Als het gaat om het begrijpen van de vorm van bellenclusters, hebben wiskundigen al millennia een inhaalslag gemaakt voor onze fysieke intuïties. Zeepbelclusters in de natuur lijken vaak onmiddellijk in de toestand met de laagste energie te springen, degene die het totale oppervlak van hun muren minimaliseert (inclusief de muren tussen bellen). Maar controleren of zeepbellen deze taak goed uitvoeren - of gewoon voorspellen hoe grote bellenclusters eruit moeten zien - is een van de moeilijkste problemen in de meetkunde. Het kostte wiskundigen tot het einde van de 19e eeuw om te bewijzen dat de bol de beste enkele luchtbel is, hoewel de Griekse wiskundige Zenodorus dit meer dan 2,000 jaar eerder had beweerd.

Het bellenprobleem is eenvoudig genoeg om te stellen: je begint met een lijst met getallen voor de volumes en vraagt ​​dan hoe je die luchtvolumes afzonderlijk kunt omsluiten met de minste oppervlakte. Maar om dit probleem op te lossen, moeten wiskundigen een breed scala aan verschillende mogelijke vormen voor de bellenwanden overwegen. En als de opdracht is om bijvoorbeeld vijf volumes in te sluiten, hebben we niet eens de luxe om onze aandacht te beperken tot clusters van vijf bubbels - misschien is de beste manier om het oppervlak te minimaliseren door een van de volumes over meerdere bubbels te verdelen.

Zelfs in de eenvoudigere setting van het tweedimensionale vlak (waar je een verzameling gebieden probeert te omsluiten terwijl je de omtrek minimaliseert), weet niemand de beste manier om, laten we zeggen, negen of tien gebieden te omsluiten. Naarmate het aantal bubbels groeit, "kun je niet eens echt een aannemelijk vermoeden krijgen", zei Emanuel Milman van de Technion in Haifa, Israël.

Maar meer dan een kwart eeuw geleden, John Sullivan, nu van de Technische Universiteit van Berlijn, realiseerde zich dat er in bepaalde gevallen een leidende gissing te hebben. Bellenproblemen zijn logisch in elke dimensie, en Sullivan ontdekte dat zolang het aantal volumes dat je probeert in te sluiten maximaal één groter is dan de dimensie, er een bepaalde manier is om de volumes te omsluiten, dat wil zeggen, in zekere zin, mooier dan alle andere - een soort schaduw van een perfect symmetrische bellencluster op een bol. Deze schaduwcluster, zo vermoedde hij, zou degene moeten zijn die het oppervlak minimaliseert.

In het decennium dat volgde, schreven wiskundigen een reeks baanbrekende artikelen die Sullivan's vermoeden bewezen als je slechts twee delen probeert in te sluiten. Hier is de oplossing de bekende dubbele bel die je misschien op een zonnige dag in het park hebt geblazen, gemaakt van twee bolvormige stukken met een platte of bolvormige wand ertussen (afhankelijk van of de twee bellen hetzelfde of verschillende volumes hebben).

Maar de wiskundige bewijst Sullivan's vermoeden voor drie delen Frank Morgan van Williams College speculeerde in 2007, "zou wel nog eens honderd jaar kunnen duren."

Nu zijn wiskundigen dat lange wachten bespaard gebleven - en hebben ze veel meer gekregen dan alleen een oplossing voor het triple bubble-probleem. In een papier online geplaatst in mei, Milman en Joe Neeman, van de Universiteit van Texas, Austin, hebben Sullivan's vermoeden bewezen voor drievoudige bubbels in dimensies drie en hoger en viervoudige bubbels in dimensies vier en hoger, met een vervolgdocument over vijfvoudige bubbels in dimensies vijf en hoger in de maak.

En als het gaat om zes of meer bubbels, hebben Milman en Neeman aangetoond dat de beste cluster veel van de belangrijkste kenmerken van Sullivans kandidaat moet hebben, waardoor wiskundigen mogelijk op weg zijn om het vermoeden ook voor deze gevallen te bewijzen. "Mijn indruk is dat ze de essentiële structuur achter het vermoeden van Sullivan hebben begrepen," zei Francesco Maggi van de Universiteit van Texas, Austin.

De centrale stelling van Milman en Neeman is 'monumentaal', schreef Morgan in een e-mail. "Het is een briljante prestatie met veel nieuwe ideeën."

Schaduw Bubbels

Onze ervaringen met echte zeepbellen bieden verleidelijke intuïties over hoe optimale bellenclusters eruit zouden moeten zien, tenminste als het gaat om kleine clusters. De drie- of viervoudige bellen die we door zeepachtige staven blazen, lijken bolvormige wanden te hebben (en soms platte) en hebben de neiging om strakke klonten te vormen in plaats van, laten we zeggen, een lange keten van bellen.

Maar het is niet zo eenvoudig om te bewijzen dat dit echt de kenmerken zijn van optimale bellenclusters. Wiskundigen weten bijvoorbeeld niet of de muren in een minimaliserende bellencluster altijd bolvormig of vlak zijn - ze weten alleen dat de muren "constante gemiddelde kromming" hebben, wat betekent dat de gemiddelde kromming van het ene punt naar het andere hetzelfde blijft. Bollen en platte oppervlakken hebben deze eigenschap, maar dat geldt ook voor veel andere oppervlakken, zoals cilinders en golvende vormen die unduloïden worden genoemd. Oppervlakken met een constante gemiddelde kromming zijn "een complete dierentuin", zei Milman.

Maar in de jaren negentig erkende Sullivan dat wanneer het aantal volumes dat u wilt omsluiten hoogstens één groter is dan de dimensie, er een kandidaatcluster is die de rest lijkt te overtreffen - één (en slechts één) cluster met de kenmerken die we meestal gebruiken te zien in kleine clusters van echte zeepbellen.

Laten we, om een ​​idee te krijgen van hoe zo'n kandidaat is gebouwd, de benadering van Sullivan gebruiken om een ​​cluster met drie bellen in het platte vlak te creëren (zodat onze "bellen" gebieden in het vlak zullen zijn in plaats van driedimensionale objecten). We beginnen met het kiezen van vier punten op een bol die allemaal even ver van elkaar verwijderd zijn. Stel je nu voor dat elk van deze vier punten het centrum is van een kleine bel, die alleen op het oppervlak van de bol leeft (zodat elke bel een kleine schijf is). Blaas de vier bubbels op de bol op totdat ze tegen elkaar beginnen te botsen en blijf opblazen totdat ze samen het hele oppervlak vullen. We eindigen met een symmetrische cluster van vier bubbels waardoor de bol eruitziet als een opgeblazen tetraëder.

Vervolgens plaatsen we deze bol bovenop een oneindig plat vlak, alsof de bol een bal is die op een eindeloze vloer rust. Stel je voor dat de bal transparant is en dat er een lantaarn op de noordpool staat. De wanden van de vier bubbels projecteren schaduwen op de vloer en vormen daar de wanden van een bubbelcluster. Van de vier bellen op de bol, zullen er drie naar beneden projecteren als schaduwbellen op de vloer; de vierde bel (die de noordpool bevat) zal naar beneden uitsteken naar de oneindige uitgestrektheid van de vloer buiten de cluster van drie schaduwbellen.

De specifieke cluster met drie bellen die we krijgen, hangt af van hoe we de bol hebben gepositioneerd toen we hem op de vloer legden. Als we de bol laten draaien zodat een ander punt naar de lantaarn op de noordpool beweegt, krijgen we meestal een andere schaduw en hebben de drie bellen op de vloer verschillende gebieden. Wiskundigen hebben bewezen dat voor elke drie getallen die u kiest voor de gebieden, er in wezen één enkele manier is om de bol te positioneren, zodat de drie schaduwbellen precies die gebieden hebben.

We zijn vrij om dit proces in elke dimensie uit te voeren (hoewel hoger-dimensionale schaduwen moeilijker te visualiseren zijn). Maar er is een limiet aan het aantal bubbels dat we in ons schaduwcluster kunnen hebben. In het bovenstaande voorbeeld hadden we geen cluster van vier bellen in het vliegtuig kunnen maken. Dat zou hebben vereist om te beginnen met vijf punten op de bol die allemaal op dezelfde afstand van elkaar liggen - maar het is onmogelijk om zoveel punten op gelijke afstand op een bol te plaatsen (hoewel je het kunt doen met hoger-dimensionale bollen). De procedure van Sullivan werkt alleen om clusters te maken van maximaal drie bellen in de tweedimensionale ruimte, vier bellen in de driedimensionale ruimte, vijf bellen in de vierdimensionale ruimte, enzovoort. Buiten die parameterbereiken bestaan ​​bubbelclusters in Sullivan-stijl gewoon niet.

Maar binnen die parameters geeft de procedure van Sullivan ons bellenclusters in omgevingen die veel verder gaan dan wat onze fysieke intuïtie kan bevatten. "Het is onmogelijk om te visualiseren wat een 15-bubbel is in [23-dimensionale ruimte]", zei Maggi. "Hoe droom je er zelfs van om zo'n object te beschrijven?"

Toch erven Sullivan's bubbelkandidaten van hun bolvormige voorouders een unieke verzameling eigenschappen die doen denken aan de bubbels die we in de natuur zien. Hun muren zijn allemaal bolvormig of vlak, en waar drie muren elkaar ontmoeten, vormen ze hoeken van 120 graden, zoals in een symmetrische Y-vorm. Elk van de volumes die u probeert in te sluiten, ligt in één regio, in plaats van te zijn verdeeld over meerdere regio's. En elke bubbel raakt elkaar (en de buitenkant) aan en vormt een strakke cluster. Wiskundigen hebben aangetoond dat de bellen van Sullivan de enige clusters zijn die aan al deze eigenschappen voldoen.

Toen Sullivan veronderstelde dat dit de clusters zouden moeten zijn die het oppervlak minimaliseren, zei hij in wezen: "Laten we schoonheid aannemen", zei Maggi.

Maar bubble-onderzoekers hebben goede redenen om op hun hoede te zijn om aan te nemen dat alleen omdat een voorgestelde oplossing mooi is, deze ook correct is. "Er zijn zeer bekende problemen ... waarbij je symmetrie zou verwachten voor de minimalizers, en symmetrie faalt spectaculair", zei Maggi.

Er is bijvoorbeeld het nauw verwante probleem van het vullen van oneindige ruimte met bellen van hetzelfde volume op een manier die het oppervlak minimaliseert. In 1887 suggereerde de Britse wiskundige en natuurkundige Lord Kelvin dat de oplossing een elegante honingraatachtige structuur zou kunnen zijn. Meer dan een eeuw lang geloofden veel wiskundigen dat dit het meest waarschijnlijke antwoord was - tot 1993, toen een paar natuurkundigen identificeerde een betere, hoewel minder symmetrisch, optie. "Wiskunde staat vol met voorbeelden waar dit soort rare dingen gebeuren," zei Maggi.

Een duistere kunst

Toen Sullivan zijn vermoeden in 1995 aankondigde, zweefde het dubbele bolletje ervan al een eeuw rond. Wiskundigen hadden het probleem opgelost 2D-probleem met dubbele bellen twee jaar eerder, en in het decennium dat volgde, losten ze het op in driedimensionale ruimte en dan in hoger Afmeting. Maar als het ging om het volgende geval van Sullivan's vermoeden - drievoudige bubbels - konden ze... bewijs het vermoeden alleen in het tweedimensionale vlak, waar de interfaces tussen bellen bijzonder eenvoudig zijn.

In 2018 bewezen Milman en Neeman een analoge versie van Sullivan's vermoeden in een setting die bekend staat als het Gaussiaanse bellenprobleem. In deze setting kun je aan elk punt in de ruimte denken dat het een geldwaarde heeft: de oorsprong is de duurste plek, en hoe verder je van de oorsprong komt, hoe goedkoper het land wordt, waardoor een klokkromme wordt gevormd. Het doel is om behuizingen te creëren met vooraf geselecteerde prijzen (in plaats van vooraf geselecteerde volumes), op een manier die de kosten van de grenzen van de behuizingen minimaliseert (in plaats van het oppervlak van de grenzen). Dit Gaussiaanse bellenprobleem heeft toepassingen in de informatica voor afrondingsschema's en vragen over ruisgevoeligheid.

Milman en Neeman hebben hun bewijs aan de Annalen van de wiskunde, misschien wel het meest prestigieuze tijdschrift voor wiskunde (waar het later werd geaccepteerd). Maar het paar was niet van plan om het een dag te noemen. Hun methoden leken ook veelbelovend voor het klassieke bellenprobleem.

Jarenlang gooiden ze ideeën heen en weer. "We hadden een document van 200 pagina's met aantekeningen", zei Milman. In het begin voelde het alsof ze vooruitgang boekten. "Maar toen veranderde het snel in: 'We hebben deze richting geprobeerd - nee. We probeerden [die] richting - nee.'” Om hun weddenschappen af ​​te dekken, volgden beide wiskundigen ook andere projecten.

Afgelopen herfst kwam Milman voor een sabbatical en besloot Neeman te bezoeken, zodat het paar geconcentreerd kon werken aan het bubbelprobleem. "Tijdens een sabbatical is het een goed moment om risicovolle, high-gain dingen te proberen," zei Milman.

De eerste maanden kwamen ze nergens. Ten slotte besloten ze zichzelf een iets gemakkelijkere taak te geven dan Sullivan's volledige vermoeden. Als je je bubbels een extra dimensie ademruimte geeft, krijg je een bonus: de beste bubbelcluster heeft spiegelsymmetrie over een centraal vlak.

Sullivan's vermoeden gaat over driedubbele bellen in dimensies twee en hoger, viervoudige bellen in dimensies drie en hoger, enzovoort. Om de bonussymmetrie te krijgen, beperkten Milman en Neeman hun aandacht tot drievoudige bubbels in dimensies drie en hoger, viervoudige bubbels in dimensies vier en hoger, enzovoort. "Het was pas echt toen we het opgaven om het voor het volledige scala aan parameters te krijgen, dat we echt vooruitgang boekten", zei Neeman.

Met deze spiegelsymmetrie tot hun beschikking, kwamen Milman en Neeman met een verstoringsargument dat inhoudt dat de helft van de bellencluster die boven de spiegel ligt enigszins wordt opgeblazen en de helft die eronder ligt leegloopt. Deze verstoring zal het volume van de bellen niet veranderen, maar het kan hun oppervlakte veranderen. Milman en Neeman toonden aan dat als het optimale bellencluster muren heeft die niet bolvormig of vlak zijn, er een manier zal zijn om deze verstoring te kiezen zodat het het oppervlak van het cluster verkleint - een contradictie, aangezien het optimale cluster al het minste oppervlak heeft gebied mogelijk.

Het gebruik van verstoringen om bellen te bestuderen is verre van een nieuw idee, maar uitzoeken welke verstoringen de belangrijke kenmerken van een bellencluster zullen detecteren, is "een beetje een duistere kunst", zei Neeman.

Achteraf gezien, "als je [Milman en Neeman's verstoringen] ziet, zien ze er heel natuurlijk uit", zei Joël Hass van de Universiteit van Californië, Davis.

Maar het herkennen van de verstoringen als natuurlijk is veel gemakkelijker dan ze in de eerste plaats te bedenken, zei Maggi. "Het is bij lange na niet iets waarvan je kunt zeggen: 'Uiteindelijk zouden mensen het gevonden hebben'," zei hij. "Het is echt geniaal op een zeer opmerkelijk niveau."

Milman en Neeman konden hun verstoringen gebruiken om aan te tonen dat het optimale bellencluster moet voldoen aan alle kernkenmerken van Sullivan's clusters, behalve misschien één: de bepaling dat elke bel elkaar moet raken. Deze laatste vereiste dwong Milman en Neeman om te worstelen met alle manieren waarop bellen zich in een cluster kunnen verbinden. Als het gaat om slechts drie of vier bubbels, zijn er niet zoveel mogelijkheden om te overwegen. Maar naarmate je het aantal bellen vergroot, groeit het aantal verschillende mogelijke verbindingspatronen, zelfs sneller dan exponentieel.

Milman en Neeman hoopten eerst een overkoepelend principe te vinden dat al deze gevallen zou dekken. Maar na een paar maanden "onze hoofden te hebben gebroken", zei Milman, besloten ze zich voorlopig tevreden te stellen met een meer ad-hocbenadering die hen in staat stelde om drie- en viervoudige bubbels aan te pakken. Ze hebben ook een niet-gepubliceerd bewijs aangekondigd dat de vijfvoudige bubbel van Sullivan optimaal is, hoewel ze nog niet hebben vastgesteld dat dit de enige optimale cluster is.

Het werk van Milman en Neeman is "een geheel nieuwe benadering in plaats van een uitbreiding van eerdere methoden", schreef Morgan in een e-mail. Het is waarschijnlijk, voorspelde Maggi, dat deze benadering nog verder kan worden doorgevoerd - misschien naar clusters van meer dan vijf bubbels, of naar de gevallen van Sullivan's vermoeden die niet de spiegelsymmetrie hebben.

Niemand verwacht dat verdere vooruitgang gemakkelijk zal komen; maar dat heeft Milman en Neeman nooit afgeschrikt. "Vanuit mijn ervaring," zei Milman, "moesten alle belangrijke dingen die ik zo gelukkig had kunnen doen, gewoon niet opgeven."