角氷をコップ一杯の水に落とします。 あなたはおそらくそれが溶け始める方法を想像することができます。 また、どのような形をしていても、鋭いエッジと細かい尖頭で構成された雪の結晶のようなものに溶けることは決してありません。

数学者は、この融解プロセスを方程式でモデル化します。 方程式はうまく機能しますが、それらが現実についての明白な事実に準拠していることを証明するのに130年かかりました。 さて、 XNUMX月に投稿された論文, アレッシオ・フィガリ & ジョアキム・セラ スイス連邦工科大学チューリッヒ校 ザビエルロスオトン バルセロナ大学の研究者は、方程式が実際に直感と一致することを確立しました。 モデルの雪片は不可能ではないかもしれませんが、それらは非常にまれで、完全につかの間です。

「これらの結果は、フィールドに新しい視点を開きます」と述べました。 マリア・コロンボ スイス連邦工科大学ローザンヌ校。 「これまで、この現象についてこれほど深く正確な理解はありませんでした。」

氷が水に溶ける方法の問題はステファン問題と呼ばれ、物理学者のヨーゼフ・シュテファンにちなんで名付けられました。 提起 これは「自由境界」問題の最も重要な例であり、数学者は熱の拡散などのプロセスによって境界がどのように移動するかを検討します。 この場合、境界は氷と水の間にあります。

長年、数学者はこれらの進化する境界の複雑なモデルを理解しようとしてきました。 進歩を遂げるために、新しい作品は、異なるタイプの物理システムに関する以前の研究からインスピレーションを得ています：石鹸膜。 それは、氷と水の間の進化する境界に沿って、尖頭や縁のような鋭い斑点がめったに形成されず、それらが形成されたとしてもすぐに消えることを証明するためにそれらに基づいています。

これらの鋭いスポットは特異点と呼ばれ、数学の自由な境界では、物理的な世界と同じように一時的なものであることがわかります。

溶ける砂時計

もう一度、コップ一杯の水の中の角氷を考えてみましょう。 XNUMXつの物質は同じ水分子でできていますが、水は固体と液体のXNUMXつの異なる相にあります。 XNUMXつのフェーズが出会う場所に境界が存在します。 しかし、水からの熱が氷に伝わると、氷が溶けて境界が移動します。 最終的に、氷とそれに伴う境界は消えます。

直感的に、この融解境界は常に滑らかなままであることがわかります。 結局のところ、コップ一杯の水から氷片を引っ張るとき、あなたは鋭いエッジで自分自身を切ることはありません。 しかし、少し想像力を働かせれば、鋭い斑点が現れるシナリオを簡単に想像できます。

砂時計の形をした氷を取り、それを沈めます。 氷が溶けると、砂時計のウエストは液体が完全に食べ尽くされるまでますます薄くなります。 これが起こった瞬間、かつては滑らかな腰だったものが、XNUMXつの先のとがった尖点、つまり特異点になります。

「これは、自然に特異点を示す問題のXNUMXつです」と述べています。 ジュゼッペ・ミンギオーネ パルマ大学の。 「それを物語るのは物理的な現実です。

しかし、現実は、特異点が制御されていることも示しています。 温水が急速に溶けるので、心臓弁膜尖は長くは続かないはずです。 おそらく、完全に砂時計で作られた巨大な氷のブロックから始めた場合、雪の結晶が形成される可能性があります。 しかし、それでも一瞬以上続くことはありません。

1889年、ステファンはこの問題を数学的精査にかけ、氷が溶けることを説明するXNUMXつの方程式を綴りました。 XNUMXつは、温水から冷氷への熱の拡散を説明します。これにより、氷が収縮し、水の領域が拡大します。 XNUMX番目の方程式は、融解プロセスが進むにつれて変化する氷と水の界面を追跡します。 （実際、方程式は氷が非常に冷たくて周囲の水が凍る状況を説明することもできますが、現在の研究では、研究者はその可能性を無視しています。）

「重要なことは、XNUMXつのフェーズが一方から他方に切り替わる場所を理解することです」とコロンボ氏は述べています。

100年代に、数学者がこれらの方程式が確固たる基盤を持っていることを証明するまで、ほぼ1970年かかりました。 いくつかの開始条件（水の初期温度と氷の初期形状の説明）が与えられると、モデルを無期限に実行して、温度（または累積温度と呼ばれる密接に関連する量）が時間とともにどのように変化するかを正確に説明することができます。

しかし、彼らは、モデルがおそらく奇妙なシナリオに到達することを妨げるものは何も見つかりませんでした。 方程式は、たとえば、尖頭の森に形成される氷と水の境界、または完全に静止している鋭い雪の結晶を表す場合があります。 言い換えれば、彼らはモデルがナンセンスを出力する可能性を排除することができませんでした。 ステファン問題は、これらの状況での特異点が実際にうまく制御されていることを示す問題になりました。

そうでなければ、それは氷の融解モデルが見事な失敗であったことを意味します—それがそれがそうであるよりしっかりしていると信じるように何世代もの数学者をだましていたもの。

せっけんのインスピレーション

数学者が氷の融解方程式を理解し始める前のXNUMX年間で、彼らは石鹸膜の数学で途方もない進歩を遂げました。

XNUMXつのワイヤーリングを石鹸液に浸してから分離すると、それらの間に石鹸膜が形成されます。 表面張力により、フィルムは可能な限りぴんと張られ、カテノイドと呼ばれる形状になります。これは一種の陥没した円柱です。 この形状は、表面積が最小のXNUMXつのリングを橋渡しするために形成され、数学者が 極小曲面.

石鹸膜は、独自の方程式のセットによってモデル化されます。 1960年代までに、数学者はそれらを理解する上で進歩を遂げましたが、彼らは彼らの解決策がどれほど奇妙であるかを知りませんでした。 ステファン問題の場合と同じように、解決策は容認できないほど奇妙で、私たちが期待する滑らかなフィルムとはまったく異なる無数の特異点を持つ石鹸膜を説明している可能性があります。

1961年と1962年に、エンニオデジョルジ、ウェンデルフレミングなどは、特異点のある状況が恐れられているほど悪いかどうかを判断するためのエレガントなプロセスを発明しました。

XNUMXつのリングのセットのように、XNUMXつの境界面の間のフィルムの形状を表す石鹸膜方程式の解があるとします。 フィルムの表面の任意の点に焦点を合わせます。 このポイントの近くのジオメトリはどのように見えますか？ 私たちがそれについて何かを知る前に、それは想像できるあらゆる種類の特徴を持っている可能性があります—鋭い尖頭から滑らかな丘まで何でも。 数学者は、まるで無限の力を持った顕微鏡を持っているかのように、その点を拡大する方法を考案しました。 彼らは、ズームインすると、平らな面しか見えないことを証明しました。

"いつも。 それだけです」とロスオトンは言いました。

この平坦さは、そのポイントの近くのジオメトリが特異ではないことを意味しました。 ポイントが尖点にある場合、数学者は平面ではなく、くさびのようなものを見ることになります。 また、ポイントをランダムに選択したため、フィルム上のすべてのポイントを間近で見ると、滑らかな平面のように見える必要があると結論付けることができます。 彼らの仕事は、映画全体が滑らかでなければならないことを確立しました—特異点に悩まされることはありません。

数学者はステファン問題に対処するために同じ方法を使用したかったが、彼らはすぐに氷では物事がそれほど単純ではないことに気づいた。 常に滑らかに見える石鹸膜とは異なり、溶ける氷は実際に特異点を示します。 そして、石鹸膜が置かれたままである間、氷と水の間の線は常に動いています。 これは、別の数学者が後で取り組むであろう追加の課題を提起しました。

映画から氷へ

1977年、ルイス・カッファレッリはステファン問題のために数学的拡大鏡を再発明しました。 彼は石鹸膜を拡大するのではなく、氷と水の境界を拡大する方法を考え出しました。

「これは彼の素晴らしい直感でした」とミンギオーネは言いました。 「彼はこれらの方法をdeGiorgiの極小曲面理論からこのより一般的な設定に移すことができました。」

数学者が石鹸膜方程式の解にズームインしたとき、彼らは平坦さしか見ませんでした。 しかし、Caffarelliが氷と水の間の凍った境界にズームインしたとき、彼は時々まったく異なる何かを見ました：凍ったスポットはほとんど完全に暖かい水に囲まれていました。 これらの点は、融解境界の後退によって取り残される氷のような尖点（特異点）に対応していました。

Caffarelliは、氷が溶ける数学に特異点が存在することを証明しました。 彼はまた、いくつあるかを推定する方法を考案しました。 氷の特異点の正確な場所では、特異点は氷でできているため、温度は常に摂氏XNUMX度です。 それは単純な事実です。 しかし、驚くべきことに、Caffarelliは、特異点から離れると、温度が明確なパターンで上昇することを発見しました。特異点からXNUMX単位離れて水中に移動すると、温度が約XNUMX単位上昇します。 XNUMXユニット離れると、温度が約XNUMX上昇します。

これは放物線関係と呼ばれます。これは、温度を距離の関数としてグラフ化すると、ほぼ放物線の形状が得られるためです。 ただし、空間はXNUMX次元であるため、XNUMXつだけでなく、特異点から離れるXNUMXつの異なる方向の温度をグラフ化できます。 したがって、温度は、放物面と呼ばれる形状であるXNUMX次元放物線のように見えます。

全体として、Caffarelliの洞察は、氷と水の境界に沿った特異点のサイズを決定する明確な方法を提供しました。 特異点は、温度が摂氏XNUMX度である点として定義され、放物面は、特異点とその周辺の温度を表します。 したがって、放物面がゼロに等しい場合は常に特異点があります。

では、放物面がゼロに等しくなる可能性のある場所はいくつありますか？ 並べて積み重ねられた一連の放物線で構成される放物面を想像してみてください。 このような放物面は、線全体に沿って最小値（ゼロの値）を取ることができます。 これは、Caffarelliが観察した特異点のそれぞれが、実際には、単一の氷点ではなく、線のサイズ、無限に薄い氷のエッジである可能性があることを意味します。 そして、多くの線を組み合わせて表面を形成できるため、彼の作品は、特異点のセットが境界表面全体を埋めることができる可能性を残しました。 もしこれが本当なら、それはステファン問題の特異点が完全に制御不能であったことを意味するでしょう。

「モデルにとっては惨事になるでしょう。 完全な混乱」とフィガリは語った。 フィールズ賞を受賞、2018年の数学の最高の栄誉。

ただし、Caffarelliの結果は、最悪のシナリオにすぎませんでした。 潜在的な特異点の最大サイズを確立しましたが、方程式で特異点が実際に発生する頻度や、それらがどのくらい続くかについては何も述べていません。 2019年までに、フィガリ、ロスオトン、セラは、詳細を知るための驚くべき方法を考え出しました。

不完全なパターン

ステファン問題を解くために、フィガリ、ロスオトン、セラは、方程式に現れる特異点が制御されていることを証明する必要がありました。それらは多くはなく、長続きしません。 そのためには、形成される可能性のあるさまざまな種類の特異点すべてを包括的に理解する必要がありました。

Caffarelliは、氷が溶けるにつれて特異点がどのように発達するかを理解する上で進歩を遂げましたが、彼が対処する方法を知らなかったプロセスの特徴がありました。 彼は、特異点周辺の水温が放物面パターンに従うことを認識しました。 彼はまた、それがこのパターンに正確に従わないことも認識しました—完全な放物面と実際の水温の見え方との間にはわずかな偏差があります。

フィガリ、ロスオトン、セラは、顕微鏡を放物面パターンからのこの逸脱にシフトしました。 彼らがこの小さな欠陥（境界から波打つ涼しさのささやき）にズームインしたとき、彼らはそれが異なるタイプの特異点を生じさせる独自の種類のパターンを持っていることを発見しました。

「それらは放物線状のスケーリングを超えています」と述べました。 サンドロサルサ ミラノ工科大学の。 「これはすごいです。」

彼らは、これらの新しいタイプの特異点のすべてが、特に謎めいたXNUMXつを除いて、自然界と同じように急速に消えたことを示すことができました。 彼らの最後の課題は、これらXNUMXつのタイプも出現するとすぐに消えることを証明し、雪の結晶のようなものが耐えられる可能性を排除することでした。

消えるカスプ

最初のタイプの特異点は、2000年に以前に登場しました。フレデリックアルムグレンという数学者は、石けん膜に関する恐ろしい1,000ページの論文でそれを調査しました。彼は死んだ。

数学者は石鹸膜が常にXNUMX次元で滑らかであることを示しましたが、アルムグレンはXNUMX次元で、新しい種類の「分岐」特異性が現れ、石鹸膜を奇妙な方法でシャープにすることができることを証明しました。 これらの特異点は非常に抽象的であり、きちんと視覚化することは不可能です。 しかし、フィガリ、ロスオトン、セラは、氷と水の融解境界に沿って非常に類似した特異点が形成されることに気づきました。

「接続は少し不思議です」とセラは言いました。 「数学では、物事が予期せぬ形で発展することがあります。」

彼らはアルムグレンの研究を使用して、これらの分岐特異点のXNUMXつの周りの氷は、ズームインし続けるのと同じように見える円錐パターンを持っている必要があることを示しました。また、温度の放物面パターンとは異なり、特異点が線全体に沿って存在する可能性があります。 、円錐形のパターンは、単一の点でのみ鋭い特異点を持つことができます。 この事実を使用して、彼らはこれらの特異点が空間と時間で分離されていることを示しました。 それらが形成されるとすぐに、それらはなくなります。

XNUMX番目の種類の特異点はさらに神秘的でした。 それを理解するために、薄い氷床を水に沈めることを想像してみてください。 それは縮んで縮み、突然一気に消えます。 しかし、その瞬間の直前に、それはシート状の特異点、かみそりのように鋭い二次元の壁を形成します。

ある時点で、研究者たちはズームインして類似のシナリオを見つけることができました。氷のXNUMXつの正面が、薄い氷床の中にあるかのようにその地点に向かって崩壊します。 これらの点は正確に特異点ではなく、特異点が形成されようとしていた場所でした。 問題は、これらの地点の近くのXNUMXつの正面が同時に崩壊したかどうかでした。 それが起こった場合、シート状の特異点は、それが消える前に、ほんの一瞬だけ形成されます。 結局、彼らはこれが実際にシナリオが方程式でどのように実行されるかを証明しました。

「これはどういうわけか直感を確認します」と言いました ダニエラデシルバ バーナード大学の。

エキゾチックな分岐とシート状の特異点の両方がまれであることを示したので、研究者はステファン問題のすべての特異点がまれであるという一般的な声明を出すことができました。

「時間をランダムに選択した場合、特異点が表示される確率はゼロです」とRos-Oton氏は述べています。

数学者は、仕事の技術的な詳細が消化するのに時間がかかると言います。 しかし、彼らはその結果が他の多くの問題の進歩の基礎を築くと確信しています。 ステファン問題は、境界が移動する数学のサブフィールド全体の基本的な例です。 しかし、ステファン問題自体、および角氷が水中でどのように溶けるかについての数学についてはどうでしょうか。

「これは閉鎖されています」とサルサは言いました。