물 한 컵에 얼음 조각을 떨어 뜨립니다. 녹기 시작하는 모습을 상상할 수 있을 것입니다. 또한 모양에 관계없이 날카로운 모서리와 미세한 첨두로 구성된 눈송이처럼 녹는 것을 결코 볼 수 없다는 것을 알고 있습니다.

수학자들은 이 녹는 과정을 방정식으로 모델링합니다. 방정식은 잘 작동하지만 현실에 대한 명백한 사실과 일치한다는 것을 증명하는 데 130년이 걸렸습니다. 이제, XNUMX월에 올라온 논문, 알레시오 피갈리 과 호아킴 세라 스위스 취리히 연방 공과 대학 및 자비에 로스-오통 바르셀로나 대학(University of Barcelona)의 연구진은 방정식이 실제로 직관과 일치한다는 사실을 확인했습니다. 모델의 눈송이는 불가능하지 않을 수 있지만 극히 드물고 완전히 일시적입니다.

"이 결과는 현장에 대한 새로운 시각을 열어줍니다."라고 말했습니다. 마리아 콜롬보 스위스 연방 공과 대학 로잔. 이전에는 이 현상에 대한 깊고 정확한 이해가 없었다”고 말했다.

얼음이 물에서 녹는 문제를 물리학자 요제프 스테판(Josef Stefan)의 이름을 따서 스테판 문제(Stefan problem)라고 합니다. 제기 그것은 수학자들이 열의 확산과 같은 과정이 경계를 이동시키는 방법을 고려하는 "자유 경계" 문제의 가장 중요한 예입니다. 이 경우 경계는 얼음과 물 사이입니다.

수년 동안 수학자들은 이러한 진화하는 경계의 복잡한 모델을 이해하려고 노력해 왔습니다. 진행을 위해 새로운 작업은 다른 유형의 물리적 시스템인 비누 필름에 대한 이전 연구에서 영감을 얻었습니다. 얼음과 물 사이의 진화하는 경계를 따라 첨두나 가장자리와 같은 날카로운 반점이 거의 형성되지 않으며 발생하더라도 즉시 사라짐을 증명하기 위해 이를 기반으로 합니다.

이러한 뾰족한 점을 특이점이라고 하며, 물리적 세계에서와 마찬가지로 수학의 자유로운 경계에서 일시적인 것으로 밝혀졌습니다.

녹는 모래시계

물 한 컵에 담긴 얼음 조각을 다시 생각해 보십시오. 두 물질은 동일한 물 분자로 구성되어 있지만 물은 고체와 액체의 두 가지 다른 단계에 있습니다. 두 단계가 만나는 곳에 경계가 존재합니다. 그러나 물의 열이 얼음으로 전달되면 얼음이 녹고 경계가 이동합니다. 결국, 얼음과 그 경계는 사라집니다.

직관은 이 녹는 경계가 항상 매끄럽게 유지된다고 말할 수 있습니다. 결국, 물 한 잔에서 얼음 조각을 뽑을 때 날카로운 모서리에 상처를 입지 않습니다. 그러나 약간의 상상력으로 날카로운 점이 나타나는 시나리오를 쉽게 상상할 수 있습니다.

모래시계 모양의 얼음 조각을 가져다가 담급니다. 얼음이 녹으면서 모래시계의 허리는 점점 얇아지며 액체가 완전히 먹힐 때까지 얇아집니다. 이 일이 일어나는 순간, 한때 매끈했던 허리가 두 개의 뾰족한 첨점 또는 특이점이 됩니다.

"이것은 자연스럽게 특이점을 나타내는 문제 중 하나입니다."라고 말했습니다. 주세페 민조네 파르마 대학의. “그것을 말해주는 것은 물리적인 현실입니다.

그러나 현실은 또한 특이점이 통제된다는 것을 알려줍니다. 따뜻한 물은 교두를 빠르게 녹여야 하기 때문에 교두가 오래 지속되지 않아야 한다는 것을 알고 있습니다. 모래시계로 만든 거대한 얼음 블록으로 시작했다면 눈송이가 형성될 수 있습니다. 그러나 그것은 여전히 ​​한 순간 이상 지속되지 않을 것입니다.

1889년에 스테판은 이 문제를 수학적 정밀 조사를 통해 녹는 얼음을 설명하는 두 가지 방정식을 작성했습니다. 하나는 따뜻한 물에서 차가운 얼음으로 열이 확산되어 얼음이 수축하는 반면 물의 영역은 확장되는 현상을 설명합니다. 두 번째 방정식은 녹는 과정이 진행됨에 따라 얼음과 물 사이의 변화하는 계면을 추적합니다. (사실, 방정식은 얼음이 너무 차가워서 주변 물이 얼게 만드는 상황을 설명할 수도 있지만, 현재 연구에서 연구자들은 그 가능성을 무시합니다.)

Colombo는 "중요한 것은 두 단계가 한 단계에서 다른 단계로 전환하기로 결정한 위치를 이해하는 것입니다."라고 말했습니다.

100년대에 수학자들이 이 방정식이 견고한 기초를 가지고 있음을 증명하기까지 거의 1970년이 걸렸습니다. 물의 초기 온도와 얼음의 초기 모양에 대한 설명과 같은 몇 가지 시작 조건이 주어지면 모델을 무기한 실행하여 온도(또는 누적 온도라고 하는 밀접하게 관련된 양)가 시간에 따라 어떻게 변하는지 정확히 설명할 수 있습니다.

그러나 그들은 모델이 아마도 이상할 것 같은 시나리오에 도달하는 것을 막는 어떤 것도 발견하지 못했습니다. 방정식은 예를 들어 첨두 숲으로 형성되는 얼음-물 경계 또는 완벽하게 정지된 날카로운 눈송이를 설명할 수 있습니다. 다시 말해서, 그들은 모델이 넌센스를 출력할 가능성을 배제할 수 없었습니다. 스테판 문제는 이러한 상황에서 특이점이 실제로 잘 제어된다는 것을 보여주는 문제가 되었습니다.

그렇지 않으면, 그것은 얼음 녹는 모델이 수 세대에 걸쳐 수학자들을 속여서 그것이 실제보다 더 견고하다고 믿게 만든 극적인 실패라는 것을 의미할 것입니다.

비누 영감

수학자들이 얼음 녹는 방정식을 이해하기 시작하기 XNUMX년 전, 그들은 비누막의 수학에서 엄청난 발전을 이루었습니다.

두 개의 와이어 링을 비눗물에 담갔다가 분리하면 둘 사이에 비누막이 형성됩니다. 표면 장력은 필름을 최대한 팽팽하게 잡아 당겨 일종의 함몰 실린더인 카테노이드(catenoid)라는 모양으로 만듭니다. 이 모양은 표면적이 가장 적은 두 개의 고리를 연결하기 때문에 형성되어 수학자들이 최소한의 표면.

비누 필름은 고유한 방정식 세트로 모델링됩니다. 1960년대까지 수학자들은 수학을 이해하는 데 진전이 있었지만 그들의 해가 얼마나 이상할 수 있는지 알지 못했습니다. 스테판 문제에서와 마찬가지로 솔루션은 우리가 기대하는 매끄러운 필름과 전혀 다른 수많은 특이점을 가진 비누 필름을 설명하는 수용할 수 없을 정도로 이상할 수 있습니다.

1961년과 1962년에 Ennio De Giorgi, Wendell Fleming 및 다른 사람들은 특이점이 있는 상황이 우려한 만큼 나쁜지 여부를 결정하기 위한 우아한 프로세스를 발명했습니다.

두 개의 링 세트와 같이 두 경계면 사이의 필름 모양을 설명하는 비누 필름 방정식에 대한 솔루션이 있다고 가정합니다. 필름 표면의 임의의 지점에 초점을 맞춥니다. 이 지점 근처의 기하학은 어떻게 생겼습니까? 우리가 그것에 대해 알기 전에 상상할 수 있는 모든 종류의 기능이 있을 수 있습니다. 예리한 첨두에서 부드러운 언덕에 이르기까지. 수학자들은 마치 무한한 힘을 가진 현미경을 가지고 있는 것처럼 점을 확대하는 방법을 고안했습니다. 그들은 당신이 확대할 때 당신이 보는 모든 것이 평평한 평면이라는 것을 증명했습니다.

"언제나. 그게 다야.” 로스-오튼이 말했다.

이 평평함은 그 점 근처의 기하학이 특이할 수 없다는 것을 의미했습니다. 점이 첨두에 위치하면 수학자들은 평면이 아니라 쐐기와 같은 것을 보게 될 것입니다. 그리고 무작위로 점을 선택했기 때문에 필름의 모든 점을 가까이서 들여다보면 매끄러운 평면처럼 보일 것이라고 결론을 내릴 수 있었습니다. 그들의 작업은 전체 영화가 특이점에 의해 방해받지 않고 매끄러워야 한다는 것을 확립했습니다.

수학자들은 스테판 문제를 다루기 위해 동일한 방법을 사용하고 싶었지만 곧 얼음의 경우 일이 그렇게 간단하지 않다는 것을 깨달았습니다. 항상 매끄럽게 보이는 비누 필름과 달리 녹는 얼음은 실제로 특이점을 나타냅니다. 그리고 비누막이 그대로 있는 동안 얼음과 물 사이의 선은 항상 움직입니다. 이것은 다른 수학자들이 나중에 다룰 또 다른 도전을 제기했습니다.

영화에서 얼음으로

1977년 Luis Caffarelli는 스테판 문제에 대한 수학적 돋보기를 재발명했습니다. 그는 비누막을 확대하는 대신 얼음과 물의 경계를 확대하는 방법을 알아냈습니다.

"이것은 그의 위대한 직관이었습니다."라고 Mingione이 말했습니다. "그는 이러한 방법을 de Giorgi의 최소 표면 이론에서 보다 일반적인 설정으로 옮길 수 있었습니다."

수학자들이 비누막 방정식에 대한 해를 확대했을 때 그들은 평탄함만을 보았습니다. 그러나 Caffarelli가 얼음과 물 사이의 얼어붙은 경계를 확대했을 때 그는 때때로 완전히 다른 것을 보았습니다. 얼어붙은 부분이 따뜻한 물로 거의 완전히 둘러싸여 있었습니다. 이 점들은 융해 경계의 후퇴에 의해 좌초되는 얼음 첨두(특이점)에 해당했습니다.

Caffarelli는 얼음이 녹는 수학에 특이점이 있음을 증명했습니다. 그는 또한 얼마나 많은지 추정하는 방법을 고안했습니다. 얼음 특이점의 정확한 지점에서 온도는 항상 섭씨 XNUMX도입니다. 그 이유는 특이점이 얼음으로 이루어져 있기 때문입니다. 그것은 단순한 사실입니다. 그러나 놀랍게도 Caffarelli는 특이점에서 멀어짐에 따라 온도가 분명한 패턴으로 증가한다는 것을 발견했습니다. 특이점에서 한 단위 멀리 물 속으로 이동하면 온도가 약 XNUMX단위 상승합니다. 두 단위 멀리 이동하면 온도가 약 XNUMX만큼 상승합니다.

이것을 포물선 관계라고 합니다. 온도를 거리의 함수로 그래프로 나타내면 대략 포물선 모양을 얻을 수 있기 때문입니다. 그러나 공간은 XNUMX차원이기 때문에 온도를 한 방향이 아니라 특이점에서 멀어지는 세 방향으로 그래프로 나타낼 수 있습니다. 따라서 온도는 포물면이라고 불리는 XNUMX차원 포물선처럼 보입니다.

전체적으로 Caffarelli의 통찰력은 얼음-물 경계를 따라 특이점의 크기를 결정하는 명확한 방법을 제공했습니다. 특이점은 온도가 섭씨 XNUMX도인 점으로 정의되고 포물면은 특이점과 그 주변의 온도를 나타냅니다. 따라서 포물면이 XNUMX인 곳이면 어디에서나 특이점이 있습니다.

포물면이 XNUMX이 될 수 있는 곳이 몇 곳이나 될까요? 나란히 쌓인 일련의 포물선으로 구성된 포물면을 상상해보십시오. 이와 같은 포물면은 전체 라인을 따라 최소값(XNUMX 값)을 취할 수 있습니다. 이것은 Caffarelli가 관찰한 각각의 특이점이 실제로 하나의 얼음 점이 아니라 무한히 얇은 얼음 가장자리인 선의 크기일 수 있음을 의미합니다. 그리고 많은 선들이 모여서 표면을 형성할 수 있기 때문에 그의 작업은 한 세트의 특이점이 전체 경계 표면을 채울 수 있는 가능성을 남겼습니다. 이것이 사실이라면 스테판 문제의 특이점이 완전히 통제 불능 상태임을 의미합니다.

“모델에게는 재앙이 될 것입니다. 완전한 혼돈”이라고 피갈리가 말했다. 필즈상 수상, 2018년 수학 최고의 영예.

그러나 Caffarelli의 결과는 최악의 시나리오에 불과했습니다. 그것은 잠재적인 특이점의 최대 크기를 설정했지만 방정식에서 특이점이 실제로 얼마나 자주 발생하는지 또는 얼마나 오래 지속되는지에 대해서는 언급하지 않았습니다. 2019년까지 Figalli, Ros-Oton 및 Serra는 더 많은 것을 알아낼 수 있는 놀라운 방법을 알아냈습니다.

불완전한 패턴

스테판 문제를 해결하기 위해 Figalli, Ros-Oton 및 Serra는 방정식에서 발생하는 특이점이 제어됨을 증명해야 했습니다. 특이점이 많지 않고 오래 가지 않습니다. 그렇게 하려면 형성될 수 있는 모든 다른 유형의 특이점에 대한 포괄적인 이해가 필요했습니다.

Caffarelli는 얼음이 녹으면서 특이점이 어떻게 발생하는지 이해하는 데 진전을 이루었지만, 어떻게 처리해야 할지 모르는 과정의 특징이 있었습니다. 그는 특이점 주변의 수온이 포물면 패턴을 따른다는 것을 인식했습니다. 그는 또한 그것이 이 패턴을 정확히 따르지 않는다는 것을 인식했습니다. 완벽한 포물면과 수온이 보이는 실제 방식 사이에는 약간의 편차가 있습니다.

Figalli, Ros-Oton 및 Serra는 현미경을 포물면 패턴에서 이러한 편차로 옮겼습니다. 그들이 이 작은 불완전성(경계에서 물결치는 시원함의 속삭임)을 확대했을 때, 그들은 다른 유형의 특이점을 발생시키는 고유한 유형의 패턴이 있다는 것을 발견했습니다.

"그들은 포물선 스케일링을 넘어선다"고 말했다 산드로 살사 밀라노 폴리 테크닉 대학교. “놀랍네요.”

그들은 특히 수수께끼 같은 두 가지를 제외하고 이러한 모든 새로운 유형의 특이점이 자연에서와 마찬가지로 빠르게 사라졌다는 것을 보여줄 수 있었습니다. 그들의 마지막 과제는 이 두 가지 유형도 나타나는 즉시 사라지고 눈송이 같은 것은 견딜 수 있다는 가능성을 배제한다는 것을 증명하는 것이었습니다.

배니싱 커스프

첫 번째 유형의 특이점은 2000년에 나타났습니다. Frederick Almgren이라는 수학자는 비누 필름에 관한 1,000페이지 분량의 무시무시한 논문에서 이를 조사했습니다. 그는 죽었다.

수학자들은 비누막이 XNUMX차원에서 항상 매끄럽다는 것을 보여주었지만 Almgren은 XNUMX차원에서 새로운 종류의 "분기" 특이점이 나타나 비누막을 이상한 방식으로 날카롭게 만들 수 있음을 증명했습니다. 이러한 특이점은 매우 추상적이며 깔끔하게 시각화하는 것이 불가능합니다. 그러나 Figalli, Ros-Oton 및 Serra는 얼음과 물 사이의 녹는 경계를 따라 매우 유사한 특이점이 형성된다는 것을 깨달았습니다.

Serra는 "연결이 약간 미스테리합니다. "때때로 수학에서는 예상치 못한 방식으로 상황이 전개됩니다."

그들은 Almgren의 작업을 사용하여 이러한 분기 특이점 중 하나 주변의 얼음이 계속 확대할 때 동일하게 보이는 원추형 패턴을 가져야 함을 보여주었습니다. 그리고 온도에 대한 포물면 패턴과 달리 이는 전체 선을 따라 특이점이 존재할 수 있음을 의미합니다 , 원뿔형 패턴은 단일 지점에서만 날카로운 특이점을 가질 수 있습니다. 이 사실을 이용하여 그들은 이러한 특이점이 공간과 시간에 고립되어 있음을 보여주었다. 형성되자마자 사라집니다.

두 번째 종류의 특이점은 훨씬 더 신비했습니다. 그것을 이해하기 위해 얇은 얼음판을 물에 담그는 것을 상상해 보십시오. 그것은 줄어들고 줄어들고 한 번에 갑자기 사라집니다. 그러나 그 순간, 그것은 면도날처럼 날카로운 XNUMX차원 벽인 시트 같은 특이점을 형성할 것이다.

특정 지점에서 연구원들은 유사한 시나리오를 찾기 위해 확대했습니다. 마치 얇은 얼음 판 안에 있는 것처럼 지점을 향해 두 개의 얼음 전선이 무너지는 것입니다. 이 점들은 정확히 특이점이 아니라 특이점이 형성되려는 위치였습니다. 문제는 이 지점 근처의 두 전선이 동시에 무너졌는가였다. 그렇게 된다면, 시트 같은 특이점은 사라지기 전에 단 한 번의 완벽한 순간에 형성될 것입니다. 결국, 그들은 이것이 실제로 시나리오가 방정식에서 어떻게 진행되는지 증명했습니다.

"이것은 어떻게 든 직관을 확인시켜줍니다." 다니엘라 데 실바 버나드 칼리지.

이색적인 가지와 판상 특이점은 모두 드물다는 것을 보여주었고, 연구자들은 스테판 문제에 대한 모든 특이점은 드물다는 일반적인 진술을 할 수 있었습니다.

Ros-Oton은 "무작위로 시간을 선택하면 특이점을 볼 확률은 XNUMX입니다."라고 말했습니다.

수학자들은 작업의 기술적 세부 사항을 소화하는 데 시간이 걸릴 것이라고 말합니다. 그러나 그들은 그 결과가 수많은 다른 문제들에 대한 발전을 위한 토대가 될 것이라고 확신합니다. 스테판 문제는 경계가 이동하는 수학의 전체 하위 필드에 대한 기본 예입니다. 그러나 스테판 문제 자체와 얼음 조각이 물에 녹는 방법에 대한 수학은?

"이것은 닫혀 있습니다."라고 Salsa가 말했습니다.