एक समतल में तीन बिंदु बिखेरें, फिर उनमें से प्रत्येक जोड़े के बीच की दूरी मापें। पूरी संभावना है कि, आपको तीन अलग-अलग दूरियाँ मिलेंगी। लेकिन यदि आप बिंदुओं को एक समबाहु त्रिभुज में व्यवस्थित करते हैं, तो प्रत्येक दूरी समान होती है। एक समतल में, चार बिंदुओं के साथ ऐसा करना असंभव है। आप जिन दूरियों को इंजीनियर कर सकते हैं उनकी सबसे छोटी संख्या 2 है - एक वर्ग के किनारे और विकर्ण।

लेकिन यदि आप एक पिरामिड बनाने के लिए विमान से एक बिंदु को ऊपर उठाते हैं, जिसकी प्रत्येक भुजा एक समबाहु त्रिभुज है, तो आपके पास चार बिंदुओं का एक सेट होगा जो एक अद्वितीय दूरी से अलग हो जाते हैं - एक तरफ की लंबाई त्रिकोण।

यदि आपके पास बहुत सारे बिंदु हैं, तो ये पैटर्न और भी अधिक स्पष्ट हो जाते हैं। एक विमान में सौ बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए बिंदु 4,950 अलग-अलग जोड़ीदार दूरियों को परिभाषित करने की संभावना रखते हैं। लेकिन यदि आप एक समतल, वर्गाकार ग्रिड में 100 बिंदुओं को व्यवस्थित करते हैं, तो बिंदुओं का कोई भी जोड़ा केवल 50 संभावित दूरियों में से एक से अलग हो जाएगा। बिंदुओं को त्रि-आयामी ग्रिड में उठाएं, और आप उस संख्या को और भी कम कर सकते हैं।

बिंदुओं के बीच की दूरी की संख्या के बारे में प्रश्नों का उत्तर देना एक गूढ़ अभ्यास की तरह लग सकता है। लेकिन ऐसी समस्याओं को हल करने की दशकों लंबी खोज में, गणितज्ञों ने ऐसे उपकरण विकसित किए हैं जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर भौतिकी तक अन्य अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है।

"जब लोगों ने समस्या को हल करने की कोशिश की," उन्होंने कहा पाब्लो शमेर्किन ब्रिटिश कोलंबिया विश्वविद्यालय के "उन्होंने ऐसे कनेक्शनों की खोज शुरू की जो आश्चर्यजनक और अप्रत्याशित थे।"

नवीनतम विकास पिछले साल के अंत में आया, जब चार गणितज्ञों का सहयोग मिला एक नया रिश्ता साबित हुआ बिंदुओं के सेट की ज्यामिति और उनके बीच की दूरी के बीच।

बिंदुओं के एक सेट द्वारा निर्धारित विभिन्न दूरियों की सूची को उसका दूरी सेट कहा जाता है; गिनें कि उस सूची में कितनी संख्याएँ हैं, और आपको दूरी निर्धारित का आकार मिल जाएगा। 1946 में, विपुल गणितज्ञ पॉल एर्डोज़ ने अनुमान लगाया कि बड़ी संख्या में बिंदुओं के लिए, जब आप बिंदुओं को ग्रिड में व्यवस्थित करते हैं तो निर्धारित दूरी उससे छोटी नहीं हो सकती है। समस्या ऊपर से सरल होते हुए भी अत्यंत गहरी और कठिन निकली। दो आयामों में भी, यह अभी भी पूरी तरह से साबित नहीं हुआ है, हालांकि 2010 में, दो गणितज्ञों ने इतना करीब आ गया कि अब इसे प्रभावी ढंग से निपटारा माना जाता है; यह उच्च आयामों में खुला रहता है।

इस बीच, गणितज्ञों ने अनुमान के नए संस्करण भी तैयार किए। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण में से एक का उदय हुआ 1985 कागज by केनेथ फाल्कनर, स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ। फाल्कनर को आश्चर्य हुआ कि अनंत बिंदुओं के बीच अलग-अलग दूरियों के बारे में क्या कहा जा सकता है।

यदि आपके पास अपरिमित रूप से अनेक अंक हैं, तो केवल गिनती करना अधिक उपयोगी नहीं रह जाता है। लेकिन गणितज्ञों के पास आकार को परिभाषित करने के अन्य तरीके हैं। फाल्कनर का अनुमान बिंदुओं के सेट की ज्यामिति के बीच एक संबंध प्रस्तुत करता है - जिसे फ्रैक्टल आयाम नामक एक संख्या द्वारा विशेषता दी जाती है - और दूरी सेट के आकार, जिसे माप नामक संख्या द्वारा विशेषता दी जाती है।

भग्न आयाम आयामों के बारे में सामान्य अंतर्ज्ञान के साथ संरेखित होता है। आयाम की अधिक परिचित अवधारणा की तरह, एक रेखा खंड का भग्न आयाम 1 होता है, जबकि एक वर्ग (जिसका आंतरिक भाग भरा होता है) का भग्न आयाम 2 होता है। लेकिन यदि बिंदुओं का संग्रह अधिक जटिल भग्न पैटर्न बनाता है - एक वक्र की तरह जहां सूक्ष्म मोड़ दिखाई देते रहते हैं, चाहे आप कितनी भी दूर तक ज़ूम करें - इसका भग्न आयाम पूर्ण संख्या नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिखाया गया कोच स्नोफ्लेक वक्र, जिसमें छोटे-छोटे त्रिकोणीय उभारों की एक अंतहीन श्रृंखला है, का आयाम लगभग 1.26 है।

सामान्य तौर पर, बिंदुओं के अनंत संग्रह में एक भग्न आयाम होता है जो मोटे तौर पर इस बात पर निर्भर करता है कि यह कितना फैला हुआ है। यदि यह समतल के चारों ओर फैला हुआ है, तो इसका भग्न आयाम 2 के करीब होगा। यदि यह एक रेखा की तरह दिखता है, तो इसका भग्न आयाम 1 के करीब होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के सेट के लिए समान प्रकार की संरचनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। , या इससे भी ऊंचे आयामों में।

फाल्कनर के अनुमान के दूसरी ओर निर्धारित दूरी का माप है। माप लंबाई की धारणा का एक प्रकार का गणितीय सामान्यीकरण है। एक एकल संख्या, जिसे संख्या रेखा पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है, का माप शून्य होता है। लेकिन अनंत समुच्चयों का माप भी शून्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक वास्तविक संख्याओं के बीच इतने सूक्ष्म रूप से बिखरे हुए हैं कि उनकी कोई सामूहिक "लंबाई" नहीं है, और इसलिए वे माप शून्य का एक सेट बनाते हैं। दूसरी ओर, मान लीजिए, 3/4 और 1 के बीच की वास्तविक संख्याओं का माप 1/4 है, क्योंकि अंतराल इतना लंबा है।

यह माप अनंत बिंदुओं के बीच अलग-अलग दूरियों के सेट के आकार को चिह्नित करने का एक तरीका देता है। यदि दूरियों की संख्या "छोटी" है, तो इसका मतलब है कि निर्धारित दूरी का माप शून्य होगा: बहुत सारी दोहराई गई दूरियाँ हैं। दूसरी ओर, यदि निर्धारित दूरी का माप शून्य से बड़ा है, तो इसका मतलब है कि कई अलग-अलग दूरियाँ हैं।

दो आयामों में, फाल्कनर ने साबित किया कि 1.5 से अधिक फ्रैक्टल आयाम वाले बिंदुओं के किसी भी सेट में गैर-शून्य माप के साथ दूरी निर्धारित होती है। लेकिन गणितज्ञों को तुरंत विश्वास हो गया कि यह 1 से अधिक फ्रैक्टल आयाम वाले सभी सेटों के लिए सच है। "हम इस 1/2 अंतर को हल करने का प्रयास कर रहे हैं," उन्होंने कहा। युमेंग ओउ पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय के, नए पेपर के सह-लेखकों में से एक। इसके अलावा, फाल्कनर का अनुमान तीन या अधिक आयामों में फैला हुआ है: बिखरे हुए बिंदुओं के लिए d-आयामी स्थान, यह बताता है कि यदि बिंदुओं का भग्न आयाम इससे अधिक है d / 2, तो निर्धारित दूरी का माप 0 से अधिक होना चाहिए।

2018 में, ओयू ने सहकर्मियों के साथ मिलकर, दिखाया कि अनुमान 5/4 से अधिक फ्रैक्टल आयाम वाले सभी सेटों के लिए दो आयाम रखता है। अब ऊ--साथ में ज़ियमिन डु नॉर्थवेस्टर्न यूनिवर्सिटी के, रुइक्सियांग झांग कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले, और केविन रेन प्रिंसटन विश्वविद्यालय के - ने साबित कर दिया है कि उच्च आयामों में, गैर-शून्य माप के साथ निर्धारित दूरी सुनिश्चित करने की सीमा थोड़ी छोटी है d/2 + 1/4. "उच्च आयामों में सीमाएं, इस पेपर में, पहली बार, आयाम 2 की तुलना में बेहतर हैं," शमेरकिन ने कहा। (दो आयामों में, दहलीज बिल्कुल ठीक है d/2 + 1/4.)

यह नवीनतम परिणाम सिर्फ एक है एक लहर हाल की प्रगति का on फाल्कनर का अनुमान. सबूत ने हार्मोनिक विश्लेषण में तकनीकों को परिष्कृत किया - गणित का एक दूरस्थ क्षेत्र जो सरल तरंगों के संदर्भ में मनमाने ढंग से जटिल कार्यों का प्रतिनिधित्व करने से संबंधित है - सीमा को मजबूत करने के लिए। लेकिन उनमें से कुछ तकनीकों को सबसे पहले इसी समस्या से निपटने के लिए विकसित किया गया था।

बिंदुओं के बीच की दूरी के बारे में यह प्रश्न "हार्मोनिक विश्लेषण में कुछ सबसे बड़े विचारों के लिए खेल के मैदान के रूप में कार्य करता है," ने कहा एलेक्स इओसेविच रोचेस्टर विश्वविद्यालय के.

हालाँकि उन्होंने अपने 1985 के पेपर में फाल्कनर द्वारा छोड़े गए अंतर का केवल आधा हिस्सा ही पूरा किया है, गणितज्ञ हाल के काम को इस बात के प्रमाण के रूप में देखते हैं कि पूरा अनुमान अंततः पहुंच के भीतर हो सकता है। इस बीच, वे समस्या को अपने सबसे परिष्कृत उपकरणों के लिए परीक्षण स्थल के रूप में उपयोग करना जारी रखेंगे।