La ripetizione non deve sempre essere banale. In matematica è una forza potente, capace di generare una complessità sconcertante.

Anche dopo decenni di studio, i matematici si ritrovano incapaci di rispondere a domande sull’esecuzione ripetuta di regole molto semplici – i “sistemi dinamici” più basilari. Ma nel tentativo di farlo, hanno scoperto connessioni profonde tra quelle regole e altre aree apparentemente distanti della matematica.

Ad esempio, l'insieme di Mandelbrot, che I ha scritto su il mese scorso, è una mappa di come una famiglia di funzioni è descritta dall'equazione f(x) = x² + c — si comporta come il valore di c spazia sul cosiddetto piano complesso. (A differenza dei numeri reali, che possono essere posizionati su una linea, i numeri complessi hanno due componenti, che possono essere tracciati su x- ed y-assi di un piano bidimensionale.)

Non importa quanto si ingrandisca l'insieme di Mandelbrot, emergono sempre nuovi modelli, senza limiti. "È assolutamente sorprendente per me, anche adesso, che una struttura così complessa emerga da regole così semplici", ha affermato Matteo Baker del Georgia Institute of Technology. "È una delle scoperte davvero sorprendenti del 20° secolo."

La complessità dell’insieme di Mandelbrot emerge in parte perché è definito in termini di numeri che sono essi stessi complessi. Ma, forse sorprendentemente, la storia non è tutta qui. Anche quando c è un numero reale semplice come, diciamo, –3/2, possono verificarsi fenomeni strani di ogni genere. Nessuno sa cosa succede quando applichi ripetutamente l'equazione f(x) = x² – 3/2, utilizzando ciascun output come input successivo in un processo noto come iterazione. Se inizi a ripetere da x = 0 (il “punto critico” di un'equazione quadratica), non è chiaro se produrrai una sequenza che alla fine converge verso un ciclo ripetuto di valori, o una che continua a rimbalzare all'infinito in uno schema caotico.

Per valori di c inferiore a –2 o maggiore di 1/4, l'iterazione esplode rapidamente fino all'infinito. Ma all'interno di quell'intervallo ci sono infiniti valori di c noto per produrre comportamenti caotici, e infiniti casi come -3/2, dove "non sappiamo cosa succede, anche se è super concreto", ha detto Giulio Tiozzo dell'Università di Toronto.

Ma negli anni '1990, il matematico della Stony Brook University Misha Lyubich, che figurava in primo piano nel mio rapporto sull'insieme di Mandelbrot, dimostrato che nell'intervallo tra –2 e 1/4, la stragrande maggioranza dei valori di c produrre un comportamento “iperbolico” gradevole. (I matematici Jacek Graczyk e Grzegorz Swiatek dimostrato in modo indipendente il risultato più o meno nello stesso tempo.) Ciò significa che le equazioni corrispondenti, quando iterate, convergono a un singolo valore o a un ciclo ripetuto di numeri.

Un decennio dopo, tre matematici dimostrarono che la maggior parte dei valori di c sono iperbolici non solo per le equazioni quadratiche, ma per qualsiasi famiglia di polinomi reali (funzioni più generali che combinano variabili elevate a potenze, come x⁷ + 3x⁴ + 5x² +1). E ora uno di loro, Sebastiano van Strien dell'Imperial College di Londra, ritiene di avere una dimostrazione di questa proprietà per una classe ancora più ampia di equazioni chiamate funzioni analitiche reali, che includono funzioni seno, coseno ed esponenziali. Van Strien spera di annunciare il risultato a maggio. Se reggerà dopo la peer review, segnerà un grande passo avanti nella caratterizzazione del comportamento dei sistemi unidimensionali reali.

Intersezioni improbabili e bagel di entropia

Esistono infinite equazioni quadratiche reali che, se ripetute da zero, finiscono per produrre un ciclo ripetuto di numeri. Ma se limiti c ai valori razionali – quelli che possono essere scritti come frazioni – solo tre valori alla fine generano sequenze periodiche: 0, –1 e –2. "Questi sistemi dinamici sono molto, molto speciali", ha detto Clayton Petsche dell'Università statale dell'Oregon.

In un documento pubblicato lo scorso anno, Petsche e Chatchai Noytaptim dell'Università di Waterloo hanno dimostrato che sono ancora più speciali di quanto sembri a prima vista. I matematici hanno considerato i numeri “totalmente reali”, che sono più restrittivi dei numeri reali ma meno restrittivi di quelli razionali.

Se inserisci un numero in un polinomio e ottieni come risultato zero, quel numero è una soluzione o radice del polinomio. Ad esempio, 2 è una radice di f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, e infinite altre equazioni. Tali polinomi possono avere radici reali o radici complesse. (Ad esempio, le radici di x² + 1 è la radice quadrata di –1, scritta come i, e -i — entrambi i numeri complessi.)

Un numero è totalmente reale se soddisfa un'equazione polinomiale a coefficienti interi che ha solo radici reali. Tutti i numeri razionali sono totalmente reali, ma lo sono anche alcuni numeri irrazionali. Ad esempio, $latex sqrt{2}$ è totalmente reale, perché è una soluzione a f(x) = x² – 2, che ha solo radici reali ($latex sqrt{2}$ e la sua radice “sorella” $latex -sqrt{2}$). Ma la radice cubica di 2, $latex sqrt[3]{2}$, non è del tutto reale. È una soluzione a f(x) = x³ – 2, che ha altre due radici sorelle, note anche come coniugate di Galois, che sono complesse.

Petsche e Noytaptim hanno dimostrato che non esistono numeri irrazionali totalmente reali che alla fine producono cicli periodici. Piuttosto, 0, –1 e –2 sono gli unici numeri totalmente reali che fanno questo. Rappresentano un'improbabile intersezione tra proprietà di due mondi apparentemente diversi: la teoria dei numeri (lo studio degli interi) e i sistemi dinamici. Petsche e Noytaptim hanno utilizzato importanti risultati della teoria dei numeri nella loro dimostrazione, evidenziando la connessione tra i due campi.

I matematici Saverio Buff ed Sarah Koch essere trovato un altro incrocio improbabile. Hanno dimostrato che solo quattro valori totalmente reali di c — 1/4, –3/4, –5/4 e –7/4 — generano sequenze di un tipo particolare e ben noto chiamato ciclo parabolico.

I coniugati di Galois hanno anche aperto la strada alla scoperta di un oggetto misterioso soprannominato il “bagel dell’entropia”, un anello frattale luminoso nel piano complesso. L'entropia è una misura della casualità; in questo contesto misura quanto sia difficile prevedere la sequenza di numeri generata dall'iterazione x² + c. Nel ultimo articolo che ha scritto prima di morire nel 2012, il famoso topologo William Thurston tracciò graficamente l’insieme dei valori di entropia corrispondenti a quasi un miliardo di valori reali diversi di c — insieme ai coniugati di Galois di quei valori di entropia, che possono essere complessi. La nozione di entropia “è proprio sulla linea reale, ma in qualche modo è ancora possibile vedere quest’ombra del mondo complesso”, ha detto Tiozzo.

"Vedi che questo si sta organizzando in questa incredibile struttura frattale di pizzo", ha detto Koch. "È così bello." Il bagel dell’entropia è solo uno schema molto complicato che emerge dall’iterazione di equazioni quadratiche reali. "Stiamo ancora imparando tutte queste magiche affermazioni - piccole gemme - sui polinomi quadratici reali", ha aggiunto. "Puoi sempre tornare indietro e rimanere sorpreso da questa cosa che pensavi di conoscere estremamente bene."