역사는 에디슨과 테슬라, 하딩과 케리건, 투팍과 비기 등 백스탭 라이벌로 가득 차 있습니다. 그 못지 않게 극적인 것은 이탈리아 수학자 Gerolamo Cardano, 명석하지만 문제가 많은 수학자 Gerolamo Cardano와 Tartaglia로 더 잘 알려진 Niccolò Fontana(십대 프랑스 군인의 칼로 얼굴을 다친 후 "말더듬는 사람"을 의미함) 사이의 갈등이었습니다. 핵심 문제: 16차 방정식.

대부분의 고등학생은 2차 공식을 사용하여 $latexx^3-x-0=2$와 같은 0차 방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다. $latexax^XNUMX+bx+c=XNUMX$의 해 또는 근은 다음과 같습니다.

$latexx=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

더 높은 차수의 방정식에 대한 유사한 공식이 있습니까(더 큰 거듭제곱을 가짐 x)? 본질적으로 이것을 결정하는 것은 Cardano, Tartaglia 및 동시대 기업 이전의 작업이었습니다.

우리가 알고 있는 현대 대수학(위와 같은 추상적인 상징적 표현과 이를 조작하는 친숙한 방법)은 이 학자들의 시대가 훨씬 지난 17세기로 거슬러 올라갑니다. 그러나 대수적 사고와 우리가 XNUMX차 및 XNUMX차 방정식으로 인식하는 것을 푸는 능력은 이전 천년 동안 천천히 발전했습니다.

16세기에 대수 방정식은 여전히 ​​수사학적으로(기호가 아닌 단어로) 표현되었으며 수학자들이 음수를 합법적인 것으로 인식하지 않았기 때문에 모든 계수는 음수가 아니어야 했습니다. 알 수 없는 변수의 개념 없이 x, $latexx^3+cx=d$ 형식의 3차 방정식은 대신 "입방체 및 사물은 숫자와 같음"으로 설명되었으며 이는 "정육면체는 사물 및 숫자와 같음", $latexx^3 =cx+d$. 그래서 오늘날 우리는 $latexax^2+bx^0+cx+d=XNUMX$ 풀이를 하나의 문제로 간주하지만, 그 당시에는 XNUMX개 이상의 별개의 문제로 간주되었으며 용어가 한쪽 또는 다른쪽에 있었습니다. 등호 또는 완전히 부재합니다.

현대 기호 대수학이 없다면 수학자들은 기하학적으로 추론할 것입니다. 예를 들어, 우리는 친숙한 표현인 $latex(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$를 $latexa+b$ 한 변의 넓이가 한 변의 길이가 정사각형인 넓이의 합 a, 한 변의 정사각형 b, 그리고 두 개의 $latexa 곱하기 b$ 직사각형.

마찬가지로 한 변의 길이로 정육면체를 분해하면 t 여섯 개의 상자에

($latext>u$만큼).

16세기 초 볼로냐 대학의 교수였던 스키피오네 델 페로(Scipione del Ferro)는 XNUMX차 방정식을 푸는 데 상당한 진전을 이뤘습니다. 유감스럽게도 당시 학문적 비밀이 관건인 호기심 많은 문화 덕분에 그의 업적을 모두 알 수는 없습니다. 학자들은 자신의 작업을 출판하기 위해 경쟁하고 정리를 증명하거나 문제를 해결한 것으로 인정받기보다는 "수학적 결투"에 대해 서로에게 도전했습니다. 그들은 서로에게 어려운 문제를 보내고 가장 많이 해결한 사람이 승자가 되었습니다. 승자는 종종 전문적인 발전과 더 많은 학생들을 얻었습니다. 따라서, 발견은 때때로 예비로, 비밀 무기는 미래의 대회에서 배치될 것입니다.

그러나 우리는 del Ferro가 $latexx^3+cx=d$ 형식의 방정식을 풀 수 있다는 것을 알고 있습니다. c 과 d 긍정적이다. 이와 같이 제곱 항이 없는 16차 방정식을 "압축 XNUMX차 방정식"이라고 합니다. XNUMX세기의 어떤 수학자도 이것을 이렇게 표현하지 않았지만, 델 페로는 하나의 근이

이 현대식 공식은 모든 침몰 XNUMX차 방정식에 적용되지만 계수에 다른 부호가 있는 XNUMX차 방정식은 다른 문제로 간주되기 때문에 델 페로의 해는 자동으로 다른 침몰 XNUMX차 방정식으로 이어지지 않았습니다. 우리는 델 페로가 XNUMX차 방정식을 풀 수 있다는 것을 알고 있습니다. 왜냐하면 그가 델 페로가 죽은 후에 그러한 방정식을 풀 수 있다고 자랑했던 그의 학생 Antonio Fior에게 기술을 가르쳤기 때문입니다.

한편 독학으로 Tartaglia는 다른 형태의 삼차방정식을 푸는 방법을 발견했습니다. cx. 이것은 Fior와 Tartaglia 사이의 수학적 결투를 위한 무대를 설정했습니다. 1535년에 그들은 한 달 반의 마감 시간으로 30개의 문제를 교환했습니다. Tartaglia는 Fior에 다양한 문제를 보냈지만 수학적으로 약한 Fior는 "한 바구니에 모든 계란" 전략을 사용하여 Tartaglia에 30개의 우울한 큐빅을 보냈습니다. 마감일 며칠 전에 Tartaglia는 문제를 해결하는 방법을 알아냈고 30시간 만에 XNUMX개를 모두 완료했습니다. 한편, Fior는 문제를 하나도 해결하지 못했습니다. Tartaglia의 업적에 대한 소식은 이탈리아 전역에 퍼졌고, 굴욕을 느낀 Fior는 시야에서 사라졌습니다.

7,000차방정식을 푸는 것이 불가능하다는 것이 널리 퍼져 있었기 때문에 Tartaglia의 성취는 Cardano를 충격에 빠뜨렸습니다. 이 당시 카르다노는 많은 사람들이 찾는 의사였지만 계속해서 문제에 시달린 변덕스러운 의사였습니다. 그는 도박을 하고, 잘못 행동하는 아들들과 씨름했고, 종교 재판 중에 투옥되었습니다. 그러나 그는 수학, 의학, 철학, 종교, 음악 및 물리학에 기여하게 되었습니다. 수십 년 후, Gottfried Leibniz는 다음과 같이 썼습니다. 그들이 없었다면 그는 비교할 수 없었을 것입니다.” 그의 수집된 작품은 XNUMX페이지를 채우며 확률 이론에 대한 최초의 진지한 조사를 포함합니다.

Cardano는 입방체로 Tartaglia의 성공을 복제하려고 시도했지만 실패했습니다. 그래서 그는 Tartaglia가 자신의 방법을 공유하도록 설득하기 위해 압력 캠페인을 시작했으며 비밀 서약까지 약속했습니다.

나는 신성한 복음으로, 그리고 신사로서의 나의 믿음에 맹세컨대, 당신이 나에게 말한다면 당신의 발견을 결코 출판하지 않을 뿐만 아니라, 나는 또한 그것을 암호로 기록할 참된 기독교인으로서의 나의 믿음을 약속하고 맹세합니다. 내가 죽은 후에 아무도 그들을 이해할 수 없게 하소서.

결국, 1539년에 Tartaglia는 마음을 가다듬고 우울한 큐빅에 대한 자신의 기술을 Cardano와 공유했지만 효과가 있다는 증거는 공유하지 않았습니다. 그러나 영리한 Cardano에게는 방법을 아는 것만으로도 근본적인 수학을 발견하기에 충분했습니다. 머지 않아 Cardano는 우울한 입방체를 해결할 수 있습니다. 그는 다음을 대체하는 것을 관찰했습니다.

$latexx=t-frac{b}{3a}$

$latexax^3+bx^2+cx+d=0$으로 변수가 있는 우울한 입방체를 생성합니다. t. 이 방정식을 풀면 t 이를 다시 대체 공식에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다. x. 따라서 Cardano는 모든 XNUMX차 방정식을 풀 수 있었습니다.

Tartaglia에 대한 그의 맹세에도 불구하고 Cardano는 그의 재능 있는 조수 Ludovico Ferrari에게 이러한 결과를 가르쳤습니다. 그는 카르다노의 하인으로 시작했지만 페라리는 결국 카르다노와 동등하게 되었습니다. 카르다노가 4차에 대한 작업을 하는 것을 도우면서 그는 대수학에 매우 능숙해져서 XNUMX차 방정식(XNUMX차 방정식 중 하나)을 XNUMX차 방정식으로 줄이는 방법을 발견했습니다. 따라서 Cardano와 Ferrari는 XNUMX차 이하의 방정식을 풀 수 있습니다.

Cardano는 이러한 성과의 중요성을 인식하고 결과를 발표하기를 간절히 원했습니다. 하지만 모두 타르타글리아가 심은 씨앗에서 자랐기 때문에 그렇게 하면 그의 맹세를 깨는 것입니다.

그런 다음 1543년 볼로냐로 여행을 갔을 ​​때 카르다노는 델 페로의 노트에서 자신이 타르탈리아 이전에 우울한 XNUMX차방정식을 풀었음을 보았습니다. Cardano는 이 발견을 통해 Tartaglia에 대한 의무를 면제받았다고 생각했습니다. XNUMX년 후 Cardano는 아르스 마그나 (위대한 예술), XNUMX차 및 XNUMX차 방정식에 대한 그와 페라리의 작업이 포함되어 있습니다.

카르다노가 책에서 자신의 업적을 인정했음에도 불구하고 Tartaglia는 변덕스러웠습니다. Tartaglia는 Cardano가 절도와 신성한 맹세를 어겼다고 비난했습니다. Cardano는 그의 충성스러운 공격견 페라리에게 책망을 남겼습니다. 공개 팸플릿 형태의 신랄한 논쟁은 여러 달 동안 계속되어 타르탈리아와 페라리 사이의 수학적 결투로 이어졌고 결국에는 페라리의 고향인 밀라노에서 공개 토론회가 되었습니다. Tartaglia는 존경받는 Cardano와 싸우는 편이 훨씬 나았지만 Cardano는 거절했습니다. 세부 사항은 부족하지만 특히 소란스러운 고향 군중과 함께 Tartaglia에 대한 토론은 끔찍했습니다. 다음 날 토론을 계속할 시간이 되었을 때 Tartaglia는 어디에도 없었습니다. 그는 밀라노를 떠났습니다.

페라리는 일자리 제의로 넘쳐났고 타르탈리아의 명성은 무너졌다. 입방체와 관련된 것 외에도 많은 주목할만한 업적에도 불구하고 Tartaglia는 무일푼으로 거의 알려지지 않은 반면 Cardano는 영원한 명성을 얻었습니다. 많은 사람들이 의 출판을 주장한다. 아르스 마그나 현대 수학의 시작을 알린.

XNUMX차 방정식과 XNUMX차 방정식을 정복한 수학자들은 그들이 얼마나 높이 올라갈 수 있는지 궁금해했습니다. 결과적으로 그리 멀지 않은 거리에 있습니다.

5차 방정식(5차 다항식)의 이야기도 흥미롭고 충격적인 결론을 내립니다. 일반적으로 $latexax^4+bx^3+cx^2+dx^0+의 근을 표현하는 것은 불가능합니다. ex+f=XNUMX$ a, b, c, d, e 과 f 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 n일 뿌리. 예를 들어, 다항식 $latexx^5-x+1$는 대략 $latex–1.67304$의 근을 가지지만 정확한 값은 이러한 도구로 표현하는 것이 불가능합니다.

Niels Abel은 거의 1824년 후인 XNUMX년에 이 사실에 대한 첫 번째 완전한 증거를 제시했습니다. 아르스 마그나. 그런 다음 1830년에 18세의 정치적 열혈 브랜드인 Évariste Galois는 다항식을 풀 수 있는 경우에 대한 정확한 기준을 제시함으로써 이 작업을 확장했습니다. Galois는 XNUMX년 후 결투에서 사망했지만(하나는 수학이 아니라 총으로 싸웠음) 수학에 대한 그의 공헌은 너무 컸습니다.

이러한 불가능한 결과는 이야기의 끝이 아니었습니다. 수학자들은 여전히 ​​다항식, 그 근 및 속성을 연구합니다. 한 가지 예로서, 1900년 David Hilbert가 제안한 유명한 문제는 1950차 다항식의 근에 관한 것입니다. XNUMX년대에 해결된 줄 알았으나 지금은 새로운 관심 주제. 아마도 현대 수학자들은 입방체를 둘러싼 경쟁을 다시 만들지 않고도 문제를 진전시킬 수 있을 것입니다.