수학자와 컴퓨터 과학자는 퇴색된 지식을 보존하고 오래된 질문을 다시 검토하는 것 외에도 집합 이론, 위상 및 인공 지능에서 획기적인 돌파구의 흥미로운 해를 보냈습니다. 그들은 현장에서 근본적인 질문에 대한 새로운 진전을 이루었고 수학의 먼 영역에 걸친 연결을 축하했으며 수학과 다른 학문 간의 연결이 성장하는 것을 보았습니다. 그러나 많은 결과는 부분적인 답변에 불과했으며 일부 유망한 탐색 방법은 막다른 골목으로 밝혀져 미래(및 현재) 세대를 위한 작업을 남겼습니다.

이미 바쁜 한 해를 보냈던 토폴로지 학자들은 이번 가을에 분실 위험에 처한 40년 된 주요 작업을 종합적으로 보여주는 책의 출간을 보았습니다. 11년 전에 만들어진 기하학적 도구는 서로 다른 연구 영역을 연결하면서 다른 수학적 맥락에서 새로운 생명을 얻었습니다. 그리고 집합 이론의 새로운 작업으로 수학자들은 무한대의 본질과 실제로 얼마나 많은 실수가 있는지 이해하는 데 더 가까워졌습니다. 이것은 올해 어떤 종류의 답변을 받은 수십 년 된 수학 문제 중 하나일 뿐입니다.

그러나 수학은 진공 상태에서 존재하지 않습니다. 이번 여름, 콴타 물리학에서 가장 성공적인 개념 중 하나인 양자장 이론에 대한 수학적 이해에 대한 수요 증가를 다루었습니다. 마찬가지로 컴퓨터는 계산을 수행할 뿐만 아니라 불가능한 문제를 해결하고 복잡한 증명을 검증하는 데에도 컴퓨터를 사용하는 수학자에게 점점 더 필수적인 도구가 되고 있습니다. 그리고 기계가 문제를 해결하는 데 더 능숙해짐에 따라 올해는 기계가 어떻게 문제를 해결했는지 이해하는 데 새로운 진전을 보였습니다.

수학적 증거는 한 번 발견되면 영원히 남을 것이라고 생각하기 쉽습니다. 그러나 1981년의 획기적인 위상수학 결과는 그것을 이해한 소수의 남아 있는 수학자들이 나이가 들고 현장을 떠났기 때문에 무명으로 사라질 위험에 처했습니다. 마이클 프리드먼(Michael Freedman)의 XNUMX차원 푸앵카레 추측 증명은 XNUMX차원 구와 어떤 면에서 유사(또는 "동종성 등가물")하는 특정 모양도 다른 면에서는 유사해야 "동형"이 된다는 것을 보여주었습니다. (토폴로지스트 각자의 방식이 있다 두 모양이 같거나 비슷한지를 판단하는 것입니다.) 다행히도, 디스크 임베딩 정리 거의 500 페이지에 설정 Freedman의 놀라운 접근 방식의 피할 수 없는 논리와 수학 정경의 발견을 확고히 확립합니다.

토폴로지의 또 다른 최근 주요 결과는 XNUMX차원 구의 기본 대칭이 기본적으로 모든 대칭인지 묻는 Smale 추측과 관련이 있습니다. 와타나베 타다유키 대답은 아니오입니다. 더 많은 종류의 대칭이 존재합니다. 그렇게 하면서 그는 최근 XNUMX월에 새로운 결과가 나타나면서 그것들에 대한 검색을 시작했습니다. 또한 두 명의 수학자는 "플로어 모라바 K-이론,” 단순한 기하학과 토폴로지를 결합한 프레임워크; 이 작업은 해당 분야의 문제에 접근하기 위한 새로운 도구 세트를 설정하고 거의 통과하여 Arnold 추측이라고 하는 수십 년 된 문제의 새로운 버전을 증명합니다. 콴타 또한 토폴로지 자체의 기원을 탐구했습니다. XNUMX월 칼럼 그리고 전담 해설사 상동성 관련 주제.

수학자들이 수학을 하는 것을 돕든, 과학 데이터 분석을 돕든, 인공 뉴런 층 위에 구축된 인공 지능의 한 형태인 심층 신경망은 점점 더 정교해지고 강력해졌습니다. 그것들은 또한 미스터리로 남아 있습니다. 전통적인 기계 학습 이론에 따르면 엄청난 수의 매개변수가 과적합과 일반화 불가능을 초래해야 하지만 분명히 다른 일이 발생해야 합니다. 커널 머신이라고 하는 더 오래되고 더 잘 알려진 머신 러닝 모델은 수학적으로 동등한 디지털 블랙박스를 이해하고 활용하는 새로운 방법을 제안하는 이러한 신경망의 이상화된 버전입니다.

하지만 차질도 있었다. 합성곱 신경망으로 알려진 관련 종류의 AI는 매우 어려움을 겪습니다. 비슷한 물건과 다른 물건 구별하기, 그리고 항상 그럴 가능성이 높습니다. 마찬가지로, 최근 연구에서는 신경망을 훈련하고 다른 계산 작업을 수행하는 데 유용한 알고리즘인 경사하강법이 다음과 같은 것으로 나타났습니다. 근본적으로 어려운 문제, 일부 작업은 영원히 도달할 수 없음을 의미합니다. 양자 컴퓨팅은 그 약속에도 불구하고 XNUMX월에 큰 차질을 겪었다. 주요 논문 오류 방지 토폴로지 큐비트를 생성하는 방법에 대한 설명은 철회되어 한때 희망찬 과학자들이 그러한 기계가 불가능할 수 있음을 깨닫게 되었습니다. (Scott Aaronson 강조, 칼럼과 영상에서, 양자 컴퓨터가 작업하기 어려운 이유, 심지어 이야기하기조차 어려운 이유.)

몇 개의 실수가 존재합니까? 한 세기가 넘도록 도발적이고 풀리지 않은 질문이었지만 올해는 답을 향한 주요 발전. David Asperó와 Ralf Schindler는 이전에 적대적인 두 공리를 결합한 증거를 2월에 발표했습니다. Martin의 최대값으로 알려진 그 중 하나의 변형은 (*)("별"로 발음됨)라는 다른 하나를 의미합니다. 결과는 두 공리가 모두 참일 가능성이 더 높다는 것을 의미하며, 이는 실수의 수가 처음에 생각했던 것보다 더 크다는 것을 의미하며 기수 $latexboldsymbol{aleph}_{1}$에 해당합니다. 무한) $latexboldsymbol{aleph}_{0}$. 이는 모든 자연수의 집합에 해당하는 $latexboldsymbol{aleph}_{XNUMX}$와 실수의 연속체 사이에 무한대의 크기가 존재하지 않는다는 연속체 가설을 위반합니다. 그러나 연속체 가설이 결국 옳았다는 것을 암시하는 새로운 작업을 게시한 (*)의 원래 작성자인 Hugh Woodin을 포함하여 모든 사람이 동의하는 것은 아닙니다.

이것은 현대 솔루션에 의해 재검토된 수십 년 된 문제가 아니었습니다. 1900년에 David Hilbert는 23개의 풀리지 않은 중요한 질문을 내놓았고, 올해는 수학자들이 12번째 문제에 대해 불완전한 답을 게시하는 것을 보았습니다. 특정 숫자 체계의 빌딩 블록, 그리고 13일에 대해 XNUMX차 다항식에 대한 솔루션. XNUMX월은 또한 다음과 같은 발표를 보았습니다. 단위 추측은 거짓이다, 이는 곱셈 역원이 실제로 수학자들이 생각한 것보다 더 복잡한 구조에 존재한다는 것을 의미합니다. 그리고 XNUMX월에 Alex Kontorovich는 수학에서 아마도 가장 큰 미해결 문제인 리만 가설을 다음과 같이 탐구했습니다. 에세이와 비디오.

종종 위대한 수학적 발전은 주요 질문에 답할 뿐만 아니라 다른 문제에 대해 시도할 수 있는 새로운 탐색 방법을 제공합니다. Laurent Fargues와 Jean-Marc Fontaine은 2010년경 자신들의 연구에 도움이 되는 새로운 기하학적 물체를 만들었습니다. 그러나 완벽한 공간을 둘러싼 Peter Scholze의 아이디어와 결합하면, Fargues-Fontaine 곡선은 확장 된 의미를 갖습니다., 수십 년 된 Langlands 프로그램의 일부로 정수론과 기하학을 더 연결합니다. "그것은 두 개의 다른 세계 사이의 일종의 웜홀입니다."라고 Scholze는 말했습니다.

Langlands 프로그램에 대한 다른 반추에는 다음이 포함되었습니다. 아나 카라아니와의 인터뷰, 수학의 이질적인 영역 사이의 유사한 연결을 강화하고 개선하는 데 도움을 준 작업과 갈루아 그룹 원래 Langlands 추측의 핵심에 대칭의.

실제 시스템은 복잡하기로 악명이 높으며 편미분 방정식(PDE)은 연구자가 시스템을 설명하고 이해하는 데 도움이 됩니다. 그러나 PDE는 해결하기 어려운 것으로도 악명이 높습니다. 두 가지 새로운 종류의 신경망 - DeepONet 및 푸리에 신경 연산자 - 이 작업을 더 쉽게 하기 위해 등장한. 둘 다 함수를 다른 함수로 변환하여 네트워크가 무한 차원 공간을 다른 무한 차원 공간에 매핑할 수 있도록 하는 연산자를 근사화할 수 있는 능력이 있습니다. 새로운 시스템은 기존의 방법보다 더 빠르게 기존 방정식을 풀고 이전에 모델링하기 너무 복잡했던 시스템에 PDE를 제공하는 데 도움이 될 수도 있습니다.

사실 컴퓨터는 올해 여러 면에서 수학자들에게 도움이 되었습니다. XNUMX월에는 콴타 상호 작용이 자체적으로 영향을 미칠 수 있는 비선형 시스템을 처리할 수 있도록 하는 양자 컴퓨터를 위한 새로운 알고리즘에 대해 보고했습니다. 더 단순하고 선형적인 것. 컴퓨터는 수학자 팀이 현대 하드웨어와 알고리즘을 사용하여 더 이상 특별한 사면체 유형이 없습니다. 26년 전에 발견한 것보다 더 극적으로, Lean이라는 디지털 교정 도우미가 문서의 정확성을 확인했을 때 불가해한 현대 증거.

물리학과 수학은 항상 겹치고 서로에게 영감을 주고 발전시켜 왔습니다. 물리학자들이 양자장을 포함하는 프레임워크를 설명하는 데 사용하는 포괄적인 양자장 이론의 개념은 엄청나게 성공했지만 불안정한 수학적 기반에 기반을 두고 있습니다. 양자장 이론에 수학적 엄격함을 가져오면 물리학자들이 그 프레임워크에서 작업하고 확장하는 데 도움이 될 것이지만 수학자들이 가지고 놀 수 있는 새로운 도구와 구조 세트도 제공할 것입니다. XNUMX부작 시리즈에서, 콴타 검사하는 주요 문제 현재 수학자들의 길을 막고 있는, 탐구된 소규모 성공 사례 XNUMX차원에서 가능성에 대해 논의했습니다. QFT 전문가 Nathan Seiberg, 그리고 비디오에서 가장 눈에 띄는 QFT에 대해 설명했습니다. 표준 모델.