Ci è voluto molto tempo perché Claire Voisin si innamorasse della matematica.

Questo non vuol dire che l'argomento non le sia mai piaciuto. Cresciuta in Francia, decima di 10 figli, le piaceva passare ore a risolvere problemi di matematica con suo padre, un ingegnere. Quando compì 12 anni, aveva iniziato a leggere da sola un libro di testo di algebra al liceo, affascinata dalle definizioni e dalle dimostrazioni delineate nelle sue pagine. "C'era tutta questa struttura", ha detto. “L’algebra è in realtà una teoria delle strutture.”

Ma non vedeva la matematica come una vocazione per tutta la vita. Fu solo durante gli anni universitari che riconobbe quanto potesse essere profondo e bello e che fosse capace di fare nuove scoperte. Fino ad allora, ha perseguito seriamente diversi interessi oltre alla matematica: filosofia, pittura e poesia. (“Quando avevo 20 anni, penso di aver fatto solo matematica e pittura. Forse era un po’ eccessivo”, ha riso.) Quando aveva vent’anni, la matematica aveva inglobato tutto il resto. Ma la pittura e la poesia continuarono a influenzarla. Per lei la matematica è un'arte e un modo per superare e giocare con i limiti stessi del linguaggio.

Decenni dopo, dopo essere diventato un leader nel campo della geometria algebrica, Voisin ha nuovamente trovato il tempo per dipingere e realizzare sculture in argilla. Tuttavia, la matematica continua ad occupare gran parte della sua attenzione; preferisce trascorrere il suo tempo esplorando questo “mondo diverso” dove “è come se stessi sognando”.

Voisin è un ricercatore senior presso il Centro nazionale francese per la ricerca scientifica a Parigi. Lì studia le varietà algebriche, che possono essere pensate come forme definite da insiemi di equazioni polinomiali, nel modo in cui un cerchio è definito dal polinomio x² + y² = 1. È una delle massime esperte mondiali della teoria di Hodge, uno strumento utilizzato dai matematici per studiare le proprietà chiave delle varietà algebriche.

Voisin ha vinto numerosi premi per il suo lavoro, tra cui il Clay Research Award nel 2008, il Premio Heinz Hopf nel 2015 e il Premio Shaw per la matematica nel 2017. A gennaio, è diventata la prima donna a ricevere il Premio Crafoord nel XNUMX. Matematica.

Quanta ha parlato con Voisin della natura creativa della matematica. L'intervista è stata condensata e modificata per chiarezza.

Da bambino ti piaceva la matematica, ma non ti immaginavi di studiarla. Perché no?

C'è la magia di una dimostrazione: l'emozione che provi quando la capisci, quando ti rendi conto di quanto sia forte e di quanto ti rende forte. Da bambino, potevo già vederlo. E mi è piaciuta la concentrazione richiesta dalla matematica. È qualcosa che, invecchiando, trovo sempre più centrale nella pratica della matematica. Il resto del mondo scompare. Tutto il tuo cervello esiste per studiare un problema. È un'esperienza straordinaria, molto importante per me: lasciare il mondo delle cose pratiche, per abitare un mondo diverso. Forse è per questo che a mio figlio piace così tanto giocare ai videogiochi.

Ma ciò che mi ha reso un ritardatario della matematica, in un certo senso, è che non sono assolutamente interessato ai giochi. Non è per me. E al liceo la matematica sembrava un gioco. È stato difficile per me prenderlo sul serio. All'inizio non vedevo le profondità della matematica. Anche quando dopo il liceo ho cominciato a scoprire dimostrazioni e teoremi molto interessanti, in nessun momento ho pensato che avrei potuto inventare qualcosa da solo, che avrei potuto farlo mio.

Avevo bisogno di qualcosa di più profondo, di più serio, qualcosa che potessi fare mio.

Prima di trovarlo in matematica, dove lo cercavi?

Mi piaceva la filosofia e la sua insistenza sulla nozione di concetto. Inoltre, fino ai 22 anni circa, ho passato molto tempo a dipingere, soprattutto pezzi figurativi ispirati alla geometria. E amavo molto la poesia, l'opera di Mallarmé, Baudelaire, René Char. Vivevo già in una sorta di mondo diverso. Ma è normale, penso, quando sei più giovane.

Ma la matematica divenne sempre più importante. Ci vuole davvero tutto il tuo cervello. Quando non sei alla scrivania a lavorare su un problema specifico, la tua mente è ancora occupata. Quindi più facevo matematica, meno dipingevo. Ho ripreso a dipingere solo di recente, ora che i miei figli sono tutti usciti di casa e ho molto più tempo.

Alla fine, cosa ti ha portato a decidere di dedicare la maggior parte della tua energia creativa alla matematica?

La matematica è diventata sempre più interessante per me. Come master e dottorato di ricerca. Studente, ho scoperto che la matematica del XX secolo era qualcosa di molto profondo e straordinario. Era un mondo di idee e concetti. Nella geometria algebrica ci fu la famosa rivoluzione guidata da Alexander Grothendieck. Già prima di Grothendieck i risultati erano incredibili. Quindi è un campo recente, con idee belle ma anche estremamente potenti. La teoria di Hodge, che studio, ne faceva parte.

Diventava sempre più chiaro che la mia vita era lì. Naturalmente avevo una vita familiare – un marito e cinque figli – e altri doveri e attività. Ma ho capito che con la matematica avrei potuto creare qualcosa. Potevo dedicarvi la mia vita, perché era così bello, così spettacolare, così interessante.

Hai già scritto in precedenza su come la matematica sia uno sforzo creativo.

Sono un matematico professionista, quindi la mia giornata lavorativa è ufficialmente organizzata attorno alla matematica. Mi siedo alla scrivania; Lavoro su un computer. Ma la maggior parte della mia attività matematica non si svolge in quel periodo. Hai bisogno di una nuova idea, di una buona definizione, di un'affermazione che pensi di poter sfruttare. Solo allora il tuo lavoro potrà iniziare. E questo non succede quando sono alla scrivania. Ho bisogno di seguire la mia mente, di continuare a pensare.

Sembra che la matematica sia profondamente personale per te. Hai scoperto qualcosa su te stesso nel processo?

Facendo matematica, la maggior parte delle volte devo lottare contro me stesso, perché sono molto disordinato, non sono molto disciplinato e tendo anche a deprimermi. Non trovo che sia facile. Ma quello che ho scoperto è che in alcuni momenti – come la mattina a colazione, o quando cammino per le strade di Parigi o faccio qualcosa di insensato come pulire – il mio cervello inizia a lavorare da solo. Mi rendo conto che sto pensando alla matematica, senza averne l'intenzione. È come se stessi sognando. Ho 62 anni e non ho un vero metodo per fare buona matematica: aspetto ancora più o meno il momento in cui mi verrà l'ispirazione.

Lavori con oggetti molto astratti, con spazi ad alta dimensione, con strutture che soddisfano equazioni complicate. Come immagini un mondo così astratto?

Non è così difficile, in realtà. La definizione più astratta, una volta che la si prende confidenza, non è più astratta. È come una bella montagna che si vede molto bene, perché l'aria è molto limpida e c'è una luce che ti permette di vedere tutti i dettagli. A noi gli oggetti matematici che studiamo sembrano concreti, perché li conosciamo molto meglio di ogni altra cosa.

Naturalmente ci sono molte cose da dimostrare e quando inizi a imparare qualcosa potresti soffrire a causa dell'astrazione. Ma quando usi una teoria – perché ne capisci i teoremi – in effetti ti senti molto vicino agli oggetti in questione, anche se sono astratti. Imparando a conoscere gli oggetti, manipolandoli e utilizzandoli in discussioni matematiche, alla fine diventeranno tuoi amici.

E questo richiede anche di vederli da punti di vista diversi?

All'inizio non studiavo la geometria algebrica. Ho lavorato in geometria analitica e differenziale complessa. Nella geometria analitica si studia una classe molto più ampia di funzioni e le forme definite localmente da tali funzioni. Di solito non hanno un'equazione globale, a differenza della geometria algebrica.

All'inizio non ho prestato molta attenzione al punto di vista algebrico. Ma più invecchio e più lavoro in questo settore, più vedo la necessità di avere queste due lingue diverse.

C'è un teorema incredibile, chiamato GAGA, che è un po' uno scherzo; significa “senile” in francese, ma sta anche per geometria algebrica e geometria analitica. Dice che puoi passare da una lingua all'altra. Puoi eseguire un calcolo in geometria analitica complessa se è più semplice, quindi tornare alla geometria algebrica.

Altre volte, la geometria algebrica ti dà la possibilità di studiare una versione diversa di un problema che può dare risultati straordinari. Ho lavorato per comprendere la geometria algebrica nel suo insieme, piuttosto che concentrarmi solo sul suo aspetto di geometria complessa.

È interessante pensare a questi come a linguaggi matematici diversi.

La lingua è essenziale. Prima della matematica c’è il linguaggio. Molta logica è già all’interno del linguaggio. Abbiamo tutte queste regole logiche in matematica: quantificatori, negazioni, parentesi per indicare il giusto ordine delle operazioni. Ma è importante rendersi conto che tutte queste regole vitali per i matematici sono già nel nostro linguaggio quotidiano.

Potresti paragonare un teorema matematico a una poesia. È scritto a parole. È un prodotto del linguaggio. Abbiamo i nostri oggetti matematici solo perché usiamo il linguaggio, perché usiamo parole di tutti i giorni e diamo loro un significato specifico. Quindi puoi confrontare la poesia e la matematica, nel senso che entrambe si basano completamente sulla lingua ma creano comunque qualcosa di nuovo.

Sei stato attratto dalla matematica a causa della rivoluzione di Grothendieck nella geometria algebrica. Essenzialmente creò un nuovo linguaggio per fare questo tipo di matematica.

Destra.

Ci sono modi in cui il linguaggio matematico che stai utilizzando ora potrebbe ancora dover cambiare?

I matematici rielaborano costantemente il loro linguaggio. È un peccato, perché rende i documenti più vecchi piuttosto difficili da leggere. Ma rielaboriamo la matematica del passato perché la comprendiamo meglio. Ci dà un modo migliore di scrivere e dimostrare teoremi. Questo è stato il caso di Grothendieck, con la sua applicazione della coomologia dei fasci alla geometria. È davvero spettacolare.

È importante acquisire familiarità con l'oggetto che studi, al punto che per te è come una lingua madre. Quando una teoria comincia a formarsi, ci vuole tempo per trovare le giuste definizioni e per semplificare tutto. O forse è ancora molto complicato, ma acquisiamo molta più familiarità con le definizioni e gli oggetti; diventa più naturale usarli.

È un'evoluzione continua. Dobbiamo costantemente riscrivere e semplificare, teorizzare su cosa è importante, su quali strumenti rendere disponibili.

Hai dovuto introdurre nuove definizioni nel tuo lavoro?

A volte. In lavoro che ho fatto con János Kollár, c’è stato un punto di svolta in cui siamo finalmente riusciti a trovare la giusta visione del problema – attraverso una certa definizione. Questo era un problema molto classico e abbiamo lavorato con strumenti classici, ma la nostra dimostrazione era in realtà basata su questa definizione che avevamo impostato.

In un altro caso, Olivier Debarré, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì e mi sono dimostrato simpatico risultato della classificazione su oggetti chiamati varietà iper-Kähler. E il punto di partenza di quella dimostrazione è stata l’introduzione di un invariante, che originariamente chiamavamo “a."[Ride.]

Potresti sottovalutare l'importanza delle definizioni in matematica, ma non dovresti.

Le definizioni e il linguaggio non sono le uniche forze guida in matematica. Lo stesso vale per le congetture, che potrebbero essere vere o meno. Ad esempio, hai lavorato molto sulla congettura di Hodge, un problema del millennio di Clay la cui soluzione prevede un Ricompensa di 1 milioni di dollari.

Supponiamo che tu abbia una varietà algebrica che vuoi capire. Quindi passiamo al lato della geometria analitica complessa e la consideriamo invece come ciò che è noto come una varietà complessa. Puoi pensare a una varietà complessa in termini di forma globale o topologia. Esiste un oggetto, chiamato omologia, che fornisce molte informazioni topologiche sulla varietà. Ma non è così facile da definire.

Consideriamo ora le sottovarietà algebriche all'interno della tua varietà originale. Ciascuno avrà un invariante topologico e determinate informazioni topologiche ad esso associate. Quale parte dell'omologia della varietà complessa può essere ottenuta osservando questi invarianti topologici?

La congettura di Hodge fornisce una risposta specifica. E la risposta è molto sottile.

Quindi i matematici non sono sicuri se la congettura di Hodge finirà per rivelarsi vera o falsa?

Vuoi credere nella congettura di Hodge, perché è una guida nelle principali teorie della geometria algebrica.

Ti piacerebbe davvero comprendere le principali proprietà di una varietà algebrica. E se la congettura di Hodge fosse vera, ciò ti darebbe un controllo incredibile sulla geometria della tua varietà. Otterresti informazioni molto importanti sulla struttura delle varietà.

Ci sono alcune forti ragioni per crederci. Sono noti casi particolari della congettura di Hodge. E ci sono molte affermazioni profonde sulle varietà algebriche che suggeriscono che la congettura di Hodge è vera.

Ma c’è stata quasi una totale mancanza di progressi nel dimostrarlo. Ho anche dimostrato che non c'è modo di estendere la congettura di Hodge ad un altro contesto in cui sembrerebbe naturale. Quindi è stato un po’ uno shock.

Dopo decenni di lavoro come matematico, senti di dedicarti alla matematica in modo ancora più approfondito adesso?

Ora che sono più grande, ho molto più tempo per dedicare le mie energie alla matematica, per essere realmente presente in essa. Ho anche una migliore capacità di andare qua e là. In passato, forse perché avevo meno tempo, avevo meno mobilità, anche se essere troppo mobile, limitarsi a toccare i problemi senza attaccarli, non va bene. Ora ho più esperienza e posso costruire la mia immagine.

Hai un'immagine molto migliore di ciò che non sai, dei problemi aperti. Hai una visione dettagliata del tuo campo e dei suoi confini. Ci devono essere alcuni aspetti positivi nell’invecchiare. E c'è ancora tanto da fare.