Perubahan rencana terjadi dalam perjalanan darat. Pada hari yang indah di bulan April lalu, para ahli matematika Rachel Greenfeld dan Sarah Peluse berangkat dari institusi asal mereka, Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey, menuju ke Rochester, New York, di mana keduanya dijadwalkan untuk memberikan ceramah pada hari berikutnya.

Mereka telah berjuang selama hampir dua tahun dengan dugaan penting dalam analisis harmonik, bidang yang mempelajari cara memecah sinyal kompleks menjadi frekuensi komponennya. Bersama dengan kolaborator ketiga, Marina Iliopoulou, mereka mempelajari versi soal di mana frekuensi komponen direpresentasikan sebagai titik-titik pada bidang yang jarak satu sama lain berhubungan dengan bilangan bulat. Ketiga peneliti tersebut mencoba untuk menunjukkan bahwa poin-poin ini tidak boleh terlalu banyak, namun sejauh ini, semua teknik mereka gagal.

Mereka tampak memutar rodanya. Kemudian Peluse berpikir: Bagaimana jika mereka membuang masalah analisis harmonik - tentu saja untuk sementara - dan mengalihkan perhatian mereka ke kumpulan titik yang jarak antara dua titik mana pun adalah bilangan bulat? Struktur apa yang mungkin dimiliki oleh himpunan tersebut? Matematikawan telah mencoba memahami himpunan jarak bilangan bulat sejak zaman kuno. Misalnya, tripel Pythagoras (seperti 3, 4, dan 5), melambangkan segitiga siku-siku yang ketiga titik sudutnya berjarak bilangan bulat.

“Di dalam mobil, saya kira karena Rachel terjebak dengan saya, saya yang mengungkitnya,” kata Peluse yang kini menjadi profesor di Universitas Michigan. Gagasan untuk mengatasi kumpulan jarak bilangan bulat menggemparkan Greenfeld.

Sebelum mereka menyadarinya, mereka tidak hanya melakukan satu perubahan arah, melainkan dua kali.

“Kami sebenarnya tidak lagi memperhatikan kemana tujuan kami dan tidak keluar dari jalan tol,” kata Peluse. “Kami pergi ke arah yang berlawanan dari Rochester sekitar satu jam sebelum kami menyadarinya, karena kami sangat bersemangat dengan matematika.”

Pada tahun 1945, Norman Anning dan Paul Erdős terbukti bahwa himpunan titik-titik tak terhingga pada bidang yang jaraknya merupakan bilangan bulat pasti terletak pada suatu garis. Untuk kumpulan titik berhingga, kemungkinannya sedikit lebih bervariasi. Matematikawan telah membuat himpunan besar yang terletak pada garis atau lingkaran, terkadang dengan tiga atau empat titik tambahan yang berada di luar hambatan utama. (Titik-titik itu sendiri tidak harus memiliki koordinat bilangan bulat — pertanyaannya adalah tentang jarak di antara titik-titik tersebut.)

Belum ada seorang pun yang berhasil menemukan kumpulan titik besar dengan konfigurasi lain, namun tidak ada yang membuktikan bahwa konfigurasi lain tidak mungkin dilakukan. Dalam hampir 80 tahun sejak hasil penelitian Anning dan Erdős, subjek ini hampir tidak mengalami kemajuan apa pun – hingga saat ini.

Greenfeld, Iliopoulou dan Peluse punya terbukti bahwa semua titik dalam kumpulan jarak bilangan bulat besar — ​​​​kecuali mungkin segelintir titik outlier — harus terletak pada satu garis atau lingkaran. “Jika Anda ingin memiliki himpunan besar yang semua jarak berpasangannya adalah bilangan bulat, maka lingkaran dan garis adalah satu-satunya pemainnya,” kata József Solymosi dari Universitas British Columbia. Dia menyebut hasil mereka sebagai “solusi fantastis.”

Pendekatan baru ini menggunakan ide dan teknik dari tiga bidang matematika yang berbeda: kombinatorik, teori bilangan, dan geometri aljabar. Penggabungan berbagai bidang ini “bisa menjadi terobosan psikologis yang nyata,” katanya Terence tao, seorang matematikawan di University of California, Los Angeles.

Alex Iosevich, dari Universitas Rochester, setuju. “Mereka meletakkan dasar yang sangat kuat untuk serangkaian masalah yang sangat luas,” katanya. “Sama sekali tidak ada keraguan dalam pikiran saya bahwa ini akan menemukan penerapan yang lebih mendalam.”

Batasan Kesederhanaan

Dalam sebuah bidang, mudah untuk memilih kumpulan titik-titik tak terhingga yang semuanya berjarak bilangan bulat — cukup ambil garis favorit Anda, bayangkan sebuah garis bilangan ditumpangkan di atasnya, dan gunakan beberapa atau semua titik yang bersesuaian dengan bilangan bulat. Namun ini adalah satu-satunya cara untuk membuat himpunan jarak bilangan bulat tak hingga pada bidang, seperti yang disadari oleh Anning dan Erdős pada tahun 1945. Segera setelah Anda hanya memiliki tiga titik yang tidak semuanya berada pada garis yang sama, konfigurasi Anda menjadi sangat terbatas sehingga tidak mungkin untuk menambahkan lebih banyak poin tanpa batas.

Alasannya bermuara pada geometri sederhana. Bayangkan memulai dengan dua titik, A dan B, yang jaraknya merupakan bilangan bulat. Jika Anda ingin menjumlahkan titik ketiga, C, yang merupakan jarak bilangan bulat dari A dan B tetapi tidak terletak pada garis yang melewati keduanya, sebagian besar titik pada bidang tersebut tidak akan berfungsi. Satu-satunya titik yang layak berada pada kurva khusus yang disebut hiperbola yang memotong antara A dan B. Jika A dan B, katakanlah, berjarak 4 satuan, maka terdapat tepat empat hiperbola tersebut. (Hiperbola biasanya mempunyai dua bagian yang berbeda, jadi misalnya dua kurva merah pada gambar di bawah membentuk satu hiperbola.)

Setelah Anda memilih C (yang dalam contoh ini adalah 3 unit dari A dan 5 unit dari B), Anda hampir tidak mempunyai pilihan untuk menambahkan lebih banyak poin. Titik mana pun yang dapat dijumlahkan harus terletak pada salah satu hiperbola antara A dan B, atau pada garis yang melaluinya. Namun titik tersebut juga harus terletak pada salah satu hiperbola antara A dan C, dan salah satu hiperbola antara B dan C (atau garis yang bersesuaian) — dengan kata lain, sebuah titik baru hanya dapat ditempatkan di tempat perpotongan tiga hiperbola atau garis (walaupun tidak setiap titik persimpangan akan berfungsi). Jumlah hiperbola dan garis ini hanya terbatas jumlahnya, dan dua hiperbola (atau garis) dapat berpotongan paling banyak di empat titik. Jadi, Anda hanya mempunyai banyak titik persimpangan yang dapat dipilih - Anda tidak dapat membuat himpunan tak hingga.

Ketika memahami seperti apa sebenarnya himpunan titik-titik jarak bilangan bulat yang terbatas, pendekatan hiperbola dengan cepat menjadi sulit digunakan. Saat Anda menambahkan poin, Anda harus bergulat dengan hiperbola yang jumlahnya semakin banyak. Misalnya, saat himpunan Anda hanya memiliki 10 poin, menambahkan angka 11 akan menghasilkan 10 kelompok hiperbola baru — semuanya berada di antara titik baru Anda dan masing-masing poin yang sudah ada di himpunan tersebut. “Anda tidak dapat menambahkan banyak poin, karena Anda akan tersesat dalam semua hiperbola dan persimpangan tersebut,” kata Greenfeld.

Jadi para ahli matematika telah mencari prinsip-prinsip yang lebih mudah dikelola untuk membangun kumpulan besar titik-titik jarak bilangan bulat yang tidak terletak pada sebuah garis. Namun mereka hanya mampu menemukan satu pendekatan: Letakkan poin Anda dalam lingkaran. Jika Anda menginginkan himpunan jarak bilangan bulat dengan, katakanlah, satu triliun titik, ada cara untuk menghasilkan satu triliun titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang jaraknya semuanya pecahan. Kemudian Anda dapat mengembang lingkaran hingga semua jarak pecahan berubah menjadi bilangan bulat. Semakin banyak poin yang Anda inginkan dalam set Anda, semakin banyak Anda perlu mengembangkan lingkarannya.

Selama bertahun-tahun, para ahli matematika hanya menghasilkan contoh-contoh yang sedikit lebih eksotik. Mereka dapat membuat himpunan jarak bilangan bulat besar yang seluruhnya kecuali empat titik terletak pada sebuah garis atau semua kecuali tiga titik terletak pada sebuah lingkaran. Banyak ahli matematika menduga bahwa ini adalah satu-satunya himpunan jarak bilangan bulat besar yang tidak semua titiknya berada pada garis atau lingkaran. Mereka akan mengetahui hal ini dengan pasti jika mereka dapat membuktikan sesuatu yang disebut dugaan Bombieri-Lang. Namun para ahli matematika terpecah mengenai apakah dugaan ini mungkin benar.

Sejak karya Anning dan Erdős pada tahun 1945, matematikawan hanya mengalami sedikit kemajuan dalam memahami himpunan jarak bilangan bulat. Seiring berjalannya waktu, permasalahan jarak bilangan bulat tampaknya bergabung dengan serangkaian permasalahan lain dalam kombinatorik, teori bilangan, dan geometri yang mudah untuk dinyatakan tetapi tampaknya mustahil untuk diselesaikan. “Ini adalah ukuran betapa menyedihkannya matematika kita,” kata Tao.

Di satu sisi, masalah jarak bilangan bulat adalah korban dari keberhasilan awalnya. Pembuktian hiperbola, dengan kesederhanaannya yang cerdik, merupakan simbol dari filosofi yang dianut oleh Erdős, seorang matematikawan berpengaruh yang sering berbicara tentang “Buku” — sebuah volume imajinasi dari pembuktian paling elegan dalam matematika. Budaya kesederhanaan yang dipromosikan Erdős telah membawa “hasil luar biasa” dalam geometri kombinatorial, kata Iosevich. Namun hal ini juga dapat menimbulkan titik buta - dalam hal ini, tentang pentingnya menerapkan pendekatan dari geometri aljabar.

“Saya tidak berpikir Anda akan menemukan hasil [dalam geometri aljabar] yang terbukti dalam 50 tahun terakhir yang tidak melibatkan teknis dan berantakan,” kata Iosevich. “Namun, terkadang keadaan harus seperti ini.”

Dalam retrospeksi, masalah jarak bilangan bulat menunggu para ahli matematika yang bersedia mempertimbangkan kurva yang lebih sulit diatur daripada hiperbola dan kemudian memanfaatkan alat-alat dari geometri aljabar dan teori bilangan untuk menjinakkannya. “Untuk itu dibutuhkan orang-orang dengan pengetahuan dan minat yang cukup,” kata Iosevich.

Kebanyakan ahli matematika, katanya, puas menggunakan beberapa alat di satu sudut matematika sepanjang karier mereka. Namun Greenfeld, Iliopoulou dan Peluse adalah penjelajah yang tak kenal takut, kata Iosevich. “Mereka memandang matematika sebagai suatu keseluruhan yang koheren.”

Memperumit Masalah

Pada musim panas tahun 2021, Greenfeld memutuskan bahwa sudah waktunya untuk mencoba memecahkan masalah dari analisis harmonik yang telah dia pertimbangkan sejak sekolah pascasarjana. Analisis harmonik klasik, yang menjadi dasar pemrosesan sinyal di dunia nyata, adalah tentang menguraikan sinyal menjadi gelombang sinus dengan frekuensi dan fase berbeda. Proses ini berhasil karena dimungkinkan untuk membuat daftar gelombang sinus yang tak terhingga, yang bila digabungkan, menangkap semua fitur sinyal apa pun, tanpa redundansi apa pun.

Namun seringkali, peneliti ingin mempelajari sesuatu yang lebih rumit daripada sinyal satu dimensi. Misalnya, mereka mungkin ingin menguraikan sinyal pada disk di pesawat. Namun disk hanya dapat menampung kumpulan gelombang sinus kompatibel yang terbatas — terlalu sedikit untuk menangkap perilaku semua kemungkinan sinyal pada disk. Pertanyaannya kemudian menjadi: Seberapa besarkah koleksi terbatas ini?

Dalam kumpulan seperti itu, frekuensi sinus dapat direpresentasikan sebagai titik-titik pada bidang yang tampaknya tidak berkerumun dalam garis dan lingkaran: Anda tidak akan pernah menemukan tiga titik yang semuanya dekat dengan garis yang sama, atau empat titik yang semuanya berdekatan. ke lingkaran yang sama. Greenfeld berharap untuk menggunakan keengganan ini untuk membuktikan bahwa rangkaian frekuensi ini hanya dapat memuat beberapa titik.

Pada pertemuan tahun 2021 di Universitas Bonn, Greenfeld menghadiri pembicaraan tentang “metode determinan”, sebuah teknik dari teori bilangan yang dapat digunakan untuk memperkirakan berapa banyak titik bilangan bulat dari tipe tertentu yang dapat terletak pada kurva. Dia menyadari, alat inilah yang mungkin dia butuhkan. Greenfeld merekrut Iliopoulou dan Peluse, yang juga hadir dalam pertemuan tersebut. “Kami mulai mempelajari metode ini bersama-sama,” kata Greenfeld.

Namun meski telah melakukan banyak upaya, mereka tampaknya tidak dapat menerapkan metode determinan untuk mencapai tujuan mereka, dan pada musim semi tahun 2023, mereka merasa putus asa. Iosevich mengundang Greenfeld dan Peluse pergi ke Rochester untuk berkunjung. “Jadi kami berpikir, 'Oke, kami akan pergi ke Rochester, dan berbicara dengan Alex akan menyegarkan kami kembali,'” kata Peluse. Namun ternyata, mereka yang mendarat di Rochester sudah bersemangat kembali, berkat diskusi yang menguatkan tentang jarak bilangan bulat yang ditetapkan pada jalan memutar yang tidak direncanakan di sepanjang Sungai Susquehanna di Pennsylvania.

Mereka datang terlambat untuk makan malam yang direncanakan bersama Iosevich, tetapi mereka menemukannya menunggu di lobi hotel dengan tas makanan untuk dibawa pulang. Dia memaafkan keterlambatan mereka - dan lebih dari sekadar memaafkan keesokan paginya, ketika mereka memberi tahu dia tentang rencana mereka untuk mengatasi rangkaian jarak bilangan bulat. “Dia sangat bersemangat,” kenang Peluse. “Secara emosional, ini merupakan dorongan besar.”

Seperti halnya pendekatan hiperbola, Greenfeld, Iliopoulou, dan Peluse mencoba mengontrol struktur himpunan jarak bilangan bulat dengan mengidentifikasi kelompok kurva tempat titik-titik tersebut berada. Metode hiperbola mulai menjadi terlalu berbelit-belit segera setelah Anda memiliki lebih dari beberapa titik, namun Greenfeld, Iliopoulou, dan Peluse menemukan cara untuk mempertimbangkan banyak titik secara bersamaan dengan memindahkan seluruh konfigurasi ke ruang berdimensi lebih tinggi.

Untuk melihat cara kerjanya, misalkan Anda memulai dengan titik “referensi” A dalam kumpulan jarak bilangan bulat Anda. Setiap titik lain dalam himpunan merupakan jarak bilangan bulat dari A. Titik-titik tersebut berada pada suatu bidang, namun Anda dapat menabrakkan bidang tersebut ke dalam ruang tiga dimensi dengan menempelkan koordinat ketiga pada setiap titik, yang nilainya adalah jarak dari A. Misalnya , misalkan A adalah titik (1, 3). Kemudian titik (4, 7) yang berjarak 5 satuan dari A berubah menjadi titik (4, 7, 5) dalam ruang tiga dimensi. Proses ini mengubah bidang menjadi kerucut dalam ruang tiga dimensi yang ujungnya berada di A, sekarang diberi label (1, 3, 0). Titik-titik jarak bilangan bulat menjadi titik-titik dalam ruang tiga dimensi yang terletak pada kerucut dan juga pada kisi-kisi tertentu.

Demikian pula, jika Anda memilih dua titik referensi, A dan B, Anda dapat mengubah titik-titik pada bidang menjadi titik-titik dalam ruang empat dimensi — cukup berikan setiap titik dua koordinat baru yang nilainya adalah jarak ke A dan B. Proses ini akan mengubah bidang tersebut menjadi permukaan melengkung dalam ruang empat dimensi. Anda dapat terus menambahkan lebih banyak titik referensi dengan cara ini. Dengan setiap titik referensi baru, dimensinya bertambah satu dan bidang tersebut dipetakan ke permukaan yang lebih bergelombang (atau, seperti yang dikatakan ahli matematika, permukaan dengan derajat yang lebih tinggi).

Dengan adanya kerangka tersebut, peneliti menggunakan metode determinan dari teori bilangan. Penentu adalah bilangan, biasanya dikaitkan dengan matriks, yang menangkap sejumlah sifat geometri dari kumpulan titik — misalnya, determinan tertentu mungkin mengukur luas segitiga yang dibentuk oleh tiga titik. Metode determinan menawarkan cara untuk menggunakan determinan tersebut untuk memperkirakan jumlah titik yang terletak secara bersamaan pada permukaan yang bergelombang dan pada kisi – seperti situasi yang dihadapi Greenfeld, Iliopoulou, dan Peluse.

Para peneliti menggunakan garis kerja berdasarkan metode determinan untuk menunjukkan bahwa ketika mereka menaikkan jarak bilangan bulat ke dimensi tinggi yang sesuai, semua titik harus terletak pada sejumlah kecil kurva khusus. Kurva ini, jika bayangannya pada bidang bukan berupa garis atau lingkaran, tidak boleh memuat banyak titik kisi, yang merupakan satu-satunya kandidat titik dalam himpunan jarak bilangan bulat. Artinya, jumlah titik dalam himpunan yang terletak di luar garis atau lingkaran utama adalah terbatas. Para peneliti menunjukkan bahwa jumlah tersebut pasti lebih kecil dari fungsi diameter himpunan yang tumbuh sangat lambat.

Batasannya tidak mencapai standar dugaan “empat titik di luar garis atau tiga titik di luar lingkaran” yang diyakini banyak ahli matematika berlaku untuk himpunan jarak bilangan bulat besar. Meski begitu, hasilnya menunjukkan bahwa “inti dari dugaan itu benar,” kata Jacob Fox dari Universitas Stanford. Bukti penuh atas dugaan tersebut kemungkinan akan membutuhkan ide-ide baru lagi, kata para ahli matematika.

Skema pengkodean dimensi tinggi yang dimiliki tim ini “sangat kuat,” kata Iosevich. “Tidak hanya ada penerapan pada prinsipnya — ada penerapan yang sudah saya pikirkan.”

Salah satu penerapannya, Greenfeld, Iliopoulou dan Peluse berharap, adalah masalah analisis harmonik asli mereka, yang kini ketiganya kembali lagi. Hasil mereka pada kumpulan jarak bilangan bulat “bisa menjadi batu loncatan menuju hal itu,” kata Greenfeld.

Sintesis kombinatorik dengan geometri aljabar yang digagas para peneliti tidak akan berhenti pada himpunan jarak bilangan bulat atau masalah terkait dalam analisis harmonik, prediksi Iosevich. “Saya yakin apa yang kami lihat adalah terobosan konseptual,” katanya. “Ini mengirimkan pesan kepada orang-orang di kedua bidang bahwa ini adalah interaksi yang sangat produktif.”

Hal ini juga mengirimkan pesan tentang manfaat terkadang membuat suatu masalah menjadi lebih rumit, kata Tao. Matematikawan biasanya berusaha melakukan hal yang sebaliknya, katanya. “Tetapi ini adalah contoh di mana memperumit masalah sebenarnya merupakan langkah yang tepat.”

Kemajuan ini telah mengubah cara berpikirnya tentang kurva derajat tinggi, katanya. “Terkadang mereka bisa menjadi teman Anda dan bukan musuh Anda.”