क्लेयर वोइसिन को गणित से प्यार होने में काफी समय लगा।

इसका मतलब यह नहीं है कि उसे यह विषय कभी पसंद नहीं आया। फ़्रांस में पली-बढ़ी - 10 बच्चों में से 12वीं - उसे अपने इंजीनियर पिता के साथ गणित की समस्याओं को हल करने में घंटों समय बिताना अच्छा लगता था। जब वह 12 वर्ष की हुई, तब तक उसने हाई स्कूल की बीजगणित पाठ्यपुस्तक को स्वयं पढ़ना शुरू कर दिया था, और इसके पृष्ठों में उल्लिखित परिभाषाओं और प्रमाणों से मंत्रमुग्ध हो गई थी। “वहाँ यह सारी संरचना थी,” उसने कहा। "बीजगणित वास्तव में संरचनाओं का एक सिद्धांत है।"

लेकिन वह गणित को जीवन भर की चुनौती के रूप में नहीं देखती थी। विश्वविद्यालय के वर्षों तक उसे यह एहसास नहीं हुआ कि यह कितना गहरा और सुंदर हो सकता है - और वह नई खोज करने में सक्षम थी। तब तक, वह गणित के अलावा कई रुचियों में गंभीरता से लगी रहीं: दर्शन, चित्रकला और कविता। ("जब मैं 20 साल की थी, तो मुझे लगता है कि मैंने केवल गणित और पेंटिंग ही की थी। वह शायद थोड़ा ज़्यादा था," वह हँसी।) 20 साल की उम्र में, गणित ने बाकी सब कुछ शामिल कर लिया था। लेकिन पेंटिंग और कविता ने उन पर प्रभाव जारी रखा। वह गणित को एक कला के रूप में देखती है - और भाषा की सीमाओं के साथ आगे बढ़ने और खेलने के एक तरीके के रूप में।

दशकों बाद, बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र में अग्रणी बनने के बाद, वोइसिन को फिर से पेंटिंग करने और मिट्टी की मूर्तियां बनाने का समय मिला है। फिर भी, गणित पर उसका अधिकांश ध्यान केंद्रित है; वह अपना समय इस "अलग दुनिया" की खोज में बिताना पसंद करती है जहां "ऐसा लगता है जैसे आप सपना देख रहे हैं।"

वोइसिन पेरिस में फ्रेंच नेशनल सेंटर फॉर साइंटिफिक रिसर्च में एक वरिष्ठ शोधकर्ता हैं। वहां, वह बीजगणितीय किस्मों का अध्ययन करती है, जिन्हें बहुपद समीकरणों के सेट द्वारा परिभाषित आकृतियों के रूप में माना जा सकता है, जिस तरह से एक वृत्त को बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। x² + y² = 1. वह हॉज सिद्धांत में दुनिया के अग्रणी विशेषज्ञों में से एक हैं, एक टूलकिट जिसका उपयोग गणितज्ञ बीजगणितीय किस्मों के प्रमुख गुणों का अध्ययन करने के लिए करते हैं।

वोइसिन ने अपने काम के लिए कई पुरस्कार जीते हैं, जिनमें 2008 में क्ले रिसर्च अवार्ड, 2015 में हेंज होप पुरस्कार और 2017 में गणित के लिए शॉ पुरस्कार शामिल हैं। जनवरी में, वह क्राफ़ोर्ड पुरस्कार से सम्मानित होने वाली पहली महिला बनीं। अंक शास्त्र।

क्वांटा गणित की रचनात्मक प्रकृति के बारे में वोइसिन से बात की। स्पष्टता के लिए साक्षात्कार को संक्षिप्त और संपादित किया गया है।

आपने एक बच्चे के रूप में गणित का आनंद लिया, लेकिन खुद को इसमें आगे बढ़ते हुए नहीं देखा। क्यों नहीं?

एक प्रमाण का जादू है - वह भावना जो आप महसूस करते हैं जब आप इसे समझते हैं, जब आपको एहसास होता है कि यह कितना मजबूत है और यह आपको कितना मजबूत बनाता है। एक बच्चे के रूप में, मैं इसे पहले से ही देख सकता था। और मैंने उस एकाग्रता का आनंद लिया जिसकी गणित को आवश्यकता होती है। यह कुछ ऐसा है, जो उम्र बढ़ने के साथ-साथ मुझे गणित के अभ्यास में अधिक से अधिक केंद्रीय लगता है। बाकी दुनिया गायब हो जाती है. किसी समस्या का अध्ययन करने के लिए आपका पूरा मस्तिष्क मौजूद होता है। यह एक असाधारण अनुभव है, जो मेरे लिए बहुत महत्वपूर्ण है - अपने आप को व्यावहारिक चीजों की दुनिया छोड़ने के लिए, एक अलग दुनिया में रहने के लिए। शायद इसीलिए मेरे बेटे को वीडियो गेम खेलने में इतना आनंद आता है।

लेकिन जिस बात ने मुझे गणित में देर से आने वाला बनाया, कुछ मायनों में, वह यह है कि मुझे खेलों में बिल्कुल भी दिलचस्पी नहीं है। यह मेरे लिए नहीं है। और हाई स्कूल में गणित एक खेल की तरह महसूस होता था। मेरे लिए इसे गंभीरता से लेना कठिन था। मैंने पहले गणित की गहराई नहीं देखी। यहां तक ​​कि जब मैंने हाई स्कूल के बाद बहुत दिलचस्प प्रमाणों और प्रमेयों की खोज शुरू की, तब भी मैंने कभी नहीं सोचा था कि मैं खुद कुछ आविष्कार कर सकता हूं, कि मैं इसे अपना बना सकता हूं।

मुझे किसी गहरी, अधिक गंभीर चीज़ की ज़रूरत थी, जिसे मैं अपना बना सकूं।

गणित में उसे पाने से पहले, आपने उसे कहाँ खोजा था?

मैंने दर्शनशास्त्र और एक अवधारणा की धारणा पर उसके आग्रह का आनंद लिया। इसके अलावा, जब तक मैं लगभग 22 वर्ष का नहीं हो गया, मैंने पेंटिंग करने में बहुत समय बिताया, विशेष रूप से ज्यामिति से प्रेरित आलंकारिक टुकड़े। और मुझे कविता का बहुत शौक था - मल्लार्मे, बौडेलेर, रेने चार की कृतियों का। मैं पहले से ही एक अलग दुनिया में रह रहा था। लेकिन मुझे लगता है कि जब आप छोटे होते हैं तो यह सामान्य बात है।

लेकिन गणित अधिकाधिक महत्वपूर्ण होता गया। यह वास्तव में आपका पूरा मस्तिष्क लेता है। जब आप अपने डेस्क पर किसी विशिष्ट समस्या पर काम नहीं कर रहे होते हैं, तब भी आपका दिमाग व्यस्त रहता है। इसलिए जितना अधिक मैंने गणित किया, उतना ही कम मैंने चित्रकारी की। मैंने हाल ही में फिर से पेंटिंग करना शुरू किया है, अब जबकि मेरे सभी बच्चे घर छोड़ चुके हैं और मेरे पास बहुत अधिक समय है।

आख़िरकार आपने अपनी अधिकांश रचनात्मक ऊर्जा गणित को समर्पित करने का निर्णय क्यों लिया?

गणित मेरे लिए और अधिक दिलचस्प हो गया। मास्टर और पीएच.डी. के रूप में। छात्र, मुझे पता चला कि 20वीं सदी का गणित बहुत गहरा और असाधारण था। यह विचारों और अवधारणाओं की दुनिया थी। बीजगणितीय ज्यामिति में, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के नेतृत्व में प्रसिद्ध क्रांति हुई थी। ग्रोथेंडिक से पहले भी, अविश्वसनीय परिणाम थे। तो यह एक हालिया क्षेत्र है, जिसमें ऐसे विचार हैं जो सुंदर हैं लेकिन बेहद शक्तिशाली भी हैं। हॉज सिद्धांत, जिसका मैं अध्ययन करता हूं, उसी का हिस्सा था।

यह और अधिक स्पष्ट हो गया कि मेरा जीवन वहीं था। बेशक, मेरा पारिवारिक जीवन था - एक पति और पाँच बच्चे - और अन्य कर्तव्य और गतिविधियाँ। लेकिन मुझे एहसास हुआ कि गणित से मैं कुछ बना सकता हूं। मैं इसके लिए अपना जीवन समर्पित कर सकता हूं, क्योंकि यह इतना सुंदर, इतना शानदार, इतना दिलचस्प था।

आपने पहले लिखा है कि गणित किस प्रकार एक रचनात्मक प्रयास है।

मैं एक पेशेवर गणितज्ञ हूं, इसलिए मेरा कार्य दिवस आधिकारिक तौर पर गणित के आसपास आयोजित किया जाता है। मैं एक डेस्क पर बैठता हूँ; मैं कंप्यूटर पर काम करता हूं. लेकिन मेरी अधिकांश गणित गतिविधियाँ उस दौरान नहीं होतीं। आपको एक नए विचार, एक अच्छी परिभाषा, एक कथन की आवश्यकता है जिसके बारे में आपको लगता है कि आप उसका लाभ उठा सकेंगे। तभी आपका काम शुरू हो सकता है. और ऐसा तब नहीं होता जब मैं अपने डेस्क पर होता हूं। मुझे अपने मन की बात मानने की, खुद को सोचते रहने की जरूरत है।

ऐसा लगता है जैसे गणित आपके लिए अत्यंत व्यक्तिगत है। क्या आपने इस प्रक्रिया में अपने बारे में कुछ खोजा है?

गणित करते समय, अधिकांश समय मुझे अपने आप से ही लड़ना पड़ता है, क्योंकि मैं बहुत अव्यवस्थित हूँ, मैं बहुत अनुशासित नहीं हूँ, और मैं उदास भी हो जाता हूँ। मुझे यह आसान नहीं लगता. लेकिन मैंने जो पाया वह यह है कि कुछ क्षणों में - जैसे सुबह नाश्ते के समय, या जब मैं पेरिस की सड़कों पर घूम रहा होता हूं या सफाई जैसा कोई नासमझी भरा काम कर रहा होता हूं - तो मेरा दिमाग अपने आप काम करना शुरू कर देता है। मुझे एहसास हुआ कि मैं बिना किसी इरादे के गणित के बारे में सोच रहा हूं। यह ऐसा है जैसे आप सपना देख रहे हों। मैं 62 वर्ष का हूं, और मेरे पास अच्छा गणित करने का कोई वास्तविक तरीका नहीं है: मैं अभी भी कमोबेश उस पल का इंतजार करता हूं जब मुझे कुछ प्रेरणा मिलेगी।

आप बहुत अमूर्त वस्तुओं के साथ काम करते हैं - उच्च-आयामी स्थानों के साथ, संरचनाओं के साथ जो जटिल समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। आप ऐसी अमूर्त दुनिया के बारे में क्या सोचते हैं?

वास्तव में यह उतना कठिन नहीं है। एक बार जब आप सबसे अमूर्त परिभाषा से परिचित हो जाते हैं, तो वह अमूर्त नहीं रह जाती है। यह एक खूबसूरत पहाड़ की तरह है जिसे आप बहुत अच्छी तरह से देख सकते हैं, क्योंकि हवा बहुत साफ है और रोशनी है जो आपको सभी विवरण देखने देती है। हमारे लिए, हम जिन गणितीय वस्तुओं का अध्ययन करते हैं वे ठोस लगती हैं, क्योंकि हम उन्हें किसी भी अन्य चीज़ की तुलना में बहुत बेहतर जानते हैं।

बेशक, साबित करने के लिए बहुत सारी चीजें हैं, और जब आप कुछ सीखना शुरू करते हैं, तो आप अमूर्तता के कारण पीड़ित हो सकते हैं। लेकिन जब आप किसी सिद्धांत का उपयोग करते हैं - क्योंकि आप प्रमेयों को समझते हैं - तो आप वास्तव में प्रश्न में वस्तुओं के बहुत करीब महसूस करते हैं, भले ही वे अमूर्त हों। वस्तुओं के बारे में सीखकर, उनमें हेरफेर करके और गणितीय तर्कों में उनका उपयोग करके, वे अंततः आपके मित्र बन जाते हैं।

और इसके लिए उन्हें अलग-अलग दृष्टिकोण से देखने की भी आवश्यकता है?

मैंने मूल रूप से बीजगणितीय ज्यामिति का अध्ययन नहीं किया। मैंने जटिल विश्लेषणात्मक और विभेदक ज्यामिति में काम किया। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, आप कार्यों के एक बहुत बड़े वर्ग और उन आकृतियों का अध्ययन करते हैं जो उन कार्यों द्वारा स्थानीय रूप से परिभाषित होती हैं। बीजगणितीय ज्यामिति के विपरीत, उनके पास आमतौर पर कोई वैश्विक समीकरण नहीं होता है।

पहले मैंने बीजगणितीय दृष्टिकोण पर अधिक ध्यान नहीं दिया। लेकिन जैसे-जैसे मैं बड़ा होता जाता हूं और जितना अधिक मैं इस क्षेत्र में काम करता हूं, उतना ही मुझे इन दो अलग-अलग भाषाओं की आवश्यकता महसूस होती है।

GAGA नामक एक अविश्वसनीय प्रमेय है, जो थोड़ा मज़ाक है; फ़्रेंच में इसका अर्थ "बूढ़ा" होता है, लेकिन इसका अर्थ भी होता है जियोमेट्री बीजगणित और जियोमेट्री विश्लेषणात्मक. यह कहता है कि आप एक भाषा से दूसरी भाषा में जा सकते हैं। यदि यह आसान है तो आप जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में गणना कर सकते हैं, फिर बीजगणितीय ज्यामिति पर वापस आएँ।

अन्य समय में, बीजगणितीय ज्यामिति आपको किसी समस्या के भिन्न संस्करण का अध्ययन करने की संभावना देती है जो असाधारण परिणाम दे सकती है। मैंने केवल इसके जटिल-ज्यामिति पक्ष पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय, बीजगणितीय ज्यामिति को समग्र रूप से समझने की दिशा में काम किया है।

यह दिलचस्प है कि आप इन्हें विभिन्न गणितीय भाषाओं के रूप में सोचते हैं।

भाषा आवश्यक है. गणित से पहले भाषा है. भाषा के अंदर बहुत सारे तर्क पहले से ही मौजूद हैं। हमारे पास गणित में ये सभी तार्किक नियम हैं: संचालन के सही क्रम को इंगित करने के लिए परिमाणक, निषेध, कोष्ठक। लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि गणितज्ञों के लिए महत्वपूर्ण ये सभी नियम पहले से ही हमारी रोजमर्रा की भाषा में हैं।

आप गणितीय प्रमेय की तुलना एक कविता से कर सकते हैं। यह शब्दों में लिखा गया है. यह भाषा का उत्पाद है. हमारे पास केवल गणितीय वस्तुएं हैं क्योंकि हम भाषा का उपयोग करते हैं, क्योंकि हम रोजमर्रा के शब्दों का उपयोग करते हैं और उन्हें एक विशिष्ट अर्थ देते हैं। तो आप कविता और गणित की तुलना कर सकते हैं, इसमें वे दोनों पूरी तरह से भाषा पर निर्भर हैं लेकिन फिर भी कुछ नया रचते हैं।

बीजगणितीय ज्यामिति में ग्रोथेंडिक की क्रांति के कारण आप गणित की ओर आकर्षित हुए। उन्होंने इस प्रकार का गणित करने के लिए अनिवार्य रूप से एक नई भाषा बनाई।

सही।

क्या ऐसे तरीके हैं जिनमें आप जिस गणितीय भाषा का उपयोग कर रहे हैं उसे अभी भी बदलने की आवश्यकता हो सकती है?

गणितज्ञ लगातार अपनी भाषा पर कार्य करते रहते हैं। यह अफ़सोस की बात है, क्योंकि इससे पुराने दस्तावेज़ों को पढ़ना काफी कठिन हो जाता है। लेकिन हम पिछले गणित पर दोबारा काम करते हैं क्योंकि हम इसे बेहतर समझते हैं। यह हमें प्रमेयों को लिखने और सिद्ध करने का बेहतर तरीका प्रदान करता है। यही हाल ग्रोथेंडिक का था, जब उन्होंने ज्योमेट्री में शीफ कोहोमोलॉजी का प्रयोग किया था। यह वाकई शानदार है.

आप जिस वस्तु का अध्ययन कर रहे हैं उससे परिचित होना महत्वपूर्ण है, इस हद तक कि यह आपके लिए एक मूल भाषा की तरह हो। जब कोई सिद्धांत बनना शुरू होता है, तो सही परिभाषाएँ निकालने और हर चीज़ को सरल बनाने में समय लगता है। या शायद यह अभी भी बहुत जटिल है, लेकिन हम परिभाषाओं और वस्तुओं से बहुत अधिक परिचित हो गए हैं; उनका उपयोग करना अधिक स्वाभाविक हो जाता है।

यह एक सतत विकास है. क्या महत्वपूर्ण है, कौन से उपकरण उपलब्ध कराने हैं, इसके बारे में सिद्धांत बनाने के लिए हमें लगातार फिर से लिखना और सरल बनाना पड़ता है।

क्या आपको अपने काम में नई परिभाषाएँ पेश करनी पड़ी हैं?

कभी-कभी। में जो काम मैंने किया साथ में जानोस कोल्लर, वहाँ एक महत्वपूर्ण मोड़ था जहाँ हम अंततः समस्या का सही दृष्टिकोण खोजने में सक्षम थे - एक निश्चित परिभाषा के माध्यम से। यह एक बहुत ही शास्त्रीय समस्या थी, और हमने शास्त्रीय उपकरणों के साथ काम किया, लेकिन हमारा प्रमाण वास्तव में इस परिभाषा पर आधारित था जिसे हमने स्थापित किया था।

एक अन्य मामले में, ओलिवियर डेबर्रे, डेनियल ह्यूब्रेक्ट्स, इमानुएल मैक्रों और मैं अच्छा साबित हुआ वर्गीकरण परिणाम हाइपर-कैहलर मैनिफोल्ड्स नामक वस्तुओं के बारे में। और उस प्रमाण के लिए प्रारंभिक बिंदु एक अपरिवर्तनीय का परिचय था, जिसे हम मूल रूप से "" कहते थेa."[हंसता.]

आप गणित में परिभाषाओं के महत्व को कम आंक सकते हैं, लेकिन आपको ऐसा नहीं करना चाहिए।

गणित में परिभाषाएँ और भाषा ही एकमात्र मार्गदर्शक शक्तियाँ नहीं हैं। ऐसे ही अनुमान हैं, जो सच हो भी सकते हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, आपने हॉज अनुमान, एक क्ले मिलेनियम समस्या पर बहुत काम किया है जिसका समाधान एक के साथ आता है $ 1 मिलियन का इनाम.

मान लीजिए कि आपके पास एक बीजगणितीय विविधता है जिसे आप समझना चाहते हैं। तो आप जटिल-विश्लेषणात्मक ज्यामिति पक्ष पर जाएं और इसे एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। आप किसी जटिल विविधता के बारे में उसके वैश्विक आकार या टोपोलॉजी के संदर्भ में सोच सकते हैं। एक वस्तु है, जिसे होमोलॉजी कहा जाता है, जो आपको कई गुना के बारे में बहुत सारी टोपोलॉजिकल जानकारी देती है। लेकिन इसे परिभाषित करना इतना आसान नहीं है.

अब अपनी मूल किस्म के अंदर बीजगणितीय उप-किस्मों पर विचार करें। प्रत्येक के पास एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट, उससे जुड़ी कुछ टोपोलॉजिकल जानकारी होगी। इन टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स को देखकर कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड की होमोलॉजी का कौन सा हिस्सा प्राप्त किया जा सकता है?

हॉज अनुमान एक विशिष्ट उत्तर देता है। और उत्तर बहुत सूक्ष्म है.

इसलिए गणितज्ञ निश्चित नहीं हैं कि हॉज का अनुमान सच होगा या गलत?

आप हॉज अनुमान पर विश्वास करना चाहते हैं, क्योंकि यह बीजगणितीय ज्यामिति के प्रमुख सिद्धांतों में एक मार्गदर्शक है।

आप वास्तव में बीजगणितीय विविधता के मुख्य गुणों को समझना चाहेंगे। और यदि हॉज का अनुमान सत्य है, तो इससे आपको अपनी विविधता की ज्यामिति पर अविश्वसनीय नियंत्रण मिलेगा। आपको किस्मों की संरचना के बारे में बहुत महत्वपूर्ण जानकारी मिलेगी।

इस पर विश्वास करने के कुछ मजबूत कारण हैं. हॉज अनुमान के विशेष मामले ज्ञात हैं। और बीजगणितीय किस्मों के बारे में कई गहरे कथन हैं जो संकेत देते हैं कि हॉज अनुमान सत्य है।

लेकिन इसे साबित करने की दिशा में प्रगति का लगभग पूर्ण अभाव रहा है। मैंने यह भी साबित कर दिया कि हॉज अनुमान को किसी अन्य सेटिंग तक विस्तारित करने का कोई तरीका नहीं है जहां यह स्वाभाविक लगे। तो यह थोड़ा झटका था।

दशकों तक गणितज्ञ के रूप में काम करने के बाद, क्या आपको ऐसा लगता है कि आप अब और भी अधिक गहराई से गणित कर रहे हैं?

अब चूँकि मैं बड़ा हो गया हूँ, मेरे पास गणित पर अपनी ऊर्जा खर्च करने के लिए, इसमें वास्तव में उपस्थित रहने के लिए बहुत अधिक समय है। मेरे पास इधर-उधर जाने की भी बेहतर क्षमता है। अतीत में, शायद इसलिए कि मेरे पास समय कम था, मेरी गतिशीलता कम थी - हालाँकि बहुत अधिक गतिशील होना, समस्याओं से जुड़े बिना उन्हें छूना भी अच्छा नहीं है। अब मैं अधिक अनुभवी हो गया हूं और अपनी तस्वीर खुद बना सकता हूं।

जो आप नहीं जानते, उसकी, खुली समस्याओं की, आपके पास बेहतर तस्वीर है। आपके पास अपने क्षेत्र और उसकी सीमाओं का विस्तृत दृश्य है। उम्र बढ़ने के कुछ अच्छे पहलू होने चाहिए। और अभी भी बहुत कुछ करना बाकी है.