Alcune soluzioni di puzzle sono così belle e così ampiamente superiori all'approccio del buon senso che possono sembrare un miracolo. La soluzione alla terza domanda nel ns più recente puzzle Insights, ad esempio, ha mostrato alcune di queste qualità. La domanda - sul modo migliore per utilizzare tre bilance, inclusa una rotta che fornisce risultati casuali, per trovare una moneta contraffatta - potrebbe essere abilmente risolta in quattro pesate, anche se il problema sembra inizialmente richiederne almeno sei.

Oggi presentiamo un puzzle la cui soluzione migliore migliora la soluzione più ovvia di ben 60 volte o più! Il famoso matematico ungherese Paul Erdos riferito a belle prove come provenienti da il libro — un volume divino in cui Dio conserva le prove perfette di tutti i problemi di matematica. Bene, se il Libro contiene degli enigmi, questo deve essere in esso.

In onore dell'attore e attivista Nichelle Nichols, scomparso il mese scorso, il nostro puzzle immagina a Star Trek avventura in cui il suo personaggio, il tenente Uhura, affronta un enigma di vita o di morte:

Il Impresa si avvicinò a un pianeta finora sconosciuto nel sistema della Nebulosa Collana, le fu dato il tenente Uhura sesta missione di superficie. La sua squadra di sbarco di otto membri dell'equipaggio è stata trasportata sulla superficie del pianeta per l'esplorazione. Sfortunatamente, il Impresa è stato trascinato via per rispondere a una richiesta di soccorso e la squadra di sbarco era da sola.

Anche se l'equipaggio non era riuscito a rilevare alcuna traccia di vita intelligente, il pianeta era popolato dai Catenati, una civiltà avanzata con un'avanzata tecnologia di occultamento. I Catenati catturarono la squadra di sbarco di Uhura e li processarono per violazione di domicilio.

"Hai un'alta probabilità di essere colpevole di questo crimine, che è punibile con la morte", ha detto il giudice Catenati. “Ma le nostre leggi, nella loro saggezza, riconoscono che ogni dubbio non può mai essere eliminato, e quindi tutte le nostre punizioni sono probabilistiche. Sarai trattenuto in una sala comune, mentre noi prepariamo una sala roulette separata. Questa camera avrà otto pulsanti disposti in fila, ognuno dei quali risponderà biometricamente a uno di voi. Tuttavia, per confonderti, ogni pulsante sarà etichettato casualmente con uno dei tuoi nomi, quindi il pulsante con il tuo nome non deve essere tuo. In effetti, molto probabilmente non sarà tuo.

«Una volta che la camera sarà pronta, vi condurremo là uno alla volta in un ordine a nostra scelta. Lì, ognuno di voi avrà la possibilità di trovare il suo vero pulsante. Quando premi un pulsante, un display ti dirà a chi appartiene veramente il pulsante. Ciascuno può premere fino a quattro pulsanti, in qualsiasi ordine. Ognuno di voi deve trovare il proprio pulsante. Se qualcuno di voi fallisce, o se qualcuno tenta di premere un quinto pulsante, sarete tutti giustiziati. Solo se tutti voi avrete successo sarete liberati.

“Una volta che una persona avrà finito con la camera, sarà condotta nella propria cella solitaria senza modo di comunicare con nessun altro. Avete qualche ora insieme prima che la camera sia pronta". Con ciò, la squadra di sbarco è stata lasciata sola.

La costernazione abbondava. "Beh, almeno abbiamo una piccola possibilità", ha detto Chekov. “Ma per quanto mi piacerebbe essere ottimista, le cose non sembrano buone. Ognuno di noi ha una possibilità su 1 di trovare il nostro pulsante. La possibilità che tutti noi otto lo facciano è solo 2 su 1, ovvero circa lo 256%. No, no! Questo è molto peggio della vecchia roulette russa: è una roulette astronomica esponenziale".

Un altro membro dell'equipaggio è intervenuto. “Ma dobbiamo provarci. Se premiamo tutti i pulsanti in modo casuale, vero, le nostre possibilità di sopravvivenza saranno solo dello 0.4%. Ma cosa succede se escogitiamo una strategia tra di noi per assicurarci che tutti i pulsanti vengano premuti lo stesso numero di volte? Questo non migliorerebbe le nostre possibilità?"

Uhura ci pensò per un momento. “Sì, potrebbe fare la differenza, ma sospetto che il miglioramento sarà minimo. Potremmo ancora non rompere l'1%".

Puzzle 1

Di quanto può essere migliorata la probabilità di sopravvivenza dell'equipaggio se si assicura che ogni pulsante venga premuto con la stessa frequenza (invece di premere quattro pulsanti a caso)?

Puzzle 2

La nostra storia continua:

Uhura aggrottò la fronte per la concentrazione. Poi improvvisamente sembrò avere un'ispirazione. Ha fatto uno schizzo che sembrava una stella di David. "Ricordo un gioco che facevamo da bambini", ha detto. "Penso che contenga un indizio."

"Sei bambini giocano a questo gioco, che sviluppa sia la corsa che le capacità di memoria", ha detto. “Si gioca su un campo da gioco a sei angoli i cui punti sono etichettati da A a F. Ogni angolo corrisponde alla base di casa di uno dei sei giocatori, che sono etichettati a a f. In altre parole, A è la base di casa del giocatore a. Per iniziare un giro, i bambini selezionano una lettera casuale dalla A alla F. Si posizionano sull'angolo etichettato con la lettera che hanno scelto. Poi giocatore a corre e tagga il giocatore su cui si trovava la base di partenza, spostandolo. Quel bambino, a sua volta, corre e sposta il giocatore su cui si trovava la base, e così via, fino a quando il giocatore che era in ala base di casa corre verso la base vuota di quel giocatore a lasciato libero, e quindi completa un ciclo. Il gioco passa quindi in senso orario al giocatore successivo che non ha ancora corso. Se un bambino è già nella propria base, quel bambino non deve scappare. Il round è completato quando il gioco è stato passato a tutti i giocatori idonei.

(Ad esempio, nella figura mostrata sopra, player a è inizialmente sulla base C, quindi corre e si sposta c chi era su E. Successivamente, c corre e si sposta e. Da e era su A, va alla base vuota C dove gioca a era, completando così un ciclo di lunghezza 3. Si scopre che gli altri tre giocatori, b, d ed f, forma un altro ciclo di lunghezza 3. Questo completa il round. In questo caso, i loro percorsi di corsa formano una stella a sei punte, ma sono possibili molti altri modelli.)

"Anche se spesso avevamo cicli di quattro, cinque o sei gambe, c'erano molti round senza cicli di più di tre gambe", ha ricordato Uhura.

In un dato round, se i bambini giocano correttamente, qual è la probabilità che non ci sia un ciclo maggiore di lunghezza 3?

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Puzzle 3

Torna alla storia:

"Sì è quello!" esclamò Uhura. "Se i miei calcoli sono corretti, abbiamo una probabilità superiore al 35% di essere liberi".

Puoi spiegare quale strategia è stata suggerita dal gioco sopra e come migliora le probabilità di libertà della squadra di sbarco da meno dell'1% a oltre il 35%?

Puzzle 4

Mentre la nostra storia continua, si scopre che uno dei Catenati ha preso una speciale antipatia per il Impresa equipaggio e li sta monitorando a distanza. Sospetta che abbiano escogitato una strategia efficace basata sul diagramma di Uhura. È determinato a sventare il loro piano infilandosi nella camera e cambiando deliberatamente l'ordine delle etichette dei pulsanti prima dell'inizio della roulette. Riuscirà a sventare con successo il piano? Cosa deve nascondere particolarmente la squadra di sbarco?

Puzzle 5

A quale limite si avvicina la percentuale massima di successo quando la dimensione della squadra di sbarco aumenta indefinitamente? Puoi spiegare perché questo metodo è molto più efficiente della pressione casuale di pulsanti?

Come raccontato nel Annali di storia futura, il piano di Uhura fu eseguito e, con un po' di fortuna (ma non troppa), l'equipaggio fuggì e continuò ad esplorare altri mondi strani e pericolosi.

Questo è tutto per la nostra avventura spaziale. Felice enigma, e possa il tuo cervello raggiungere la velocità di curvatura.

Nota del redattore: il lettore che presenta la soluzione più interessante, creativa o perspicace (secondo il giudizio del giornalista) nella sezione commenti riceverà un Quanta Magazine Maglietta o uno dei due Quanta libri, Alice e Bob incontrano il muro di fuoco or La cospirazione dei numeri primi (a scelta del vincitore). E se desideri suggerire un puzzle preferito per una futura colonna Approfondimenti, invialo come commento di seguito, chiaramente contrassegnato come "NUOVO PUZZLE SUGGERITO". (Non apparirà online, quindi le soluzioni al puzzle di cui sopra dovrebbero essere presentate separatamente.)