Nel mese di ottobre è previsto il lancio di un razzo Falcon Heavy da Cape Canaveral in Florida, che trasporterà la missione Europa Clipper della NASA. La missione da 5 miliardi di dollari è progettata per scoprire se Europa, la quarta luna più grande di Giove, può ospitare la vita. Ma poiché Europa è costantemente bombardata dalle intense radiazioni create dal campo magnetico di Giove, la navicella spaziale Clipper non può orbitare attorno alla luna stessa. Invece, scivolerà in un’orbita eccentrica attorno a Giove e raccoglierà dati oscillando ripetutamente accanto a Europa – 53 volte in totale – prima di ritirarsi dalla peggiore delle radiazioni. Ogni volta che la sonda orbiterà attorno a Giove, il suo percorso sarà leggermente diverso, garantendo così la possibilità di scattare foto e raccogliere dati dai poli di Europa al suo equatore.

Per pianificare tour contorti come questo, i pianificatori di traiettoria utilizzano modelli computerizzati che calcolano meticolosamente la traiettoria un passo alla volta. La pianificazione tiene conto di centinaia di requisiti di missione ed è supportata da decenni di ricerca matematica sulle orbite e su come unirle in tour complicati. I matematici stanno ora sviluppando strumenti che sperano possano essere utilizzati per creare una comprensione più sistematica di come le orbite si relazionano tra loro.

“Ciò che abbiamo sono i calcoli precedenti che abbiamo fatto, che ci guidano mentre facciamo i calcoli attuali. Ma non è un quadro completo di tutte le opzioni che abbiamo", ha detto Daniele Scheeres, un ingegnere aerospaziale presso l'Università del Colorado, Boulder.

"Penso che quella sia stata la mia più grande frustrazione quando ero studente", ha detto Dayung Koh, un ingegnere del Jet Propulsion Laboratory della NASA. "So che queste orbite ci sono, ma non so perché." Considerando il costo e la complessità delle missioni sulle lune di Giove e Saturno, non sapere perché le orbite siano dove sono è un problema. E se esistesse un’orbita completamente diversa in grado di portare a termine il lavoro con meno risorse? Come ha detto Koh: “Li ho trovati tutti? Ce ne sono altri? Questo non posso dirlo.

Dopo aver conseguito il dottorato presso la University of Southern California nel 2016, Koh si è interessata a come le orbite possano essere catalogate in famiglie. Le orbite gioviane lontane da Europa formano una tale famiglia; così fanno le orbite vicine a Europa. Ma altre famiglie sono meno evidenti. Ad esempio, per due corpi qualsiasi, come Giove ed Europa, esiste un punto intermedio in cui gli effetti gravitazionali dei due corpi si bilanciano per creare punti stabili. I veicoli spaziali possono orbitare attorno a questo punto, anche se non c'è nulla al centro dell'orbita. Queste orbite formano una famiglia chiamata orbite di Lyapunov. Aggiungi un po' di energia a un'orbita del genere accendendo il motore di un veicolo spaziale e all'inizio rimarrai nella stessa famiglia. Ma aggiungine abbastanza e passerai a un'altra famiglia, diciamo una che include Giove nelle sue orbite. Alcune famiglie di orbite potrebbero richiedere meno carburante di altre, rimanere sempre alla luce del sole o avere altre caratteristiche utili.

Nel 2021, Koh si è imbattuto in un articolo che discuteva come affrontare le orbite caotiche dal punto di vista della geometria simplettica, un campo astratto della matematica che è generalmente lontano dai dettagli disordinati del mondo reale. Iniziò a sospettare che la geometria simplettica potesse avere gli strumenti di cui aveva bisogno per comprendere meglio le orbite e si mise in contatto con Agostino Moreno, l'autore del documento. Moreno, allora ricercatore post-dottorato presso l'Università di Uppsala in Svezia, fu sorpreso e felice di sentire che qualcuno alla NASA era interessato al suo lavoro. "È stato inaspettato, ma è stato anche piuttosto interessante e motivante allo stesso tempo", ha detto.

I due iniziarono a lavorare insieme, cercando di applicare le tecniche astratte di Moreno al sistema Giove-Europa e a Saturno e alla sua luna Encelado, che, come Europa, potrebbe avere vita nel suo oceano sotterraneo. Nell'ultimo anno, insieme ad altri collaboratori, hanno scritto una serie di articoli che creare un framework per catalogazione delle orbite. A gennaio, Moreno, ora professore all'Università di Heidelberg, ha completato una prima bozza che ha trasformato il suo documento di indagine in un documento libro sull'argomento. Con il libro vuole rendere utile il campo astratto della geometria simplettica agli ingegneri che stanno cercando di pianificare missioni spaziali. Se ci riuscirà, riunirà campi di indagine che si sono allontanati nel corso dei secoli.

Nessuna strada maestra verso la geometria

La geometria simplettica ha le sue radici nella fisica. Per fare un semplice esempio, immagina un pendolo. Il suo movimento può essere descritto da due parametri: angolo e velocità. Se la velocità è sufficientemente bassa, il pendolo oscillerà avanti e indietro. Se la velocità è maggiore, girerà in cerchio. In un pendolo idealizzato senza attrito, una volta scelto l'angolo di partenza e la velocità, il comportamento del sistema è determinato per sempre.

È possibile creare un grafico con l'angolo come x-asse e la velocità come y-asse. Ma poiché viaggiare a 360 gradi ti riporta all'inizio, puoi cucire insieme le linee verticali dove x è zero gradi e dove x è a 360 gradi. Questo crea un cilindro. Il cilindro non riflette direttamente la realtà fisica – non mostra i percorsi tracciati dal pendolo – piuttosto, ogni punto su di esso rappresenta uno stato particolare del pendolo. Il cilindro, insieme alle leggi che determinano i percorsi che il pendolo può seguire, forma uno spazio simplettico.

Dall'inizio del XVII secolo, quando Giovanni Keplero formulò le sue leggi, fisici e matematici hanno avuto una solida conoscenza di come descrivere il movimento di due corpi soggetti alla gravità. A seconda della velocità con cui si muovono, i loro percorsi formano un'ellisse, una parabola o un'iperbole. Gli spazi simplettici corrispondenti sono più complicati di quelli del pendolo, ma comunque trattabili. Ma l’introduzione di un terzo oggetto rende impossibile calcolare soluzioni esatte e analitiche. E diventa ancora più complicato se aggiungi più corpi al modello. "Senza questa intuizione analitica, quasi sempre, a un certo livello, si spara nel buio", ha detto Scheeres.

Un veicolo spaziale che può muoversi liberamente in qualsiasi direzione – da destra a sinistra, su e giù e da davanti a dietro – ha bisogno di tre coordinate per descrivere la sua posizione e altre tre per descrivere la sua velocità. Ciò crea uno spazio simplettico a sei dimensioni. Per descrivere il moto di tre corpi, come Giove, Europa e una navicella spaziale, servono 18 dimensioni: sei per corpo. La geometria dello spazio è definita non solo dal numero di dimensioni che possiede, ma anche dalle curve che mostrano come evolve nel tempo il sistema fisico descritto.

Moreno e Koh hanno lavorato su una versione “limitata” del problema dei tre corpi in cui uno dei corpi (la navicella spaziale) è così piccolo da non avere alcun impatto sugli altri due (Giove ed Europa). Per semplificare ulteriormente le cose, i ricercatori hanno ipotizzato che l’orbita della Luna fosse perfettamente circolare. Puoi prendere la sua orbita circolare come sfondo stabile rispetto al quale considerare il percorso della sonda spaziale. Lo spazio simplettico deve tenere conto solo della posizione e della velocità della navicella spaziale, poiché il movimento di Giove ed Europa può essere facilmente descritto. Quindi invece di essere a 18 dimensioni, lo spazio simplettico corrispondente è a sei dimensioni. Quando un percorso in questo spazio a sei dimensioni forma un anello, rappresenta un'orbita periodica della navicella spaziale attraverso il sistema pianeta-luna.

Quando Koh contattò Moreno, era incuriosita dai casi in cui aggiungendo solo un po' di energia si fa sì che l'orbita di un veicolo spaziale salti da una famiglia all'altra. Questi punti di incontro tra famiglie di orbite sono chiamati punti di biforcazione. Spesso molte famiglie si incontrano in un unico punto. Ciò li rende particolarmente utili per i pianificatori di traiettorie. "Comprendere la struttura della biforcazione ti dà una tabella di marcia su dove sono le traiettorie interessanti che dovresti guardare", ha detto Scheeres. Koh voleva sapere come identificare e prevedere i punti di biforcazione.

Dopo aver sentito Koh, Moreno ha arruolato alcuni altri geometri: Urs Frauenfelder dell'Università di Augusta, Cengiz Aydin dell'Università di Heidelberg e Otto van Koert dell'Università Nazionale di Seul. Frauenfelder e van Koert avevano studiato a lungo il problema dei tre corpi utilizzando la geometria simplettica, anche scoprendo una potenziale nuova famiglia di orbite. Ma sebbene gli ingegneri che pianificano missioni spaziali abbiano utilizzato una miriade di strumenti matematici, negli ultimi decenni sono stati scoraggiati dalla crescente astrazione della geometria simplettica.

Nel corso dei mesi successivi, l'ingegnere e i quattro matematici impararono lentamente a conoscere i rispettivi campi. "Ci vuole un po' di tempo quando si fa un lavoro interdisciplinare per, diciamo, superare le barriere linguistiche", ha detto Moreno. "Ma dopo aver svolto il lavoro paziente, inizia a dare i suoi frutti."

Il Toolkit

Il team ha messo insieme una serie di strumenti che sperano possano essere utili ai pianificatori delle missioni. Uno degli strumenti è un numero chiamato indice Conley-Zehnder che può aiutare a determinare quando due orbite appartengono alla stessa famiglia. Per calcolarlo, i ricercatori esaminano i punti vicini, ma non sopra, all’orbita che vogliono studiare. Immagina, ad esempio, che un'astronave stia seguendo un'orbita ellittica attorno a Giove, influenzata dalla gravità di Europa. Se lo allontani dal suo percorso, la sua nuova traiettoria imiterà l'orbita originale, ma solo in modo approssimativo. Il nuovo percorso si svilupperà a spirale attorno all'orbita originale, tornando in un punto leggermente diverso dopo aver girato intorno a Giove. L’indice Conley-Zehnder misura quanto avviene la spirale.

Sorprendentemente, l'indice Conley-Zehnder non dipende dalle specifiche di come si spinge la navicella spaziale: è un numero associato all'intera orbita. Inoltre, è lo stesso per tutte le orbite della stessa famiglia. Se calcoli l'indice Conley-Zehnder per due orbite e ottieni due numeri diversi, puoi essere sicuro che le orbite appartengono a famiglie diverse.

Un altro strumento, chiamato numero di Floer, può suggerire famiglie di orbite da scoprire. Supponiamo che diverse famiglie si scontrino in un punto di biforcazione quando l'energia raggiunge un particolare numero, e che molte altre famiglie si diramano da quel punto di biforcazione quando l'energia è più alta. Ciò forma una rete di famiglie il cui fulcro centrale è la biforcazione.

Puoi calcolare il numero Floer associato a questo punto di biforcazione come una semplice funzione degli indici Conley-Zehnder associati a ciascuna famiglia rilevante. Puoi calcolare questa funzione sia per tutte le famiglie che hanno un'energia appena inferiore al punto di biforcazione, sia per le famiglie la cui energia è maggiore. Se i due numeri Floer differiscono, questo è un indizio che ci sono famiglie nascoste legate al tuo punto di biforcazione.

"Quello che stiamo facendo è fornire strumenti con cui gli ingegneri testano i loro algoritmi", ha detto Moreno. I nuovi strumenti sono progettati principalmente per aiutare gli ingegneri a capire come le famiglie di orbite si incastrano e per spingerli a cercare nuove famiglie ove giustificato; non intende sostituire le tecniche di ricerca della traiettoria che sono state affinate nel corso di decenni.

Nel 2023 Moreno presentò il lavoro ad un convegno organizzato dalla “Comitato dei meccanici del volo spaziale”, ed è stato in contatto con ingegneri che ricercano traiettorie spaziali, tra cui alcuni al JPL e al laboratorio di Scheeres a Boulder. Scheeres accolse con favore la mescolanza di campi: conosceva da tempo l'approccio simplettico al moto planetario, ma si sentiva fuori dalla sua portata dal punto di vista matematico. "È stato davvero emozionante vedere i matematici cercare di portare la loro esperienza nel campo dell'ingegneria", ha detto. Il gruppo di Scheeres sta ora lavorando su un sistema più complesso che coinvolge quattro organismi.

Ed Belbruno, un consulente per la pianificazione della traiettoria (ed ex analista orbitale del JPL) che ha lavorato con Frauenfelder, avverte che le applicazioni non sono dirette. "Sebbene una tecnica matematica come la geometria simplettica possa elaborare traiettorie davvero interessanti, e se ne ottengono un gran numero, è possibile che pochissime, se non nessuna, soddisfino i vincoli" di cui una vera missione potrebbe aver bisogno , Egli ha detto.

Sebbene le traiettorie del Clipper siano già in gran parte stabilite, Moreno sta guardando al prossimo pianeta: Saturno. Ha già presentato la sua ricerca ai pianificatori della missione del JPL che sperano di inviare un veicolo spaziale sulla luna di Saturno Encelado. Moreno spera che la geometria simplettica “diventi parte degli strumenti standard delle missioni spaziali”.