A topológia központi vizsgálati objektumai a sokaságnak nevezett terek, amelyek laposnak tűnnek, ha ráközelítünk rájuk. Egy gömb felülete például egy kétdimenziós sokaság. A topológusok nagyon jól megértik az ilyen kétdimenziós sokaságokat. És olyan eszközöket fejlesztettek ki, amelyek lehetővé teszik számukra a háromdimenziós és az öt vagy több dimenziós elosztók értelmezését.

De négy dimenzióban „minden megőrül egy kicsit” – mondta Sam Hughes, az Oxfordi Egyetem posztdoktori kutatója. A szerszámok nem működnek; egzotikus viselkedés jelenik meg. Mint Tom Mrowka A Massachusetts Institute of Technology munkatársa kifejtette: "Éppen elég hely van az érdekes jelenségeknek, de nincs annyi hely, hogy szétesjenek."

Az 1990-es évek elején Mrowka ill Kronheimer Péter A Harvard Egyetem munkatársai azt tanulmányozták, hogyan lehet kétdimenziós felületeket beágyazni négydimenziós sokaságba. Új technikákat fejlesztettek ki e felületek jellemzésére, lehetővé téve számukra, hogy döntő betekintést nyerjenek a négydimenziós sokaságok egyébként elérhetetlen szerkezetébe. Eredményeik azt sugallták, hogy a felületek széles osztályának tagjai viszonylag egyszerű módon átszelik a szülői sokaságot, egy alapvető tulajdonságot változatlanul hagyva. De senki sem tudta bebizonyítani, hogy ez mindig igaz.

Februárban együtt Daniel Ruberman a Hughes-i Brandeis Egyetemen ellenpéldák sorozatát állította össze — „őrült” kétdimenziós felületek, amelyek a matematikusok által lehetetlennek hitt módon szétszedik szülői sokaságukat. Az ellenpéldák azt mutatják, hogy a négydimenziós sokaságok még figyelemreméltóan sokrétűbbek, mint azt a korábbi évtizedek matematikusai felismerték. – Valóban gyönyörű papír – mondta Mrowka. „Csak nézem tovább. Rengeteg finom apróság van ott.”

Lista készítése

Tavaly év végén, Ruberman segített a szervezésben konferencia, amely létrehozta az alacsony dimenziós topológia legjelentősebb nyitott problémáinak új listáját. A felkészülés során megvizsgálta a fontos, megoldatlan topológiai problémák egy korábbi listáját 1997-ből. Tartalmaz egy kérdést, amelyet Kronheimer Mrowkával végzett munkája alapján tett fel. "Ott volt, és azt hiszem, egy kicsit elfelejtették" - mondta Ruberman. Most úgy gondolta, válaszolhat rá.

A kérdés megértéséhez először két kulcsfontosságú gondolatot kell figyelembe venni: egyszerűen összekapcsolt sokaságot és az alapvető csoportot.

Az egyszerűen csatlakoztatott elosztók olyan terek, amelyeken nincs lyuk. Az egyik dimenzióban egy végtelen vonal egyszerűen össze van kötve, de egy kör nem. Két dimenzióban egy végtelen sík és egy gömb felülete egyszerűen össze van kötve, de a fánk felülete nem.

A matematikusok szigorúbbá teszik ezt a megkülönböztetést azáltal, hogy hurkokat helyeznek el egy elosztócsőre, és megvizsgálják, hogyan lehet azokat deformálni. Ha bármely hurok egy pontig zsugorítható, akkor egyszerűen csatlakoztatni kell egy elosztót. Például egy síkon vagy egy gömb felületén ez lehetséges – gondoljon arra, hogy megfeszíti a zsinórt. De ha ez a húr egy kört megkerül, nem tud összezsugorodni. Hasonlóképpen, a fánk felületén a központi lyukon átmenő hurkok nem deformálódhatnak egyetlen ponttá. Maga a fánk akadályozza.

A matematikusok azokat a tereket osztályozzák, amelyek nem egyszerűen az „alapcsoportjuk” kiszámításával kapcsolódnak össze, egy olyan objektum, amelynek szerkezete tükrözi a hurkok zsugorodását. Az egyszerűen összekapcsolt elosztóknak van egy „triviális” alapvető csoportja, amely csak egy elemet tartalmaz. A lyukakkal ellátott elosztók azonban bonyolultabb alapcsoportokkal rendelkeznek.

Az egyszerűen összekapcsolt négydimenziós elosztók még mindig nagyon furcsák lehetnek. Hogy megértsék őket, a matematikusok azon gondolkodnak, mi történhet a beléjük ágyazott kétdimenziós felületekkel.

Hasonlatosan gondoljon arra, hogy egy madzaghurkot laposan fektet egy papírra. Nem sokat tudsz vele kezdeni. De emelje fel a háromdimenziós térbe, és bonyolult csomókba kötheti. A karakterlánc – egy egydimenziós sokaság – kezelésének módjai tisztázzák annak a térnek a természetét, amelybe be van ágyazva.

Hasonlóképpen, a négydimenziós bonyolultabb világban a kétdimenziós felületek „egyfajta kulcsot jelentenek az egész üzlethez, sokféleképpen” – mondta Ruberman. "A felületek sokkal többet árulnak el egy négydimenziós sokaságról, mint amit elvárhatna." A felületek lehetővé teszik az elosztók közötti különbségtételt: Ha egy felület az egyik elosztócsőben élhet, de egy másikban nem, akkor tudja, hogy az elosztók különböznek egymástól. A felületekkel pedig új osztócsöveket lehet építeni a régiekből.

A felületeknek is vannak megfelelő alapcsoportjai. És a komplementereik is – az elosztó azon része, amely megmarad, amikor eltávolítja a felületet. Távolítsuk el az egyenlítőt a kétdimenziós elosztókról, például egy gömb vagy fánk felületéről, és kapunk két szétválasztott félgömböt. De a fánk felülete egy darabban marad, ha vízszintes helyett függőleges gyűrűt távolítunk el. Hasonlóképpen, attól függően, hogy hogyan vág ki egy felületet egy négydimenziós elosztóból, különféle kiegészítőket kaphat.

Az 1990-es években Mrowka és Kronheimer azt vizsgálták, hogy mi történik, ha kivágunk egy kétdimenziós felületet egy négydimenziós elosztóból. Ha maga az elosztó egyszerűen csatlakoztatva van, milyen feltételeknek kell megfelelniük a felületeknek, hogy biztosítsák, hogy komplementjeik is egyszerűen össze legyenek kötve?

Kronheimer és Mrowka tudták, hogy bizonyos felületeknek lehetnek olyan kiegészítései, amelyek nem egyszerűen összekapcsolódnak. Munkájuk azonban azt jelezte, hogy a felületek egy másik széles osztályának mindig egyszerűen összefüggő kiegészítőkkel kell rendelkeznie.

Közel három évtizede senki sem talált példát olyan felületre ebben az osztályban, amelynek kiegészítése nem egyszerűen összefüggött. De 2023 őszén, miután találkozott a problémával, Ruberman úgy gondolta, hogy megteheti. Ahelyett, hogy egy négydimenziós elosztóval kezdett volna, és kivágott volna egy felületet, egy kétdimenziós felülettel kezdte, amely rendelkezik a szükséges tulajdonságokkal, és egy elosztót épített köré.

Először négydimenziós pacává hizlalta a felszínt. Ennek a négydimenziós foltnak háromdimenziós határa volt, ahogy egy háromdimenziós objektumnak, mint egy golyónak, kétdimenziós határa van. Ruberman egy gondosan kiválasztott négydimenziós elosztót akart a határ másik oldalára rögzíteni, amely a felület kiegészítéseként szolgálna. Ha a gambit működne, akkor ennek a sokaságnak egy bonyolult alapcsoportja lenne, de mindennek az alapcsoportja együttvéve triviális lenne. Az újonnan megépített négydimenziós elosztó ezért egyszerűen csatlakoztatva lenne.

De ahhoz, hogy mindent a megfelelő módon össze tudjon ragasztani, meg kellett mutatnia, hogy az új kiegészítés alapcsoportja mindenféle tulajdonságot kielégít. „Fogalmam sem volt, hogyan kell ezt csinálni” – mondta Ruberman.

Aztán januárban Hughes – egy csoportelméleti szakember – előadást tartott Brandeisben. Ruberman ott volt a nézőtéren. Felismerte, hogy Hughesnél lehet a hiányzó darab, amit keresett. Másnap találkoztak, és néhány órán belül kidolgozták a szükséges főbb ötleteket. Amit Ruberman hiányzott, „az a valami, amit a csoportelméleti szakemberek jelenleg 70-80 éve dolgoznak” – mondta Hughes. – Örökké ezen voltunk. A hét végére elkészült az igazolásuk.

„Tudtam néhány dolgot, és ő is tudott, és kettőnk között eleget tudtunk ahhoz, hogy megtegyük” – mondta Ruberman.

Mivel a csoportelméletet a bizonyítás során alkalmazzák, „egy kicsit szokatlan” – mondta Maggie Miller a Texasi Egyetemen, Austinban. "Kicsit másképp van megírva, mint ahogy a legtöbb négydimenziós topológus kényelmes lenne."

Az eredmény egy újabb példa arra, hogy milyen bonyolult lehet a négydimenziós topológia. "A felületeknek érdekesebb beágyazásai vannak, mint gondoltuk" - mondta Hughes. Ez megnehezíti a sokaságok osztályozását, és nehezebb bizonyítani más típusú eredményeket róluk.

Ennek ellenére márciusban İnanç Baykur a Massachusettsi Egyetem (Amherst) munkatársa, aki a tavalyi listakészítő konferenciát Rubermannel szervezte, jelentette be a megoldást egy másik probléma, amely az 1997-es listáról egyszerűen összekapcsolt négydimenziós sokaságokat érint.

Úgy tűnik, a topológusok takarítják a házat.