जैसा कि गणित में बहुत कुछ होता है, प्रूफ़ की शुरुआत कॉफ़ी से हुई। सितंबर 2019 में, कैथरीन मान कॉर्नेल यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर ने क्वीन्स यूनिवर्सिटी में अतिथि व्याख्यान देने के लिए किंग्स्टन, ओंटारियो का दौरा किया। इसके बाद, वह अपने मेज़बान के साथ बैठी, थॉमस बार्थेल्मे, जिसके लिए एक त्वरित कप कॉफी माना जाता था। वह उस समस्या पर उसकी राय लेना चाहता था जिस पर वह काम कर रहा था जिसमें डायनेमिक सिस्टम नामक गणितीय मॉडल शामिल थे, जो बताता है कि पेंडुलम की आगे-पीछे की गति जैसी सरल या मौसम जैसी जटिल घटनाएं समय के साथ कैसे विकसित होती हैं।

इससे पहले कि उन्हें पता चलता, घंटों बीत चुके थे। मान ने कहा, "हम बस इस कॉफी शॉप में बैठे थे, चित्र बना रहे थे, हम में से प्रत्येक यह समझने की कोशिश कर रहा था कि दूसरा क्या कहना चाह रहा है।" "शुरुआत में, मैं ऐसा था, इस आदमी का कोई मतलब नहीं है।" लेकिन जैसे-जैसे उन्होंने एक-दूसरे की गणितीय भाषा बोलना सीखा, दोनों समाधान खोजने की अपनी संभावनाओं के बारे में अधिक आशावादी हो गए।

मान को हमेशा गणित पसंद नहीं था - एक बच्चे के रूप में, वह अंकगणित में अच्छी नहीं थी - लेकिन यह वास्तव में इस तरह की बातचीत थी जिसने अंततः उसे इसका अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि शुरुआत में उन्हें दर्शनशास्त्र में करियर बनाने में दिलचस्पी थी, लेकिन उन्हें एहसास हुआ कि यह सही नहीं है। दार्शनिकों के लिए, "एक उत्पादक चर्चा का अर्थ है किसी और के मुकाबले अपनी स्थिति का परीक्षण करना," उसने कहा। “गणित इसके विपरीत है। आप किसी से बात करते हैं, और आप दोनों शुरू से ही एक ही टीम में हैं। यदि कोई कहता है, 'यह उस तरह से काम नहीं करता है,' तो आप कहते हैं, 'ओह, मुझे और बताओ।' मुझे प्रवचन का वह तरीका बहुत बेहतर लगा।''

बार्थेल्म को एनोसोव प्रवाह नामक विशेष गतिशील प्रणालियों में रुचि थी, जो गणित के कई क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से उभरती हैं और महत्वपूर्ण खिलौना मॉडल के रूप में कार्य करती हैं। ये प्रणालियाँ एक ही स्थान पर प्रतीत होने वाले विरोधाभासी गुणों को प्रदर्शित करती हैं: अराजकता और स्थिरता; कठोरता और लचीलापन; अंतर्निहित टोपोलॉजिकल जंगल के बीच आंतरिक ज्यामितीय संरचना की उपस्थिति।

उनमें से प्रत्येक गुण गतिशील प्रणालियों में उत्पन्न होता है जिसे गणितज्ञ सदियों से समझना चाहते हैं, सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति से लेकर आबादी के माध्यम से बीमारी के प्रसार तक। लेकिन ऐसी प्रणालियों में, इन विभिन्न विशेषताओं को सुलझाना निराशाजनक रूप से जटिल हो जाता है। 1960 के दशक में एनोसोव प्रवाह को अपने आप में अध्ययन की वस्तुओं के रूप में परिभाषित किया गया था क्योंकि वे इन महत्वपूर्ण व्यवहारों को चरम सीमा तक प्रदर्शित करते हैं, जिससे उनका विश्लेषण करना आसान हो जाता है। मान ने कहा, "आप आशा करते हैं कि एक बार जब आपके पास इस मामले की सही तस्वीर होगी, तो आप गन्दी वास्तविक दुनिया में वापस आ सकते हैं और इसे नई आँखों से देख सकते हैं।"

"गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत की शुरुआत में, एनोसोव प्रवाह प्रकाशस्तंभों की तरह थे जो आपको वह दिशा बताते थे जहां आपको जाना चाहिए," कहा एटिने घीस ल्योन, फ्रांस में इकोले नॉर्मले सुप्रीयर का।

फिर भी, उन्हें समझना अविश्वसनीय रूप से कठिन रहा है। यद्यपि गणितज्ञों ने पिछले 60 वर्षों में बहुत प्रगति की है, फिर भी वे उस आदर्श चित्र को प्राप्त करने से बहुत दूर हैं जिसके बारे में मान ने बात की थी: सभी विभिन्न प्रकार के एनोसोव प्रवाहों का वर्गीकरण।

अब, ए में श्रृंखला का हाल के कागजात, बार्थेल्मे और मान, एक साथ स्टीवन फ्रेंकल सेंट लुइस में वाशिंगटन विश्वविद्यालय ने उस मायावी लक्ष्य की ओर एक महत्वपूर्ण कदम उठाया है। गति और आकार के बारे में प्रश्नों का बीजगणित की भाषा में अनुवाद करके, उन्होंने दिखाया कि किसी दिए गए एनोसोव प्रवाह को पूरी तरह और विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए अपेक्षाकृत कम डेटा की आवश्यकता होती है। (उनका परिणाम संबंधित लेकिन अधिक सामान्य गतिशील प्रणालियों के लिए भी लागू होता है जिन्हें छद्म-एनोसोव प्रवाह कहा जाता है।) उस सभी अराजकता में छिपी हुई, उन्हें संरचना मिली।

गणितज्ञों ने एनोसोव प्रवाह के बारे में प्रमुख प्रश्नों को संबोधित करने के लिए पहले ही अपना परिणाम लागू कर दिया है - अर्थात्, उनका निर्माण कैसे किया जाए, और उनमें से कितने हो सकते हैं। "कभी-कभी परिणाम महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि वे वास्तव में विषय पर एक नया दृष्टिकोण प्रदान करते हैं," उन्होंने कहा राफेल पोट्री, उरुग्वे में रिपब्लिक विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। “यहाँ यही होता है।”

एक ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य

19वीं सदी के उत्तरार्ध से, जब आकाशीय यांत्रिकी में हेनरी पोंकारे के काम ने गतिशील प्रणालियों के आधुनिक सिद्धांत को तेजी से आगे बढ़ाया, गणितज्ञों ने ज्यामिति के लेंस के माध्यम से गतिशीलता के बारे में सोचा।

एक पेंडुलम पर विचार करें. अकेला छोड़ दिया जाए तो यह बिना हिले-डुले लंबवत लटक जाता है। लेकिन अगर आप इसे उठाएंगे और जाने देंगे तो यह आगे-पीछे झूलेगा। किसी भी समय, पेंडुलम की स्थिति को जानकारी के दो टुकड़ों द्वारा कैप्चर किया जा सकता है: ऊर्ध्वाधर लटकने की स्थिति से इसका कोण और इसका वेग। परिणामस्वरूप, आप पेंडुलम की सभी संभावित स्थितियों को एक समतल पर बिंदुओं के रूप में दर्शा सकते हैं, जिसे राज्य स्थान के रूप में जाना जाता है।

यदि आप उनमें से किसी एक बिंदु से शुरू करते हैं, तो एक अंतर समीकरण (न्यूटन की गति के नियमों पर आधारित) आपको बताता है कि समय के साथ पेंडुलम का कोण और वेग कैसे बदल जाएगा। इस गति को राज्य स्थान के माध्यम से घुमावदार एक वक्र, या "प्रक्षेपवक्र" द्वारा पकड़ा जाता है। यदि आप पेंडुलम के शुरुआती कोण और वेग को बदलते हैं, तो आपको राज्य स्थान के माध्यम से एक अलग प्रक्षेपवक्र मिलेगा।

आप ऐसे सभी प्रक्षेप पथों का एक एकल गणितीय वस्तु के रूप में अध्ययन करना चाहते हैं। आपके गतिशील सिस्टम को एन्कोड करने के इस ज्यामितीय तरीके को "प्रवाह" कहा जाता है। हवा के माध्यम से चाप बनाने वाले पेंडुलम के बारे में सोचने के बजाय, आप प्रवाह का विश्लेषण करके इसके व्यवहार का अध्ययन कर सकते हैं। इस मामले में, प्रवाह में नेस्टेड दीर्घवृत्त होते हैं (प्रत्येक दीर्घवृत्त उस तरीके का प्रतिनिधित्व करता है जिससे पेंडुलम आगे और पीछे दोलन कर सकता है), साथ ही उन दीर्घवृत्तों के ऊपर और नीचे घटता है (ऐसे परिदृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें पेंडुलम एक पिनव्हील की तरह तेजी से घूमता है)।

लेकिन प्रवाह बहुत अधिक जटिल हो सकता है, जिसमें जटिल, उच्च-आयामी राज्य स्थान शामिल हैं। अंतरिक्ष में गति करते और परस्पर क्रिया करते हुए 100 कणों को लें। उनके व्यवहार को पकड़ने वाला प्रवाह 600-आयामी राज्य स्थान के माध्यम से अनंत रूप से कई प्रक्षेप पथों का एक संग्रह है। (सिर्फ एक कण की स्थिति का वर्णन करने के लिए, आपको जानकारी के छह टुकड़ों की आवश्यकता होगी: इसकी स्थिति के लिए तीन संख्याएँ, और वेग के लिए तीन संख्याएँ। इसलिए एक बार में सभी 100 कणों के विवरण के लिए 600 संख्याओं की आवश्यकता होती है।)

इन अधिक जटिल प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए उपकरण विकसित करने के लिए, गणितज्ञों को सही परीक्षण आधारों की आवश्यकता थी - सिस्टम जो समझने में काफी सरल थे, लेकिन उन गुणों को प्रतिबिंबित करने के लिए पर्याप्त जटिल थे जिनमें वे वास्तव में रुचि रखते थे।

यहीं से एनोसोव प्रवाह चलन में आया।

वैश्विक स्थिरता, स्थानीय अराजकता

पोंकारे के 19वीं सदी के काम से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के तरीके में बदलाव आने से पहले ही, गणितज्ञ उन प्रणालियों में रुचि रखते थे जहां एक कण उपलब्ध सबसे छोटा रास्ता अपनाता है: एक तथाकथित जियोडेसिक। एक समतल पर, कण सीधी रेखाओं के एक समूह का अनुसरण करते हैं; एक गोले की सतह पर, वे बड़े वृत्तों के साथ यात्रा करते हैं। सतह की टोपोलॉजी, या वैश्विक आकार, इन पथों के स्वरूप को प्रभावित करता है।

एक जियोडेसिक प्रवाह उन सभी संभावित तरीकों का वर्णन करता है जिनसे कोई कण तब गति कर सकता है जब वह किसी बाहरी ताकत के अधीन न हो। सामान्य तौर पर, अवस्था स्थान चार-आयामी होता है: इनमें से दो आयाम कण की भौतिक स्थिति से मेल खाते हैं, जबकि अन्य दो इस बात से मेल खाते हैं कि यह कितनी तेजी से घूम रहा है। लेकिन यदि आप कुछ जानकारी फेंकना चाहते हैं - उदाहरण के लिए, आपको इस बात की परवाह नहीं है कि कण कितनी तेजी से घूम रहा है, लेकिन केवल यह कि वह किसी भी समय किस दिशा का सामना कर रहा है - तो आप त्रि-आयामी का उपयोग करके इसकी गति का वर्णन कर सकते हैं राज्य अंतरिक्ष। दो आयाम इसकी स्थिति का वर्णन करते हैं, और तीसरा आयाम उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसका यह सामना कर रहा है। गणितज्ञ अक्सर जियोडेसिक प्रवाह के बारे में इसी तरह सोचते हैं: त्रि-आयामी राज्य स्थान के माध्यम से प्रक्षेपवक्र के संग्रह के रूप में।

इन प्रवाहों ने कई कारणों से गणितज्ञों की रुचि को बढ़ाया। 1800 के उत्तरार्ध से, उन्होंने जियोमीटर और टोपोलॉजिस्ट को बहुत जटिल सतहों की संरचना को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति दी है - ऐसी सतहें जिनका सीधे अध्ययन करना बहुत कठिन है, लेकिन जब आप देखते हैं कि कण उन पर कैसे चलते हैं तो वे अधिक सुव्यवस्थित हो जाते हैं। और वे गतिशीलतावादियों के लिए भी उतने ही महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि भौतिकी में कई यांत्रिक प्रणालियों को जियोडेसिक प्रवाह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

20वीं सदी की शुरुआत तक, फ्रांसीसी गणितज्ञ जैक्स हेडमार्ड ने "नकारात्मक रूप से घुमावदार" सतहों पर भूगणितीय प्रवाह की जांच शुरू कर दी थी - यानी, ऐसी सतहें जो किसी भी बिंदु पर काठी की तरह दिखती हैं। (यह संभवतः कल्पना करना असंभव है, लेकिन गणितीय रूप से उपयोगी है।) उन्होंने पाया कि इस प्रकार के जियोडेसिक प्रवाह हमेशा अव्यवस्थित होते हैं: यदि आप किसी कण की प्रारंभिक स्थिति को थोड़ी मात्रा में बदलते हैं, तो यह एक बहुत ही अलग प्रक्षेपवक्र पर समाप्त हो जाएगा, जिसका अर्थ है कि आप सिस्टम के दीर्घकालिक व्यवहार का अनुमान नहीं लगाया जा सकता. (दूसरी ओर, किसी गोले की सतह पर जियोडेसिक प्रवाह में यह गुण नहीं होता है।)

"कुछ मायनों में, ये प्रणालियाँ... अधिकतम रूप से अराजक हैं," कहा एंडी हैमरलिंड्ल ऑस्ट्रेलिया में मोनाश विश्वविद्यालय के.

1960 के दशक में, हैडामर्ड के काम के आधार पर, रूसी गणितज्ञ दिमित्री एनोसोव ने देखा कि यदि आप जियोडेसिक प्रवाह को परिभाषित करने वाले समीकरण को थोड़ा समायोजित करते हैं, तो सभी प्रक्षेप पथ थोड़े से बदल जाते हैं: आप अपने मूल प्रवाह को समग्र रूप से बदले बिना नए प्रवाह में बदल सकते हैं संरचना। विशिष्ट परिस्थितियों में, ऐसी संरचनात्मक स्थिरता की किसी भी तरह से गारंटी नहीं है - लेकिन यह इस प्रकार के जियोडेसिक प्रवाह के लिए है। "टैग लाइन है 'वैश्विक स्थिरता, स्थानीय अराजकता'," मान ने कहा। "गतिशीलता में, आप वास्तव में स्थिरता और अराजकता के इस संगम में रुचि रखते हैं।" दोनों कई गतिशील प्रणालियों में सह-अस्तित्व में हैं, एक सूक्ष्म और महत्वपूर्ण संतुलन बनाते हैं जिसे गणितज्ञ हमारे सौर मंडल पर पोंकारे के काम के बाद से सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं।

एनोसोव ने पाया कि जियोडेसिक प्रवाह में अराजकता और स्थिरता दोनों स्वचालित रूप से उत्पन्न होती हैं क्योंकि इसके प्रक्षेपवक्र टाफ़ी के टुकड़े पर खींची गई रेखाओं की तरह मिलते और अलग होते हैं क्योंकि इसे एक साथ निचोड़ा जाता है और फैलाया जाता है।

एनोसोव ने ऐसे टाफ़ी-जैसे व्यवहार के लिए विशेष गणितीय स्थितियों को लिखकर नकारात्मक रूप से घुमावदार सतह पर जियोडेसिक प्रवाह की अवधारणा को सामान्यीकृत किया। ये सामान्यीकृत प्रवाह अब उनके नाम पर हैं। नकारात्मक रूप से घुमावदार सतह पर कोई भी जियोडेसिक प्रवाह एक है। लेकिन एनोसोव ने सोचा कि ऐसी कई गतिशील प्रणालियाँ हो सकती हैं जो इस तरह से कार्य करती हैं।

हालाँकि यह परिभाषा अजीब तरह से विशिष्ट लग सकती है, इस तरह का खिंचाव और संपीड़न कई गतिशील प्रणालियों में पाया जा सकता है। लेकिन यह उन संदर्भों में उतना स्पष्ट या सर्वव्यापी नहीं है। एनोसोव प्रवाह में, टाफी जैसा व्यवहार हर जगह दिखाई देता है - जो इसे एक चरम मामला बनाता है और इसलिए नए उपकरणों और अंतर्दृष्टि के विकास के लिए एक विशेष रूप से अच्छा मॉडल सिस्टम है।

जिस तरह वैज्ञानिक मनुष्यों की ओर बढ़ने से पहले फल मक्खी में जीन अभिव्यक्ति के बारे में जानने की कोशिश कर सकते हैं, गणितज्ञों ने एनोसोव प्रवाह में टोपोलॉजिकल, सांख्यिकीय और अन्य गुणों के बारे में परिणाम साबित किए हैं और फिर उस काम को अन्य गतिशील प्रणालियों तक बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, 1970 के दशक में, गणितज्ञों ने एनोसोव प्रवाह (और संबंधित प्रणालियों) के बारे में जो कुछ भी जानते थे उसका उपयोग अनुमान लगाने के लिए किया था कि किस प्रकार के प्रवाह संरचनात्मक स्थिरता प्रदर्शित कर सकते हैं। 1990 में, शुहेई हयाशी टोक्यो विश्वविद्यालय के साबित कर दिया कि यह सच था.

पहचान का शॉर्टकट

एनोसोव केवल प्रणालियों के एक अन्य परिवार के साथ आ सका जो उसके मानदंडों के अनुरूप हो। लेकिन तब से, गणितज्ञों ने उदाहरणों का एक विशाल चिड़ियाघर खोजा है। (इनमें से अधिकांश त्रि-आयामी राज्य स्थान में प्रवाह हैं। उच्च-आयामी एनोसोव प्रवाह को कम समझा जाता है।)

गणितज्ञ एनोसोव प्रवाह को पूरी तरह से समझना चाहते हैं: उनके सभी उदाहरण ढूंढना, उनकी संरचना का विश्लेषण करना, यह आकलन करना कि कौन से स्थान उनका समर्थन कर सकते हैं और कौन सा नहीं, और यह निर्धारित करने के लिए कि किसी दिए गए स्थान में कितने अलग-अलग प्रवाह रह ​​सकते हैं।

लेकिन इनमें से कुछ भी करने के लिए, उन्हें सबसे पहले बुनियादी बातें समझनी होंगी - जिसमें किसी दिए गए एनोसोव प्रवाह को चिह्नित करने का एक अच्छा तरीका ढूंढना शामिल है।

बार्थेल्मे, फ्रेंकल और मान ने अब यही किया है।

अनंत रूप से कई प्रक्षेप पथों की एक जटिल उलझन के रूप में एनोसोव प्रवाह की कल्पना करें, जो एक साथ धागे की तरह त्रि-आयामी राज्य स्थान को भरते हैं। इस राज्य स्थान को मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। यदि आप इसके किसी भी हिस्से पर ज़ूम करते हैं, तो यह नियमित त्रि-आयामी अंतरिक्ष जैसा दिखेगा, लेकिन विश्व स्तर पर, इसमें बहुत जटिल संरचना, छिद्रों और अन्य अजीब विशेषताओं से भरा हो सकता है।

मैनिफोल्ड लूप में कुछ प्रक्षेप पथ स्वयं पर वापस आते हैं, यह दर्शाते हैं कि एक कण अंततः अपनी प्रारंभिक स्थिति में कैसे लौट सकता है (सतह पर एक ही स्थिति पर कब्जा कर रहा है और एक ही दिशा में इंगित किया गया है)। हालाँकि, अधिकांश प्रक्षेप पथ कभी भी एक ही बिंदु पर नहीं लौटते हैं: एक बंद प्रक्षेप पथ बनाने के बजाय, वे अनिश्चित काल तक घूमते रहते हैं, एक हमेशा के लिए खुला धागा।

तीन गणितज्ञों ने साबित किया कि अधिकांश एनोसोव प्रवाह (साथ ही छद्म-एनोसोव प्रवाह) के लिए, केवल बंद, या "आवधिक" प्रक्षेपवक्र को जानने से आप पूरी प्रणाली को पूरी तरह से निर्धारित कर सकते हैं। फ्रेंकल ने कहा, "इस सरल चीज़ पर जाकर आप बहुत कुछ नहीं खो रहे हैं।" "यह वास्तव में सारी जानकारी कैप्चर कर रहा है।" कुछ अपवाद हैं, लेकिन उन मामलों में, तिकड़ी ने दिखाया कि प्रवाह को चिह्नित करने के लिए आपको केवल एक अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है।

कार्य यह बताने का एक तरीका प्रदान करता है कि क्या दो अलग-अलग प्रवाह समतुल्य हैं - अर्थात, क्या एक प्रवाह में प्रत्येक प्रक्षेपवक्र को दूसरे में प्रक्षेपवक्र में बदलने का कोई विशेष गणितीय तरीका है। आप इसे मैन्युअल रूप से जांच नहीं सकते, प्रक्षेप पथ द्वारा प्रक्षेप पथ; आपको एक शॉर्टकट की आवश्यकता है, कम जानकारी के साथ प्रवाह की पहचान करने का एक तरीका।

इस शॉर्टकट को प्राप्त करने के लिए, बार्थेल्मे, फ्रेंकल और मान ने बीजगणित के एक प्रमुख उपकरण की ओर रुख किया जिसका टोपोलॉजिस्ट अक्सर उपयोग करते हैं: मौलिक समूह।

बीजगणित का अनुवाद

मौलिक समूह प्रभावी रूप से मैनिफोल्ड (और उनके सभी संयोजन) पर लूप की एक सूची है जो मैनिफोल्ड के आकार के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है। डोनट, या टोरस की सतह पर विचार करें - एक द्वि-आयामी मैनिफोल्ड। आप टोरस पर एक बिंदु से शुरू करके, छेद से गुजरते हुए, और जहां से आपने शुरू किया था वहां वापस आकर एक लूप का निर्माण कर सकते हैं। यदि छेद से गुजरने के बजाय, आप उसके चारों ओर जाते हैं, तो आपने दूसरा लूप बना लिया है। टोरस का मूल समूह इन दो लूपों और उनके सभी संयोजनों का सेट है (उदाहरण के लिए, आप छेद को दो बार घेरने की कल्पना कर सकते हैं, या छेद से एक बार गुजरने और फिर उसका चक्कर लगाने की कल्पना कर सकते हैं, और इसी तरह)। 3डी मैनिफ़ोल्ड का मूल समूह अधिक जटिल हो जाता है।

किसी दिए गए एनोसोव प्रवाह में प्रत्येक आवधिक प्रक्षेपवक्र मौलिक समूह में दर्शाए गए लूपों के एक वर्ग से मेल खाता है। बार्थेल्म, फ्रेंकल और मान के अनुसार, अधिकांश एनोसोव (और छद्म-एनोसोव) प्रवाह के लिए, इस उपसमुच्चय को जानना आपको पूरे प्रवाह को फिर से बनाने की अनुमति देने के लिए पर्याप्त है। आपको यह जानने की भी आवश्यकता नहीं है कि क्या कुछ प्रक्षेप पथ आपस में जुड़े हुए हैं, या किसी दिए गए आवधिक प्रक्षेप पथ की कितनी प्रतियां हैं। अकेले आवधिक डेटा से, आप अपना प्रवाह बना सकते हैं - पहले एक- और दो-आयामी ऑब्जेक्ट प्राप्त करने के लिए जो प्रवाह के विभिन्न पहलुओं को एन्कोड करते हैं, और अंत में त्रि-आयामी प्रवाह प्राप्त करते हैं।

बार्थेल्मे ने कहा, "यह मेरे लिए आश्चर्य की बात थी।" "मुझे लगता है कि लोगों ने अनुमान लगा लिया होगा कि यह सच नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह काफी कमज़ोर जानकारी है।"

यही चीज़ इस काम को इतना दिलचस्प बनाती है। “यदि आप यादृच्छिक रूप से एक प्रक्षेपवक्र चुनते हैं, तो यह अंतरिक्ष को सघन रूप से भर देगा। और आवधिक प्रक्षेप पथ ऐसा नहीं करते हैं। वे वहीं वापस आ जाते हैं जहां से उन्होंने शुरुआत की थी, और अधिकांश जगह नहीं देख पाते हैं,” कहा एमी विल्किंसन शिकागो विश्वविद्यालय के. और फिर भी यदि आप उन आवधिक प्रक्षेप पथों को एक साथ लेते हैं, तो आप प्रवाह की पूरी संरचना को समझ सकते हैं। "यही परिणाम की खूबसूरती है।"

एनोसोव प्रवाह में अभी भी अनंत रूप से कई आवधिक प्रक्षेप पथ हैं। लेकिन वह अनंत संख्या "गणनीय" है - प्रक्षेप पथों की "बेशुमार" कुल संख्या की तुलना में एक छोटी अनंतता। यह उसी तरह है जैसे संख्या 1 और 2 के बीच अनंत रूप से कई भिन्न होते हैं, लेकिन उस अंतराल में $latex sqrt{2}$ जैसी कई और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। परिणामस्वरूप, किसी प्रवाह को उसके आवधिक प्रक्षेप पथ तक कम करना यह आकलन करने के लिए उपयोगी हो सकता है कि क्या दो प्रणालियाँ समतुल्य हैं।

बार्थेल्मे, फ्रेंकल और मान ने भी अपने नियम के अपवाद पाए: कुछ मामलों में, समान आवधिक प्रक्षेप पथ होने पर भी दो प्रवाहों का भिन्न होना संभव है। लेकिन इन अपवादों की एक बहुत ही विशेष संरचना थी, और गणितज्ञ यह निर्धारित करने में सक्षम थे कि उन्हें चिह्नित करने के लिए केवल एक और जानकारी की आवश्यकता थी।

पिछले साल के अंत में अपना प्रमाण पूरा करने के बाद से, बार्थेल्मे और मान ने मिलकर काम किया है सर्जियो फेनलेफ़्लोरिडा स्टेट यूनिवर्सिटी के एक गणितज्ञ, जिन्होंने इन अपवादों को पूरी तरह से चित्रित करने के लिए एनोसोव प्रवाह पर बहुत शोध किया है। एक नए पेपर में, जिसे उन्होंने अभी तक ऑनलाइन पोस्ट नहीं किया है, उन्होंने उन स्थितियों को सूचीबद्ध किया है जो इन अधिक जटिल प्रवाहों को जन्म देती हैं। ऐसा करने में, उन्होंने न केवल पिछले परिणाम पर भरोसा किया, बल्कि नए प्रवाह का निर्माण भी किया जो इस दिलचस्प संपत्ति को साझा करते हैं: कि उन्हें उनके आवधिक डेटा द्वारा पूरी तरह से चित्रित नहीं किया जा सकता है। पोट्री ने कहा, "यह आश्चर्यजनक है।" “यह खगोल विज्ञान के समान है: कभी-कभी आप ग्रहों की कक्षाओं का अध्ययन कर रहे होते हैं, और उन्हें बेहतर ढंग से समझकर, आप पता लगाते हैं कि वहां कोई ग्रह होना चाहिए जिसके बारे में आप नहीं जानते थे। और वह आपको अपनी दूरबीन को इंगित करने के लिए कहता है ताकि आप इसे देख सकें। मुझे लगता है कि इस काम में ऐसा हुआ है.''

"यह वास्तव में इस विषय को बंद करने का एक बहुत ही साफ तरीका देता है," फेनले ने कहा। "एक प्रकार की बुरी वस्तु हो सकती है, लेकिन यह बुरी वस्तु, यह पता चला है, इतनी बुरी नहीं है।"

गिनती और वर्गीकरण

पोट्री और फेनले सहित कई गणितज्ञ पहले ही संबंधित गतिशील प्रणालियों के बारे में अन्य प्रमाणों को पूरा करने के लिए बार्थेल्मे, फ्रैंकल और मान के परिणाम का उपयोग कर चुके हैं।

बार्थेल्मे और मान ने एनोसोव प्रवाह के बारे में सबसे बड़े खुले प्रश्नों में से एक पर आगे बढ़ने के लिए अपने काम का उपयोग किया है: क्या किसी दिए गए 3डी मैनिफोल्ड के लिए विभिन्न एनोसोव प्रवाह की अनंत संख्या का समर्थन करना संभव है?

जिस तरह नदी के किनारे की रूपरेखा नदी में पानी के प्रवाह के संभावित तरीकों को प्रभावित करती है, उसी तरह मैनिफोल्ड की संरचना भी प्रभावित करती है कि किस प्रकार के गतिशील प्रवाह संभव हैं। (व्हाइटवॉटर रैपिड्स चौड़े, सपाट विमानों में दिखाई नहीं देते हैं।)

यह पहले से ही ज्ञात था कि कई 3डी मैनिफोल्ड किसी भी एनोसोव प्रवाह के लिए राज्य स्थान के रूप में काम नहीं कर सकते हैं। और कुछ साल पहले, मान और जोनाथन बोडेनजर्मनी में रेगेन्सबर्ग विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ ने साबित किया कि आपके द्वारा चुनी गई किसी भी सीमित संख्या के लिए - 15,000 अलग-अलग प्रवाह, या 15 मिलियन, या 15 बिलियन - आप एक 3डी मैनिफोल्ड पा सकते हैं इसमें कम से कम इतने सारे अलग-अलग प्रवाह हैं। (एक अन्य समूह इसे स्वतंत्र रूप से दिखाया.)

लेकिन यह अभी भी ज्ञात नहीं है कि क्या आप अनंत रूप से कई अलग-अलग एनोसोव प्रवाहों के साथ एक मैनिफोल्ड पा सकते हैं। बार्थेल्मे और मान ने संपर्क ज्यामिति नामक क्षेत्र में अपने नए काम को अन्य हालिया परिणामों के साथ जोड़कर एक विशेष मामला साबित किया। "इस इंटरफ़ेस पर निश्चित रूप से कुछ चीजें चल रही हैं," उन्होंने कहा बोरिस हासेलब्लाट टफ्ट्स विश्वविद्यालय के. "यह नया और रोमांचक है।"

उम्मीद है कि यह सब एनोसोव प्रवाह (उच्च-आयामी प्रवाह सहित) को वर्गीकृत करने के दीर्घकालिक लक्ष्य में मदद करेगा। लेकिन यह अनुसंधान के लिए नई दिशाएँ भी प्रदान करता है और गणितज्ञों को टोपोलॉजी और गतिशीलता के बीच संबंधों की बेहतर समझ देता है। पोट्री के अनुसार, इस आवधिक डेटा का, इसके अनुरूप समूह संरचना के साथ, अपने आप में अध्ययन करना दिलचस्प होगा। "ऐसे बहुत सारे प्रश्न हैं जो खुलते हैं, सिर्फ इसलिए कि उन्होंने इस वस्तु, इस निष्कर्षण को परिभाषित किया है," उन्होंने कहा। "अब हमें इसे समझने की ज़रूरत है।"