Als je ooit een les algebra of natuurkunde hebt gevolgd, dan heb je een parabool ontmoet, de eenvoudige curve die kan modelleren hoe een bal door de lucht vliegt. Het belangrijkste onderdeel van een parabool is het hoekpunt - het hoogste of laagste punt - en er zijn veel wiskundige technieken om het te vinden. Je kunt de vertex-vorm proberen, of de symmetrie-as, of zelfs calculus.
Maar vorige week lokaliseerde een van mijn studenten het hoekpunt van een parabool op een bijzonder elegante manier. “Het hoekpunt is op x = 4,” zei ze, “omdat de wortels zijn x = 1 en x = 7, en de wortels zijn symmetrisch om het hoekpunt.” Ze gebruikte het feit dat de parabool de grafiek is van een kwadratische veelterm, en dat de wortels van die veelterm - de waarden waar het 0 wordt - een bepaalde structuur hebben waarvan ze zou kunnen profiteren.
Er zit een structuur in de wortels van elke polynoom, en wiskundigen bestuderen deze structuren en zoeken naar mogelijkheden om er gebruik van te maken, net zoals mijn student deed met haar parabool. En als het gaat om de wortels van veeltermen, heeft geen enkele meer structuur dan de 'wortels van eenheid'.
Wortels van eenheid zijn de wortels van de veeltermen van de vorm xn – 1. Bijvoorbeeld, wanneer n = 2, dit geeft ons de kwadratische polynoom x2 – 1. Om de wortels te vinden, stelt u deze in op 0 en lost u op:
x2 – 1 = 0.
Misschien herinnert u zich het ontbinden van uitdrukkingen als deze met behulp van de formule "verschil van kwadraten", die zegt dat: a2 - b2 = (a - b)(a + b Hier x2 - 12 = (x – 1)(x + 1), waardoor je
(x – 1)(x + 1) = 0.
Nu je een product hebt dat gelijk is aan 0, kun je een van de meest ondergewaardeerde regels uit de algebraklasse gebruiken: de "producteigenschap nul". Dit zegt dat de enige manier waarop twee reële getallen tot 0 kunnen worden vermenigvuldigd, is dat een van hen 0 is. Dus als (x – 1)(x + 1) = 0, dan ofwel x – 1 = 0 of x + 1 = 0. De eerste vergelijking is waar wanneer x = 1, de tweede wanneer x = −1. Dus 1 en −1 zijn de twee 'tweede wortels van eenheid', die u misschien meer bekend voorkomen als de twee vierkantswortels van 1.
Voor enige n je kunt de vinden nde eenheidswortels, die de oplossingen van de vergelijking zijn xn – 1 = 0. Deze wortels van eenheid hebben een opmerkelijk rijke structuur die aansluit bij wiskunde op de middelbare school, zoals trigonometrie en rotaties van het vlak, evenals lopend onderzoek waarbij enkele van de grote onbeantwoorde vragen in moderne wiskunde betrokken zijn.
. n = 2, de twee wortels 1 en −1 hebben een symmetrische structuur die gerelateerd is aan hoe mijn student haar hoekpunt vond. Je ziet nog meer structuur in de vierde wortels van eenheid. Dit zijn de oplossingen van de vergelijking x4 = 1. Je herkent misschien meteen twee van de vierde eenheidswortels: sinds 14 = 1 en (−1)4 = 1, x = 1 en x = −1 voldoen beide aan de vergelijking, dus het zijn vierde eenheidswortels. Maar er zijn er nog twee, en je kunt ze vinden met behulp van algebra zoals we hierboven hebben gedaan: zet de vergelijking gewoon in standaardvorm en factor:
x4 = 1
x4 - 1 = 0
Sinds x4 en 1 zijn beide perfecte vierkanten, je kunt hier ook de formule voor het verschil van vierkanten gebruiken:
x4 – 1 = (x2)2 - 12 = (x2 – 1)(x2 + 1). Dit maakt de vergelijking x4 – 1 = 0 in
(x2 – 1)(x2 + 1)=0.
De x2 – 1 moet er bekend uitzien: daar hebben we rekening mee gehouden toen we de vierkantswortels van eenheid vonden. Dit geeft ons
(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0.
Meer kunnen we nu niet meerekenen. De uitdrukking x2 + 1 is "onherleidbaar" over de reële getallen, wat betekent dat het niet kan worden opgesplitst in eenvoudiger vermenigvuldigende factoren die alleen betrekking hebben op reële getallen. Maar we kunnen nog steeds de producteigenschap nul toepassen. Als deze drie getallen zich vermenigvuldigen tot 0, dan moet een van hen nul zijn. Dat wil zeggen, ofwel x – 1 = 0, x + 1 = 0, of x2 + 1 = 0.
De eerste twee vergelijkingen vertellen ons wat we al wisten: x = 1 en x = −1 zijn oplossingen van de vergelijking x4 = 1 en zijn daarom vierde eenheidswortels. Maar wat kunnen we ermee? x2 + 1 = 0?
Nou, als je verstand hebt van complexe getallen, dan weet je dat i, de "denkbeeldige eenheid", voldoet aan deze vergelijking omdat deze wordt gedefinieerd door de eigenschap die i2 = −1. Het is geen reëel getal — geen enkel reëel kwadraat van het kwadraat is negatief — maar het blijkt dat de meeste eenheidswortels complexe getallen zijn, en aangezien x = i voldoet x2 + 1 = 0, het moet een van de vierde eenheidswortels zijn. U kunt dit eenvoudig verifiëren met enkele regels van exponenten: Aangezien i2 = −1, dan i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. En aangezien complexe getallen de meeste regels volgen die reële getallen volgen, is het waar dat (−i)2 = i2 , en dus x = i voldoet ook aan x2 + 1 = 0 en is ook een vierde eenheidswortel.
Deze vier getallen, 1, −1, i, eni, zijn allemaal vierde wortels van eenheid, en de bijpassende vieren zijn geen toeval. De fundamentele stelling van de algebra zegt dat elke ne-graads polynoom heeft n complexe wortels. Daarom is de vergelijking xn = 1 heeft n complexe oplossingen, en dit zijn allemaal de nth wortels van eenheid. (Omdat reële getallen ook complexe getallen zijn, worden de reële oplossingen, zoals 1 en −1, meegeteld bij het tellen van complexe oplossingen.)
Voor een gegeven n de nDe wortels van eenheid bezitten enkele opmerkelijke eigenschappen. Geometrisch, als je de tekent nDe eenheidswortels in het complexe vlak zul je zien dat ze gelijk verdeeld zijn rond de eenheidscirkel gecentreerd op de oorsprong.
Deze geometrische structuur is nauw verbonden met belangrijke ideeën in trigonometrie, zoals de hoeksom- en verschilformules voor sinus en cosinus, de theorie van rotaties van het vlak, en e, de basis van de natuurlijke logaritmefunctie. Deze geometrie is ook verbonden met een interessante algebraïsche eigenschap: For any n, de som van de nDe eenheidswortel is 0.
Voor n = 2 is dit meteen duidelijk: De som van beide vierkantswortels van eenheid is 1 + (−1) = 0. Het is ook duidelijk voor de vier vierde eenheidswortels:
1 + i + (−1) + (−i) = 0.
In beide gevallen is het gemakkelijk in te zien waarom de som 0 is: de eenheidswortels komen in tegengestelde paren, die opheffen als je ze optelt.
Het resultaat blijft echter bestaan, zelfs als de wortels van eenheid niet in tegengestelde paren komen. De drie derde eenheidswortels zijn bijvoorbeeld 1, $latex -frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}$ en $latex -frac{1}{2} – i frac {sqrt{3}}{2}$. De twee niet-reële wortels heffen elkaar niet op, maar ze sommen wel op tot −1, die dan wordt opgeheven met de resterende eenheidswortel, waardoor je uiteindelijk 0 krijgt:
1 + $latex left(-frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right)+left(-frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2 }rechts)$ = 1 + (−1) = 0.
Je kunt deze eigenschap geometrisch vaststellen, maar er is een elegant algebraïsch argument dat aantoont dat dit waar is. Laten we de drie derde wortels van eenheid 1, α en noemen. Alle drie deze getallen voldoen aan de derdegraadsvergelijking
x3 – 1 = 0.
Omdat je de wortels van deze derdegraadsvergelijking kent, weet je dat de polynoom aan de linkerkant factoren als
(x – 1)(x – )(x – ) = 0.
Als je deze uitdrukking een paar keer vermenigvuldigt met de distributieve eigenschap, krijg je het volgende:
x3 – (1 + α + )x2 + (α + β + )x – αβ = 0.
Maar we weten al welke kubieke polynoom we zouden moeten krijgen als we dit vermenigvuldigen: x3 – 1. Dus x3 – (1 + α + )x2 + (α + β + )x – is echt x3 – 1, wat betekent dat de coëfficiënt van x2 aan de linkerkant, 1 + α + β, moet gelijk zijn aan de coëfficiënt van x2 aan de rechterkant, dat is 0. Dus 1 + α + β =0, en dus de drie derde eenheidswortels optellen tot 0.
Dit argument veralgemeent en produceert een van 'Vieta's formules', beroemde resultaten die de wortels van een polynoom relateren aan zijn coëfficiënten. Een van de formules van Vieta zegt dat, in een polynoom die begint met xn, zal de som van de wortels van de polynoom altijd de negatie zijn van de coëfficiënt van xn-1. Omdat eenheidswortels uit veeltermen van de vorm komen xn– 1, waarbij de coëfficiënt van xn-1 altijd 0 is, vertelt de formule van Vieta ons dat de som van de nde eenheidswortels zijn 0 voor any n.
Er is een nog opmerkelijker algebraïsch resultaat als het gaat om wortels van eenheid. voor een gegeven n, als α en β twee zijn nde eenheidswortels, dan is α × β ook een nde wortel van eenheid! En als α en β beide zijn nde wortels van eenheid, dan αn = 1 en βn = 1. Dus wat is (α × β)n?
Over het algemeen moet je voorzichtig zijn met het verhogen van complexe getallen tot een macht, maar aangezien de n in de nAls de eenheidswortels altijd een geheel getal zijn, zijn de basisregels van exponenten nog steeds van toepassing, zoals deze:
(α × )n =n ×n .
Dus (α × β)n =n ×n = 1 × 1 = 1. Dit betekent dat α × β voldoet aan de vergelijking xn = 1 en zo is an nde wortel van eenheid. Bijvoorbeeld, wanneer? n = 4, als je de twee eenheidswortels vermenigvuldigt i en −1, je krijgt nog een vierde eenheidswortel: i × (−1) = −i. En wanneer n = 3, kunt u ook door vermenigvuldiging verifiëren dat de twee niet-reële eenheidswortels zich vermenigvuldigen tot de echte: $latex left(-frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right) ×left(-frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}right)$ = 1.
Deze eigenschap geeft aanleiding tot een ongelooflijk rijke algebraïsche structuur op de nde wortels van eenheid: een 'groeps'-structuur. EEN groep is een verzameling elementen (hier, de nde eenheidswortels) en een bewerking (hier normale vermenigvuldiging) die voldoet aan enkele bekende eigenschappen. Een van die eigenschappen is 'sluiting', die we zojuist hebben gedemonstreerd. Dit betekent het product van twee nde wortels van eenheid zijn altijd een andere nde wortel van eenheid. Een andere belangrijke eigenschap van groepen is dat er altijd inverses bestaan. Dit betekent dat voor elke nde wortel van eenheid is er een andere nde eenheidswortel zodanig dat hun product 1 is, de multiplicatieve identiteit. Bijvoorbeeld, wanneer? n = 4, het omgekeerde van i is -i sinds i × (-i) =i2 = −(−1) = 1, en van de derde eenheidswortels is de inverse van $latex -frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}$ toevallig $latex -frac{ 1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}$.
De studie van groepen is van fundamenteel belang voor de Galois-theorie, een geavanceerd gebied van de wiskunde dat is gebouwd om abstracte algebraïsche structuren te bestuderen die verband houden met veeltermen en hun wortels. U kent waarschijnlijk de kwadratische formule en mogelijk kent u de kubische en quartische formules, maar er is geen algemene formule voor het vinden van de wortels van een polynoom van graad 5 of hoger, en de Galois-theorie helpt dit mysterie te ontrafelen door de groepen te bestuderen die bij de wortels horen van polynomen.
Omdat de nDe wortels van eenheid hebben hun eigen groepsstructuur, ze nemen een belangrijke plaats in in de Galoistheorie, vooral omdat die structuur zo gemakkelijk is om mee te werken. Wortels-van-eenheid-groepen zijn altijd "abeliaans", wat betekent dat de volgorde waarin u objecten vermenigvuldigt het resultaat niet verandert, en ze zijn altijd "cyclisch", wat betekent dat u altijd de hele groep kunt genereren door een enkel element te vermenigvuldigen vanzelf over en weer.
In de Galois-theorie is het geassocieerd zijn met een abelse groep een zeer mooie eigenschap voor een polynoom, en de impact van de eenheidswortels reiken veel verder dan alleen polynomen van de vorm xn − 1. Het blijkt dat elke polynoom geassocieerd met een abelse groep in de Galois-theorie wortels heeft die kunnen worden uitgedrukt als sommen van verschillende eenheidswortels. In zekere zin vormen de wortels van eenheid de basis van alle mooie veeltermen in een bepaalde wiskundige wereld, en het veralgemenen van de rol van eenheidswortels naar andere wiskundige werelden was het doel van Hilberts 12e probleem, een van de 23 wiskundige problemen die werden gesteld. door David Hilbert in 1900 om de loop van de wiskundige ontdekking voor de komende 100 jaar te begeleiden. Nu, meer dan een eeuw later, is men nog steeds bezig met het 12e probleem, en vooruitgang wordt geboekt, maar wiskundigen zijn er nog niet helemaal. Misschien komen ze binnenkort tot de kern van dit alles.
Oefeningen
1. Laat zien dat de vier vierde eenheidswortels ook de achtste eenheidswortels zijn.
2. Vind de andere vier achtste wortels van eenheid. (Hint: $latex sqrt{i}$ is er een van, maar je moet het in a + bi formulier.)
3. Wanneer is een nde eenheidswortel ook een mde wortel van eenheid?
4. Een “primitieve” nde wortel van eenheid” is een nde wortel van eenheid wiens krachten alle omvatten nde wortels van eenheid. Bijvoorbeeld, i is een primitieve vierde eenheidswortel, aangezien de krachten van i zijn i, -1, -i, en 1, alle vier de vierde wortels van eenheid. Maar −1 is geen primitieve vierde eenheidswortel, aangezien de machten van −1 gewoon −1 en 1 zijn.
Welke van de achtste wortels van eenheid zijn primitief?
Uitdaging: wat is het product van alles? n van de nde wortels van eenheid? (Hint: bekijk de formules van Vieta nader.)
antwoorden
Klik voor antwoord 1:
Laat α een vierde eenheidswortel zijn. Dan4 = 1. Maak nu het kwadraat van beide zijden van de vergelijking om α . te krijgen8 = 1. Aangezien α voldoet aan x8 = 1, het is een achtste eenheidswortel.
Klik voor antwoord 2:
Merk op dat $latex sqrt{i}$ een achtste eenheidswortel is, want als α = $latex sqrt{i}$, dan is α2 = i, en zo8 = i4 = 1. Om $latex sqrt{i}$ te vinden, stelt u $latex sqrt{i}$ = . in a + bi en vierkant beide zijden om te krijgen i = a2 - b2 + 2abi. Dit vertelt je dat a2 - b2 = 0 en 2ab = 1, en sommige algebra stellen vast dat één vierkantswortel van i is $latex frac{sqrt{2}}{2}$ + $latex i frac{sqrt{2}}{2}$. De andere drie achtste eenheidswortels zijn $latex frac{sqrt{2}}{2}$ – $latex i frac{sqrt{2}}{2}$, $latex −frac{sqrt{2}}{2} $ + $latex i frac{sqrt{2}}{2}$, en $latex −frac{sqrt{2}}{2}$ – $latex i frac{sqrt{2}}{2}$.
Klik voor antwoord 3:
Dit is waar wanneer m is een veelvoud van n, en het volgt uit eenvoudige regels van exponenten. Stel datn = 1 en m = kn. Danm =kn = (αn)k = (1)k = 1, dus α is een mook de wortel van eenheid.
Klik voor antwoord 4:
Laat α = $latex frac{sqrt{2}}{2}$ + $latex i frac{sqrt{2}}{2}$. Dan is α een primitieve achtste eenheidswortel, aangezien α2 = i,3 = $latex -frac{sqrt{2}}{2}+i frac{sqrt{2}}{2}$, α4 = -1,5 = $latex -frac{sqrt{2}}{2}$ – $latex i frac{2}}{2}$, α6 = -i,7 = $latex frac{sqrt{2}}{2}$ – $latex frac{sqrt{2}}{2}$, en α8 = 1. Een vermenigvuldiging, of een slim gebruik van wetten van exponenten, zal je laten zien dat de andere primitieve achtste eenheidswortels α zijn3,5 en α7. In feite is er een heel mooie relatie tussen n en de primitieve nde eenheidswortels, die je kunt vinden door alleen de wetten van exponenten te gebruiken. Kijk of je het kunt vinden!
PlatoAi. Web3 opnieuw uitgevonden. Gegevensintelligentie versterkt.
Klik hier om toegang te krijgen.
Bron: https://www.quantamagazine.org/the-simple-math-behind-the-mighty-roots-of-unity-20210923/
