数学で成功することはまれです。 聞いてください ベンソンファーブ.

「数学の難しい部分は、90％の確率で失敗することです。そして、90％の確率で失敗できるような人でなければなりません」と、ファーブはかつてディナーパーティーで言いました。 同じく数学者である別のゲストが、10％の確率で成功したことに驚きを表明したとき、彼はすぐに次のように認めました。「いいえ、いいえ、いいえ、成功率を誇張していました。 とても。」

シカゴ大学のトポロジー学者であるファーブは、彼の最近の失敗についてこれ以上満足することはできませんでしたが、公平を期すために、それは彼だけではありません。 それは、不思議なことに、解決されたものと解決されていないものの両方、閉じたものと開いたものの両方の問題を中心に展開します。

問題は、13世紀の変わり目にドイツの数学者David Hilbertがこの分野の未来を形作ると予測した、当時未解決だった23の数学の問題のうちの20番目でした。 この問題は、7次多項式の解法について質問します。 「多項式」という用語は、加算と減算によって接続された一連の数学用語（それぞれが数値係数と累乗された変数で構成されている）を意味します。 「XNUMX度」は、文字列の最大の指数がXNUMXであることを意味します。

数学者はすでに、2次、13次、およびある程度XNUMX次の方程式を解くための洗練された効率的なレシピを持っています。 これらの式は、よく知られているXNUMX次の二次式のように、代数演算を含みます。つまり、算術演算と部首（平方根など）のみを意味します。 しかし、指数が高いほど、方程式はより厄介になり、それを解くことは不可能に近づきます。 ヒルベルトのXNUMX番目の問題は、加算、減算、乗算、除算の合成に加えて、XNUMXつの変数topsの代数関数を使用してXNUMX次方程式を解くことができるかどうかを尋ねます。

答えはおそらくノーです。 しかしファーブにとって、問題は複雑なタイプの代数方程式を解くことだけではありません。 ヒルベルトの13番目は、数学における最も基本的な未解決の問題のXNUMXつであると彼は言いました。それは、深い質問を引き起こすからです。多項式はどれほど複雑で、それをどのように測定するのでしょうか。 「多項式の根を理解するために、現代の数学の膨大な範囲が発明されました」とファーブ氏は述べています。

問題は彼と数学者を導きました ジェシー・ウルフソン カリフォルニア大学アーバイン校で、数学的なウサギの穴に入る。そのトンネルはまだ探索中です。 彼らはまたドラフトしました マーク・キシン、ハーバード大学の数論者であり、ファーブの旧友であり、発掘を手伝ってくれました。

彼らはまだヒルベルトの13番目の問題を解決しておらず、おそらく近いものではない、とファーブは認めた。 しかし、彼らは事実上姿を消した数学的戦略を発掘し、問題と複雑な分析を含むさまざまな分野との関係を探求しました。 トポロジー, 数論, 表現論 & 代数幾何。 そうすることで、彼らは、特に多項式を幾何学に接続し、ヒルベルトの質問に対する可能な答えの分野を狭めることにおいて、彼ら自身の侵入をしました。 彼らの研究はまた、複雑さのメトリックを使用して多項式を分類する方法を提案しています—に関連する複雑さのクラスに類似しています 未解決のP対NP問題.

「彼らは、以前に研究したものよりも、質問からより興味深いバージョンを実際に抽出することができました」と述べました。 ダニエル・リット、ジョージア大学の数学者。 「彼らは数学コミュニティに多くの自然で興味深い質問を認識させています。」

開いて閉じて、もう一度開く

多くの数学者はすでに問題が解決したと考えていました。 それは、ウラジーミル・アーノルドという名前のソビエトの天才と彼の師であるアンドレイ・ニコリエビッチ・コルモゴロフが1950年代後半にその証拠を発表したためです。 ほとんどの数学者にとって、アーノルド-コルモゴロフの研究は本を閉じました。 ウィキペディアでさえ、決定的な情報源ではありませんが、公の知識の合理的な代理人であり、最近まで事件の終了を宣言していました。

しかし13年前、ファーブはアーノルドのエッセイでいくつかの興味をそそる行に出くわしました。そこでは有名な数学者が彼の仕事とキャリアを振り返りました。 ファーブは、アーノルドがヒルベルトのXNUMX番目の問題を未解決であると説明し、彼がすでに克服したと思われる問題を解決するために実際にXNUMX年を費やしたことを見て驚いた。

「それが解決されたことを文字通り繰り返すだけのこれらすべての論文があります。 彼らは明らかに実際の問題を理解していなかった」とファーブ氏は語った。 彼はすでにトポロジプロジェクトで当時のポスドク研究者であったウォルフソンと協力しており、アーノルドの論文で見つけたものを共有したとき、ウォルフソンは飛び入りました。2017年、ファーブの50歳の誕生日を祝うセミナーで、キシンはウォルフソンの話を聞きました。そして、多項式についての彼らの考えが数論における彼自身の研究の質問に関連していることに驚いて気づきました。 彼はコラボレーションに参加しました。

問題についての混乱の理由はすぐに明らかになりました：コルモゴロフとアーノルドは問題の変形だけを解決しました。 彼らの解決策は、数学者が連続関数と呼ぶものを含みました。これは、突然の不連続性や尖点のない関数です。 これらには、正弦関数、余弦関数、指数関数などの使い慣れた演算だけでなく、よりエキゾチックな演算も含まれます。

しかし、研究者たちはヒルベルトがこのアプローチに興味を持っているかどうかについて意見が分かれています。 「多くの数学者は、ヒルベルトが実際には連続関数ではなく代数関数を意味すると信じています」と述べています。 ジノヴィー・ライヒシュタイン、ブリティッシュコロンビア大学の数学者。 ファーブとウォルフソンは、ヒルベルトが発見して以来、意図したと信じている問題に取り組んできました。

ファーブ氏によると、ヒルベルトの13番目は万華鏡です。 「あなたはこのことを開きます、そしてあなたがそれに入れるほど、あなたはより多くの新しい方向性とアイデアを得るでしょう」と彼は言いました。 「それは、配列全体、この美しい数学の網全体への扉を開けます。」

物質のルーツ

数学者は、数学が存在する限り、多項式を精査してきました。 3,000、2年以上前に彫られた石の錠剤は、古代バビロニア数学者が4次の多項式を解くために公式を使用したことを示しています。これは、代数の学生が今日学ぶのと同じ2次方程式の楔形文字の先駆者です。 その式$ latex {x = frac {{– b pm sqrt {b ^ XNUMX – XNUMXac}}} {{XNUMXa}}} $は、根またはの値を見つける方法を示しています。 x これにより、2次多項式$ latex {ax ^ XNUMX + bx + c} $の式がゼロに等しくなります。

時間が経つにつれて、数学者は当然、そのようなクリーンな式が高次の多項式に存在するかどうか疑問に思いました。 「この問題の数千年の歴史は、強力でシンプルかつ効果的なものに戻ることです」とウォルフソン氏は述べています。

多項式の次数が大きくなるほど、扱いにくくなります。 彼の1545年の本の中で アルスマグナ、イタリアの博学者Gerolamo Cardanoは、XNUMX次（XNUMX次）およびXNUMX次（XNUMX次）多項式の根を見つけるための式を公開しました。

$ latex {ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0} $と書かれたXNUMX次多項式の根は、次の式を使用して見つけることができます。

四次方程式はさらに悪いです。

「程度が上がると、複雑さが増します。 それらは複雑さの塔を形成します」と述べました。 カーティス・マクマレン ハーバードの。 「どうすればその複雑さの塔を捉えることができますか？」

イタリアの数学者パオロ・ルフィニは、1799年に、5次以上の多項式は算術と部首を使用して解くことができないと主張しました。 ノルウェーのニールス・ヘンリック・アベルは1824年にそれを証明しました。言い換えれば、同様の「五次方程式」はあり得ません。 幸いなことに、より高次の多項式を進める方法を提案する他のアイデアが浮かび上がりました。これは、置換によって簡略化できます。 たとえば、1786年に、Erland Bringという名前のスウェーデンの弁護士は、$ latest {ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + dx ^ 2 + ex + f = 0} $の形式の5次多項式を再構築できることを示しました。 as $ latest {px ^ 1 + qx + 0 = XNUMX} $（ここで p & q によって決定される複素数です a, b, c, d, e & f). これは、多項式の固有であるが隠された規則にアプローチする新しい方法を示しました。

19世紀、ウィリアムローワンハミルトンはブリングらが中断したところから始めました。 彼は、とりわけ、XNUMX次多項式の根を見つけるには、通常の算術演算、いくつかの平方根と立方根、およびXNUMXつのパラメーターのみに依存する代数式のみが必要であることを示しました。

1975年、ハーバード大学のアメリカの代数学者リヒャルトブラウアーは、「分解方程式」の概念を導入しました。これは、ある程度の多項式を表すために必要な項の最小数を表します。 （XNUMX年も経たないうちに、アーノルドと日本の数論者志村五郎は別の論文でほぼ同じ定義を紹介しました。）

このような置換の規則を体系化する最初の試みを表したBrauerのフレームワークでは、ヒルベルトの13番目の問題は、3次多項式のレゾルベント次数がXNUMX未満である可能性があるかどうかを尋ねます。 その後、彼はXNUMX次とXNUMX次の多項式について同様の推測をしました。

しかし、これらの質問は、より広い質問も引き起こします。多項式の根を見つけるために必要なパラメーターの最小数はいくつですか。 どれくらい低くなることができますか？

視覚的に考える

この質問に取り組む自然な方法は、多項式がどのように見えるかを考えることです。 多項式は関数として記述できます—たとえば、$ latex {f（x）= x ^ 2 -3x + 1} $ —そしてその関数はグラフ化できます。 次に、根を見つけることは、関数の値が0の場合、曲線が交差することを認識することの問題になります。 x-軸。

高次の多項式は、より複雑な数値を生成します。 たとえば、XNUMXつの変数を持つXNUMX次多項式関数は、XNUMX次元に埋め込まれた滑らかでねじれた表面を生成します。 また、これらの図をどこで見るかを知ることにより、数学者は基礎となる多項式構造についてさらに学ぶことができます。

その結果、多項式を理解するための多くの努力は、代数幾何学とトポロジー、形状と図形が壊れることなく投影、変形、押しつぶされ、引き伸ばされ、または変換されたときに何が起こるかに焦点を当てた数学分野から借りています。 「アンリ・ポアンカレは基本的にトポロジーの分野を発明しました、そして彼は代数関数を理解するためにそれをしているとはっきりと言いました」とファーブは言いました。 「当時、人々はこれらの基本的なつながりに本当に取り組んでいました。」

ヒルベルト自身は、問題に幾何学を適用することによって、特に注目に値するつながりを発掘しました。 彼が1900年に問題を列挙するまでに、数学者は多項式を減らすためのさまざまなトリックを持っていましたが、それでも進歩することはできませんでした。 しかし、1927年に、ヒルベルトは新しいトリックについて説明しました。 彼は、XNUMX次多項式を単純化するためのすべての可能な方法を特定することから始め、その中に特別なXNUMX次曲面のファミリーを見つけました。

ヒルベルトは、すべての滑らかな27次曲面（4次多項式で定義されるねじれた形状）には、どのように絡み合っていても、正確にXNUMX本の直線が含まれていることをすでに知っていました。 （これらの線は、多項式の係数が変化するにつれてシフトします。）彼は、これらの線のXNUMXつを知っていれば、XNUMX次多項式を単純化してその根を見つけることができることに気付きました。 式に必要なパラメーターはXNUMXつだけです。 現代の用語では、それは分解度が最大でXNUMXであることを意味します。

「ヒルベルトの驚くべき洞察は、まったく異なる世界からのこの幾何学の奇跡を利用して、[分解度]を4に減らすことができるということでした」とファーブ氏は述べています。

接続のウェブに向けて

KisinがFarbとWolfsonが点を結ぶのを手伝ったとき、彼らは、ヒルベルトの13番目が解決されたという広範な仮定が、分解度への幾何学的アプローチへの関心を本質的に締めくくったことに気づきました。 2020年XNUMX月、ウォルフソンは論文を発表しました アイデアを復活させる XNUMX次多項式に関するヒルベルトの幾何学的研究をより一般的な理論に拡張することによって。

ヒルベルトは、XNUMXつの変数でXNUMX次多項式を解くために三次曲面に焦点を合わせていました。 しかし、より高次の多項式はどうですか？ 同様の方法でそれらを解決するために、Wolfsonは、そのXNUMX次曲面を、多くの変数のそれらの高次多項式によって形成される高次元の「超曲面」に置き換えることができると考えました。 これらの幾何学はあまり理解されていませんが、過去数十年で数学者は超曲面が常に線を持っていることを証明することができました。

三次曲面上の線を使用して100次多項式を解くというヒルベルトのアイデアは、これらの高次元超曲面上の線に拡張できます。 Wolfsonはこの方法を使用して、特定の次数の多項式の新しい単純な式を見つけました。 つまり、視覚化できない場合でも、多次元の47次超曲面（この場合はXNUMX次元）で平面を見つけることにより、XNUMX度の多項式を「簡単に」解くことができます。

この新しい方法で、Wolfsonは、9次多項式のレゾルベント次数のヒルベルトの値を確認しました。 そして、他の次数の多項式、特に次数XNUMXを超える多項式の場合、彼の方法は、分解次数の可能な値を絞り込みます。

したがって、これはヒルベルトの13番目の直接攻撃ではなく、一般的な多項式に対する攻撃です。 「彼らはいくつかの隣接する質問を見つけて、それらのいくつかを進歩させました。それらのいくつかは、それが元の質問に光を当てることを期待して、長年にわたっています」とマクマレンは言いました。 そして彼らの仕事は、これらの数学的構造についての新しい考え方を示しています。

この分解度の一般理論は、XNUMX度、XNUMX度、XNUMX度の方程式に関するヒルベルトの予想が、他の、一見無関係に見える数学の分野の問題と同等であることも示しています。 ファーブ氏によると、分解度は、複雑さのクラスで最適化問題をグループ化するのではなく、一種の代数的複雑さによってこれらの問題を分類する方法を提供します。

理論はヒルベルトの13番から始まったが、数学者は、XNUMX次多項式に関する未解決の質問を実際に解決できるかどうかについて懐疑的である。 それは想像を絶する次元で大きく、未踏の数学的風景に語りかけます—しかし、それはより低い数でレンガの壁にぶつかり、それらの分解度を決定することはできません。

マクマレンにとって、これらの進歩の兆候にもかかわらず、前進の欠如はそれ自体が興味深いものです。それは、問題が現代の数学では単純に理解できない秘密を保持していることを示唆しているからです。 「この根本的な問題に対処することはできませんでした。 それは、私たちが押し込んでいない暗い領域があることを意味します」と彼は言いました。

「それを解決するには、まったく新しいアイデアが必要です」と、彼が本質的な次元と呼ぶ概念を使用して多項式を単純化することについて独自の新しいアイデアを開発したライヒシュタインは言いました。 「彼らがどこから来るのかを知る方法はありません。」

しかし、トリオは不動です。 「私はこれをあきらめるつもりはない」とファーブは言った。 「それは間違いなく一種の白いクジラになりました。 私を動かし続けているのは、このつながりの網、それを取り巻く数学です。」