Immagina che una griglia di esagoni, simile a un nido d'ape, si estenda davanti a te. Alcuni esagoni sono vuoti; altri sono riempiti da una colonna alta 6 piedi di solido cemento. Il risultato è una sorta di labirinto. Per oltre mezzo secolo i matematici si sono posti domande su tali labirinti generati casualmente. Quanto è grande la più grande rete di sentieri sgombrati? Quali sono le probabilità che esista un percorso da un bordo al centro della griglia e viceversa? Come cambiano queste possibilità man mano che la griglia aumenta di dimensioni, aggiungendo sempre più esagoni ai suoi bordi?

È facile rispondere a queste domande se c’è molto spazio vuoto o molto cemento. Supponiamo che a ogni esagono venga assegnato il suo stato in modo casuale, indipendente da tutti gli altri esagoni, con una probabilità costante su tutta la griglia. Potrebbe esserci, diciamo, una probabilità dell'1% che ogni esagono sia vuoto. Il cemento affolla la griglia, lasciando solo piccole sacche d'aria nel mezzo, rendendo di fatto pari a zero la possibilità di trovare un percorso verso il limite. D’altra parte, se c’è una probabilità del 99% che ogni esagono sia vuoto, c’è solo una sottile spruzzata di muri di cemento, che punteggiano fasce di spazio aperto – non proprio un labirinto. Trovare un percorso dal centro al bordo in questo caso è quasi una certezza.

Per le griglie di grandi dimensioni, si verifica un cambiamento notevolmente improvviso quando la probabilità raggiunge 1/2. Proprio come il ghiaccio si scioglie in acqua liquida esattamente a zero gradi Celsius, il carattere del labirinto cambia drasticamente in questo punto di transizione, chiamato probabilità critica. Al di sotto della probabilità critica, la maggior parte della griglia si troverà sotto il cemento, mentre i percorsi vuoti arriveranno invariabilmente a vicoli ciechi. Al di sopra della probabilità critica, enormi tratti vengono lasciati vuoti, e sono i muri di cemento che sicuramente si esauriranno. Se ti fermi esattamente alla probabilità critica, il cemento e il vuoto si equilibreranno a vicenda, senza che nessuno dei due sia in grado di dominare il labirinto.

“Nel punto critico, ciò che emerge è un grado più elevato di simmetria”, ha affermato Michael Aizenmann, un fisico matematico dell'Università di Princeton. “Ciò apre le porte a un enorme corpus di matematica”. Ha anche applicazioni pratiche in qualsiasi ambito, dalla progettazione di maschere antigas all'analisi di come si diffondono le malattie infettive o di come il petrolio filtra attraverso le rocce.

In un documento pubblicato lo scorso autunno, quattro ricercatori hanno finalmente calcolato la probabilità di trovare un percorso per i labirinti con una probabilità critica di 1/2.

Una corsa agli armamenti

Come studente di dottorato in Francia a metà degli anni 2000, Pierre Nolin studiato lo scenario di probabilità critica in grande dettaglio. Il labirinto casuale, pensa, è “un modello davvero bellissimo, forse uno dei modelli più semplici che si possano inventare”. Verso la fine dei suoi studi di dottorato, che ha terminato nel 2008, Nolin è rimasto affascinato da una domanda particolarmente impegnativa su come si comporta una griglia esagonale con probabilità critica. Supponiamo che tu costruisca una griglia attorno a un punto centrale, in modo che si avvicini a un cerchio, e costruisci casualmente il tuo labirinto da lì. Nolin voleva esplorare la possibilità che si possa trovare un percorso aperto che vada dal bordo al centro e torni indietro, senza ritornare su se stesso. I matematici lo chiamano percorso monocromatico a due bracci, perché sia ​​il “braccio” interno che quello esterno sono su percorsi aperti. (A volte si pensa che tali griglie siano costituite da due colori diversi, ad esempio azzurro e blu scuro, piuttosto che da celle aperte e chiuse.) Se si aumenta la dimensione del labirinto, aumenterà anche la lunghezza del percorso necessario. , e la possibilità di trovare un percorso del genere diventerà sempre più piccola. Ma quanto velocemente diminuiscono le probabilità, man mano che il labirinto diventa arbitrariamente grande?

Le domande correlate più semplici hanno ricevuto risposta decenni fa. Calcoli dal 1979 di Marcel den Nijs stimata la possibilità di trovare un percorso, o braccio, dal bordo al centro. (Confronta questo con il requisito di Nolin che ci sia un braccio dentro e uno separato fuori.) Il lavoro di Den Nijs prevedeva che la possibilità di trovare un braccio in una griglia esagonale è proporzionale a $latex 1/n^{5/48}$ , Dove n è il numero di tessere dal centro al bordo o il raggio della griglia. Nel 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm ed Wendelin Werner infine dimostrato che la previsione a un braccio era corretta. Per quantificare in modo sintetico la diminuzione della probabilità man mano che la dimensione della griglia aumenta, i ricercatori utilizzano l’esponente del denominatore, 5/48, noto come esponente a un braccio.

Nolin voleva calcolare il più sfuggente esponente monocromatico a due bracci. Simulazioni numeriche nel 1999 mostrò che era molto vicino a 0.3568, ma i matematici non riuscirono a stabilirne il valore esatto.

È stato molto più semplice calcolare il cosiddetto esponente policromatico a due bracci, che caratterizza la possibilità che, a partire dal centro, si possa trovare non solo un percorso “aperto” verso il perimetro, ma anche un percorso “chiuso” separato. (Pensa al percorso chiuso come a quello che attraversa le cime dei muri di cemento del labirinto.) Nel 2001, Stanislav Smirnov e Werner dimostrato che questo esponente era 1/4. (Poiché 1/4 è sostanzialmente più grande di 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ si riduce più rapidamente di $latex 1/n^{5/48}$ come n cresce. La possibilità, quindi, di una struttura policromatica a due bracci è molto inferiore alla possibilità di una struttura a braccio singolo, come ci si potrebbe aspettare.)

Quel calcolo si era basato in gran parte sulla conoscenza della forma dei cluster nel grafico. Immagina che un labirinto con probabilità critica sia estremamente grande, composto da milioni e milioni di esagoni. Ora trova un gruppo di esagoni vuoti e traccia il bordo del gruppo con uno spesso pennarello nero. Questo probabilmente non si tradurrà in un semplice blob rotondo. Da miglia in aria, vedresti una curva contorta che raddoppia costantemente, spesso sembra che stia per incrociarsi ma mai del tutto impegnativa.

Questo è un tipo di curva chiamata curva SLE, introdotta da Schramm in a carta 2000 che ha ridefinito il campo. Un matematico che studia le possibilità di trovare un percorso aperto e uno chiuso sa che tali percorsi devono trovarsi all'interno di gruppi più ampi di siti aperti e chiusi, che alla fine si incontrano lungo una curva SLE. Le proprietà matematiche delle curve SLE si traducono quindi in preziose informazioni sui percorsi all'interno del labirinto. Ma se i matematici cercano percorsi multipli dello stesso tipo, le curve SLE perdono gran parte della loro efficacia.

Nel 2007, Nolin e il suo collaboratore Vincent Beffara avevano creato simulazioni numeriche che mostravano che l'esponente monocromatico a due bracci era di circa 0.35. Questo era sospettosamente vicino a 17/48: la somma dell'esponente a un braccio, 5/48, e dell'esponente policromatico a due bracci, 1/4 (o 12/48). "17/48 è davvero sorprendente", ha detto Nolin. Cominciò a sospettare che 17/48 fosse la vera risposta, il che significava che esisteva un semplice collegamento tra i diversi tipi di esponenti. Potresti semplicemente aggiungerli insieme. “Abbiamo detto, OK, è troppo bello per essere falso; deve essere vero.

Per un po', dalla congettura di Nolin e Beffara non venne fuori nulla, anche se Nolin la pubblicò sul suo sito web affinché altri potessero lavorare. Si è trasferito a Hong Kong nel 2017 per assumere una cattedra presso la City University di Hong Kong e ha continuato a lavorare sul problema. Nel 2018 tirò fuori l'esponente in conversazione Wei Qian, che allora era un postdoc presso l'Università di Cambridge in Inghilterra. Qian stava studiando la geometria casuale nel contesto continuo anziché discreto, con particolare attenzione alle curve SLE. Era nel bel mezzo di un progetto che utilizzava SLE per calcolare gli esponenti in un diverso tipo di modello casuale, e Nolin iniziò a sospettare che la sua esperienza fosse rilevante anche per l'esponente monocromatico a due bracci. I due trovarono presto un'equazione apparentemente semplice la cui soluzione dava l'esponente, ma quell'equazione si basava su una quantità intermedia che aveva a che fare con lo spazio racchiuso da una curva SLE al bordo della griglia. Nolin e Qian non sono riusciti a definire quel numero.

"Ho fatto molti calcoli, ma non ero ancora in grado di calcolare questa proprietà", ha detto Qian. "Non ci sono riuscito, quindi mi sono fermato per un po'."

"Non ne abbiamo mai parlato con nessuno perché non eravamo sicuri se sarebbe stato utile o meno", ha aggiunto Nolin.

L'esponente della spina dorsale

L'esponente monocromatico a due bracci è particolarmente interessante perché descrive anche la “spina dorsale” di una griglia: l'insieme di esagoni che sono collegati a due bracci distinti che si estendono verso due bracci non sovrapposti: uno al bordo del labirinto e uno al il suo centro. Quando questi siti vengono colorati, formano una rete che attraversa l'intera griglia e viene chiamata spina dorsale. Quando i ricercatori modellano la diffusione di malattie o formazioni rocciose porose, la spina dorsale è un’autostrada lungo la quale possono fluire microbi o petrolio. L'esponente cercato da Nolin e Qian rivela la dimensione della spina dorsale e viene indicato come esponente della spina dorsale.

Nolin e Qian non erano gli unici a cercare la spina dorsale. Xin Sole, allora all'Università della Pennsylvania, aveva anche provato a calcolare l'esponente della dorsale. Negli anni precedenti, Sun e i suoi collaboratori, tra cui Nina Holden della New York University, avevano trovato un modo per studiare le curve SLE utilizzando superfici frattali casuali. Queste superfici estese e curve hanno bordi smerlati che si estendono in lunghi viticci. Alcuni punti sono a breve distanza dai loro vicini, mentre altri richiedono un viaggio di mesi. In alcuni luoghi, questi effetti sono troppo estremi per essere visualizzati. "In realtà non è possibile disegnarlo" in modo completamente accurato, ha detto Holden. "Dovresti allungare molto la superficie."

Nell'estate del 2022, Sun ha arruolato Zijie Zhuang, uno studente laureato del secondo anno, per unirsi allo studio del labirinto casuale con probabilità critica. Hanno considerato labirinti casuali in cui gli esagoni giacevano su una superficie frattale casuale, invece che su un piano piatto. Poiché il caso determina dove e quanto la superficie viene allungata e compressa, la superficie ha proprietà uniche. (Queste proprietà rendono tali superfici utili anche ai fisici che studiano modelli di gravità quantistica in un universo bidimensionale, dando loro il nome: superfici di gravità quantistica di Liouville.) Per esempio, se si portano le forbici su una superficie del genere, le forme delle le due metà non dipendono l'una dall'altra. “Questo tipo di indipendenza semplifica enormemente le cose”, ha affermato Scott Sheffield del Massachusetts Institute of Technology. Quando le cose sono casuali, ne sai meno, ma ciò potrebbe significare meno informazioni di cui tenere conto noiosamente.

Sun e Zhuang hanno prima cercato di determinare la probabilità che ci fosse un percorso aperto che collegava un piccolo cerchio attorno al centro della griglia con un cerchio più grande circostante. Dopo aver risposto a questa domanda, Sun ha suggerito un passo avanti nell’ambizione: calcolare la possibilità che ci fossero due percorsi che collegano i cerchi annidati, il che avrebbe dato loro un modo per calcolare l’esponente della dorsale. Ben presto, però, incontrarono delle difficoltà. "Abbiamo provato questo approccio per diversi mesi, ma il calcolo sembra non essere molto trattabile", ha scritto Zhuang in una e-mail.

Nel frattempo, anche se Nolin e Qian non erano riusciti a trovare il valore dell'esponente, avevano fatto progressi in altri modi. Qian ha preso un congedo dalla sua posizione presso il Centro nazionale francese per la ricerca scientifica e si è unita a Nolin come professore presso la City University di Hong Kong. (Si sono anche sposati.) Nell'estate del 2021, si è imbattuta in alcuni documenti di Sun e dei suoi collaboratori che l'hanno incuriosita, quindi, con la revoca delle restrizioni sui viaggi dovute alla pandemia, ha programmato una visita nel dicembre 2022 all'Institute for Advanced Study di Princeton. , New Jersey, dove Sun trascorreva l'anno.

Si è rivelata una visita proficua. Mentre Qian descriveva l'equazione che lei e Nolin avevano trovato, Sun iniziò a pensare che potesse essere adattabile alla tecnica sua e di Zhuang di sovrapporre i labirinti sulle superfici di gravità quantistica di Liouville. "È una specie di coincidenza", ha detto Sun. "Un ragazzo ha una serratura, un ragazzo ha una chiave."

Zhuang era un po' scettico. "Non abbiamo previsioni e non sappiamo nemmeno se la formula avrà una buona soluzione", ha detto, descrivendo la situazione in quel momento. Sun e Zhuang trascorsero i mesi successivi utilizzando le loro tecniche di gravità quantistica di Liouville – la chiave – per sbloccare la quantità sfuggente nell'equazione di Nolin e Qian di anni prima: la serratura.

Dopo quattro mesi di lavoro, Sun e Zhuang avevano aperto la serratura metaforica. Sun ha inviato un'e-mail a Zhuang, Qian e Nolin, proclamando: "Grandi notizie: formula esatta per l'esponente della spina dorsale". La risposta, trovò, era un'espressione moderatamente complicata delle radici quadrate e della funzione trigonometrica del seno. Era in accordo con le stime precedenti, un flusso infinito di cifre che iniziavano con 0.3566668.

I quattro trasformarono il loro lavoro in un articolo scritto, perfezionando l'argomentazione fino a quando le idee di Nolin e Qian da un lato, e di Sun e Zhuang dall'altro, si unirono per creare una prova che Sheffield, che era il consulente di dottorato di Sun, definì "una bellissima gioiello." "La strategia di prova è sicuramente sorprendente e molto originale, ma quando la vedi, è anche qualcosa che sembra naturale", ha detto Holden.

Nolin lamenta il sospetto del 2011 che l'esponente fosse esattamente 17/48. “Abbiamo ingannato il settore per un bel po’ di tempo. Non ne sono molto fiero”. L'esponente della spina dorsale è sorprendentemente diverso dai suoi cugini policromi. Non solo è irrazionale, ma è anche trascendentale, nel senso che come $latex pi$ e e, non può essere scritta come la soluzione di una semplice equazione polinomiale.

"La prova non spiega realmente da dove provenga questa formula", ha detto. "Lo abbiamo mostrato ai fisici e non vediamo l'ora di conoscere la loro intuizione."

La natura trascendentale dell'esponente della spina dorsale ha attirato l'attenzione di altri nel campo. Gregory Huber del Chan Zuckerberg Biohub, coautore di a articolo successivo riguardo all’esponente principale, ha detto che secondo lui il risultato è il “primo assaggio di un nuovo continente” nella meccanica statistica. Sebbene combinare le curve SLE e la gravità quantistica di Liouville sia estremamente tecnico, la risposta numerica chiara e semplice che è emersa, ha scritto, è “straordinariamente semplice ed elegante”.