2012 में, गणितज्ञ शिनिची मोचीज़ुकी ने दावा किया था कि उन्होंने इसे हल कर लिया है एबीसी अनुमान, जोड़ और गुणन के बीच संबंध के बारे में संख्या सिद्धांत में एक प्रमुख खुला प्रश्न है। बस एक ही समस्या थी: उनका प्रमाण, जो 500 पृष्ठों से अधिक लंबा था, पूरी तरह से अभेद्य था। यह नई परिभाषाओं, अंकन और सिद्धांतों के जाल पर निर्भर था, जिनका अर्थ निकालना लगभग सभी गणितज्ञों के लिए असंभव था। वर्षों बाद, जब दो गणितज्ञों ने प्रमाण के बड़े हिस्से का अधिक परिचित शब्दों में अनुवाद किया, तो उन्होंने उस चीज़ की ओर इशारा किया जिसे "गंभीर, न ठीक होने वाला अंतर” इसके तर्क में - केवल मोचिज़ुकी के लिए उनके तर्क को इस आधार पर खारिज करना कि वे उसके काम को समझने में असफल रहे।

यह घटना एक बुनियादी सवाल उठाती है: गणितीय प्रमाण क्या है? हम इसे किसी शाश्वत सत्य के रहस्योद्घाटन के रूप में सोचते हैं, लेकिन शायद इसे एक सामाजिक निर्माण के रूप में समझा जाना बेहतर है।

एंड्रयू ग्रानविलमॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, हाल ही में इस बारे में बहुत सोच रहे हैं। अपने कुछ लेखन के बारे में एक दार्शनिक से संपर्क करने के बाद, "मैं इस बारे में सोचने लगा कि हम अपनी सच्चाई तक कैसे पहुँचते हैं," उन्होंने कहा। "और एक बार जब आप उस दरवाजे पर धक्का देना शुरू करते हैं, तो आप पाते हैं कि यह एक विशाल विषय है।"

ग्रानविले को कम उम्र से ही अंकगणित में आनंद आता था, लेकिन उन्होंने कभी भी गणित अनुसंधान में करियर बनाने के बारे में नहीं सोचा क्योंकि उन्हें नहीं पता था कि ऐसी कोई चीज़ अस्तित्व में है। उन्होंने कहा, "मेरे पिता ने 14 साल की उम्र में स्कूल छोड़ दिया था, मेरी मां ने 15 या 16 साल की उम्र में।" “वे उस समय लंदन के मजदूर वर्ग के क्षेत्र में पैदा हुए थे, और विश्वविद्यालय जितना संभव हो सके उससे परे था। इसलिए हमें कोई सुराग नहीं था।”

कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से स्नातक होने के बाद, जहां उन्होंने गणित का अध्ययन किया, उन्होंने अनुकूलन करना शुरू कर दिया राहेल पेपर्स, मार्टिन एमिस का एक उपन्यास, एक पटकथा में। परियोजना पर काम करते समय और उसके लिए धन की तलाश करते समय, वह डेस्क जॉब करने से बचना चाहता था - उसने हाई स्कूल और कॉलेज के बीच एक वर्ष के अंतराल के दौरान एक बीमा कंपनी में काम किया था और वह इसमें वापस नहीं लौटना चाहता था - "इसलिए मैं गया ग्रेजुएट स्कूल के लिए,” उन्होंने कहा। फिल्म कभी भी सफल नहीं हो पाई (उपन्यास पर बाद में स्वतंत्र रूप से फिल्म बनाई गई), लेकिन ग्रानविले ने गणित में मास्टर डिग्री प्राप्त की और फिर डॉक्टरेट की पढ़ाई पूरी करने के लिए कनाडा चले गए। उन्होंने कभी पीछे मुड़कर नहीं देखा.

"यह वास्तव में एक साहसिक कार्य था," उन्होंने कहा। “मैं वास्तव में बहुत अधिक उम्मीद करके नहीं गया था। मैं वास्तव में नहीं जानता था कि पीएच.डी. क्या है। था।"

उसके बाद के दशकों में, उन्होंने 175 से अधिक शोधपत्र लिखे हैं, जिनमें अधिकतर संख्या सिद्धांत पर हैं। वह लोकप्रिय दर्शकों के लिए गणित के बारे में लिखने के लिए भी जाने जाते हैं: 2019 में, उन्होंने एक सह-लेखन किया ग्राफिक उपन्यास अपनी बड़ी बहन जेनिफर, जो एक पटकथा लेखिका हैं, के साथ अभाज्य संख्याओं और संबंधित अवधारणाओं के बारे में। पिछले महीने, उनका एक पेपर "हम अपनी सच्चाई तक कैसे पहुँचें" विषय पर था प्रकाशित गणित और दर्शनशास्त्र के इतिहास में। और अन्य गणितज्ञों, कंप्यूटर वैज्ञानिकों और दार्शनिकों के साथ, वह अगले वर्ष लेखों का एक संग्रह प्रकाशित करने की योजना बना रहे हैं अमेरिकन गणितीय सोसायटी के बुलेटिन इस बारे में कि मशीनें गणित को कैसे बदल सकती हैं।

क्वांटा ग्रैनविले से गणितीय प्रमाण की प्रकृति के बारे में बात की - व्यवहार में प्रमाण कैसे काम करते हैं, उनके बारे में लोकप्रिय गलत धारणाओं से लेकर कृत्रिम बुद्धिमत्ता के युग में प्रूफ-लेखन कैसे विकसित हो सकता है। स्पष्टता के लिए साक्षात्कार को संपादित और संक्षिप्त किया गया है।

आपने हाल ही में गणितीय प्रमाण की प्रकृति पर एक पेपर प्रकाशित किया है। आपने यह क्यों निर्णय लिया कि इसके बारे में लिखना महत्वपूर्ण है?

गणितज्ञ अनुसंधान कैसे करते हैं, इसे आम तौर पर लोकप्रिय मीडिया में अच्छी तरह से चित्रित नहीं किया जाता है। लोग गणित को एक शुद्ध खोज के रूप में देखते हैं, जहां हम केवल शुद्ध विचार से ही महान सत्य तक पहुंचते हैं। लेकिन गणित अनुमानों के बारे में है - अक्सर गलत अनुमान। यह एक प्रायोगिक प्रक्रिया है. हम चरणों में सीखते हैं।

उदाहरण के लिए, जब रीमैन परिकल्पना पहली बार 1859 में एक पेपर में छपी, तो यह जादू की तरह थी: यहाँ यह अद्भुत अनुमान है, कहीं से भी नहीं। 70 वर्षों तक लोग इस बात पर चर्चा करते रहे कि एक महान विचारक केवल शुद्ध विचार से क्या कर सकता है। तब गणितज्ञ कार्ल सीगल को गौटिंगेन अभिलेखागार में रीमैन के स्क्रैच नोट्स मिले। रीमैन ने वास्तव में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य की गणना के पृष्ठ बनाए थे। सीगल के प्रसिद्ध शब्द थे, "केवल शुद्ध विचार के लिए ही बहुत कुछ।"

इसलिए गणित के बारे में लोगों के लिखने के तरीके में यह तनाव है - विशेष रूप से कुछ दार्शनिक और इतिहासकार। उन्हें लगता है कि हम कोई शुद्ध जादुई प्राणी हैं, कोई विज्ञान का गेंडा हैं। लेकिन आम तौर पर हम ऐसा नहीं हैं। यह शायद ही कभी अकेले शुद्ध विचार होता है।

गणितज्ञ जो करते हैं उसे आप कैसे निरूपित करेंगे?

गणित की संस्कृति पूरी तरह प्रमाण पर आधारित है। हम बैठते हैं और सोचते हैं, और हम जो करते हैं उसका 95% प्रमाण होता है। हम जो बहुत सारी समझ हासिल करते हैं वह सबूतों के साथ संघर्ष करने और उनके साथ संघर्ष करने पर सामने आने वाले मुद्दों की व्याख्या करने से होती है।

हम अक्सर प्रमाण को गणितीय तर्क के रूप में सोचते हैं। तार्किक चरणों की एक श्रृंखला के माध्यम से, यह दर्शाता है कि दिया गया कथन सत्य है। लेकिन आप लिखते हैं कि इसे शुद्ध, वस्तुनिष्ठ सत्य समझने की भूल नहीं की जानी चाहिए। तुम्हारा इससे क्या मतलब है?

प्रमाण का मुख्य बिंदु पाठक को दावे की सच्चाई के प्रति आश्वस्त करना है। इसका मतलब है कि सत्यापन महत्वपूर्ण है। गणित में हमारे पास सबसे अच्छी सत्यापन प्रणाली यह है कि बहुत से लोग एक प्रमाण को विभिन्न दृष्टिकोणों से देखते हैं, और यह उस संदर्भ में अच्छी तरह से फिट बैठता है जिसे वे जानते हैं और विश्वास करते हैं। कुछ अर्थों में, हम यह नहीं कह रहे हैं कि हम जानते हैं कि यह सच है। हम कह रहे हैं कि हमें आशा है कि यह सही है, क्योंकि बहुत से लोगों ने इसे विभिन्न दृष्टिकोणों से आज़माया है। प्रमाण इन सामुदायिक मानकों द्वारा स्वीकार किए जाते हैं।

फिर वस्तुनिष्ठता की यह धारणा है - यह सुनिश्चित करना कि जो दावा किया गया है वह सही है, यह महसूस करना कि आपके पास अंतिम सत्य है। लेकिन हम कैसे जान सकते हैं कि हम वस्तुनिष्ठ हैं? अपने आप को उस संदर्भ से बाहर निकालना कठिन है जिसमें आपने बयान दिया है - समाज द्वारा स्थापित प्रतिमान के बाहर एक परिप्रेक्ष्य रखना। यह वैज्ञानिक विचारों के लिए उतना ही सत्य है जितना कि किसी अन्य चीज़ के लिए।

कोई यह भी पूछ सकता है कि गणित में वस्तुनिष्ठ रूप से दिलचस्प या महत्वपूर्ण क्या है। लेकिन यह भी स्पष्ट रूप से व्यक्तिपरक है. हम शेक्सपियर को एक अच्छा लेखक क्यों मानते हैं? शेक्सपियर अपने समय में इतने लोकप्रिय नहीं थे जितने आज हैं। क्या दिलचस्प है, क्या महत्वपूर्ण है, इसके इर्द-गिर्द स्पष्ट रूप से सामाजिक परंपराएँ हैं। और यह वर्तमान प्रतिमान पर निर्भर करता है।

गणित में, वह कैसा दिखता है?

प्रतिमान में बदलाव का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण कैलकुलस है। जब कैलकुलस का आविष्कार किया गया था, तो इसमें शून्य की ओर जाने वाली किसी चीज़ को शून्य की ओर जाने वाली किसी अन्य चीज़ से विभाजित करना शामिल था - जिससे शून्य को शून्य से विभाजित किया जाता था, जिसका कोई अर्थ नहीं होता था। प्रारंभ में, न्यूटन और लीबनिज इनफिनिटसिमल्स नामक वस्तुओं के साथ आए। इससे उनके समीकरण काम करने लगे, लेकिन आज के मानकों के अनुसार यह समझदारीपूर्ण या कठोर नहीं था।

अब हमारे पास एप्सिलॉन-डेल्टा फॉर्मूलेशन है, जिसे 19वीं सदी के अंत में पेश किया गया था। यह आधुनिक सूत्रीकरण इतना आश्चर्यजनक है, स्पष्ट रूप से इन अवधारणाओं को सही करने के लिए अच्छा है कि जब आप पुराने फॉर्मूलेशन को देखते हैं, तो आप सोचते हैं, वे क्या सोच रहे थे? लेकिन उस समय, इसे करने का यही एकमात्र तरीका माना जाता था। लीबनिज़ और न्यूटन के प्रति निष्पक्ष रहें, तो संभवतः उन्हें आधुनिक तरीका पसंद आया होगा। अपने युग के प्रतिमानों के कारण उन्होंने ऐसा करने के बारे में नहीं सोचा। इसलिए वहां पहुंचने में बहुत लंबा समय लग गया।

समस्या यह है कि हम नहीं जानते कि हम कब ऐसा व्यवहार कर रहे हैं। हम जिस समाज में हैं, उसमें फंसे हुए हैं। हमारे पास यह कहने के लिए कोई बाहरी दृष्टिकोण नहीं है कि हम क्या धारणाएँ बना रहे हैं। गणित में खतरों में से एक यह है कि आप किसी चीज़ को महत्वपूर्ण नहीं मान सकते क्योंकि वह उस भाषा में आसानी से व्यक्त या चर्चा नहीं की जाती है जिसे आपने उपयोग करने के लिए चुना है। इसका मतलब यह नहीं कि आप सही हैं.

मुझे वास्तव में डेसकार्टेस का यह उद्धरण पसंद है, जहां वह अनिवार्य रूप से कहता है: “मुझे लगता है कि मैं एक त्रिकोण के बारे में जानने के लिए सब कुछ जानता हूं, लेकिन कौन कह सकता है कि मैं जानता हूं? मेरा मतलब है, भविष्य में कोई व्यक्ति बिल्कुल अलग दृष्टिकोण के साथ आ सकता है, जिससे त्रिकोण के बारे में सोचने का एक बेहतर तरीका सामने आएगा। और मुझे लगता है वह सही है. आप इसे गणित में देखते हैं।

जैसा कि आपने अपने पेपर में लिखा है, आप एक प्रमाण को एक सामाजिक समझौते के रूप में सोच सकते हैं - लेखक और उनके गणितीय समुदाय के बीच एक प्रकार का आपसी समझौता। हमने मोचिज़ुकी के दावे वाले सबूत के साथ, इसके काम न करने का एक चरम उदाहरण देखा है एबीसी अनुमान।

यह अति है, क्योंकि मोचिज़ुकी खेल को उस तरह से नहीं खेलना चाहता था जिस तरह से खेला जाता है। उन्होंने यह चुनाव अस्पष्ट होने के लिए किया है। जब लोग वास्तव में नए और कठिन विचारों के साथ बड़ी सफलताएं हासिल करते हैं, तो मुझे लगता है कि यह उनका दायित्व है कि वे अपने विचारों को यथासंभव सुलभ तरीके से समझाकर अन्य लोगों को शामिल करने का प्रयास करें। और वह अधिक पसंद था, ठीक है, यदि आप इसे उस तरह से नहीं पढ़ना चाहते जैसे मैंने इसे लिखा है, तो यह मेरी समस्या नहीं है। उसे वह खेल खेलने का अधिकार है जो वह खेलना चाहता है। लेकिन इसका समुदाय से कोई लेना-देना नहीं है. इसका उन तरीकों से कोई लेना-देना नहीं है जिनसे हम प्रगति करते हैं।

यदि सामाजिक संदर्भ में सबूत मौजूद हैं, तो वे समय के साथ कैसे बदल गए हैं?

यह सब अरस्तू से शुरू होता है। उन्होंने कहा कि किसी प्रकार की निगमनात्मक प्रणाली की आवश्यकता है - कि आप नई चीज़ों को केवल उन चीज़ों के आधार पर सिद्ध कर सकते हैं जिन्हें आप पहले से जानते हैं और जिनके बारे में आप निश्चित हैं, कुछ "आदिम कथनों" या सिद्धांतों पर वापस जाकर।

तो फिर सवाल यह है: वे कौन सी बुनियादी बातें हैं जिन्हें आप सच मानते हैं? बहुत लंबे समय तक, लोग बस यही कहते रहे, ठीक है, एक रेखा एक रेखा है, एक वृत्त एक वृत्त है; कुछ चीजें हैं जो सरल और स्पष्ट हैं, और उन्हीं धारणाओं से हमें शुरुआत करनी चाहिए।

वह परिप्रेक्ष्य हमेशा के लिए कायम है। यह काफी हद तक आज भी मौजूद है। लेकिन यूक्लिडियन स्वयंसिद्ध प्रणाली जो विकसित हुई - "एक रेखा एक रेखा है" - की अपनी समस्याएं थीं। सेट की धारणा के आधार पर बर्ट्रेंड रसेल द्वारा खोजे गए ये विरोधाभास थे। इसके अलावा, कोई गणितीय भाषा के साथ शब्दों का खेल खेल सकता है, "यह कथन गलत है" (यदि यह सच है, तो यह गलत है; यदि यह गलत है, तो यह सच है) जैसे समस्याग्रस्त कथन बना सकता है, जो इंगित करता है कि स्वयंसिद्ध प्रणाली में समस्याएं थीं।

इसलिए रसेल और अल्फ्रेड व्हाइटहेड ने गणित करने की एक नई प्रणाली बनाने की कोशिश की जो इन सभी समस्याओं से बच सके। लेकिन यह हास्यास्पद रूप से जटिल था, और यह विश्वास करना कठिन था कि ये शुरुआत करने के लिए सही आदिम थे। कोई भी इससे सहज नहीं था. 2 + 2 = 4 को सिद्ध करने जैसी किसी चीज़ ने शुरुआती बिंदु से बहुत अधिक जगह ले ली। ऐसी व्यवस्था का क्या मतलब?

तभी डेविड हिल्बर्ट आए और उनके मन में यह अद्भुत विचार आया: शायद हमें किसी को यह नहीं बताना चाहिए कि शुरुआत करने के लिए सही चीज़ क्या है। इसके बजाय, जो कुछ भी काम करता है - एक शुरुआती बिंदु जो सरल, सुसंगत और सुसंगत है - तलाशने लायक है। आप अपने स्वयंसिद्ध सिद्धांतों से दो चीजें नहीं निकाल सकते हैं जो एक दूसरे के विपरीत हैं, और आपको चयनित सिद्धांतों के संदर्भ में अधिकांश गणित का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए। लेकिन आपको यह नहीं कहना चाहिए कि वे क्या हैं।

यह भी, गणित में वस्तुनिष्ठ सत्य की हमारी पिछली चर्चा में फिट बैठता है। तो 20वीं शताब्दी के अंत में, गणितज्ञों को यह एहसास हो रहा था कि स्वयंसिद्ध प्रणालियों की बहुलता हो सकती है - कि स्वयंसिद्धों के एक दिए गए सेट को सार्वभौमिक या स्वयं-स्पष्ट सत्य के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए?

सही। और मुझे कहना चाहिए, हिल्बर्ट ने अमूर्त कारणों से ऐसा करना शुरू नहीं किया था। उन्हें ज्यामिति की विभिन्न धारणाओं में बहुत रुचि थी: गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति। यह बहुत विवादास्पद था. उस समय लोग ऐसे थे, यदि आप मुझे एक बॉक्स के कोनों के चारों ओर जाने वाली रेखा की यह परिभाषा दें, तो मैं आपकी बात क्यों सुनूं? और हिल्बर्ट ने कहा कि यदि वह इसे सुसंगत और सुसंगत बना सकते हैं, तो आपको सुनना चाहिए, क्योंकि यह एक और ज्यामिति हो सकती है जिसे हमें समझने की आवश्यकता है। और दृष्टिकोण में यह परिवर्तन - कि आप किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली को अनुमति दे सकते हैं - केवल ज्यामिति पर लागू नहीं हुआ; यह संपूर्ण गणित पर लागू होता है।

लेकिन निश्चित रूप से, कुछ चीजें दूसरों की तुलना में अधिक उपयोगी होती हैं। इसलिए हममें से अधिकांश लोग उन्हीं 10 सिद्धांतों के साथ काम करते हैं, एक प्रणाली जिसे ZFC कहा जाता है।

जिससे यह प्रश्न उठता है कि इससे क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है और क्या नहीं। सातत्य परिकल्पना जैसे कथन हैं, जिन्हें ZFC का उपयोग करके सिद्ध नहीं किया जा सकता है। 11वाँ अभिगृहीत अवश्य होना चाहिए। और आप इसे किसी भी तरह से हल कर सकते हैं, क्योंकि आप अपनी स्वयंसिद्ध प्रणाली चुन सकते हैं। यह बहुत अच्छा है। हम इस प्रकार की बहुलता को जारी रखते हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि क्या सही है, क्या ग़लत है। कर्ट गोडेल के अनुसार, हमें अभी भी स्वाद के आधार पर चुनाव करने की ज़रूरत है, और हमें उम्मीद है कि स्वाद अच्छा होगा। हमें वो काम करने चाहिए जिनका कोई मतलब हो. और हम करते हैं.

गोडेल की बात करें तो वह यहां भी काफी बड़ी भूमिका निभाते हैं।

गणित पर चर्चा करने के लिए, आपको एक भाषा और उस भाषा में पालन करने के लिए नियमों के एक सेट की आवश्यकता होती है। 1930 के दशक में, गोडेल ने साबित किया कि चाहे आप अपनी भाषा कैसे भी चुनें, उस भाषा में हमेशा ऐसे कथन होते हैं जो सत्य होते हैं लेकिन उन्हें आपके शुरुआती सिद्धांतों से साबित नहीं किया जा सकता है। यह वास्तव में उससे भी अधिक जटिल है, लेकिन फिर भी, आपके पास तुरंत यह दार्शनिक दुविधा है: यदि आप इसे उचित नहीं ठहरा सकते तो एक सच्चा कथन क्या है? यह पागलपन है।

तो बड़ी गड़बड़ है. हम जो कर सकते हैं उसमें हम सीमित हैं।

पेशेवर गणितज्ञ इसे काफी हद तक नजरअंदाज करते हैं। हम उस पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो करने योग्य है। जैसा कि पीटर सरनाक कहना पसंद करते हैं, "हम कामकाजी लोग हैं।" हम आगे बढ़ते हैं और यह साबित करने का प्रयास करते हैं कि हम क्या कर सकते हैं।

अब, न केवल कंप्यूटर बल्कि एआई के उपयोग के साथ, प्रमाण की धारणा कैसे बदल रही है?

हम एक अलग जगह पर चले गए हैं, जहां कंप्यूटर कुछ जंगली चीजें कर सकते हैं। अब लोग कहते हैं, ओह, हमें यह कंप्यूटर मिल गया है, यह वह काम कर सकता है जो लोग नहीं कर सकते। लेकिन क्या ऐसा हो सकता है? क्या यह वास्तव में वो काम कर सकता है जो लोग नहीं कर सकते? 1950 के दशक में, एलन ट्यूरिंग ने कहा था कि कंप्यूटर को वह काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो मनुष्य तेजी से कर सकता है। बहुत कुछ नहीं बदला है.

दशकों से, गणितज्ञ कंप्यूटर का उपयोग कर रहे हैं - उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए जो उनकी समझ को निर्देशित करने में मदद कर सकता है। एआई जो नया कर सकता है वह यह सत्यापित करना है कि हम जो सच मानते हैं वह सत्य है। प्रमाण सत्यापन के साथ कुछ अद्भुत विकास हुए हैं। जैसे [प्रमाण सहायक] लीन, जिसने गणितज्ञों को कई प्रमाणों को सत्यापित करने की अनुमति दी है, साथ ही लेखकों को अपने काम को बेहतर ढंग से समझने में भी मदद की है, क्योंकि उन्हें सत्यापन के लिए लीन में फीड करने के लिए अपने कुछ विचारों को सरल चरणों में तोड़ना पड़ता है।

लेकिन क्या यह मूर्खतापूर्ण है? क्या कोई प्रमाण सिर्फ इसलिए प्रमाण है क्योंकि लीन सहमत है कि यह एक प्रमाण है? कुछ मायनों में, यह उन लोगों जितना ही अच्छा है जो सबूत को लीन के लिए इनपुट में बदलते हैं। जो बिल्कुल वैसा ही लगता है जैसे हम पारंपरिक गणित करते हैं। इसलिए मैं यह नहीं कह रहा हूं कि मेरा मानना ​​है कि लीन जैसी कोई चीज बहुत सारी गलतियां करेगी। मैं निश्चित नहीं हूं कि यह मनुष्यों द्वारा की जाने वाली अधिकांश चीजों से अधिक सुरक्षित है।

मुझे डर है कि कंप्यूटर की भूमिका के बारे में मेरे मन में बहुत संदेह है। वे चीजों को सही करने के लिए एक बहुत ही मूल्यवान उपकरण हो सकते हैं - विशेष रूप से गणित को सत्यापित करने के लिए जो नई परिभाषाओं पर बहुत अधिक निर्भर करता है जिसका पहली नजर में विश्लेषण करना आसान नहीं है। इस बात पर कोई बहस नहीं है कि हमारे शस्त्रागार में नए दृष्टिकोण, नए उपकरण और नई तकनीक का होना मददगार है। लेकिन जिस बात से मैं कतराता हूं वह यह अवधारणा है कि अब हमारे पास सही तार्किक मशीनें होंगी जो सही प्रमेय उत्पन्न करेंगी।

आपको यह स्वीकार करना होगा कि हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि कंप्यूटर के साथ चीजें सही हैं। हमारे भविष्य को समुदाय की उस भावना पर निर्भर रहना होगा जिस पर हमने विज्ञान के इतिहास में भरोसा किया है: कि हम चीजों को एक-दूसरे से उछालते हैं। हम ऐसे लोगों से बात करते हैं जो एक ही चीज़ को बिल्कुल अलग नज़रिए से देखते हैं। और इसी तरह।

हालाँकि, आप इसे भविष्य में कहाँ जाते हुए देखते हैं, क्योंकि ये प्रौद्योगिकियाँ अधिक परिष्कृत हो जाएंगी?

शायद यह सबूत बनाने में सहायता कर सकता है। शायद पाँच साल के समय में, मैं ChatGPT जैसे AI मॉडल से कहूँगा, “मुझे पूरा यकीन है कि मैंने इसे कहीं देखा है। क्या आप इसकी जाँच करेंगे?” और यह एक ऐसे ही बयान के साथ वापस आएगा जो सही है।

और फिर एक बार जब यह बहुत, बहुत अच्छा हो जाता है, तो शायद आप एक कदम आगे बढ़ सकते हैं और कह सकते हैं, "मुझे नहीं पता कि यह कैसे करना है, लेकिन क्या कोई है जिसने ऐसा कुछ किया है?" शायद अंततः एक एआई मॉडल उन उपकरणों को लाने के लिए साहित्य की खोज करने के लिए कुशल तरीके खोज सकता है जिनका उपयोग कहीं और किया गया है - इस तरह से कि एक गणितज्ञ इसकी कल्पना भी नहीं कर सकता है।

हालाँकि, मुझे यह समझ में नहीं आता कि ChatGPT एक निश्चित स्तर से आगे जाकर इस तरह से प्रूफ़ कैसे दे सकता है जो हमसे आगे निकल जाए। ChatGPT और अन्य मशीन लर्निंग प्रोग्राम नहीं सोच रहे हैं। वे अनेक उदाहरणों के आधार पर शब्द-संगठनों का प्रयोग कर रहे हैं। इसलिए ऐसा नहीं लगता कि वे अपने प्रशिक्षण डेटा को पार कर पाएंगे। लेकिन अगर ऐसा हुआ तो गणितज्ञ क्या करेंगे? हम जो कुछ भी करते हैं वह इसका प्रमाण है। यदि आप हमसे सबूत छीन लेंगे, तो मुझे यकीन नहीं है कि हम कौन बनेंगे।

भले ही, जब हम सोचते हैं कि हम कंप्यूटर सहायता कहाँ से लेने जा रहे हैं, तो हमें मानव प्रयास से सीखे गए सभी पाठों को ध्यान में रखना होगा: विभिन्न भाषाओं का उपयोग करने, एक साथ काम करने, विभिन्न दृष्टिकोण रखने का महत्व। इसमें एक मजबूती, एक स्वास्थ्य है कि कैसे विभिन्न समुदाय एक प्रमाण पर काम करने और समझने के लिए एक साथ आते हैं। यदि हमें गणित में कंप्यूटर सहायता प्राप्त करनी है, तो हमें इसे उसी तरह समृद्ध करने की आवश्यकता है।