हमारे चारों ओर यादृच्छिक प्रक्रियाएँ घटित होती रहती हैं। एक दिन बारिश होती है लेकिन अगले दिन नहीं; स्टॉक और बांड का मूल्य बढ़ता और घटता है; ट्रैफिक जाम एकत्रित होते हैं और गायब हो जाते हैं। क्योंकि वे कई कारकों द्वारा शासित होते हैं जो जटिल तरीकों से एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, ऐसी प्रणालियों के सटीक व्यवहार की भविष्यवाणी करना असंभव है। इसके बजाय, हम उनके बारे में संभावनाओं के संदर्भ में सोचते हैं, परिणामों को संभावित या दुर्लभ बताते हैं।

आज, फ्रांसीसी संभाव्यता सिद्धांतकार मिशेल टैलग्रांड ऐसी प्रक्रियाओं की गहरी और परिष्कृत समझ विकसित करने के लिए गणित के सर्वोच्च सम्मानों में से एक एबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। नॉर्वे के राजा द्वारा प्रदान किया जाने वाला यह पुरस्कार नोबेल की तर्ज पर दिया गया है और इसमें 7.5 मिलियन नॉर्वेजियन क्रोनर (लगभग $700,000) दिए जाते हैं। जब उन्हें बताया गया कि वह जीत गए हैं, तो "मेरा दिमाग खाली हो गया," टैलाग्रैंड ने कहा। “जब मैंने शुरुआत की थी तब मैं जिस प्रकार का गणित करता था वह बिल्कुल भी फैशनेबल नहीं था। इसे घटिया गणित माना जाता था। यह तथ्य कि मुझे यह पुरस्कार दिया गया, इस बात का पूर्ण प्रमाण है कि ऐसा नहीं है।”

अन्य गणितज्ञ सहमत हैं। टैलाग्रैंड के काम ने "मेरे दुनिया को देखने के तरीके को बदल दिया," कहा असफ नौरो प्रिंसटन विश्वविद्यालय के. आज, जोड़ा गया हेल्गे होल्डनएबेल पुरस्कार समिति के अध्यक्ष, “यादृच्छिक प्रक्रियाओं द्वारा वास्तविक दुनिया की घटनाओं का वर्णन और मॉडल करना बहुत लोकप्रिय हो रहा है। टैलाग्रैंड का टूलबॉक्स तुरंत सामने आ जाता है।"

टैलाग्रैंड अपने जीवन को असंभावित घटनाओं की एक श्रृंखला के रूप में देखता है। उन्होंने बमुश्किल ल्योन में ग्रेड स्कूल पास किया: हालाँकि उन्हें विज्ञान में रुचि थी, लेकिन उन्हें पढ़ाई करना पसंद नहीं था। जब वह 5 वर्ष का था, तो उसकी रेटिना अलग हो जाने के कारण उसकी दाहिनी आँख की दृष्टि चली गई; 15 साल की उम्र में, उनकी दूसरी आंख में तीन रेटिना अलग हो गए, जिससे उन्हें एक महीना अस्पताल में बिताना पड़ा, आंखों पर पट्टी बांधी गई, इस डर से कि कहीं वह अंधे न हो जाएं। उनके पिता, जो गणित के प्रोफेसर थे, हर दिन उनसे मिलने आते थे और उन्हें गणित पढ़ाकर उनके दिमाग को व्यस्त रखते थे। "इस तरह मैंने अमूर्तन की शक्ति सीखी," टैलाग्रैंड 2019 में लिखा था शॉ पुरस्कार जीतने के बाद, एक और प्रमुख गणित पुरस्कार जो 1.2 मिलियन डॉलर के इनाम के साथ आता है। (टैलाग्रैंड इस पैसे में से कुछ का उपयोग अपनी एबेल जीत के साथ, अपना स्वयं का पुरस्कार प्राप्त करने के लिए कर रहा है, "उन क्षेत्रों में युवा शोधकर्ताओं की उपलब्धियों को मान्यता देते हुए जिनके लिए मैंने अपना जीवन समर्पित किया है।")

ठीक होने के दौरान उन्होंने आधे साल तक स्कूल नहीं छोड़ा, लेकिन उन्हें अपनी पढ़ाई पर ध्यान केंद्रित करने के लिए प्रेरित किया गया। उन्होंने गणित में उत्कृष्ट प्रदर्शन किया, और 1974 में कॉलेज से स्नातक होने के बाद, उन्हें यूरोप के सबसे बड़े अनुसंधान संस्थान, फ्रेंच नेशनल सेंटर फॉर साइंटिफिक रिसर्च द्वारा नियुक्त किया गया, जहां उन्होंने 2017 में अपनी सेवानिवृत्ति तक काम किया। उस दौरान, उन्होंने डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की; अपनी भावी पत्नी, एक सांख्यिकीविद्, से पहली नजर में प्यार हो गया (उसने उससे मिलने के तीन दिन बाद उसे प्रपोज किया); और धीरे-धीरे संभाव्यता में रुचि विकसित की, इस विषय पर सैकड़ों पत्र प्रकाशित किए।

वह पूर्वनिर्धारित नहीं था. टैलाग्रैंड ने अपने करियर की शुरुआत उच्च-आयामी ज्यामितीय स्थानों का अध्ययन करके की। उन्होंने कहा, ''10 साल तक मुझे पता ही नहीं चला कि मैं किसमें अच्छा हूं।'' लेकिन उन्हें इस उलटफेर का अफसोस नहीं है. अंततः यह उन्हें संभाव्यता सिद्धांत की ओर ले गया, जहां "मेरे पास यह दूसरा दृष्टिकोण था ... जिसने मुझे चीजों को अलग तरीके से देखने का एक तरीका दिया," उन्होंने कहा। इसने उन्हें उच्च-आयामी ज्यामिति के लेंस के माध्यम से यादृच्छिक प्रक्रियाओं की जांच करने में सक्षम बनाया।

नाओर ने कहा, "वह पूरी तरह से संभाव्य प्रश्नों को हल करने के लिए अपने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान का उपयोग करता है।"

एक यादृच्छिक प्रक्रिया घटनाओं का एक संग्रह है जिसके परिणाम संयोग के अनुसार अलग-अलग होते हैं जिन्हें मॉडल किया जा सकता है - जैसे सिक्का उछालने का क्रम, या गैस में परमाणुओं के प्रक्षेप पथ, या दैनिक वर्षा का योग। गणितज्ञ व्यक्तिगत परिणामों और समग्र व्यवहार के बीच संबंध को समझना चाहते हैं। यह पता लगाने के लिए कि यह उचित है या नहीं, आपको कितनी बार एक सिक्का उछालना होगा? क्या कोई नदी अपने किनारों से बह निकलेगी?

टैलाग्रैंड ने उन प्रक्रियाओं पर ध्यान केंद्रित किया जिनके परिणाम गाऊसी नामक घंटी के आकार के वक्र के अनुसार वितरित होते हैं। इस तरह के वितरण प्रकृति में सामान्य हैं और इनमें कई वांछनीय गणितीय गुण हैं। वह जानना चाहते थे कि इन स्थितियों में चरम परिणामों के बारे में निश्चितता के साथ क्या कहा जा सकता है। इसलिए उन्होंने असमानताओं का एक सेट साबित किया जिसने संभावित परिणामों पर ऊपरी और निचली सीमाएँ कड़ी कर दीं। होल्डन ने कहा, "अच्छी असमानता प्राप्त करना कला का एक नमूना है।" वह कला उपयोगी है: टैलाग्रैंड के तरीके एक इष्टतम अनुमान दे सकते हैं, जैसे कि, अगले 10 वर्षों में एक नदी का उच्चतम स्तर बढ़ सकता है, या सबसे मजबूत संभावित भूकंप की तीव्रता।

जब हम जटिल, उच्च-आयामी डेटा के साथ काम कर रहे होते हैं, तो ऐसे अधिकतम मान ढूँढना कठिन हो सकता है।

मान लीजिए कि आप नदी में बाढ़ के खतरे का आकलन करना चाहते हैं - जो वर्षा, हवा और तापमान जैसे कारकों पर निर्भर करेगा। आप नदी की ऊंचाई को एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में मॉडल कर सकते हैं। टैलाग्रैंड ने जेनेरिक चेनिंग नामक एक तकनीक विकसित करने में 15 साल बिताए, जिसने उन्हें ऐसी यादृच्छिक प्रक्रिया से संबंधित एक उच्च-आयामी ज्यामितीय स्थान बनाने की अनुमति दी। नाओर ने कहा, "उनकी विधि आपको ज्यामिति से अधिकतम पढ़ने का एक तरीका देती है।"

तकनीक बहुत सामान्य है और इसलिए व्यापक रूप से लागू होती है। मान लीजिए कि आप एक विशाल, उच्च-आयामी डेटा सेट का विश्लेषण करना चाहते हैं जो हजारों मापदंडों पर निर्भर करता है। एक सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए, आप डेटा सेट की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को केवल कुछ मापदंडों के संदर्भ में चिह्नित करते हुए संरक्षित करना चाहते हैं। (उदाहरण के लिए, यह विभिन्न प्रोटीनों की जटिल संरचनाओं का विश्लेषण और तुलना करने का एक तरीका है।) कई अत्याधुनिक तरीके एक यादृच्छिक ऑपरेशन लागू करके इस सरलीकरण को प्राप्त करते हैं जो उच्च-आयामी डेटा को निम्न-आयामी स्थान पर मैप करता है . गणितज्ञ इस प्रक्रिया द्वारा प्रस्तुत त्रुटि की अधिकतम मात्रा निर्धारित करने के लिए टैलाग्रैंड की जेनेरिक चेनिंग विधि का उपयोग कर सकते हैं - जिससे उन्हें यह संभावना निर्धारित करने की अनुमति मिलती है कि सरलीकृत डेटा सेट में कुछ महत्वपूर्ण विशेषता संरक्षित नहीं है।

टैलाग्रैंड का काम केवल एक यादृच्छिक प्रक्रिया के सर्वोत्तम और सबसे खराब संभावित परिणामों का विश्लेषण करने तक सीमित नहीं था। उन्होंने यह भी अध्ययन किया कि औसत मामले में क्या होता है।

कई प्रक्रियाओं में, यादृच्छिक व्यक्तिगत घटनाएँ, समग्र रूप से, अत्यधिक नियतात्मक परिणामों को जन्म दे सकती हैं। यदि माप स्वतंत्र हैं, तो कुल योग बहुत पूर्वानुमानित हो जाता है, भले ही प्रत्येक व्यक्तिगत घटना की भविष्यवाणी करना असंभव हो। उदाहरण के लिए, एक निष्पक्ष सिक्का उछालें। क्या होगा इसके बारे में आप पहले से कुछ नहीं कह सकते. इसे 10 बार पलटें, और आपको चार, पाँच या छह चित मिलेंगे - पाँच चित के अपेक्षित मूल्य के करीब - लगभग 66% बार। लेकिन सिक्के को 1,000 बार उछालें, और आपको 450% समय में 550 और 99.7 चित के बीच मिलेगा, जिसका परिणाम 500 के अपेक्षित मूल्य के आसपास और भी अधिक केंद्रित है। होल्डन ने कहा, "यह औसत के आसपास असाधारण रूप से तेज है।"

नाओर ने कहा, "भले ही किसी चीज़ में इतनी अधिक यादृच्छिकता हो, यादृच्छिकता स्वयं को रद्द कर देती है।" "जो शुरू में एक भयानक गड़बड़ी की तरह लग रहा था वह वास्तव में व्यवस्थित है।"

यह घटना, जिसे माप की एकाग्रता के रूप में जाना जाता है, बहुत अधिक जटिल यादृच्छिक प्रक्रियाओं में भी होती है। टैलाग्रैंड ने असमानताओं का एक संग्रह पेश किया जो उस एकाग्रता को मापना संभव बनाता है, और साबित किया कि यह कई अलग-अलग संदर्भों में उत्पन्न होता है। उनकी तकनीकों ने क्षेत्र में पिछले काम से विचलन को चिह्नित किया। इस तरह की पहली असमानता को साबित करते हुए, उन्होंने अपने 2019 के निबंध में लिखा, "एक जादुई अनुभव था।" वह "निरंतर उत्साह की स्थिति में था।"

उन्हें अपनी बाद की एकाग्रता असमानताओं में से एक पर विशेष रूप से गर्व है। उन्होंने कहा, "ऐसा परिणाम प्राप्त करना आसान नहीं है जो ब्रह्मांड के बारे में सोचने की कोशिश करता हो और साथ ही उसके पास एक पेज का प्रमाण हो जिसे समझाना आसान हो।" (वह खुशी के साथ याद करते हैं कि उन्होंने एक बार एक कैब सेवा का इस्तेमाल किया था जिसके मालिक ने उनका नाम पहचान लिया था, उन्होंने बिजनेस स्कूल में एक संभाव्यता कक्षा के दौरान असमानता सीखी थी। "यह असाधारण था," उन्होंने कहा।)

उनकी सामान्य श्रृंखला पद्धति की तरह, टैलाग्रैंड की एकाग्रता असमानताएं पूरे गणित में दिखाई देती हैं। "यह आश्चर्यजनक है कि यह कितनी दूर तक जाता है," नाओर ने कहा। "टैलाग्रैंड असमानताएँ वे पेंच हैं जो चीजों को एक साथ रखते हैं।"

एक अनुकूलन समस्या पर विचार करें जहां आपको विभिन्न आकारों की वस्तुओं को डिब्बे में क्रमबद्ध करना होगा - संसाधन आवंटन का एक मॉडल। जब आपके पास बहुत सारी वस्तुएं हों, तो यह पता लगाना बहुत मुश्किल होता है कि आपको कितने छोटे डिब्बे की आवश्यकता होगी। लेकिन टैलाग्रैंड की असमानताएँ आपको बता सकती हैं कि यदि वस्तुओं का आकार यादृच्छिक है तो आपको कितने डिब्बे की आवश्यकता होने की संभावना है।

कॉम्बिनेटरिक्स, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी और अन्य सेटिंग्स में एकाग्रता घटना को साबित करने के लिए इसी तरह के तरीकों का इस्तेमाल किया गया है।

अभी हाल ही में, टैलाग्रैंड ने स्पिन ग्लास के बारे में एक महत्वपूर्ण अनुमान को साबित करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं की अपनी समझ को लागू किया, यादृच्छिक, अक्सर विरोधाभासी इंटरैक्शन द्वारा बनाई गई अव्यवस्थित चुंबकीय सामग्री। टैलाग्रैंड इस बात से निराश थे कि, हालांकि स्पिन ग्लास गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित हैं, भौतिकविदों ने उन्हें गणितज्ञों की तुलना में बेहतर समझा। उन्होंने कहा, ''यह हमारे पैर में कांटा था।'' उन्होंने एक परिणाम साबित किया - स्पिन ग्लास की तथाकथित मुक्त ऊर्जा के बारे में - जिसने अधिक गणितीय सिद्धांत के लिए आधार प्रदान किया।

नाओर ने कहा, अपने पूरे करियर के दौरान, टैलाग्रैंड के शोध को "बस पीछे हटने और सामान्य सिद्धांतों को खोजने की क्षमता द्वारा चिह्नित किया गया है जो हर जगह पुन: प्रयोज्य हैं।" “वह बार-बार देखता है और फिर से देखता है, और सभी प्रकार के दृष्टिकोणों से किसी चीज़ के बारे में सोचता है। और आख़िरकार वह एक ऐसी अंतर्दृष्टि सामने रखता है जो कारगर साबित होती है, जिसका उपयोग हर कोई कर रहा है।''

टैलाग्रैंड ने कहा, "मुझे साधारण चीजें बहुत अच्छे से समझना पसंद है, क्योंकि मेरा दिमाग बहुत धीमा है।" "इसलिए मैं उनके बारे में बहुत, बहुत लंबे समय तक सोचता हूं।" उन्होंने कहा, वह "किसी चीज़ को गहराई से, शुद्ध तरीके से समझने की इच्छा से प्रेरित है, जो सिद्धांत को बहुत आसान बनाता है।" फिर अगली पीढ़ी वहां से शुरुआत कर सकती है और अपनी शर्तों पर प्रगति कर सकती है।”

पिछले दशक में, उन्होंने पाठ्यपुस्तकें लिखकर यह उपलब्धि हासिल की है - न केवल यादृच्छिक प्रक्रियाओं और स्पिन ग्लास के बारे में, बल्कि उस क्षेत्र के बारे में भी जिसमें वह बिल्कुल भी काम नहीं करते हैं, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत। वह इसके बारे में सीखना चाहता था, लेकिन उसे एहसास हुआ कि उसे जो भी पाठ्यपुस्तकें मिलीं, वे गणितज्ञों द्वारा नहीं बल्कि भौतिकविदों द्वारा और उनके लिए लिखी गई थीं। इसलिए उन्होंने एक स्वयं लिखा। "जब आप चीजों का आविष्कार नहीं कर सकते, तो आप उन्हें समझा सकते हैं," उन्होंने कहा।