기하학에서 가장 오래되고 가장 간단한 문제 중 하나가 수학자들의 허를 찔린 것은 처음이 아닙니다.

고대부터 예술가와 기하학자들은 어떻게 모양이 틈이나 겹치지 않고 전체 평면을 타일로 만들 수 있는지 궁금해했습니다. 그러나 "최근까지 알려진 것이 많지 않다"고 말했다. 알렉스 이오세비치, 로체스터 대학의 수학자.

가장 분명한 타일링은 반복됩니다. 정사각형, 삼각형 또는 육각형의 복사본으로 바닥을 덮는 것은 쉽습니다. 1960년대에 수학자들은 평면을 완전히 덮을 수 있지만 반복되지 않는 이상한 타일 세트를 발견했습니다.

"당신은 그러한 타일링의 구조를 이해하기를 원합니다."라고 말했습니다. 레이첼 그린펠드, 뉴저지 주 프린스턴 고등연구소의 수학자. "그들은 얼마나 미칠 수 있습니까?"

꽤 미친 듯이 밝혀졌습니다.

반복되지 않거나 비주기적인 첫 번째 패턴은 20,426개의 서로 다른 타일 세트에 의존했습니다. 수학자들은 그 숫자를 줄일 수 있는지 알고 싶어했습니다. 1970년대 중반까지 로저 펜로즈(로저 펜로즈는 2020년 노벨 물리학상을 수상하다 블랙홀 연구를 위해)는 "연"과 "다트"라고 불리는 단 두 개의 타일 세트로 충분하다는 것을 증명했습니다.

반복되지 않는 패턴을 만드는 것은 어렵지 않습니다. 많은 반복 또는 주기적 타일링을 조정하여 반복되지 않는 타일을 형성할 수 있습니다. 예를 들어 체스판처럼 정렬된 정사각형의 무한한 격자를 생각해 보십시오. 각 행을 이동하여 위의 행과 별개의 양으로 오프셋하면 전체 타일링을 다시 생성하기 위해 스탬프처럼 잘라내어 붙여넣을 수 있는 영역을 찾을 수 없습니다.

진짜 요령은 펜로즈의 타일처럼 평면 전체를 덮을 수 있지만 반복되지 않는 타일 세트를 찾는 것입니다.

Penrose의 두 타일은 다음과 같은 질문을 제기했습니다. 계산서에 맞는 영리한 모양의 단일 타일이 있을 수 있습니까?

놀랍게도 대답은 '예'로 밝혀졌습니다. 타일을 이동, 회전 및 반사할 수 있고 타일이 연결 해제된 경우에는 간격이 있음을 의미합니다. 이러한 간격은 적절하게 회전되고 적절하게 반사된 다른 타일 사본으로 채워져 궁극적으로 전체 XNUMX차원 평면을 덮습니다. 하지만 이 모양을 회전할 수 없다면 간격을 두지 않고 평면을 타일링하는 것은 불가능합니다.

과연, 몇 년 전, 수학자 싯다르타 바타차리야 타일 ​​디자인이 아무리 복잡하고 미묘하더라도 단일 타일의 이동 또는 변환만 사용할 수 있는 경우 비주기적으로 전체 평면을 덮을 수 있는 타일을 고안하는 것은 불가능하지만 주기적으로 아닙니다.

수학자들은 Bhattacharya의 XNUMX차원 결과가 고차원 공간에서도 유지될 것이라고 추측했습니다. 비주기적인 XNUMX차원 타일이 존재하지 않는 것처럼 그들은 적절한 XNUMX차원 블록(또는 더 복잡한 타일)이 존재하지 않는다고 가정했습니다.

이 가설은 주기적 타일링 추측이라고 불렸습니다.

안에 지난달에 게시된 프리프린트, 그린펠드와 함께 테렌스 타오 로스엔젤레스에 있는 캘리포니아 대학교의 연구진이 마침내 그 추측을 해결했지만 수학자들이 예상했던 방식은 아니었습니다. 그들은 고차원 공간을 비주기적으로 채울 수 있지만 주기적으로 채울 수 없는 타일을 구성하여 추측이 틀렸음을 증명했습니다.

“놀랐습니다. 나는 그 추측이 모든 차원에서 사실일 것으로 예상했다”고 말했다. 미할리스 콜룬차키스, 크레타 대학의 수학자. "그러나 충분히 높은 차원에서는 직관이 그다지 멀리 가지 않는 것 같습니다."

이상한 타일은 기하학적으로 가능한 것과 불가능한 것의 경계를 넓히는 데만 주목할만한 것이 아닙니다. 또한 논리 자체의 한계에 대한 질문을 포함하여 기하학을 넘어서는 질문과 밀접하게 연결되어 있습니다.

피벗

2019년에 Greenfeld는 박사후 연구원으로 UCLA에 도착했고, 그녀와 Tao는 둘 다 변환 타일링과 관련된 또 다른 문제에 대해 독립적으로 작업했으며 주기적 타일링 추측을 증명하는 데 목표를 세웠습니다.

이 추측은 이미 XNUMX차원과 XNUMX차원에서 사실로 알려져 있었기 때문에 그들은 그것을 XNUMX차원에서 증명하려고 했습니다. 공간을 주기적으로 바둑판 식으로 배열하십시오.

그들은 서로 다른 기술을 사용하여 XNUMX차원에서 추측을 다시 증명하면서 약간의 진전을 이루었습니다. 그러나 그들은 벽에 부딪쳤다. “어느 시점에서 우리는 좌절했고 '좋아, 이 추측을 더 높은 차원에서 증명할 수 없는 이유가 있을지도 모른다. 우리는 반례를 찾기 시작해야 합니다.'라고 Tao는 말했습니다.

그들은 20,000년에 출판된 1964개 이상의 타일 세트로 시작하여 번역을 통해 평면을 덮을 수 있지만 비주기적으로만 가능한 다른 비주기적 구성에 대한 문헌을 샅샅이 뒤졌습니다. 그런 다음 그들은 단일 비주기적 타일을 구성하기 위한 새로운 기술을 개발하기 시작했습니다.

그들은 설정 변경으로 시작했습니다. XNUMX차원 공간을 타일링하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 연속적인 평면을 타일로 배열하는 대신 그리드에 배열된 점의 무한 배열인 XNUMX차원 격자를 고려하십시오. 이제 타일을 해당 그리드의 유한한 점 집합으로 정의할 수 있습니다. 적절한 타일링이 있는 경우 유한한 점 세트의 복사본을 만들고 슬라이드하여 격자의 모든 점을 정확히 한 번 덮을 수 있습니다.

고차원 격자에 대한 "이산" 주기적 타일링 추측을 증명하는 것은 격자에서는 가능하지만 연속 공간에서는 불가능한 타일링이 있기 때문에 추측의 연속 버전을 증명하는 것과 약간 다른 문제입니다. 그러나 그들은 관련이 있습니다. Greenfeld와 Tao는 추측에 대한 별개의 반례를 제시하여 연속 사례에서도 작동하도록 수정할 수 있도록 계획했습니다.

2021의 여름, 그들은 가까이 왔다, 매우 높은 차원의 공간에서 두 개의 타일을 찾습니다. 타일은 자신이 거주하는 공간을 채울 수 있지만 비주기적으로만 가능합니다. Greenfeld는 "이것만으로는 충분하지 않습니다."라고 말했습니다. "두 개는 매우 가깝지만 두 개의 타일로 타일링하는 것은 단일 타일로 타일링하는 것보다 훨씬 덜 견고합니다." 그들이 주기적 타일링 추측에 대한 진정한 반례를 모으려면 XNUMX년 반이 더 걸릴 것입니다.

타일 ​​샌드위치

그들은 문제를 특별한 종류의 방정식으로 다시 작성하여 새로운 언어를 만드는 것으로 시작했습니다. 이 방정식에서 알 수 없는 "변수"(그들이 해결해야 하는 것)는 고차원 공간을 타일링하는 모든 가능한 방법을 나타냅니다. "그러나 단 하나의 방정식으로 사물을 설명하는 것은 어렵습니다."라고 Tao는 말했습니다. "때때로 공간에서 정말 복잡한 세트를 설명하기 위해 여러 방정식이 필요합니다."

그래서 Greenfeld와 Tao는 그들이 해결하려는 질문을 재구성했습니다. 그들은 대신 각 방정식이 솔루션에 대한 다른 제약 조건을 인코딩하는 방정식 시스템을 고안할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 이를 통해 문제를 다양한 타일에 대한 질문으로 나눌 수 있습니다. 이 경우 동일한 번역 세트를 사용하여 주어진 공간을 모두 덮는 타일입니다.

예를 들어 XNUMX차원에서 평면을 한 번에 한 단위씩 위, 아래, 왼쪽 또는 오른쪽으로 밀어 사각형으로 평면을 타일링할 수 있습니다. 그러나 다른 셰이프도 정확히 동일한 일련의 이동을 사용하여 평면을 타일링할 수 있습니다. 예를 들어 오른쪽 가장자리에 범프가 추가되고 왼쪽 가장자리에서 제거되는 사각형이 직소 퍼즐 조각처럼 나타납니다.

정사각형, 퍼즐 조각 및 동일한 일련의 시프트를 사용하는 기타 타일을 샌드위치의 콜드 컷처럼 함께 쌓으면 단일 변환 세트를 사용하여 XNUMX차원 공간. Greenfeld와 Tao는 더 많은 차원에서 이 작업을 수행해야 합니다.

Tao는 "어쨌든 우리는 고차원에서 작업하고 있었기 때문에 차원을 하나 더 추가해도 큰 문제가 되지 않았습니다."라고 말했습니다. 오히려 좋은 솔루션을 손에 넣는 데 필요한 추가적인 유연성을 제공했습니다.

수학자들은 이 샌드위치 만들기 절차를 반대로 하여 단일 방정식, 고차원 타일링 문제를 일련의 낮은 차원 타일링 방정식으로 다시 작성하려고 했습니다. 이러한 방정식은 나중에 더 높은 차원의 타일 구성이 어떻게 생겼는지 지시합니다.

Greenfeld와 Tao는 타일링 방정식 시스템을 컴퓨터 프로그램으로 생각했습니다. 코드의 모든 라인 또는 방정식은 명령이며 명령을 조합하면 특정 목표를 달성하는 프로그램을 생성할 수 있습니다. "논리 회로는 매우 기본적인 개체, 이러한 AND 게이트 및 OR 게이트 등으로 구성되며 각각 그다지 흥미롭지 않습니다."라고 Tao는 말했습니다. "그러나 그것들을 함께 쌓을 수 있고 사인파를 그리거나 인터넷에서 통신할 회로를 만들 수 있습니다."

"그래서 우리는 문제를 일종의 프로그래밍 문제로 보기 시작했습니다."라고 그는 계속했습니다. 각각의 명령은 최종 타일링이 만족해야 하는 다른 속성이므로 프로그램 전체는 모든 기준에 맞는 타일링이 비주기적이어야 함을 보장합니다.

그런 다음 문제는 모든 타일링 방정식을 인코딩하는 데 필요한 속성의 종류가 되었습니다. 예를 들어 샌드위치의 한 층에 있는 타일은 특정 유형의 움직임만 허용하는 방식으로 모양이 지정될 수 있습니다. 수학자들은 제약 조건 목록을 신중하게 작성해야 합니다. 따라서 어떤 솔루션도 배제할 정도로 제한적이지는 않지만 모든 주기적인 솔루션을 배제할 만큼 충분히 제한적입니다.

Greenfeld는 "여기서 게임은 올바른 수준의 제약 조건을 구성하여 올바른 퍼즐을 인코딩하는 것"이라고 말했습니다.

무한 스도쿠

Greenfeld와 Tao가 타일링 방정식으로 프로그래밍하기를 희망한 퍼즐은 무한한 수의 행과 크지만 유한한 수의 열이 있는 그리드였습니다. 수학자들은 타일링 방정식으로 설명할 수 있는 제약 조건의 종류에 해당하는 특정 숫자 시퀀스로 모든 행과 대각선을 채우려고 했습니다. 거대한 스도쿠 퍼즐에 비유한 것입니다. 그런 다음 쌍은 비주기적인 시퀀스를 찾았습니다. 즉, 타일링 방정식의 관련 시스템에 대한 솔루션도 비주기적이라는 의미입니다. Tao는 "기본적으로 이 퍼즐에 대한 해결책은 하나뿐이며, 거의 주기적이지만 그다지 주기적이지는 않은 재미있는 일"이라고 말했습니다. "찾는 데 시간이 많이 걸렸습니다."

"거의 주기적이지만 정확하지는 않은 함수를 연구하는 이런 종류의 것은 수학에서 주변에 있었던 것입니다."라고 말했습니다. 이자벨라 와바, 브리티시 컬럼비아 대학의 수학자. "그러나 이것은 그러한 유형의 구조를 사용하는 매우 다른 방법입니다."

Iosevich가 말했듯이 Greenfeld와 Tao는 "완전히 기초적인 물체를 만들어 상황이 더 복잡해 보이는 상황까지 끌어올렸습니다."

그렇게 함으로써 그들은 고차원의 비주기적 타일을 구성했습니다. 처음에는 불연속적인 환경에서, 그 다음에는 연속적인 환경에서 말입니다. 그들의 타일은 너무 복잡하고 비틀림과 구멍이 너무 많아서 간신히 타일 공간을 차지합니다. Tao는 "불쾌한 타일입니다."라고 말했습니다. “우리는 이 타일을 예쁘게 만들려고 하지 않았습니다.” 그와 Greenfeld는 그것이 사는 공간의 차원을 계산하지 않았습니다. $latex2^{{100}^{100}}$(또는 대략 3 뒤에 199이 XNUMX개)만큼 클 수 있습니다. "우리의 증명은 건설적이므로 모든 것이 명확하고 계산 가능합니다."라고 Greenfeld는 말했습니다. "하지만 최적과는 거리가 매우 멀기 때문에 확인하지 않았을 뿐입니다."

실제로 수학자들은 훨씬 더 낮은 차원에서 비주기적인 타일을 찾을 수 있다고 생각합니다. 그 이유는 건설의 일부 기술적인 부분이 개념적으로 "4차원에 매우 가까운" 특수 공간에서 작업하는 것과 관련이 있기 때문이라고 Greenfeld는 말했습니다. 그녀는 그들이 XNUMX차원 타일을 찾을 것이라고 생각하지 않지만 XNUMX차원 타일이 존재할 수 있다는 것은 가능하다고 말합니다.

그래서 Iosevich는 그들이 주기적인 타일링 추측을 반증했을 뿐 아니라 "그들은 가능한 가장 굴욕적인 방식으로 이것을 했다"고 말했습니다.

불완전성으로의 진출

이 작업은 비주기적 타일을 구성하는 새로운 방법을 제시합니다. Greenfeld와 Tao는 이제 다른 타일링 관련 추측을 반증하는 데 적용될 수 있다고 생각합니다. 그러면 수학자들이 복잡성이 발생할 수 있는 경계에서 더 멀리 나아갈 수 있게 될 것입니다. Tao는 "고차원 기하학이 단지 형편없다는 새로운 종류의 원칙이 있는 것 같습니다."라고 말했습니다. "그 병리가 나타날 수 있고 우리가 XNUMX차원과 XNUMX차원에서 얻는 직관이 오해의 소지가 있을 수 있다는 것입니다."

이 작업은 또한 인간 직관의 경계뿐만 아니라 수학적 추론의 경계에 대한 질문에도 접근합니다. 1930년대에 수학자 Kurt Gödel은 기본 산술을 개발하는 데 충분한 논리 시스템은 불완전하다는 것을 보여주었습니다. 증명되지도 반증되지도 않았다 그 시스템 내에서. 수학은 "결정할 수 없는" 진술로 가득 차 있다는 것이 밝혀졌습니다.

비슷한 맥락에서 그것은 계산적으로 결정 불가능한 문제로 가득차 있습니다. 한정된 시간 안에 어떤 알고리즘으로도 해결할 수 없는 문제입니다. 1960년대에 수학자들은 타일링에 관한 문제가 또한 결정 불가능할 수 있다는 것을 발견했습니다. 즉, 일부 도형 집합의 경우 주어진 공간을 타일로 지정했는지 여부를 유한한 시간 내에 파악하는 것이 불가능하다는 것을 증명할 수 있습니다. (원칙적으로 그렇게 하는 유일한 방법은 시간이 끝날 때까지 타일을 나란히 놓을 수 있는 모든 가능한 방법을 고려하는 것입니다.)

"이것은 매우 단순한 문제이지만 그럼에도 불구하고 수학의 범위를 벗어납니다."라고 말했습니다. 리차드 케년, 예일 대학교의 수학자. "특정 수학적 이론이 결정 불가능하거나 불완전한 상황의 첫 번째 예는 아니지만 실제로 가장 현실적인 것입니다."

작년에 Greenfeld와 Tao는 고차원 타일 쌍에 대한 일반적인 진술이 결정 불가능하다는 것을 발견했습니다. 그들은 특정 타일 쌍이 그들이 거주하는 공간을 완전히 덮도록 만들 수 있는지(주기적으로 또는 비정기적으로).

단일 타일에 대한 진술도 결정 불가능할 수 있습니까? 주기적인 타일링 추측이 사실이라면 주어진 타일이 평면을 덮을 수 있는지 여부를 결정하는 것이 항상 가능하다는 것은 1960년대부터 알려졌습니다.

그러나 그 반대가 반드시 사실인 것은 아닙니다. 비주기적 타일이 존재한다고 해서 결정 불가능한 타일이 존재한다는 의미는 아닙니다.

이것이 바로 Greenfeld와 Tao가 최근 결과를 위해 개발한 몇 가지 기술을 사용하여 다음에 알아내고자 하는 것입니다. Tao는 "우리가 만든 언어가 결정 불가능한 퍼즐을 만들 수 있어야 한다는 것은 상당히 그럴듯합니다."라고 말했습니다. "따라서 타일 공간을 타일로 만들거나 공간을 타일링하지 않는다는 것을 증명할 수 없는 타일이 있을 수 있습니다."

어떤 진술이 결정 불가능하다는 것을 증명하기 위해 수학자들은 일반적으로 그것이 이미 결정 불가능하다고 알려진 다른 질문과 동등하다는 것을 보여줍니다. 결과적으로 이 타일링 문제도 결정 불가능한 것으로 판명되면 다른 컨텍스트(공간을 타일링하는 방법에 대한 질문을 훨씬 넘어서는 컨텍스트)에서 결정 불가능성을 입증하기 위한 또 하나의 도구 역할을 할 수 있습니다.

그러나 한편 Greenfeld와 Tao의 결과는 일종의 경고 역할을 합니다. "수학자들은 아름답고 깨끗한 진술을 좋아합니다."라고 Iosevich는 말했습니다. “그러나 당신이 듣는 모든 것을 믿지 마십시오. … 불행하게도 수학의 모든 흥미로운 진술이 아름다울 필요가 있고 우리가 원하는 방식으로 작동해야 한다는 것은 사실이 아닙니다.”