres til en flislegging i en annen klasse gjennom noen kombinasjon av rotasjoner og translasjoner - de to uendelige mønstrene er kvalitativt forskjellige, men likevel lokalt umulige å skille.

Med denne forskjellen på plass, kunne Li og Boyle endelig konstruere en feilkorrigerende kode. Husk at i en vanlig kvantefeilkorrigerende kode er en virtuell qubit kodet i superposisjoner av fysiske qubits. I deres flisbaserte kode er de analoge tilstandene superposisjoner av alle flislegginger innenfor en enkelt ekvivalensklasse. Hvis flyet er flislagt med denne typen superposisjon, er det en prosedyre for å fylle ut hull uten å avsløre noen informasjon om den generelle kvantetilstanden.

"Penrose-flisene visste på en eller annen måte om kvantefeilkorreksjon før oppfinnelsen av kvantedatamaskinen," sa Boyle.

Li og Boyles intuisjon på bussturen hadde vært riktig. På et dypt nivå var de to definisjonene av lokal umulighet i seg selv umulig å skille.

Finne mønsteret

Selv om den er matematisk godt definert, var Li og Boyles nye kode knapt praktisk. Kantene på fliser i Penrose-fliser faller ikke med jevne mellomrom, så å spesifisere deres fordeling krever kontinuerlige reelle tall i stedet for diskrete heltall. Kvantedatamaskiner, derimot, bruker vanligvis diskrete systemer som rutenett av qubits. Enda verre, Penrose-fliser er bare lokalt umulig å skille på et uendelig plan, som ikke oversettes godt til den endelige virkelige verden.

"Det er en veldig merkelig forbindelse," sa Barbara Terhal, en kvantedataforsker ved Delft University of Technology. "Men det er også bra å bringe det ned på jorden."

Li og Boyle har allerede tatt et skritt i den retningen, ved å konstruere to andre flisbaserte koder der det underliggende kvantesystemet er endelig i det ene tilfellet og diskret i det andre. Den diskrete koden kan også gjøres endelig, men andre utfordringer gjenstår. Begge endelige kodene kan bare korrigere feil som er gruppert sammen, mens de mest populære kvantefeilkorrigerende kodene kan håndtere tilfeldig distribuerte feil. Det er ennå ikke klart om dette er en iboende begrensning av flisbaserte koder eller om det kan omgås med en smartere design.

"Det er mye oppfølgingsarbeid som kan gjøres," sa Felix Flicker, fysiker ved University of Bristol. "Alle gode papirer burde gjøre det."

Det er ikke bare de tekniske detaljene som må forstås bedre – den nye oppdagelsen reiser også mer grunnleggende spørsmål. Et åpenbart neste trinn er å finne ut hvilke andre fliser som også fungerer som koder. Bare i fjor oppdaget matematikere en familie av aperiodiske fliser at hver bare bruker en enkelt flis. "Det ville være fascinerende å se hvordan denne siste utviklingen kanskje kan kobles til problemet med kvantefeilkorrigering," skrev Penrose i en e-post.

En annen retning innebærer å utforske sammenhenger mellom kvantefeilkorrigerende koder og visse modeller for kvantegravitasjon. I en 2020 papir, Boyle, Flicker og avdøde Madeline Dickens viste at aperiodiske fliser vises i rom-tidsgeometrien til disse modellene. Men den forbindelsen stammet fra en egenskap ved flisleggingen som ikke spiller noen rolle i Li og Boyles arbeid. Det ser ut til at kvantetyngdekraft, kvantefeilkorreksjon og aperiodiske fliser er forskjellige brikker i et puslespill hvis konturer forskerne akkurat begynner å forstå. Som med aperiodiske fliser selv, kan det være bemerkelsesverdig subtilt å finne ut hvordan disse delene passer sammen.

"Det er dype røtter som forbinder disse forskjellige tingene," sa Flicker. "Dette fristende settet med forbindelser ber om å bli utarbeidet."