Il cambio di programma è avvenuto durante un viaggio. In una bella giornata dello scorso aprile, i matematici Rachel Greenfeld ed Sara Peluse partirono dalla loro istituzione di origine, l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New Jersey, diretti a Rochester, New York, dove entrambi avrebbero dovuto tenere dei discorsi il giorno successivo.

Erano quasi due anni alle prese con un’importante congettura nell’analisi armonica, il campo che studia come scomporre segnali complessi nelle frequenze che li compongono. Insieme ad un terzo collaboratore, Marina Iliopoulou, stavano studiando una versione del problema in cui le frequenze componenti sono rappresentate come punti su un piano le cui distanze l'una dall'altra sono legate a numeri interi. I tre ricercatori stavano cercando di dimostrare che non potevano esserci troppi di questi punti, ma finora tutte le loro tecniche si erano rivelate insufficienti.

Sembrava che girassero le ruote. Poi Peluse ebbe un'idea: e se abbandonassero il problema dell'analisi armonica – temporaneamente, ovviamente – e rivolgessero la loro attenzione a insiemi di punti in cui la distanza tra due punti qualsiasi è esattamente un numero intero? Quali possibili strutture possono avere tali insiemi? I matematici hanno cercato di comprendere gli insiemi di distanze intere fin dai tempi antichi. Ad esempio, le terne pitagoriche (come 3, 4 e 5) rappresentano triangoli rettangoli i cui tre vertici sono tutti a distanza intera.

"In macchina, immagino perché Rachel era intrappolata con me, ho parlato dell'argomento", ha detto Peluse, che ora è professore all'Università del Michigan. L’idea di affrontare la distanza intera elettrizza Greenfeld.

Prima che se ne rendessero conto, si erano imbarcati non in un cambio di direzione, ma in due.

"In realtà abbiamo smesso di prestare attenzione a dove stavamo andando e non siamo scesi dalla superstrada", ha detto Peluse. "Stavamo andando nella direzione opposta rispetto a Rochester per circa un'ora prima che ce ne accorgessimo, perché eravamo così entusiasti dei calcoli."

Nel 1945, Norman Anning e Paul Erdős dimostrato che un insieme infinito di punti nel piano distanti tutti interi devono giacere su una linea. Per un insieme finito di punti, le possibilità sono un po' più varie. I matematici hanno costruito grandi insiemi che giacciono su una linea o su un cerchio, a volte con tre o quattro punti aggiuntivi fuori dalla strada principale. (I punti stessi non devono avere coordinate intere: la domanda riguarda le distanze tra loro.)

Nessuno è riuscito a stabilire un insieme ampio di punti con altre configurazioni, ma nessuno ha dimostrato che altre configurazioni siano impossibili. Nei quasi 80 anni trascorsi dal risultato di Anning ed Erdős, l’argomento non ha visto praticamente alcun progresso – fino ad ora.

Greenfeld, Iliopoulou e Peluse lo hanno fatto dimostrato che tutti i punti in un grande insieme di distanze intere - tranne forse una manciata sparsa di punti anomali - devono giacere su una singola linea o cerchio. "Se vuoi avere un insieme ampio in cui tutte le distanze a coppie sono numeri interi, allora i cerchi e le linee sono gli unici giocatori", ha detto József Solymosi dell'Università della Columbia Britannica. Ha definito il loro risultato una “soluzione fantastica”.

Il nuovo approccio utilizza idee e tecniche provenienti da tre distinte aree della matematica: combinatoria, teoria dei numeri e geometria algebrica. Questa unione di diversi campi "potrebbe essere una vera svolta psicologica", ha detto Terence tao, matematico dell'Università della California, Los Angeles.

Alex Iosevich, dell'Università di Rochester, è d'accordo. “Hanno gettato basi molto solide per una serie molto ampia di problemi”, ha detto. "Non ho assolutamente alcun dubbio che questo troverà applicazioni ancora più profonde."

I limiti della semplicità

All'interno di un piano, è facile scegliere un insieme infinito di punti che siano tutti distanti interi: basta prendere la tua linea preferita, immaginare una linea numerica sovrapposta ad essa e utilizzare alcuni o tutti i punti corrispondenti a numeri interi. Ma questo è l'unico modo per costruire una distanza intera infinita posta nel piano, come realizzarono Anning ed Erdős nel 1945. Non appena hai solo tre punti che non sono tutti sulla stessa linea, la tua configurazione diventa così vincolata che è impossibile per aggiungere infinitamente molti più punti.

Il motivo si riduce alla semplice geometria. Immagina di iniziare con due punti, A e B, distanti un intero. Se vuoi aggiungere un terzo punto, C, che è una distanza intera sia da A che da B ma non giace sulla linea che li passa, la maggior parte dei punti nel piano non funzionerà. Gli unici punti vitali si trovano su curve speciali chiamate iperboli che tagliano tra A e B. Se A e B sono, diciamo, a 4 unità di distanza, allora ci sono esattamente quattro di queste iperboli. (Un'iperbole solitamente ha due parti distinte, quindi ad esempio le due curve rosse nella figura sotto formano un'unica iperbole.)

Una volta scelto C (che in questo esempio è 3 unità da A e 5 unità da B), non hai quasi più opzioni per aggiungere più punti. Qualsiasi punto che potresti aggiungere deve trovarsi su una delle iperboli tra A e B, o sulla retta che le attraversa. Ma deve anche trovarsi su una delle iperboli tra A e C, e su una delle iperboli tra B e C (o sulle linee corrispondenti) - in altre parole, un nuovo punto può essere posizionato solo dove si intersecano tre iperboli o linee (sebbene non tutti i punti di intersezione funzioneranno). Ci sono solo un numero finito di queste iperboli e linee per cominciare, e due iperboli (o linee) possono intersecarsi al massimo in quattro punti. Quindi ti ritroverai con solo un numero finito di punti di intersezione tra cui scegliere: non puoi costruire un insieme infinito.

Quando si tratta di capire come appare effettivamente un insieme finito di punti di distanza interi, l’approccio dell’iperbole diventa rapidamente ingombrante. Man mano che aggiungi punti, devi affrontare un numero crescente di iperboli. Ad esempio, quando il tuo insieme avrà solo 10 punti, aggiungendo un 11 creerai 10 nuove famiglie di iperboli, tutte quelle tra il tuo nuovo punto e ciascuno dei punti già presenti nell'insieme. "Non puoi aggiungere molti punti, perché ti perderai in tutte quelle iperboli e intersezioni", ha detto Greenfeld.

Quindi i matematici hanno cercato principi più gestibili per costruire grandi insiemi di punti interi a distanza che non giacciono su una linea. Ma sono riusciti a trovare un solo approccio: mettere i punti su un cerchio. Se si desidera impostare una distanza intera con, ad esempio, un trilione di punti, ci sono modi per ottenere un trilione di punti su un cerchio di raggio 1 le cui distanze sono tutte frazioni. Quindi puoi gonfiare il cerchio finché tutte le distanze frazionarie non si trasformano in numeri interi. Più punti desideri nel tuo set, più avrai bisogno di gonfiare il cerchio.

Nel corso degli anni, i matematici hanno proposto solo esempi leggermente più esotici. Possono costruire grandi insiemi di distanze intere in cui tutti i punti tranne quattro giacciono su una linea o tutti tranne tre giacciono su un cerchio. Molti matematici sospettano che questi siano gli unici grandi insiemi di distanze intere in cui non tutti i punti si trovano su una linea o su un cerchio. Lo sapranno per certo se riusciranno mai a dimostrare qualcosa chiamata congettura di Bombieri-Lang. Ma i matematici sono divisi sulla probabilità che questa congettura sia vera.

Dal lavoro di Anning ed Erdős del 1945, i matematici hanno fatto pochi progressi nella comprensione degli insiemi di distanze intere. Nel corso del tempo, il problema della distanza intera sembrò unirsi a una serie di altri problemi di combinatoria, teoria dei numeri e geometria che sono semplici da enunciare ma apparentemente impossibili da risolvere. "È una misura di quanto sia patetica la nostra matematica", ha detto Tao.

In un certo senso, il problema della distanza intera è stato vittima dei suoi primi successi. La dimostrazione dell’iperbole, con la sua ingegnosa semplicità, è emblematica della filosofia sposata da Erdős, un matematico molto influente che spesso parlava del “Libro” – un volume immaginario delle dimostrazioni più eleganti della matematica. La cultura della semplicità promossa da Erdős ha portato a “risultati straordinari” nella geometria combinatoria, ha detto Iosevich. Ma può anche portare a punti ciechi – in questo caso, riguardo al valore di introdurre approcci dalla geometria algebrica.

"Non penso che troverete un risultato [in geometria algebrica] dimostrato negli ultimi 50 anni che non sia molto complicato e tecnicamente complicato", ha detto Iosevich. “Tuttavia, a volte le cose devono andare così”.

In retrospettiva, il problema della distanza intera attendeva matematici disposti a considerare curve più indisciplinate delle iperboli e quindi ad attingere a strumenti reconditi della geometria algebrica e della teoria dei numeri per domarle. "Ci volevano persone con una sufficiente ampiezza di conoscenze e interessi", ha detto Iosevich.

La maggior parte dei matematici, ha detto, si accontentano di utilizzare alcuni strumenti in un angolo della matematica per tutta la loro carriera. Ma Greenfeld, Iliopoulou e Peluse sono esploratori senza paura, ha detto Iosevich. “Considerano la matematica come un tutto coerente”.

Complessificare il problema

Nell'estate del 2021, Greenfeld ha deciso che era giunto il momento di affrontare un problema di analisi armonica su cui rimuginava dai tempi della scuola di specializzazione. L'analisi armonica classica, che costituisce la base per l'elaborazione del segnale nel mondo reale, consiste nella scomposizione dei segnali in onde sinusoidali di diverse frequenze e fasi. Questo processo funziona perché è possibile creare un elenco infinito di onde sinusoidali che, se combinate, catturano tutte le caratteristiche di qualsiasi segnale, senza alcuna ridondanza.

Spesso, però, i ricercatori vogliono studiare qualcosa di più complicato di un segnale unidimensionale. Ad esempio, potrebbero voler decomporre un segnale su un disco nell'aereo. Ma il disco può ospitare solo una raccolta finita di onde sinusoidali compatibili, troppo poche per catturare il comportamento di tutti i possibili segnali sul disco. La domanda quindi diventa: quanto può essere grande questa collezione finita?

In tale raccolta, le frequenze dei seni possono essere rappresentate come punti nel piano che sembrano contrari a raggrupparsi in linee e cerchi: non troverai mai tre punti che siano tutti vicini alla stessa linea, o quattro che siano tutti vicini allo stesso circolo. Greenfeld sperava di sfruttare questa avversione per dimostrare che questi insiemi di frequenze possono contenere solo pochi punti.

In un incontro del 2021 presso l’Università di Bonn, Greenfeld ha partecipato a un discorso sul “metodo dei determinanti”, una tecnica della teoria dei numeri che può essere utilizzata per stimare quanti punti interi di determinati tipi possono trovarsi sulle curve. Questo strumento, si rese conto, poteva essere proprio ciò di cui aveva bisogno. Greenfeld reclutò Iliopoulou e Peluse, anch'essi presenti alla riunione. "Abbiamo iniziato a imparare questo metodo insieme", ha detto Greenfeld.

Ma nonostante i molti sforzi, non riuscivano a piegare il metodo determinante al loro scopo e nella primavera del 2023 si sentivano scoraggiati. Iosevich aveva invitato Greenfeld e Peluse a recarsi a Rochester per una visita. "Così abbiamo pensato: 'OK, andremo a Rochester e parlare con Alex ci rinvigorirà'", ha detto Peluse. Ma come si è scoperto, sono atterrati a Rochester già rinvigoriti, grazie a una discussione tonificante sulla distanza intera iniziata durante la loro deviazione non pianificata lungo il fiume Susquehanna in Pennsylvania.

Sono arrivati ​​troppo tardi per una cena programmata con Iosevich, ma lo hanno trovato ad aspettare nella hall dell'hotel con sacchi di cibo da asporto. Ha perdonato il loro ritardo - ed è stato più che indulgente la mattina dopo, quando gli hanno parlato del loro piano per affrontare i set a distanza intera. "Era così eccitato", ha ricordato Peluse. "Emotivamente, questa è stata una grande spinta."

Come con l'approccio dell'iperbole, Greenfeld, Iliopoulou e Peluse hanno cercato di controllare la struttura degli insiemi di distanze intere identificando famiglie di curve su cui devono giacere i punti. Il metodo dell'iperbole inizia a diventare troppo complicato non appena si hanno più di pochi punti, ma Greenfeld, Iliopoulou e Peluse hanno capito come considerare molti punti contemporaneamente spostando l'intera configurazione in uno spazio a dimensione superiore.

Per vedere come funziona, supponi di iniziare con un punto di "riferimento" A nel tuo set di distanze intere. Ogni altro punto nell'insieme è una distanza intera da A. I punti vivono in un piano, ma puoi portare l'aereo nello spazio tridimensionale attaccando una terza coordinata su ciascun punto, il cui valore è la distanza da A. Ad esempio , supponiamo che A sia il punto (1, 3). Quindi il punto (4, 7), che dista 5 unità da A, si trasforma nel punto (4, 7, 5) nello spazio tridimensionale. Questo processo converte l'aereo in un cono nello spazio tridimensionale la cui punta si trova in A, ora etichettato (1, 3, 0). I punti di distanza interi diventano punti nello spazio tridimensionale che giacciono sul cono e anche su un certo reticolo.

Allo stesso modo, se scegli due punti di riferimento, A e B, puoi convertire i punti nel piano in punti nello spazio quadridimensionale: basta dare a ciascun punto due nuove coordinate i cui valori sono le sue distanze da A e B. Questo processo converte il piano in una superficie curva nello spazio quadridimensionale. Puoi continuare ad aggiungere più punti di riferimento in questo modo. Con ogni nuovo punto di riferimento, la dimensione aumenta di uno e il piano viene mappato su una superficie ancora più sinuosa (o, come dicono i matematici, una superficie di grado più elevato).

Con questo quadro in atto, i ricercatori hanno utilizzato il metodo determinante della teoria dei numeri. I determinanti sono numeri, solitamente associati alle matrici, che catturano una serie di proprietà geometriche di un insieme di punti: ad esempio, un particolare determinante potrebbe misurare l'area del triangolo formato da tre punti. Il metodo dei determinanti offre un modo per utilizzare tali determinanti per stimare il numero di punti che giacciono simultaneamente su una superficie ondulata e su un reticolo: proprio il tipo di situazione con cui avevano a che fare Greenfeld, Iliopoulou e Peluse.

I ricercatori hanno utilizzato un metodo di lavoro basato sul metodo determinante per dimostrare che quando la loro distanza intera impostata viene portata a una dimensione adeguatamente elevata, i punti devono trovarsi tutti su un piccolo numero di curve speciali. Queste curve, quando le loro ombre nel piano non sono una linea o un cerchio, non possono contenere molti punti del reticolo, che sono gli unici candidati per punti nell'insieme di distanze intere. Ciò significa che il numero di punti nell'insieme che possono trovarsi al di fuori della linea principale o del cerchio è limitato: i ricercatori hanno dimostrato che deve essere più piccolo di una funzione che cresce molto lentamente del diametro dell'insieme.

Il loro limite non raggiunge lo standard della congettura “quattro punti fuori dalla retta o tre punti fuori dal cerchio” che molti matematici ritengono vera per insiemi di grandi distanze intere. Anche così, il risultato mostra che “l’essenza della congettura è vera”, ha affermato Jacob Fox della Stanford University. Una dimostrazione completa della congettura richiederà probabilmente un’altra infusione di nuove idee, hanno detto i matematici.

Lo schema di codifica ad alta dimensione del team è “estremamente robusto”, ha detto Iosevich. "Non esistono solo applicazioni di principio: ci sono applicazioni a cui sto già pensando."

Un'applicazione, sperano Greenfeld, Iliopoulou e Peluse, sarà al loro problema originale di analisi armonica, al quale i tre stanno ora tornando. Il loro risultato sugli insiemi di distanze intere “potrebbe essere un trampolino di lancio verso questo obiettivo”, ha detto Greenfeld.

La sintesi della combinatoria con la geometria algebrica avviata dai ricercatori non si fermerà agli insiemi di distanze intere o ai problemi affini dell'analisi armonica, ha previsto Iosevich. “Credo che ciò a cui stiamo assistendo sia una svolta concettuale”, ha affermato. "Questo invia il messaggio alle persone in entrambi i campi che si tratta di un'interazione molto produttiva."

Invia anche un messaggio sull’importanza di rendere a volte un problema più complicato, ha detto Tao. I matematici di solito aspirano al contrario, ha osservato. “Ma questo è un esempio in cui complessificare il problema è in realtà la mossa giusta”.

Il progresso ha cambiato il modo in cui pensa alle curve di alto grado, ha detto. "A volte possono essere tuoi amici e non tuoi nemici."