"Ci sono cinque operazioni fondamentali in matematica", avrebbe detto il matematico tedesco Martin Eichler. “Addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e forme modulari”.

Parte dello scherzo, ovviamente, è che uno di questi non è come gli altri. Le forme modulari sono funzioni molto più complicate ed enigmatiche e gli studenti in genere non le incontrano fino alla scuola di specializzazione. Ma “probabilmente ci sono meno aree della matematica in cui non hanno applicazioni rispetto a quelle in cui le hanno”, ha detto Don Zagier, matematico presso l'Istituto Max Planck di Matematica di Bonn, in Germania. Ogni settimana, nuovi articoli estendono la loro portata alla teoria dei numeri, alla geometria, alla combinatoria, alla topologia, alla crittografia e persino alla teoria delle stringhe.

Sono spesso descritte come funzioni che soddisfano simmetrie così sorprendenti ed elaborate che non dovrebbero essere possibili. Le proprietà che derivano da queste simmetrie rendono le forme modulari immensamente potenti. È ciò che li ha resi protagonisti della storica dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat nel 1994. È ciò che li ha resi centrali lavori più recenti sull'imballaggio delle sfere. Ed è ciò che ora li rende cruciali per lo sviluppo continuo di una “teoria matematica del tutto” chiamata the Programma Langland.

Ma cosa sono?

Simmetrie infinite

Per comprendere una forma modulare, è utile pensare prima alle simmetrie più familiari.

In generale, si dice che una forma ha simmetria quando avviene una trasformazione che la lascia invariata.

Una funzione può anche presentare simmetrie. Consideriamo la parabola definita dall'equazione $latex f(x) = x^2$. Soddisfa una simmetria: può riflettersi su y-asse. Ad esempio, $latex f(3) = f(−3) = 9$. Più in generale, se sposti qualsiasi input $latex x$ in $latex -x$, $latex x^2$ restituisce lo stesso valore.

Infinite funzioni soddisfano questa simmetria. Qui ci sono solo alcune:

L'ultimo esempio è la funzione coseno della trigonometria. Presenta simmetria di riflessione, ma ha anche altre simmetrie. Se sposti $latex x$ per multipli interi di $latex 2pi$, la funzione restituisce sempre lo stesso valore, il che significa che ci sono infinite trasformazioni che possono lasciare la funzione invariata.

Questa simmetria aggiuntiva rende funzioni come il coseno incredibilmente utili. "Gran parte della fisica di base inizia con la comprensione di tutte le implicazioni delle funzioni trigonometriche", ha affermato Ken Ono, un matematico dell'Università della Virginia.

"Le forme modulari sono qualcosa come le funzioni trigonometriche, ma sotto steroidi", ha aggiunto. Soddisfano infinite simmetrie “nascoste”.

L'Universo Complesso

Le funzioni possono fare molto solo quando sono definite in termini di numeri reali, valori che possono essere espressi come decimali convenzionali. Di conseguenza, i matematici spesso si rivolgono ai numeri complessi, che possono essere pensati come coppie di numeri reali. Qualsiasi numero complesso è descritto in termini di due valori: un componente “reale” e uno “immaginario”, che è un numero reale moltiplicato per la radice quadrata di −1 (che i matematici scrivono come $latex i$).

Qualsiasi numero complesso può quindi essere rappresentato come un punto su un piano bidimensionale.

È difficile visualizzare le funzioni di numeri complessi, quindi i matematici spesso si rivolgono ai colori. Ad esempio, puoi colorare il piano complesso in modo che assomigli a una ruota arcobaleno. Il colore di ciascun punto corrisponde al suo angolo in coordinate polari. Direttamente a destra del centro, dove i punti hanno un angolo di 0 gradi, diventi rosso. A 90 gradi, o verso l'alto, i punti sono colorati di verde brillante. E così via. Infine, le linee di contorno segnano i cambiamenti di dimensione, o magnitudo, come su una mappa topografica.

Ora puoi usarlo come grafico di riferimento per illustrare funzioni complesse. La posizione di un punto sul piano rappresenta l'input e assegnerai a quel punto un colore in base al grafico di riferimento. Ad esempio, consideriamo la funzione $latex f(z) = z^2$. Quando $latex z = 1 + i$, $latex f(z) = 2i$, poiché $latex (1 + i)^2 = 2i$. Poiché $latex 2i$ è colorato di verde brillante sul grafico di riferimento, sul tuo nuovo grafico colorerai il punto $latex 1 + i$ di verde brillante.

Il grafico di $latex f(z) = z^2$ attraversa i colori due volte, perché elevando al quadrato un numero complesso ne raddoppia l'angolo. Ha anche più linee di contorno, perché le dimensioni degli output crescono più rapidamente.

Più in generale, il grafico ha lo stesso aspetto quando si riflettono i punti su una linea diagonale tracciata attraverso il centro (o l'origine).

Questa è una simmetria di una funzione a valori complessi. Le forme modulari mostrano una sconcertante varietà di tali simmetrie. Ma può essere difficile dare un senso alla funzione effettiva rappresentata da quei colori e linee di contorno.

Il dominio fondamentale

Per fare ciò, è utile cercare di semplificare il modo in cui guardiamo queste complicate funzioni.

A causa delle simmetrie della forma modulare, è possibile calcolare l'intera funzione basandosi solo su uno stretto frammento di input, situato in una regione del piano chiamata dominio fondamentale. Questa regione appare come una striscia che sale dall'asse orizzontale con un foro semicircolare ritagliato sul fondo.

Se sai come si comporta la funzione lì, saprai cosa fa ovunque.

Ecco come:

Due tipi di trasformazioni copiano il dominio fondamentale a destra e a sinistra, nonché una serie di semicerchi sempre più ristretti lungo l'asse orizzontale. Queste copie riempiono l'intera metà superiore del piano complesso.

Una forma modulare mette in relazione le copie tra loro in un modo molto particolare. È qui che entrano in gioco le sue simmetrie.

Se puoi spostarti da un punto in una copia a un punto in un'altra attraverso il primo tipo di trasformazione - spostando un'unità a sinistra o a destra - allora la forma modulare assegna lo stesso valore a quei due punti. Proprio come i valori della funzione coseno si ripetono in intervalli di $latex 2pi$, una forma modulare è periodica in intervalli di un'unità.

Nel frattempo, puoi passare da un punto in una copia a un punto in un'altra attraverso il secondo tipo di trasformazione, riflettendo sul confine del cerchio con raggio 1 centrato nell'origine. In questo caso, la forma modulare non assegna necessariamente a questi punti lo stesso valore. Tuttavia, i valori nei due punti si relazionano tra loro in modo regolare, il che dà origine anche alla simmetria.

Puoi combinare queste trasformazioni in infiniti modi, il che ti dà le infinite condizioni di simmetria che la forma modulare deve soddisfare.

"Questo non sembra necessariamente molto eccitante", ha detto John Voight, un matematico del Dartmouth College. "Voglio dire, ritagliare il semipiano superiore e mettere numeri in vari punti: chi se ne frega?"

"Ma sono molto elementari", ha aggiunto. E c'è una ragione per cui è così.

Spazi controllati

Negli anni '1920 e '30, il matematico tedesco Erich Hecke sviluppò una teoria più profonda sulle forme modulari. Fondamentalmente, si rese conto che esistono in determinati spazi: spazi con dimensioni specifiche e altre proprietà. Ha capito come descrivere concretamente questi spazi e usarli per mettere in relazione tra loro diverse forme modulari.

Questa consapevolezza ha guidato gran parte della matematica del XX e XXI secolo.

Per capire come, consideriamo innanzitutto una vecchia domanda: in quanti modi puoi scrivere un dato numero intero come somma di quattro quadrati? C'è solo un modo per scrivere zero, ad esempio, mentre ci sono otto modi per esprimere 1, 24 modi per esprimere 2 e 32 modi per esprimere 3. Per studiare questa sequenza - 1, 8, 24, 32 e così via - i matematici lo codificarono in una somma infinita chiamata funzione generatrice:

$latex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

Non c'era necessariamente un modo per sapere quale dovesse essere il coefficiente, ad esempio, di $latex q^{174}$: era proprio quella la domanda a cui stavano cercando di rispondere. Ma convertendo la sequenza in una funzione generatrice, i matematici potrebbero applicare strumenti del calcolo infinitesimale e di altri campi per dedurre informazioni su di essa. Potrebbero, ad esempio, essere in grado di trovare un modo per approssimare il valore di qualsiasi coefficiente.

Ma si scopre che se la funzione generatrice è una forma modulare, si può fare molto meglio: puoi mettere le mani su una formula esatta per ogni coefficiente.

"Se sai che è una forma modulare, allora sai tutto", ha detto Jan Bruinier dell'Università Tecnica di Darmstadt in Germania.

Questo perché le infinite simmetrie della forma modulare non sono solo belle da vedere: "sono così limitanti", ha detto Larry Rolen della Vanderbilt University, che possono essere trasformati in “uno strumento per dimostrare automaticamente congruenze e identità tra le cose”.

Matematici e fisici spesso codificano questioni di interesse nella generazione di funzioni. Potrebbero voler contare il numero di punti su curve speciali o il numero di stati in determinati sistemi fisici. "Se siamo fortunati, allora è una forma modulare", ha detto Claudia Alfes-Neumann, matematico dell'Università di Bielefeld in Germania. Può essere molto difficile da dimostrare, ma se ci riesci, allora “la teoria delle forme modulari è così ricca che ti offre tantissime possibilità per indagare su questi coefficienti [della serie]”.

Blocchi da costruzione

Qualsiasi forma modulare sembrerà molto complicata. Alcune delle più semplici, che vengono utilizzate come elementi costitutivi per altre forme modulari, sono chiamate serie Eisenstein.

Puoi pensare a una serie di Eisenstein come a una somma infinita di funzioni. Per determinare ciascuna di queste funzioni, utilizzare i punti su una griglia 2D infinita:

Quando aggiungi le funzioni associate a soli quattro punti nella griglia vicino all'origine, puoi vedere come iniziano ad emergere simmetrie distinte.

Se prendiamo la somma completa delle infinite funzioni della griglia, otteniamo una serie di Eisenstein che è probabilmente la forma modulare più semplice da scrivere. I motivi riflettono le simmetrie che definiscono la forma, ripetendosi all'infinito a sinistra e a destra e trasformandosi in modi più complicati più vicino all'asse orizzontale.

Il gioco continua

Lo studio delle forme modulari ha portato a un'ondata di trionfi matematici. Ad esempio, il recente lavoro sull'imballaggio delle sfere, per il quale ha lavorato la matematica ucraina Maryna Viazovska ha vinto la medaglia Fields lo scorso anno, utilizzavano forme modulari. "Quando l'ho visto, sono rimasto piuttosto sorpreso", ha detto Bruinier. "Ma in qualche modo funziona."

Si è scoperto che le forme modulari sono collegate a un importante oggetto algebrico chiamato the gruppo di mostri. Sono stati utilizzati per costruire tipi speciali di reti chiamate grafici di espansione, che compaiono nell'informatica, nella teoria delle comunicazioni e in altre applicazioni. Hanno reso possibile studiare potenziali modelli di interazioni delle particelle nella teoria delle stringhe e nella fisica quantistica.

Forse la cosa più famosa è che la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat nel 1994 si basava su forme modulari. Il teorema, ampiamente considerato uno dei problemi più importanti nella teoria dei numeri, afferma che non esistono tre numeri interi diversi da zero a, b ed c che soddisfano l'equazione $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ quando $latex n$ è un numero intero maggiore di 2. Il matematico Andrew Wiles lo ha dimostrato vero assumendo il contrario: che a esiste una soluzione all’equazione – e quindi utilizzare forme modulari per dimostrare che tale ipotesi deve portare a una contraddizione.

Per prima cosa usò la soluzione ipotizzata per costruire un oggetto matematico chiamato curva ellittica. Ha poi dimostrato che è sempre possibile associare una forma modulare unica a tale curva. Tuttavia, la teoria delle forme modulari imponeva che in questo caso quella forma modulare non potesse esistere. "È troppo bello per essere vero", ha detto Voight. Ciò significava, a sua volta, che la soluzione ipotizzata non poteva esistere, confermando così l'Ultimo Teorema di Fermat.

Ciò non solo ha risolto un problema secolare; ha inoltre fornito una migliore comprensione delle curve ellittiche, che possono essere difficili da studiare direttamente (e che svolgono un ruolo importante nella crittografia e nei codici di correzione degli errori).

La dimostrazione ha anche illuminato un ponte tra la geometria e la teoria dei numeri. Da allora quel ponte è stato ampliato nel Programma Langland, un insieme più ampio di connessioni tra i due campi - e oggetto di uno degli sforzi di ricerca centrali della matematica contemporanea. Le forme modulari si sono generalizzate anche in altri ambiti, dove le loro potenziali applicazioni cominciano appena ad essere riconosciute.

Continuano a comparire ovunque in matematica e fisica, a volte in modo piuttosto misterioso. "Ho cercato in un articolo sui buchi neri", ha detto Steve Kudla dell’Università di Toronto, “e trovo forme modulari che mi sono amiche. Ma non so perché siano lì”.

“In qualche modo”, ha aggiunto, “le forme modulari catturano alcune delle simmetrie più fondamentali del mondo”.