아리스토텔레스가 2,000 년 전에 시작한 것은 매사추세츠 공과 대학의 30 명의 학부생 팀이 계속되고 있습니다. 그들은 최근 수학적 발전 XNUMX 차원 공간을 완벽하게 채우거나 바둑판 식으로 배열 할 수있는 모양을 식별하기위한 수천 년에 걸친 탐구에 새로운 생명을 불어 넣었습니다.

MIT 교수가 주최 한 작업에 참여한 MIT XNUMX 학년 학생 인 Yuyuan Luo는“매우 흥미롭지 만 동시에 일부 최고의 인재들이이 주제에 대해 작업하고 있다는 사실을 알면 약간 겁이납니다. 비요른 푸엔. (Poonen은 Simons Foundation에서 기금을 받고 있으며 사설 독립 출판물.)

이 질문에 대한 아리스토텔레스의 관심은 그의 스승 인 플라톤에 대한 책망으로 생겨났습니다.

기원전 360 년 대화에서 티 마우스플라톤은 세계가 지구, 물, 공기, 불의 네 가지 요소로 이루어져 있다는 고대 이론을 논의했습니다. 그는 이러한 각 원소가 20 개의 일반 고체 중 하나에 해당하는 독특한 모양을 가진 입자로 만들어 졌다고 추측했습니다. 지구 입자는 입방체 모양, XNUMX면 정 이십 면체 모양의 물 입자, 공기 입자 모양 팔면체, 그리고 뾰족한 사면체 피라미드 형 사면체와 같은 불의 입자 (불은 가시가 있기 때문에).

아리스토텔레스는 이러한 요소의 입자가 공간을 완전히 채울 수 있어야한다는 그의 가정 (이제 우리가 틀린 것으로 알고 있음)에 따라 반대했습니다. 즉, 그는 물이있는 곳에 XNUMX 면체 물 입자의 복사본을 배열하여 XNUMX 면체가 겹치지 않고 물 공간 전체를 완벽하게 차지할 수 있어야한다고 생각했습니다.

그리고 거기에서 아리스토텔레스가 캐치라고 생각했습니다. 그는 350 BCE 논문에서 설명했습니다. 천국에서 정 이십 면체의 사본은 "전체를 채우는 데 성공하지 못할 것입니다." 따라서 그는 물 입자가 그런 모양을 가질 수 없다고 주장했다. 그는 같은 이유로 공기 입자가 팔면체처럼 형성 될 수 있다고 의심했습니다. 그러나 그는 정육면체 (지구)와 사면체 (불)의 복사본이 공간을 채우도록 허용했기 때문에 플라톤의 이론이이 두 요소를 대변하도록했습니다.

수천년 후 아리스토텔레스도 부분적으로 틀렸다는 것이 밝혀졌습니다.

일찍이 1400 년대 과학자들은 피라미드의 네면이 모두 정삼각형 인 정사면체가 공간을 채우는 데 사용될 수 없다고 의심하기 시작했습니다. 1600 년대에 그들은 확실히 그것을 확립했습니다. 이것은 아리스토텔레스가 스스로 알아 내려고 만했다면 알아 차렸을 것입니다.

“아리스토텔레스가 정사면체의 모델을 만들었다면, 그는 하나의 사면체를 취하고 다른 하나의 오른쪽에 맞추는 방식으로 가장자리 주위에 여러 개를 배치했을 것입니다. XNUMX 분 이내에 그는 다른 사면체로 채울 수없는 작은 간격이 있음을 알았습니다.”라고 말했습니다. 마조리 세 네찰 Smith College의.

정사면체가 타일 공간을 차지하지 않으면 질문은 다음과 같습니다. 사면체가 있습니까?

1923 년 Duncan Sommerville은 첫 번째 사례를 확인했습니다. 수학자들은 이제 두 개의 개별 사면체와 공간을 채우는 세 개의 무한한 사면체 패밀리를 발견했습니다. 패밀리에는 타일 공간 기능을 유지하면서 일부 내부 각도를 더 작게 만들고 나머지는 비례 적으로 더 크게 만들기 위해 무한히 다양한 방법으로 조정할 수있는 매개 변수가 있습니다. 수학자들은 다른 것을 찾지 못했습니다. 그들은 얼마나 많이 존재할지 모릅니다.

"저는 이것이 단지 이러한 것들을 찾는 것 이상의 이론적 해결책을 가질 문제라는 것을 모릅니다."라고 Senechal은 말했습니다.

사실, 대부분의 XNUMX 차원 도형은 공간을 바둑판 식으로 배열하지 않습니다. "우리는 XNUMX 차원 공간을 타일링하는 것이 얼마나 어려운지 감사하지 않습니다." 이나 자카레비치 코넬 대학교. "나는 그 모든 것이 매우 멋지다고 생각합니다."

즉, 그러한 모양을 찾는 것은 약간의 맹목적인 사냥입니다. 다행히도 XNUMX 차원 공간을 바둑판 식으로 배열 할 수있는 사면체에 대한 검색은 문제와 다른 두 가지 관련 질문 사이의 우아한 대응에 의해 도움이됩니다.

첫 번째 관련 질문은 다음과 같습니다. 동일한 볼륨의 두 평면 모양을 항상 직선 절단으로 분할하고 서로 재 조립할 수 있습니까? David Hilbert는 1900 년에 이것을 물었고, 같은 해 그의 전 학생 인 Max Dehn이 대답의 중요한 부분을 제공했습니다.

Dehn은 사면체 나 입방체와 같은 다면체 모양의 각도를 사용하여 이제 Dehn 불변이라고하는 단일 수량을 계산할 수 있음을 보여주었습니다. 그는 두 가지 모양이 "합동 가위”— 서로 잘라내어 재 조립할 수 있음을 의미하며 동일한 Dehn 불변을 가져야합니다. Dehn은 자신의 새로운 측정 값을 사용하여 Dehn 불변이 다르기 때문에 정사면체가 입방체에 합동하는 가위가 아님을 증명했습니다.

세기 후반에 수학자들은 가위 합동과 타일링을 연결하는 두 가지 다른 핵심 사실을 증명했습니다. 1965 년 Jean-Pierre Sydler는 동일한 부피와 동일한 Dehn 불변을 가진 두 모양이 가위와 일치 함을 증명했습니다. 더욱이, 1980 년에 Hans Debrunner는 타일 공간이있는 모든 0 면체는 XNUMX의 Dehn 불변을 가져야한다는 것을 보여주었습니다. 이것은 큐브와 동일합니다. 이러한 발견의 결과는 XNUMX 면체가 공간을 바둑판 식으로 배열 할 수있는 큐브에 합동하는 가위 여야한다는 것입니다.

사면체를 받으면 Dehn 불변이 0인지 여부를 계산하기가 상대적으로 쉬워서 공간을 타일링 할 가능성이 있습니다. 그러나 Dehn 불변이 0 인 모든 사면체를 찾는 것은 쉬운 일이 아닙니다.

두 번째 관련 질문이 나오는 곳입니다.

사면체는면 쌍이 만나는 모서리를 따라 형성된 1976 개의 "XNUMX 면체"각을 포함합니다. XNUMX 년에 John H. Conway와 Antonia J. Jones는 다음과 같이 질문했습니다. XNUMX 개의 모든 XNUMX 면각의 차수 측정 값이 유리수 인 모든 XNUMX 면체를 식별 할 수 있습니까? 즉, 분수로 깔끔하게 쓸 수 있습니까? 아리스토텔레스의 힌트가 담긴 현대적인 질문입니다.

"이 문제는 고대에 요청되었을 수도 있지만 내가 아는 한 멀지 않았다고 말하고 싶습니다." 키란 케들 라야 캘리포니아 대학 샌디에이고의. Kedlaya, Poonen 및 다른 두 명의 공동 저자는 정확히 59 개의 분리 된 예와 두 개의 무한한 사면체 패밀리가 합리적 XNUMX 면각을 갖는다는 것을 증명했습니다. Quanta는 최근 우리의 이야기에서이 결과를 다루었습니다.Tetrahedron Solutions는 마침내 컴퓨터 검색 후 수십 년 동안 입증되었습니다.. "

그리고 결정적으로, 합리적 0 면체 각도를 가진 모든 사면체는 XNUMX의 Dehn 불변성을 갖습니다. 즉, 큐브에 합동하는 가위이고 타일링 공간의 가능성을 의미합니다.

이는 MIT 학부생들이 Poonen과 함께 작업해온 결과로 이어집니다. 이러한 후보 중 어느 것이 XNUMX 차원 타일로서의 잠재력을 충족하는지 조사합니다.

XNUMX 월 중순, 그룹은 분리 된 이성 사면체 중 하나가 공간을 채우지 않는다는 것을 증명했습니다. 그들의 결과는 누군가가 큐브와 일치하지만 타일 공간이없는 가위 인 사면체의 예를 처음으로 발견 한 것입니다. 오래 전에 고대의 호기심으로 시작된 지적 끈의 최신 트위스트이기도합니다.