Zephyrnet-logo

Wiskundigen bewijzen dat smeltend ijs glad blijft

Datum:

Laat een ijsblokje in een glas water vallen. Je kunt je waarschijnlijk voorstellen hoe het begint te smelten. Je weet ook dat het niet uitmaakt welke vorm het aanneemt, je zult het nooit zien smelten tot zoiets als een sneeuwvlok, overal samengesteld uit scherpe randen en fijne knobbels.

Wiskundigen modelleren dit smeltproces met vergelijkingen. De vergelijkingen werken goed, maar het heeft 130 jaar geduurd om te bewijzen dat ze overeenkomen met voor de hand liggende feiten over de werkelijkheid. Nu, in een krant geplaatst in maart, Alessio Figalli en Joaquim Serra van het Zwitserse Federale Instituut voor Technologie Zürich en Xavier Ros-Oton van de Universiteit van Barcelona hebben vastgesteld dat de vergelijkingen echt kloppen met intuïtie. Sneeuwvlokken in het model zijn misschien niet onmogelijk, maar ze zijn uiterst zeldzaam en volledig vluchtig.

"Deze resultaten openen een nieuw perspectief op het veld", zei Maria Colombo van het Zwitserse Federale Instituut voor Technologie Lausanne. "Er was niet eerder zo'n diep en nauwkeurig begrip van dit fenomeen."

De vraag hoe ijs in water smelt, wordt het Stefan-probleem genoemd, genoemd naar de natuurkundige Josef Stefan, die gesteld het in 1889. Het is het belangrijkste voorbeeld van een 'vrije grens'-probleem, waarbij wiskundigen overwegen hoe een proces als de diffusie van warmte een grens doet bewegen. In dit geval is de grens tussen ijs en water.

Gedurende vele jaren hebben wiskundigen geprobeerd de gecompliceerde modellen van deze evoluerende grenzen te begrijpen. Om vooruitgang te boeken, haalt het nieuwe werk inspiratie uit eerdere studies over een ander soort fysiek systeem: zeepfilms. Het bouwt erop voort om te bewijzen dat langs de veranderende grens tussen ijs en water zich zelden scherpe vlekken zoals knobbels of randen vormen, en zelfs als ze dat doen, verdwijnen ze onmiddellijk.

Deze scherpe punten worden singulariteiten genoemd, en het blijkt dat ze even vluchtig zijn in de vrije grenzen van de wiskunde als in de fysieke wereld.

Smeltende zandlopers

Overweeg nogmaals een ijsblokje in een glas water. De twee stoffen zijn gemaakt van dezelfde watermoleculen, maar het water bevindt zich in twee verschillende fasen: vast en vloeibaar. Er is een grens waar de twee fasen elkaar ontmoeten. Maar als de warmte van het water in het ijs wordt overgedragen, smelt het ijs en verschuift de grens. Uiteindelijk verdwijnt het ijs - en de grens daarmee -.

Intuïtie zou ons kunnen vertellen dat deze smeltende grens altijd glad blijft. Je snijdt je immers niet aan scherpe randen als je een stuk ijs uit een glas water trekt. Maar met een beetje fantasie zijn scenario's gemakkelijk te bedenken waarin scherpe plekken ontstaan.

Neem een ​​stuk ijs in de vorm van een zandloper en dompel het onder. Terwijl het ijs smelt, wordt de taille van de zandloper dunner en dunner totdat de vloeistof helemaal door eet. Op het moment dat dit gebeurt, wordt wat ooit een gladde taille was, twee puntige knobbels of singulariteiten.

"Dit is een van die problemen die van nature singulariteiten vertoont", zei Giuseppe Mingione van de Universiteit van Parma. “Het is de fysieke realiteit die je dat vertelt.

Maar de realiteit vertelt ons ook dat de singulariteiten worden gecontroleerd. We weten dat knobbels niet lang moeten duren, omdat het warme water ze snel zou moeten doen smelten. Misschien als je begint met een enorm ijsblok dat volledig uit zandlopers is opgebouwd, zou er zich een sneeuwvlok kunnen vormen. Maar het zou nog steeds niet langer dan een oogwenk duren.

In 1889 onderwierp Stefan het probleem aan wiskundig onderzoek, waarbij hij twee vergelijkingen formuleerde die smeltend ijs beschrijven. Eén beschrijft de diffusie van warmte van het warme water naar het koele ijs, waardoor het ijs krimpt en het watergebied uitzet. Een tweede vergelijking volgt het veranderende grensvlak tussen ijs en water naarmate het smeltproces vordert. (In feite kunnen de vergelijkingen ook de situatie beschrijven waarin het ijs zo koud is dat het ervoor zorgt dat het omringende water bevriest - maar in het huidige werk negeren de onderzoekers die mogelijkheid.)

"Het belangrijkste is om te begrijpen waar de twee fasen besluiten om van de ene naar de andere over te schakelen", zei Colombo.

Het duurde bijna 100 jaar voordat wiskundigen in de jaren zeventig bewezen dat deze vergelijkingen een solide basis hebben. Gegeven enkele startvoorwaarden - een beschrijving van de begintemperatuur van het water en de beginvorm van het ijs - is het mogelijk om het model voor onbepaalde tijd uit te voeren om precies te beschrijven hoe de temperatuur (of een nauw verwante hoeveelheid die de cumulatieve temperatuur wordt genoemd) in de loop van de tijd verandert.

Maar ze vonden niets dat het model ervan weerhield om tot scenario's te komen die onwaarschijnlijk raar zijn. De vergelijkingen kunnen bijvoorbeeld een ijs-watergrens beschrijven die zich vormt in een bos van knobbels, of een scherpe sneeuwvlok die volkomen stil blijft staan. Met andere woorden, ze konden de mogelijkheid niet uitsluiten dat het model onzin zou produceren. Het Stefan-probleem werd een probleem om aan te tonen dat de singulariteiten in deze situaties eigenlijk goed onder controle zijn.

Anders zou het betekenen dat het ijssmeltmodel een spectaculaire mislukking was - een die generaties wiskundigen voor de gek had gehouden door te geloven dat het meer solide was dan het is.

Zeepachtige inspiratie

In het decennium voordat wiskundigen de vergelijkingen voor het smelten van ijs begonnen te begrijpen, boekten ze enorme vooruitgang in de wiskunde van zeepfilms.

Als je twee draadringen in een zeepoplossing dompelt en ze vervolgens van elkaar scheidt, vormt zich er een zeepfilm tussen. Oppervlaktespanning zal de film zo strak mogelijk trekken, waardoor deze een vorm krijgt die een catenoïde wordt genoemd - een soort ingestorte cilinder. Deze vorm wordt gevormd omdat hij de twee ringen met de minste oppervlakte overbrugt, waardoor het een voorbeeld is van wat wiskundigen een minimale oppervlakte.

Zeepfilms worden gemodelleerd door hun eigen unieke reeks vergelijkingen. Tegen de jaren zestig hadden wiskundigen vooruitgang geboekt in het begrijpen ervan, maar ze wisten niet hoe raar hun oplossingen konden zijn. Net als bij het Stefan-probleem kunnen de oplossingen onaanvaardbaar vreemd zijn, waarbij zeepfilms worden beschreven met talloze singulariteiten die in niets lijken op de gladde films die we verwachten.

In 1961 en 1962 bedachten Ennio De Giorgi, Wendell Fleming en anderen een elegant proces om te bepalen of de situatie met singulariteiten zo erg was als gevreesd.

Stel dat je een oplossing hebt voor de zeepfilmvergelijkingen die de vorm van de film tussen twee grensvlakken beschrijft, zoals de set van twee ringen. Focus op een willekeurig punt op het filmoppervlak. Hoe ziet de geometrie in de buurt van dit punt eruit? Voordat we er iets van weten, kan het elke denkbare functie hebben - van een scherpe cusp tot een gladde heuvel. Wiskundigen bedachten een methode om op het punt in te zoomen, alsof ze een microscoop hadden met oneindige kracht. Ze bewezen dat als je inzoomt, je alleen maar een plat vlak ziet.

"Altijd. Dat is het', zei Ros-Oton.

Deze vlakheid impliceerde dat de geometrie nabij dat punt niet singulier kon zijn. Als het punt zich op een cusp zou bevinden, zouden wiskundigen iets meer als een wig zien, niet als een vlak. En aangezien ze het punt willekeurig kozen, konden ze concluderen dat alle punten op de film eruit moeten zien als een glad vlak als je ze van dichtbij bekijkt. Hun werk stelde vast dat de hele film glad moest zijn - niet geplaagd door singulariteiten.

Wiskundigen wilden dezelfde methoden gebruiken om het Stefan-probleem op te lossen, maar ze realiseerden zich al snel dat het met ijs niet zo eenvoudig was. In tegenstelling tot zeepfilms, die er altijd glad uitzien, vertoont smeltend ijs echt singulariteiten. En terwijl een zeepfilm blijft zitten, is de grens tussen ijs en water altijd in beweging. Dit vormde een extra uitdaging die een andere wiskundige later zou aanpakken.

Van films tot ijs

In 1977 vond Luis Caffarelli een wiskundig vergrootglas opnieuw uit voor het Stefan-probleem. In plaats van in te zoomen op een zeepfilm, bedacht hij hoe hij kon inzoomen op de grens tussen ijs en water.

"Dit was zijn grote intuïtie", zei Mingione. "Hij was in staat om deze methoden van de minimale oppervlaktetheorie van de Giorgi naar deze meer algemene setting te transporteren."

Toen wiskundigen inzoomden op oplossingen voor de zeepfilmvergelijkingen, zagen ze alleen maar vlakheid. Maar toen Caffarelli inzoomde op de bevroren grens tussen ijs en water, zag hij soms iets heel anders: bevroren plekken bijna volledig omringd door warmer water. Deze punten kwamen overeen met ijzige knobbels - singulariteiten - die vastlopen door het terugtrekken van de smeltende grens.

Caffarelli bewees dat er singulariteiten bestaan ​​in de wiskunde van smeltend ijs. Hij bedacht ook een manier om te schatten hoeveel het er zijn. Op de exacte plek van een ijzige singulariteit is de temperatuur altijd nul graden Celsius, omdat de singulariteit uit ijs bestaat. Dat is een simpel feit. Maar opmerkelijk genoeg ontdekte Caffarelli dat als je weggaat van de singulariteit, de temperatuur in een duidelijk patroon toeneemt: als je één eenheid verder weg van een singulariteit en in het water beweegt, stijgt de temperatuur met ongeveer één temperatuureenheid. Als u twee eenheden verder verplaatst, stijgt de temperatuur met ongeveer vier.

Dit wordt een parabolische relatie genoemd, want als je de temperatuur tekent als functie van de afstand, krijg je ongeveer de vorm van een parabool. Maar omdat de ruimte driedimensionaal is, kun je de temperatuur in drie verschillende richtingen tekenen die van de singulariteit af leiden, niet slechts één. De temperatuur lijkt daarom op een driedimensionale parabool, een vorm die een paraboloïde wordt genoemd.

Al met al bood Caffarelli's inzicht een duidelijke manier om singulariteiten langs de ijswatergrens te bepalen. Singulariteiten worden gedefinieerd als punten waar de temperatuur nul graden Celsius is en paraboloïden beschrijven de temperatuur op en rond de singulariteit. Daarom heb je overal waar de paraboloïde gelijk is aan nul een singulariteit.

Dus hoeveel plaatsen zijn er waar een paraboloïde gelijk kan zijn aan nul? Stel je een paraboloïde voor die bestaat uit een reeks parabolen die naast elkaar zijn gestapeld. Paraboloïden zoals deze kunnen een minimale waarde aannemen - een waarde van nul - langs een hele lijn. Dit betekent dat elk van de singulariteiten die Caffarelli heeft waargenomen, de grootte van een lijn kan hebben, een oneindig dunne ijsrand, in plaats van slechts een enkel ijspunt. En aangezien veel lijnen kunnen worden samengevoegd om een ​​oppervlak te vormen, liet zijn werk de mogelijkheid open dat een reeks singulariteiten het hele grensoppervlak zou kunnen vullen. Als dit waar was, zou dat betekenen dat de singulariteiten in het Stefan-probleem volledig uit de hand liepen.

“Het zou een ramp zijn voor het model. Complete chaos', zei Figalli, die... won de Fields-medaille, de hoogste eer van wiskunde, in 2018.

Het resultaat van Caffarelli was echter slechts een worstcasescenario. Het stelde de maximale grootte van de potentiële singulariteiten vast, maar zei niets over hoe vaak singulariteiten daadwerkelijk voorkomen in de vergelijkingen, of hoe lang ze duren. In 2019 hadden Figalli, Ros-Oton en Serra een opmerkelijke manier bedacht om meer te weten te komen.

Onvolmaakte patronen

Om het Stefan-probleem op te lossen, moesten Figalli, Ros-Oton en Serra bewijzen dat singulariteiten die in de vergelijkingen voorkomen, worden gecontroleerd: het zijn er niet veel en ze duren niet lang. Om dat te doen, hadden ze een uitgebreid begrip nodig van alle verschillende soorten singulariteiten die zich mogelijk zouden kunnen vormen.

Caffarelli had vooruitgang geboekt bij het begrijpen hoe singulariteiten zich ontwikkelen als ijs smelt, maar er was een kenmerk van het proces waarvan hij niet wist hoe hij het moest aanpakken. Hij erkende dat de watertemperatuur rond een singulariteit een paraboloïde patroon volgt. Hij erkende ook dat het dit patroon niet precies volgt - er is een kleine afwijking tussen een perfecte paraboloïde en de werkelijke manier waarop de watertemperatuur eruitziet.

Figalli, Ros-Oton en Serra verschoven de microscoop naar deze afwijking van het paraboloïde patroon. Toen ze inzoomden op deze kleine imperfectie - een fluistering van koelte die van de grens zwaaide - ontdekten ze dat het zijn eigen soorten patronen had die aanleiding gaven tot verschillende soorten singulariteiten.

"Ze gaan verder dan de parabolische schaling," zei Sandro Salsa van de Polytechnische Universiteit van Milaan. “Wat geweldig is.”

Ze waren in staat om aan te tonen dat al deze nieuwe soorten singulariteiten snel verdwenen - net als in de natuur - behalve twee die bijzonder raadselachtig waren. Hun laatste uitdaging was om te bewijzen dat deze twee soorten ook verdwijnen zodra ze verschijnen, waardoor de mogelijkheid wordt uitgesloten dat zoiets als een sneeuwvlok kan blijven bestaan.

verdwijnende cusps

Het eerste type singulariteit was al eerder naar voren gekomen, in 2000. Een wiskundige genaamd Frederick Almgren had het onderzocht in een intimiderend artikel van 1,000 pagina's over zeepfilms, dat alleen werd gepubliceerd door zijn vrouw, Jean Taylor - een andere expert op het gebied van zeepfilms - nadat hij is gestorven.

Terwijl wiskundigen hadden aangetoond dat zeepfilms altijd glad zijn in drie dimensies, bewees Almgren dat in vier dimensies een nieuw soort 'vertakkende' singulariteit kan verschijnen, waardoor de zeepfilms op vreemde manieren scherp worden. Deze singulariteiten zijn diep abstract en onmogelijk om netjes te visualiseren. Maar Figalli, Ros-Oton en Serra realiseerden zich dat zeer vergelijkbare singulariteiten zich vormen langs de smeltende grens tussen ijs en water.

"De connectie is een beetje mysterieus," zei Serra. "Soms in de wiskunde ontwikkelen dingen zich op onverwachte manieren."

Ze gebruikten het werk van Almgren om aan te tonen dat het ijs rond een van deze vertakkende singulariteiten een kegelvormig patroon moet hebben dat er hetzelfde uitziet als je blijft inzoomen. En in tegenstelling tot het paraboloïde patroon voor de temperatuur, wat impliceert dat er een singulariteit zou kunnen bestaan ​​langs een hele lijn , kan een conisch patroon slechts op één punt een scherpe singulariteit hebben. Met behulp van dit feit toonden ze aan dat deze singulariteiten geïsoleerd zijn in ruimte en tijd. Zodra ze zich vormen, zijn ze weg.

De tweede soort singulariteit was nog mysterieuzer. Om er een idee van te krijgen, stel je voor dat je een dunne laag ijs in water onderdompelt. Het zal krimpen en krimpen en plotseling verdwijnen in één keer. Maar vlak voor dat moment zal het een bladachtige singulariteit vormen, een tweedimensionale muur zo scherp als een scheermes.

Op bepaalde punten slaagden de onderzoekers erin om in te zoomen om een ​​analoog scenario te vinden: twee ijsfronten die naar het punt toe instortten alsof het zich in een dunne ijslaag bevond. Deze punten waren niet bepaald singulariteiten, maar locaties waar zich een singulariteit zou gaan vormen. De vraag was of de twee fronten bij deze punten tegelijkertijd instortten. Als dat zou gebeuren, zou zich slechts één perfect moment een bladachtige singulariteit vormen voordat deze verdween. Uiteindelijk bewezen ze dat dit in feite is hoe het scenario zich afspeelt in de vergelijkingen.

"Dit bevestigt op de een of andere manier de intuïtie", zei Daniela de Silva van het Barnardcollege.

Nadat ze hadden aangetoond dat de exotische vertakkingen en bladachtige singulariteiten beide zeldzaam waren, konden de onderzoekers de algemene uitspraak doen dat alle singulariteiten voor het Stefan-probleem zeldzaam zijn.

"Als je willekeurig een tijd kiest, is de kans op het zien van een enkelvoudig punt nul", zei Ros-Oton.

De wiskundigen zeggen dat de technische details van het werk tijd nodig hebben om te verwerken. Maar ze zijn ervan overtuigd dat de resultaten de basis zullen leggen voor vooruitgang op tal van andere problemen. Het Stefan-probleem is een fundamenteel voorbeeld voor een heel deelgebied van de wiskunde waar grenzen verschuiven. Maar wat betreft het Stefan-probleem zelf, en de wiskunde van hoe ijsblokjes in water smelten?

'Dit is gesloten,' zei Salsa.

PlatoAi. Web3 opnieuw uitgevonden. Gegevensintelligentie versterkt.

Klik hier om toegang te krijgen.

Bron: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

spot_img

Laatste intelligentie

spot_img