मान लीजिए कि आप नौ अन्य लोगों के साथ एक पार्टी में हैं और हर कोई एक-दूसरे से ठीक एक बार हाथ मिलाता है। कितने हाथ मिलाते हैं?

यह "हाथ मिलाने की समस्या" है और यह मेरी पसंदीदा में से एक है। एक गणित शिक्षक के रूप में, मुझे यह पसंद है क्योंकि ऐसे कई अलग-अलग तरीके हैं जिनसे आप समाधान तक पहुंच सकते हैं, और उन रणनीतियों की विविधता और अंतर्संबंध गणित में रचनात्मक सोच की शक्ति को खूबसूरती से चित्रित करते हैं।

एक समाधान इस प्रकार है: प्रत्येक व्यक्ति द्वारा दूसरे व्यक्ति से हाथ मिलाने से शुरुआत करें। दस लोग, प्रत्येक नौ बार हाथ मिलाने से, कुल 9 × 10 = 90 हाथ मिलाते हैं। लेकिन यह प्रत्येक हाथ मिलाने को दो बार गिनता है - प्रत्येक हाथ मिलाने वाले के दृष्टिकोण से एक बार - इसलिए हाथ मिलाने की वास्तविक संख्या $latex frac{90}{2} = 45$ है। जीत के लिए एक सरल और सुंदर गिनती का तर्क!

समस्या को हल करने का एक बिल्कुल अलग तरीका भी है। कल्पना करें कि मेहमान एक-एक करके आते हैं, और जब वे वहां पहुंचते हैं, तो वे उपस्थित सभी लोगों से हाथ मिलाते हैं। पहले व्यक्ति के पास मिलाने के लिए कोई हाथ नहीं है, इसलिए एक व्यक्ति की पार्टी में कुल मिलाकर शून्य हाथ मिलाना होता है। अब दूसरा व्यक्ति आता है और पहले व्यक्ति से हाथ मिलाता है। यह कुल में एक हैंडशेक जोड़ता है, इसलिए दो व्यक्तियों की पार्टी में, कुल 0 + 1 = 1 हैंडशेक होता है। जब तीसरा व्यक्ति आता है और पहले दो मेहमानों से हाथ मिलाता है, तो कुल में दो हाथ मिलाना जुड़ जाता है। चौथे व्यक्ति के आने से कुल मिलाकर तीन हाथ मिलाना हो जाता है, इत्यादि।

यह रणनीति हैंडशेक के अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से मॉडल करती है, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम में प्रत्येक शब्द को उसके पहले आने वाले शब्दों के सापेक्ष परिभाषित किया गया है। आप संभवतः फाइबोनैचि अनुक्रम से परिचित हैं, जो सभी में सबसे प्रसिद्ध पुनरावर्ती अनुक्रम है। यह 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 से शुरू होता है, और पिछले दो के योग के बराबर प्रत्येक अगले पद के साथ जारी रहता है।

जैसा कि हम नीचे देखेंगे, गणितीय विचारों की एक विस्तृत श्रृंखला के बारे में सोचने के लिए पुनरावृत्ति एक लचीला और शक्तिशाली ढांचा है। और भले ही हेमाचंद्र जैसे प्राचीन भारतीय विद्वानों को 1150 में ही इस प्रकार के अनुक्रमों के बारे में जानने का श्रेय दिया जाता है, फिर भी वे आज भी गणितज्ञों के लिए दिलचस्प चुनौतियाँ पेश करते हैं।

आइए देखें कि बार-बार सोचने से हाथ मिलाने की समस्या में कैसे मदद मिलती है। यदि हम $latex a_n$ को हाथ मिलाने की संख्या के बराबर होने देते हैं n-व्यक्ति पक्ष, हम निम्नलिखित सूत्र के साथ इस पुनरावर्ती संबंध का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

$latex a_n = a_{n-1} + n–1$

यह हमें बताता है कि एक बार में हाथ मिलाने की संख्या कितनी है n-व्यक्ति पार्टी ($latex a_n$) एक समय में हाथ मिलाने की संख्या के बराबर है (n − 1)-व्यक्ति पार्टी ($latex a_{n-1}$) प्लस n - 1 और हैंडशेक, इस विचार को ध्यान में रखते हुए कि जब कोई नया व्यक्ति आता है तो वे पहले से हो चुके हैंडशेक में एक निश्चित संख्या में नए हैंडशेक जोड़ते हैं।

हैंडशेक समस्या के हमारे विशेष संस्करण में, हम $latex a_{10}$, 10-व्यक्ति पार्टी में हैंडशेक की संख्या जानना चाहते हैं, इसलिए यह पता लगाने के लिए हम पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करते हैं

$लेटेक्स a_{10} = a_9 + 9$

$latex a_{10}$ का मान ज्ञात करने के लिए, हमें बस $latex a_9$ का मान जानना होगा और उसमें 9 जोड़ना होगा। हम $latex a_9$ का मूल्य कैसे ज्ञात करेंगे? निःसंदेह, प्रत्यावर्तन का उपयोग करके!

$लेटेक्स a_9 = a_8 + 8$

अब, $latex a_8$ का मूल्य ज्ञात करने के लिए, हमें $latex a_7$ का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिसके लिए $latex a_6$ आदि जानने की आवश्यकता है। इस बिंदु पर, आप चिंतित हो सकते हैं कि यह एक प्रकार के अनंत वंश में हमेशा के लिए चलता रहेगा, लेकिन एक बार जब हम $latex a_1$ तक पहुंच जाते हैं तो हमारा काम हो जाता है, क्योंकि हम जानते हैं कि एक व्यक्ति की पार्टी में शून्य कुल हैंडशेक होते हैं।

$लेटेक्स a_1 = 0$

यह प्रारंभिक या "बीज" मान पुनरावर्ती अनुक्रम की एक प्रमुख विशेषता है। यह गारंटी देता है कि पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके अनुक्रम के माध्यम से पीछे हटने की यह प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। एक बार जब आप बीज मूल्य पर पहुंच जाते हैं तो बैकट्रैकिंग बंद हो जाती है, और फिर आप अपना इच्छित मूल्य प्राप्त करने के लिए सूची के माध्यम से आगे बढ़ सकते हैं।

$लेटेक्स a_1 = 0$

$लेटेक्स a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$लेटेक्स a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$लेटेक्स a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$लेटेक्स सीडीओटीएस$

$लेटेक्स ए_{10} = ए_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

सूची पर काम करने पर, हम देखते हैं कि 45-व्यक्ति की पार्टी में कुल 10 हैंडशेक होते हैं, जो हमारी प्रारंभिक गणना से सहमत है। यदि आप भी मेरे छात्रों की तरह हैं, तो आप पूछ सकते हैं कि हमें इस समस्या को हल करने के लिए दूसरे तरीके की आवश्यकता क्यों है, जबकि हम पहले से ही उत्तर जानते हैं, खासकर जब से इस दूसरे दृष्टिकोण में अधिक समय लगता है।

यह एक अच्छा प्रश्न है. एक उत्तर यह है कि पुनरावर्ती दृष्टिकोण हमें इस समस्या में क्या हो रहा है, इसके बारे में एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण देता है, और विभिन्न दृष्टिकोण गणित में उपयोगी होते हैं, जैसे वे सभी चीजों में होते हैं। वे हमें अवधारणाओं को समझने के लिए अलग-अलग अवसर देते हैं और हमें विभिन्न उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति देते हैं, जो फंसने पर मदद कर सकते हैं।

विशेष रूप से, पुनरावर्तन उपयोगी है क्योंकि यह गणित में हर जगह है। उदाहरण के लिए, यह उन रैखिक संबंधों में उत्पन्न होता है जिनके बारे में हर कोई गणित कक्षा में सीखता है - जो परिवर्तन की निरंतर दर की विशेषता रखते हैं और विमान में रेखाओं द्वारा दर्शाए जाते हैं। $latex f(x) = 3x + 5$ जैसे रैखिक फ़ंक्शन को एक पुनरावर्ती सूत्र के रूप में माना जा सकता है:

$लेटेक्स a_0 = 5$

$latex a_n = a_{n-1} + 3$

हालाँकि $latex f(2)$ के बारे में सोचने का अधिक स्पष्ट तरीका यह हो सकता है कि $latex f(2) = 3 गुना 2 + 5 = 11$, दूसरा तरीका यह है कि $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11$. रैखिक कार्यों की मूलभूत विशेषता - परिवर्तन की निरंतर दर - का पुनरावर्ती मॉडलिंग हमें इस रिश्ते के बारे में सोचने का एक और तरीका देता है। ऐसा ही निरंतर गुणात्मक परिवर्तन वाले घातीय कार्यों के साथ भी किया जा सकता है।

पुनरावर्ती सोच संख्याओं के अनुक्रम से परे भी काम करती है। यदि आपने कभी समीकरणों की प्रणाली को हल किया है, तो संभवतः आपने पुनरावर्ती दृष्टिकोण लागू किया है। सिस्टम को हल करने के लिए

$लेटेक्स 2x + y = 10$

$लेटेक्स 3x - y = 5$

आप इसे ख़त्म करने के लिए पहले दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ सकते हैं y वैरिएबल, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण $latex 5x = 15$ बनता है। $latex x =$ 3 पाने के लिए इसे हल करें, $latex y = 4$ पाने के लिए इसे प्रतिस्थापित करें, और आपका काम हो गया। यह दृष्टिकोण एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम का उपयोग करता है, जहां एक सिस्टम का समाधान छोटे, संबंधित सिस्टम के समाधान से बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 × 3 प्रणाली को हल करने के लिए, आप एक चर को हटाकर इसे 2 × 2 प्रणाली में बदल देते हैं, और फिर इसे 1 × 1 प्रणाली में बदल देते हैं। यह आसानी से हल होने वाला एकल समीकरण इस पुनरावर्ती प्रक्रिया के बीज मूल्य की तरह है। यह बैकट्रैकिंग के अंत का संकेत देता है, और वहां से आप पुनरावर्ती अनुक्रम की तरह, समीकरणों की श्रृंखला में वापस अपना काम करते हैं।

यहाँ तक कि पुनरावर्ती प्रमाण तकनीकें भी हैं। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में एक प्रसिद्ध सूत्र बहुभुज कोण योग सूत्र है, जो कहता है कि किसी वस्तु के आंतरिक कोणों के माप का योग n-पक्षीय बहुभुज $latex (n-2) गुणा 180^{circ}$ है। इस परिणाम को साबित करने का एक तरीका एक से शुरुआत करना है n-और कल्पना कीजिए कि यदि आपने एक त्रिभुज हटा दिया तो क्या होगा।

एक त्रिभुज को हटाने से वह बदल जाता है n-गॉन इन ए (n - 1)-गॉन, और यह 180 डिग्री के आंतरिक कोण माप को भी हटा देता है। यह एक पुनरावर्ती संबंध है: एक के लिए आंतरिक कोण का योग n-गॉन एक (के लिए आंतरिक कोण योग से 180 डिग्री अधिक है)n − 1)-गोन. सामान्य परिणाम स्थापित करने के लिए, त्रिकोणों को तब तक हटाते रहें जब तक कि आप बीज मान तक नहीं पहुंच जाते, जो इस स्थिति में तब होता है जब आप तीन को छोड़कर बाकी सभी को हटा देते हैं। n-गॉन के शीर्ष. इस बिंदु पर प्रारंभिक बहुभुज को एक त्रिभुज में बदल दिया गया है, जिसके आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री माना जाता है। अब प्रत्येक चरण में 180 डिग्री जोड़ते हुए वापस ऊपर की ओर बढ़ें, और आपको सूत्र मिल जाएगा।

अपनी पार्टी में लौटते हुए, हाथ मिलाने की समस्या ही हमें दिखाती है कि जब हम रचनात्मक रूप से सोचते हैं और फिर किसी समस्या के उन कई अलग-अलग दृष्टिकोणों को एक साथ जोड़ते हैं तो क्या संभव है। यदि हम हाथ मिलाने के क्रम के लिए पुनरावर्ती मॉडल के साथ खेलते हैं:

$लेटेक्स a_1 = 0$

$latex a_n = a_{n-1} + n – 1$

एक अच्छा पैटर्न उभर कर आता है:

$लेटेक्स a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$लेटेक्स a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

$लेटेक्स a_4 = a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$लेटेक्स सीडीओटीएस$

$latex a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

अब हमारे पास समस्या के बारे में सोचने का एक नया और सामान्य तरीका है: हाथ मिलाने की संख्या n-व्यक्ति पक्ष पहले के योग के बराबर है n − 1 धनात्मक पूर्णांक.

हमारे मूल दृष्टिकोण पर वापस विचार करें। एक में n-व्यक्ति पार्टी, प्रत्येक व्यक्ति दूसरे से हाथ मिलाएगा n − 1 लोग. उत्पाद $latex n (n-1)$ प्रत्येक हैंडशेक को दो बार गिनता है, इसलिए हैंडशेक की कुल संख्या $latex frac{n(n-1)}{2}$ है। लेकिन चूँकि हमारी अलग-अलग पद्धतियाँ एक ही चीज़ को गिनती हैं, इसलिए उन्हें एक ही परिणाम देना होगा। विशेष रूप से, इसका अर्थ है:

$latex 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{n(n-1)}{2}$

हैंडशेक समस्या के विभिन्न दृष्टिकोणों को जोड़ने पर, हमें पहले के योग के लिए एक बंद सूत्र मिलता है n − 1 धनात्मक पूर्णांक. लेकिन हमें और भी अधिक मिलता है: अभिव्यक्ति $latex frac{n(n-1)}{2}$ में एक भिन्न शामिल है, लेकिन क्योंकि यह पूर्णांकों के योग के बराबर है, इसलिए यह भी एक पूर्णांक होना चाहिए। यह संख्या सिद्धांत का एक सरल तथ्य सिद्ध करता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए n, $latex frac{n(n-1)}{2}$ एक पूर्णांक है।

इसी प्रकार का तर्क आधुनिक गणित को शक्ति प्रदान करता है। एक उदाहरण के रूप में, 2000 के दशक की शुरुआत में शोधकर्ता कुछ आश्चर्यजनक परिणाम साबित हुए सोमोस अनुक्रमों के रूप में जाने जाने वाले पुनरावर्ती अनुक्रमों के बारे में यह दिखाकर कि वे भी कुछ गिनते हैं। रचनात्मक संबंधों की शक्ति के माध्यम से, गणितज्ञों ने एक बार फिर यह पता लगाया कि वे कहाँ जा सकते हैं, यह समझकर कि वे कहाँ हैं।

अभ्यास

1. अनुक्रम के लिए एक बंद सूत्र ढूंढें जिसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है
$लेटेक्स a_1 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. कॉलम के अंत में, अभिव्यक्ति $latex frac{n(n-1)}{2}$ को एक पूर्णांक के रूप में दिखाया गया था, भले ही अभिव्यक्ति में एक अंश शामिल हो, क्योंकि $latex frac{n(n-1) )}{2}$ किसी चीज़ को गिनने का परिणाम है। एक संख्या सिद्धांत तर्क भी है जो दर्शाता है कि यह अभिव्यक्ति एक पूर्णांक होनी चाहिए। यह क्या है?

3. पुनरावर्ती अनुक्रम के पहले कुछ पद ज्ञात कीजिए
$लेटेक्स a_1 = 1$
$latex a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. पुनरावर्ती अनुक्रम के पहले कुछ पद ज्ञात कीजिए
$लेटेक्स a_1 = 1$
$लेटेक्स a_2 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$