Sebarkan tiga titik pada sebuah bidang, lalu ukur jarak antara setiap pasangan titik tersebut. Kemungkinan besar, Anda akan menemukan tiga jarak berbeda. Tetapi jika titik-titik tersebut disusun dalam segitiga sama sisi, maka setiap jarak adalah sama. Di dalam pesawat, hal ini tidak mungkin dilakukan dengan empat titik. Jumlah jarak terkecil yang dapat Anda rekayasa adalah 2 — tepi dan diagonal persegi.

Namun jika Anda mengangkat salah satu titik dari bidang untuk membuat piramida, yang masing-masing sisinya merupakan segitiga sama sisi, Anda akan mendapatkan empat titik yang dipisahkan oleh satu jarak unik — panjang salah satu sisi piramida. segitiga.

Jika Anda memiliki banyak poin, pola ini akan semakin jelas. Seratus titik yang tersebar secara acak dalam sebuah bidang kemungkinan besar menentukan 4,950 jarak berpasangan yang berbeda. Namun jika Anda menyusun 100 titik dalam kotak datar dan persegi, pasangan titik mana pun akan dipisahkan oleh salah satu dari 50 kemungkinan jarak. Angkat titik-titik tersebut menjadi kotak tiga dimensi, dan Anda dapat mengurangi angka tersebut lebih jauh lagi.

Menjawab pertanyaan tentang jumlah jarak antar titik mungkin terdengar seperti latihan esoterik. Namun dalam upaya selama puluhan tahun untuk memecahkan masalah tersebut, para ahli matematika telah mengembangkan alat yang memiliki beragam penerapan lain, mulai dari teori bilangan hingga fisika.

“Saat orang mencoba memecahkan masalah,” kata Pablo Shmerkin dari Universitas British Columbia, “mereka mulai menemukan hubungan yang mengejutkan dan tidak terduga.”

Perkembangan terakhir terjadi akhir tahun lalu, ketika terjadi kolaborasi empat ahli matematika membuktikan hubungan baru antara geometri himpunan titik dan jarak di antara titik-titik tersebut.

Daftar jarak berbeda yang ditentukan oleh sekumpulan titik disebut himpunan jarak; hitung berapa banyak angka dalam daftar itu, dan Anda mendapatkan ukuran jarak yang ditetapkan. Pada tahun 1946, ahli matematika produktif Paul Erdős menduga bahwa untuk sejumlah besar titik, jarak yang ditetapkan tidak boleh lebih kecil dari jarak yang Anda peroleh saat menyusun titik-titik tersebut ke dalam kotak. Masalahnya, meski terlihat sederhana, ternyata sangat dalam dan sulit. Bahkan dalam dua dimensi, masih belum sepenuhnya terbukti, meski pada tahun 2010, dua ahli matematika menjadi sangat dekat bahwa hal tersebut sekarang dianggap telah diselesaikan secara efektif; itu tetap terbuka di dimensi yang lebih tinggi.

Sementara itu, para ahli matematika juga merumuskan versi baru dugaan tersebut. Salah satu yang paling penting muncul di a kertas 1985 by Kenneth Falconer, seorang ahli matematika di Universitas St. Andrews di Skotlandia. Falconer bertanya-tanya apa yang bisa dikatakan tentang jarak yang berbeda di antara titik-titik yang jumlahnya tak terhingga.

Jika Anda memiliki poin yang sangat banyak, menghitung saja sudah tidak berguna lagi. Namun ahli matematika punya cara lain untuk mendefinisikan ukuran. Dugaan Falconer mengemukakan hubungan antara geometri himpunan titik - yang dicirikan oleh bilangan yang disebut dimensi fraktal - dan ukuran himpunan jarak, yang dicirikan oleh bilangan yang disebut ukuran.

Dimensi fraktal selaras dengan intuisi biasa tentang dimensi. Sama seperti konsep dimensi yang lebih umum, ruas garis mempunyai dimensi fraktal 1, sedangkan persegi (yang bagian dalamnya terisi) mempunyai dimensi fraktal 2. Namun jika kumpulan titik-titik membentuk pola fraktal yang lebih rumit — seperti kurva di mana liku-liku mikroskopis terus muncul tidak peduli seberapa jauh Anda memperbesarnya — dimensi fraktalnya mungkin bukan bilangan bulat. Misalnya, kurva kepingan salju Koch yang ditunjukkan di bawah, yang memiliki rangkaian tonjolan segitiga yang semakin kecil tak berujung, memiliki dimensi sekitar 1.26.

Secara umum, kumpulan titik tak terhingga mempunyai dimensi fraktal yang kira-kira bergantung pada seberapa tersebarnya titik tersebut. Jika tersebar di sekeliling bidang, dimensi fraktalnya akan mendekati 2. Jika lebih mirip garis, dimensi fraktalnya akan mendekati 1. Jenis struktur yang sama dapat didefinisikan untuk kumpulan titik-titik dalam ruang tiga dimensi , atau bahkan dalam dimensi yang lebih tinggi.

Di sisi lain dugaan Falconer adalah ukuran jarak yang ditetapkan. Mengukur adalah semacam generalisasi matematis dari pengertian panjang. Suatu bilangan tunggal, yang dapat direpresentasikan sebagai sebuah titik pada garis bilangan, mempunyai ukuran nol. Tetapi bahkan himpunan tak hingga pun bisa mempunyai ukuran nol. Misalnya, bilangan bulat tersebar sangat tipis di antara bilangan real sehingga tidak mempunyai “panjang” kolektif, sehingga membentuk himpunan yang berukuran nol. Sebaliknya, bilangan real antara, katakanlah, 3/4 dan 1 mempunyai ukuran 1/4, karena itulah panjang intervalnya.

Ukuran tersebut memberikan cara untuk mengkarakterisasi ukuran himpunan jarak yang berbeda di antara banyak titik yang tak terhingga. Jika jumlah jaraknya “kecil”, berarti jarak yang ditetapkan akan bernilai nol: Ada banyak jarak yang diduplikasi. Sebaliknya, jika jarak yang ditetapkan mempunyai ukuran yang lebih besar dari nol, berarti terdapat banyak jarak yang berbeda.

Dalam dua dimensi, Falconer membuktikan bahwa setiap himpunan titik dengan dimensi fraktal lebih besar dari 1.5 mempunyai himpunan jarak dengan ukuran bukan nol. Namun para ahli matematika segera percaya bahwa hal ini berlaku untuk semua himpunan dengan dimensi fraktal lebih besar dari 1. “Kami mencoba menyelesaikan kesenjangan 1/2 ini,” kata Yumeng Ou dari University of Pennsylvania, salah satu penulis makalah baru ini. Selain itu, dugaan Falconer meluas ke tiga dimensi atau lebih: Untuk titik-titik yang tersebar di a d-ruang berdimensi, dinyatakan bahwa jika dimensi fraktal titik-titik lebih dari h/2, maka ukuran jarak yang ditetapkan harus lebih besar dari 0.

Pada tahun 2018, Ou bersama rekan-rekannya, menunjukkan dugaan itu berlaku dalam dua dimensi untuk semua himpunan dengan dimensi fraktal lebih besar dari 5/4. Sekarang Ou — bersama dengan Xiumin Du dari Universitas Northwestern, Ruixiang Zhang dari University of California, Berkeley, dan Kevin Ren dari Universitas Princeton — telah membuktikan bahwa dalam dimensi yang lebih tinggi, ambang batas untuk memastikan jarak yang ditetapkan dengan ukuran bukan nol sedikit lebih kecil daripada d/2 + 1/4. “Batas dalam dimensi yang lebih tinggi, dalam makalah ini, untuk pertama kalinya, lebih baik daripada dimensi 2,” kata Shmerkin. (Dalam dua dimensi, ambang batasnya tepat d/2 + 1/4.)

Hasil terbaru ini baru masuk satu gelombang kemajuan terkini on Dugaan Falconer. Buktinya menyempurnakan teknik analisis harmonik - bidang matematika yang tampaknya jauh yang berkaitan dengan representasi fungsi rumit yang sewenang-wenang dalam bentuk gelombang sederhana - untuk memperkuat ikatan. Namun beberapa teknik tersebut pertama kali dikembangkan untuk mengatasi masalah yang sama.

Pertanyaan tentang jarak antar titik ini “telah menjadi arena bermain bagi beberapa ide terbesar dalam analisis harmonik,” katanya Alex Iosevich dari Universitas Rochester.

Meskipun mereka hanya menutup setengah dari kesenjangan yang ditinggalkan oleh Falconer dalam makalahnya pada tahun 1985, para ahli matematika melihat serentetan pekerjaan baru-baru ini sebagai bukti bahwa dugaan penuh pada akhirnya dapat dicapai. Sementara itu, mereka akan terus menggunakan masalah ini sebagai ajang pengujian alat mereka yang paling canggih.