デジタル時代は、私たちの世界とその中のオブジェクトをシミュレートすることを目的とした業界全体の台頭に拍車をかけました。 シミュレーションは、映画にリアルな効果をもたらし、自動車メーカーが自動車を仮想的にテストし、科学者が地球物理学的データを分析するのに役立ちます。

物理システムを3Dでシミュレートするために、研究者はコンピュータをプログラムして、オブジェクトを小さな要素のセットに分割することがよくあります。これは「メッシュ」と呼ばれる手順です。 ほとんどのメッシュ手法では、三角形または四角形（四角形）のパターンで2Dオブジェクトをタイル化し、三角形のピラミッド（四面体）または曲がった立方体（六面体、または「六角形」）のパターンで3Dオブジェクトをタイル化します。

計算幾何学と幾何学処理の分野では多くの進歩がありましたが、科学者たちは、驚くことに、少し曲げたり伸ばしたりできるキューブを積み重ねる数学をまだ完全に理解していません。 トポロジと呼ばれる数学の領域に関連する、立方体の要素を接着することによって形成できるパターンについては、多くの疑問が残ります。

MITの新しい作品 コンピュータサイエンスと人工知能研究所 （CSAIL）は、これらの質問のいくつかを調査することを目的としています。 研究者は、問題の数学的構造を探すことにより、既存のメッシュツールの欠点に対処する一連の論文を発表しています。 ベルン大学およびテキサス大学オースティン校の科学者と協力して、彼らの研究は、代数幾何学、トポロジー、微分幾何学などの数学の領域が、コンピュータ支援設計（CAD）、アーキテクチャ、ゲームで使用される物理シミュレーションをどのように改善できるかを示しています、および他のセクター。

「「実際に」展開されているシミュレーションツールは、必ずしもうまく機能するとは限りません」と、メッシュ関連のXNUMXつの新しい論文の上級著者であるMITの准教授、ジャスティン・ソロモン氏は述べています。 「メッシュにXNUMXつの問題がある場合、シミュレーションは現実の物理学と一致しない可能性があり、すべてを破棄する必要があるかもしれません。」 

In 1枚の紙、MITの学部生ZoëMarschnerが率いるチームは、特にXNUMX進メッシュの既存のアプローチをしばしば失敗させる可能性がある問題を修復するアルゴリズムを開発しました。

たとえば、一部のメッシュには、部分的に裏返しになっている要素や、​​外面からは検出できない方法で自己交差している要素が含まれています。 チームのアルゴリズムは反復で機能し、元の形状を忠実に保ちながら、このような反転をほどく方法でメッシュを修復します。

「厄介な未解決のトポロジーの問題は、XNUMX進メッシュの宇宙全体に現れます」とMarschnerは言います。 「私たちがそれらを理解するまで、私たちのアルゴリズムはしばしば微妙な方法で失敗します。」

マーシュナーのアルゴリズムは、「二乗和（SOS）緩和」と呼ばれる手法を使用して、XNUMX進要素が反転している場所を正確に特定します（研究者はこれを「無効」と説明しています）。 次に、hexエレメントの頂点を移動して、hexが以前は最も無効だったポイントで有効になるようにします。 アルゴリズムはこの手順を繰り返してヘクスを修復します。

今週の幾何学処理に関するシンポジウムで発表されることに加えて、マーシュナーの仕事は彼女のMITの2020アンナポゴシアンUROP賞を受賞しました。

A セカンドペーパー PhDの学生であるPaul Zhangは、人間の視覚システムとパターン認識アルゴリズムに重要な手がかりを提供するカーブ、エッジ、およびその他の機能を組み込むことでメッシュを改善しています。 

コンピュータがこれらの機能を確実に見つけるのは難しいことは言うまでもなく、メッシュに組み込むことは言うまでもありません。 「八面体フレームフィールド」と呼ばれる既存の構造を使用する これは、3Dボリュームのメッシュに従来から使用されているZhang氏のチームは、事前にフィーチャを追跡しようとする信頼性の低い方法に依存することなく、2Dサーフェスメッシュを開発できました。 

Zhangは、これらのいわゆる「機能に沿った」構造が視覚的に正確な四角形メッシュを自動的に作成し、コンピュータグラフィックスや仮想現実アプリケーションで広く使用されていることを示したと述べています。

「メッシュ作成の目的は、オブジェクトを単純化すると同時に元のドメインの精度を維持することであるため、このツールは、特徴に合わせた四角メッシュ作成の新しい標準を実現します」とZhang氏は言います。 

A 第三の論文 博士課程の学生であるDavid Palmerが率いる張とマーシュナーの研究をリンクし、八面体場の理論を発展させ、より良い数学が六角形メッシュの実用的な改善を提供する方法を示します。 

物理学と幾何学では、速度と流れは「ベクトル場」として表され、空間の領域内のすべての点に矢印を付けます。 3Dでは、これらのフィールドは非常に複雑な方法でねじれたり、結びついたり、相互に交差したりすることがあります。 さらに複雑なこととして、パーマーの研究では、「フレームフィールド」の構造が研究されています。この構造では、各点に複数の矢印が表示されます。

パーマーの作品は、フレームを記述する方法に新しい洞察を与え、それらを使用して3D空間にフレームを配置する方法を設計します。 彼の方法は、既存の作業を基に構築されており、高品質メッシュの設計を導くことができる滑らかで安定したフィールドを生成します。

ソロモン氏によると、彼のチームは、八面体フレームがねじれて結びつき、空間に構造を作成するすべての方法を最終的に特徴付けることを目指しています。 

「これは、理論がシミュレーションツールの品質に実際に影響を与える計算幾何学のクールな領域です」とソロモンは言います。 

Palmerは、Sandia National Labsのような、非線形弾性やオブジェクトの変形などの現象を含む複雑な物理シミュレーションを実施している組織を挙げています。 現在でも、エンジニアリングチームは手作業で六角形メッシュをほぼ完全に構築または修復していると彼は言います。 

「既存の自動メッシュ作成ソフトウェアでは、フレームのフィールドガイダンスにより、そこにあるメッシュピースの見栄えがよくなったとしても、完全なメッシュを生成できないことがよくあります」とパーマー氏は言います。 「私たちのアプローチは全体像を完成させるのに役立ちます。」

マーシュナーの論文は、ソロモン、チャン、パーマーによって共同執筆されました。 張の論文は、テキサス大学オースティン校のソロモン、ジョシュベクター、エティエンヌヴォーガ、ドイツのベルン大学のデビッドボムス教授、およびCSAILポスドクのエドワードチエンによって共同執筆されました。 パーマーの論文はソロモンとボムによって共同執筆されました。 ZhangとPalmerの論文は今月後半にSIGGRAPHコンピュータグラフィックス会議で発表されます。

プロジェクトの一部は、アドビシステムズ、米国空軍科学研究局、米国陸軍研究局、米国エネルギー省、ファニーアンドジョンハーツ財団、MathWorks、MIT-IBMワトソンAI研究所、 National Science Foundation、Skoltech-MIT Next Generationプログラム、およびToyota-CSAIL共同研究センター.