एक गिलास पानी में एक आइस क्यूब डालें। आप शायद कल्पना कर सकते हैं कि यह कैसे पिघलना शुरू होता है। आप यह भी जानते हैं कि चाहे वह किसी भी आकार का हो, आप इसे कभी भी बर्फ के टुकड़े की तरह पिघलते हुए नहीं देखेंगे, जो हर जगह नुकीले किनारों और महीन पुच्छों से बना हो।

गणितज्ञ इस पिघलने की प्रक्रिया को समीकरणों के साथ मॉडल करते हैं। समीकरण अच्छी तरह से काम करते हैं, लेकिन यह साबित करने में 130 साल लग गए हैं कि वे वास्तविकता के बारे में स्पष्ट तथ्यों के अनुरूप हैं। अब, में पेपर मार्च . में पोस्ट किया गया, एलेसियो फिगालि और जोआकिम सेरा स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी ज्यूरिख और जेवियर रोस-ओटन बार्सिलोना विश्वविद्यालय ने स्थापित किया है कि समीकरण वास्तव में अंतर्ज्ञान से मेल खाते हैं। मॉडल में स्नोफ्लेक्स असंभव नहीं हो सकता है, लेकिन वे अत्यंत दुर्लभ और पूरी तरह से क्षणभंगुर हैं।

"ये परिणाम मैदान पर एक नया दृष्टिकोण खोलते हैं," ने कहा मारिया कोलंबो स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी लॉज़ेन के। "इस घटना की इतनी गहरी और सटीक समझ पहले नहीं थी।"

पानी में बर्फ कैसे पिघलती है, इस सवाल को स्टीफन समस्या कहा जाता है, जिसका नाम भौतिक विज्ञानी जोसेफ स्टीफन के नाम पर रखा गया है उत्पन्न यह 1889 में। यह "मुक्त सीमा" समस्या का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है, जहां गणितज्ञ इस बात पर विचार करते हैं कि गर्मी के प्रसार जैसी प्रक्रिया एक सीमा को कैसे स्थानांतरित करती है। इस मामले में, सीमा बर्फ और पानी के बीच है।

कई वर्षों से, गणितज्ञों ने इन विकसित सीमाओं के जटिल मॉडलों को समझने की कोशिश की है। प्रगति करने के लिए, नया काम एक अलग प्रकार की भौतिक प्रणाली पर पिछले अध्ययनों से प्रेरणा लेता है: साबुन फिल्में। यह उन पर यह साबित करने के लिए बनाता है कि बर्फ और पानी के बीच विकसित सीमा के साथ, क्यूप्स या किनारों जैसे तेज धब्बे शायद ही कभी बनते हैं, और यहां तक ​​​​कि जब वे होते हैं, तो वे तुरंत गायब हो जाते हैं।

इन तीक्ष्ण धब्बों को विलक्षणता कहा जाता है, और, यह पता चला है, वे गणित की मुक्त सीमाओं में उतने ही अल्पकालिक हैं जितने वे भौतिक संसार में हैं।

पिघलने का चश्मा

एक गिलास पानी में फिर से एक आइस क्यूब पर विचार करें। दो पदार्थ एक ही पानी के अणुओं से बने होते हैं, लेकिन पानी दो अलग-अलग चरणों में होता है: ठोस और तरल। एक सीमा मौजूद है जहां दो चरण मिलते हैं। लेकिन जैसे ही पानी से गर्मी बर्फ में स्थानांतरित होती है, बर्फ पिघलती है और सीमा चलती है। आखिरकार, बर्फ - और इसके साथ की सीमा - गायब हो जाती है।

अंतर्ज्ञान हमें बता सकता है कि यह पिघलने वाली सीमा हमेशा चिकनी रहती है। आखिरकार, जब आप एक गिलास पानी से बर्फ का एक टुकड़ा खींचते हैं, तो आप अपने आप को तेज किनारों पर नहीं काटते हैं। लेकिन थोड़ी कल्पना के साथ, उन परिदृश्यों की कल्पना करना आसान है जहां तीखे धब्बे उभर आते हैं।

एक घंटे के गिलास के आकार में बर्फ का एक टुकड़ा लें और उसे डूबो दें। जैसे ही बर्फ पिघलती है, घंटे के चश्मे की कमर पतली और पतली हो जाती है जब तक कि तरल पूरी तरह से न खा जाए। फिलहाल ऐसा होता है, जो कभी एक चिकनी कमर थी, वह दो नुकीले पुच्छ, या विलक्षणता बन जाती है।

"यह उन समस्याओं में से एक है जो स्वाभाविक रूप से विलक्षणताओं को प्रदर्शित करती है," ने कहा ग्यूसेप मिंगियोन पर्मा विश्वविद्यालय के। "यह भौतिक वास्तविकता है जो आपको बताती है।

फिर भी वास्तविकता हमें यह भी बताती है कि विलक्षणताओं को नियंत्रित किया जाता है। हम जानते हैं कि क्यूप्स लंबे समय तक नहीं रहना चाहिए, क्योंकि गर्म पानी उन्हें तेजी से पिघला देता है। शायद अगर आपने पूरी तरह से घंटे के चश्मे से बने एक विशाल बर्फ ब्लॉक के साथ शुरुआत की, तो एक हिमपात का एक टुकड़ा बन सकता है। लेकिन यह अभी भी एक पल से ज्यादा नहीं चलेगा।

१८८९ में स्टीफन ने इस समस्या को गणितीय जांच के अधीन किया, जिसमें दो समीकरणों की वर्तनी थी जो पिघलने वाली बर्फ का वर्णन करते हैं। एक गर्म पानी से ठंडी बर्फ में गर्मी के प्रसार का वर्णन करता है, जो बर्फ को सिकोड़ता है और पानी के क्षेत्र का विस्तार करता है। एक दूसरा समीकरण पिघलने की प्रक्रिया के आगे बढ़ने पर बर्फ और पानी के बीच बदलते इंटरफेस को ट्रैक करता है। (वास्तव में, समीकरण उस स्थिति का भी वर्णन कर सकते हैं जहां बर्फ इतनी ठंडी होती है कि इससे आसपास का पानी जम जाता है - लेकिन वर्तमान कार्य में, शोधकर्ता उस संभावना को अनदेखा कर देते हैं।)

कोलंबो ने कहा, "महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि दो चरण एक से दूसरे चरण में जाने का फैसला कहां करते हैं।"

100 के दशक में, गणितज्ञों ने यह साबित कर दिया कि इन समीकरणों का एक ठोस आधार है, लगभग 1970 साल लग गए। कुछ प्रारंभिक स्थितियों को देखते हुए - पानी के प्रारंभिक तापमान और बर्फ के प्रारंभिक आकार का विवरण - यह वर्णन करने के लिए मॉडल को अनिश्चित काल तक चलाना संभव है कि समय के साथ तापमान (या संचयी तापमान नामक एक निकट से संबंधित मात्रा) कैसे बदलता है।

लेकिन उन्हें ऐसा कुछ भी नहीं मिला जो मॉडल को उन परिदृश्यों पर पहुंचने से रोक सके जो कि बहुत ही अजीब हैं। समीकरण एक बर्फ-पानी की सीमा का वर्णन कर सकते हैं जो क्यूप्स के जंगल में बनती है, उदाहरण के लिए, या एक तेज हिमपात का एक टुकड़ा जो पूरी तरह से स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, वे इस संभावना से इंकार नहीं कर सकते थे कि मॉडल बकवास कर सकता है। स्टीफन समस्या यह दिखाने की समस्या बन गई कि इन स्थितियों में विलक्षणता वास्तव में अच्छी तरह से नियंत्रित है।

अन्यथा, इसका मतलब यह होगा कि बर्फ पिघलने वाला मॉडल एक शानदार विफलता थी - जिसने गणितज्ञों की पीढ़ियों को यह विश्वास करने के लिए मूर्ख बनाया था कि यह उससे अधिक ठोस था।

साबुन प्रेरणा

जिस दशक में गणितज्ञों ने बर्फ पिघलने के समीकरणों को समझना शुरू किया, उन्होंने साबुन फिल्मों के गणित पर जबरदस्त प्रगति की।

यदि आप दो तार के छल्ले साबुन के घोल में डुबोते हैं और फिर उन्हें अलग करते हैं, तो उनके बीच एक साबुन की फिल्म बनती है। सतह का तनाव फिल्म को जितना संभव हो उतना तना हुआ खींचेगा, इसे एक आकार में बना देगा जिसे कैटेनॉइड कहा जाता है - एक प्रकार का कैव्ड-इन सिलेंडर। यह आकार इसलिए बनता है क्योंकि यह दो रिंगों को कम से कम सतह क्षेत्र के साथ पुल करता है, जिससे यह एक उदाहरण बन जाता है कि गणितज्ञ क्या कहते हैं। न्यूनतम सतह.

साबुन फिल्मों को समीकरणों के अपने अनूठे सेट द्वारा तैयार किया जाता है। 1960 के दशक तक, गणितज्ञों ने उन्हें समझने में प्रगति की थी, लेकिन वे नहीं जानते थे कि उनके समाधान कितने अजीब हो सकते हैं। जैसे ही स्टीफन समस्या में, समाधान अस्वीकार्य रूप से अजीब हो सकता है, अनगिनत विलक्षणताओं वाली साबुन फिल्मों का वर्णन करना, जो कि चिकनी फिल्मों की तरह कुछ भी नहीं हैं जिनकी हम उम्मीद करते हैं।

1961 और 1962 में, Ennio De Giorgi, Wendell Fleming और अन्य ने यह निर्धारित करने के लिए एक सुरुचिपूर्ण प्रक्रिया का आविष्कार किया कि क्या विलक्षणताओं के साथ स्थिति उतनी ही खराब थी जितनी कि आशंका थी।

मान लीजिए कि आपके पास साबुन फिल्म समीकरणों का एक हल है जो दो सीमा सतहों के बीच फिल्म के आकार का वर्णन करता है, जैसे दो रिंगों का सेट। फिल्म की सतह पर एक मनमाना बिंदु पर ध्यान दें। इस बिंदु के पास की ज्यामिति कैसी दिखती है? इससे पहले कि हम इसके बारे में कुछ भी जानते, इसमें किसी भी तरह की कल्पना की जा सकने वाली विशेषता हो सकती है - नुकीले सिरे से लेकर चिकनी पहाड़ी तक कुछ भी। गणितज्ञों ने बिंदु को ज़ूम इन करने की एक विधि ईजाद की, जैसे कि उनके पास अनंत शक्ति वाला एक माइक्रोस्कोप हो। उन्होंने साबित कर दिया कि जैसे ही आप ज़ूम इन करते हैं, आप केवल एक सपाट विमान देखते हैं।

"हमेशा। बस, ”रोस-ओटन ने कहा।

इस समतलता का अर्थ है कि उस बिंदु के पास की ज्यामिति एकवचन नहीं हो सकती। यदि बिंदु एक पुच्छल पर स्थित होता, तो गणितज्ञों को एक कील की तरह कुछ और दिखाई देता, न कि एक विमान। और चूंकि उन्होंने बिंदु को बेतरतीब ढंग से चुना था, इसलिए वे यह निष्कर्ष निकाल सकते थे कि जब आप उन्हें करीब से देखते हैं तो फिल्म के सभी बिंदु एक चिकने विमान की तरह दिखना चाहिए। उनके काम ने स्थापित किया कि पूरी फिल्म सहज होनी चाहिए - विलक्षणताओं से मुक्त।

गणितज्ञ स्टीफन की समस्या से निपटने के लिए उन्हीं तरीकों का इस्तेमाल करना चाहते थे, लेकिन उन्हें जल्द ही एहसास हो गया कि बर्फ के साथ चीजें इतनी सरल नहीं हैं। साबुन की फिल्मों के विपरीत, जो हमेशा चिकनी दिखती हैं, पिघलती बर्फ वास्तव में विलक्षणता प्रदर्शित करती है। और जब साबुन की फिल्म बनी रहती है, तो बर्फ और पानी के बीच की रेखा हमेशा गति में रहती है। इसने एक अतिरिक्त चुनौती पेश की जिससे बाद में एक और गणितज्ञ निपटेगा।

फ़िल्मों से लेकर बर्फ़ तक

1977 में, लुइस कैफ़ारेली ने स्टीफन समस्या के लिए एक गणितीय आवर्धक कांच का पुन: आविष्कार किया। एक साबुन फिल्म पर ज़ूम इन करने के बजाय, उन्होंने यह पता लगाया कि बर्फ और पानी के बीच की सीमा को कैसे ज़ूम इन किया जाए।

"यह उनका महान अंतर्ज्ञान था," मिंगियोन ने कहा। "वह इन तरीकों को डी जियोर्गी के न्यूनतम सतह सिद्धांत से इस अधिक सामान्य सेटिंग में ले जाने में सक्षम था।"

जब गणितज्ञों ने साबुन फिल्म समीकरणों के समाधान पर ज़ूम इन किया, तो उन्होंने केवल सपाटता देखी। लेकिन जब कैफ़ारेली ने बर्फ और पानी के बीच जमी हुई सीमा पर ज़ूम किया, तो उसने कभी-कभी कुछ पूरी तरह से अलग देखा: जमे हुए धब्बे लगभग पूरी तरह से गर्म पानी से घिरे हुए थे। ये बिंदु बर्फीले पुच्छल - विलक्षणताओं के अनुरूप हैं - जो पिघलने की सीमा के पीछे हटने से फंसे हो जाते हैं।

कैफ़ेरेली ने साबित किया कि बर्फ पिघलने के गणित में विलक्षणताएँ मौजूद हैं। उन्होंने यह अनुमान लगाने का एक तरीका भी तैयार किया कि कितने हैं। बर्फीले विलक्षणता के सटीक स्थान पर, तापमान हमेशा शून्य डिग्री सेल्सियस होता है, क्योंकि विलक्षणता बर्फ से बनी होती है। यह एक साधारण तथ्य है। लेकिन उल्लेखनीय रूप से, कैफ़ेरेली ने पाया कि जैसे-जैसे आप विलक्षणता से दूर जाते हैं, तापमान एक स्पष्ट पैटर्न में बढ़ता है: यदि आप एक इकाई को एक विलक्षणता से दूर और पानी में ले जाते हैं, तो तापमान लगभग एक इकाई तापमान बढ़ जाता है। यदि आप दो इकाई दूर चले जाते हैं, तो तापमान लगभग चार बढ़ जाता है।

इसे परवलयिक संबंध कहा जाता है, क्योंकि यदि आप दूरी के फलन के रूप में तापमान का रेखांकन करते हैं, तो आपको लगभग एक परवलय का आकार मिलता है। लेकिन क्योंकि अंतरिक्ष त्रि-आयामी है, आप तापमान को तीन अलग-अलग दिशाओं में रेखांकन कर सकते हैं जो एकवचन से दूर जाते हैं, न कि केवल एक। इसलिए तापमान त्रि-आयामी परवलय जैसा दिखता है, एक आकृति जिसे परवलय कहा जाता है।

कुल मिलाकर, कैफ़ारेली की अंतर्दृष्टि ने बर्फ-पानी की सीमा के साथ विलक्षणताओं को आकार देने का एक स्पष्ट तरीका प्रदान किया। विलक्षणताओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां तापमान शून्य डिग्री सेल्सियस होता है और पैराबोलॉइड विलक्षणता पर और उसके आसपास के तापमान का वर्णन करते हैं। इसलिए, कहीं भी परवलयिक शून्य के बराबर है, आपके पास एक विलक्षणता है।

तो ऐसे कितने स्थान हैं जहाँ एक परवलयिक शून्य के बराबर हो सकता है? एक परवलय की कल्पना करें जो अगल-बगल खड़ी परवलय के अनुक्रम से बना हो। इस तरह के Paraboloids एक पूरी लाइन के साथ एक न्यूनतम मान - शून्य का मान - ले सकते हैं। इसका मतलब यह है कि कैफ़ेरेली द्वारा देखी गई प्रत्येक विलक्षणता वास्तव में केवल एक बर्फीले बिंदु के बजाय एक रेखा के आकार की, एक असीम पतली बर्फीली धार हो सकती है। और चूंकि एक सतह बनाने के लिए कई रेखाओं को एक साथ रखा जा सकता है, इसलिए उनके काम ने इस संभावना को खुला छोड़ दिया कि विलक्षणताओं का एक सेट पूरी सीमा की सतह को भर सकता है। अगर यह सच था, तो इसका मतलब होगा कि स्टीफन समस्या में विलक्षणता पूरी तरह से नियंत्रण से बाहर थी।

"यह मॉडल के लिए एक आपदा होगी। पूर्ण अराजकता, ”फिगल्ली ने कहा, जो फील्ड मेडल जीता, गणित का सर्वोच्च सम्मान, 2018 में।

हालाँकि, Caffarelli का परिणाम केवल सबसे खराब स्थिति थी। इसने संभावित विलक्षणताओं के अधिकतम आकार को स्थापित किया, लेकिन इसने इस बारे में कुछ नहीं कहा कि समीकरणों में वास्तव में कितनी बार विलक्षणताएँ होती हैं, या वे कितने समय तक चलती हैं। 2019 तक, फिगल्ली, रोस-ओटन और सेरा ने और अधिक जानने का एक उल्लेखनीय तरीका निकाला था।

अपूर्ण पैटर्न

स्टीफन की समस्या को हल करने के लिए, फिगल्ली, रोस-ओटन और सेरा को यह साबित करने की जरूरत थी कि समीकरणों में आने वाली विलक्षणताएं नियंत्रित होती हैं: उनमें से बहुत सारे नहीं हैं और वे लंबे समय तक नहीं टिकते हैं। ऐसा करने के लिए, उन्हें उन सभी विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं की व्यापक समझ की आवश्यकता थी जो संभवतः बन सकती हैं।

कैफ़ेरेली ने यह समझने में प्रगति की थी कि बर्फ पिघलने के रूप में विलक्षणता कैसे विकसित होती है, लेकिन इस प्रक्रिया की एक विशेषता थी जिसे वह नहीं जानता था कि कैसे संबोधित किया जाए। उन्होंने माना कि एक विलक्षणता के आसपास के पानी का तापमान एक परवलयिक पैटर्न का अनुसरण करता है। उन्होंने यह भी माना कि यह बिल्कुल इस पैटर्न का पालन नहीं करता है - एक आदर्श परवलयिक और पानी के तापमान के वास्तविक तरीके के बीच एक छोटा सा विचलन है।

फिगल्ली, रोस-ओटन और सेरा ने परवलयिक पैटर्न से इस विचलन पर माइक्रोस्कोप को स्थानांतरित कर दिया। जब उन्होंने इस छोटी सी अपूर्णता - सीमा से लहराती शीतलता की एक फुसफुसाहट - पर ज़ूम किया तो उन्होंने पाया कि इसके अपने प्रकार के पैटर्न थे जो विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं को जन्म देते थे।

"वे परवलयिक स्केलिंग से परे जाते हैं," ने कहा सैंड्रो साल्सा मिलान के पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय के। "जो अद्भुत है।"

वे यह दिखाने में सक्षम थे कि ये सभी नए प्रकार के विलक्षणता तेजी से गायब हो गए - जैसे वे प्रकृति में करते हैं - दो को छोड़कर जो विशेष रूप से गूढ़ थे। उनकी आखिरी चुनौती यह साबित करना था कि ये दो प्रकार भी प्रकट होते ही गायब हो जाते हैं, इस संभावना को बंद कर देते हैं कि बर्फ के टुकड़े जैसा कुछ भी हो सकता है।

लुप्त हो जाना

पहले प्रकार की विलक्षणता 2000 में सामने आई थी। फ्रेडरिक अल्मग्रेन नाम के एक गणितज्ञ ने साबुन फिल्मों के बारे में 1,000-पृष्ठ के एक डराने वाले पेपर में इसकी जांच की थी, जिसे केवल उनकी पत्नी, जीन टेलर - साबुन फिल्मों के एक अन्य विशेषज्ञ - द्वारा प्रकाशित किया गया था। वह मरा।

जबकि गणितज्ञों ने दिखाया था कि साबुन की फिल्में हमेशा तीन आयामों में चिकनी होती हैं, अल्मग्रेन ने साबित किया कि चार आयामों में, एक नई तरह की "शाखाओं" की विलक्षणता दिखाई दे सकती है, जिससे साबुन की फिल्में अजीब तरह से तेज हो जाती हैं। ये विलक्षणताएँ गहन रूप से अमूर्त हैं और बड़े करीने से कल्पना करना असंभव है। फिर भी फिगल्ली, रोस-ओटन और सेरा ने महसूस किया कि बर्फ और पानी के बीच पिघलने की सीमा के साथ बहुत समान विलक्षणताएं बनती हैं।

"कनेक्शन थोड़ा रहस्यमय है," सेरा ने कहा। "कभी-कभी गणित में, चीजें अप्रत्याशित तरीके से विकसित होती हैं।"

उन्होंने अल्मग्रेन के काम का इस्तेमाल यह दिखाने के लिए किया कि इन शाखाओं में से एक के आसपास की बर्फ में एक शंक्वाकार पैटर्न होना चाहिए जो वैसा ही दिखता है जैसा आप ज़ूम इन करते हैं। और तापमान के लिए परवलयिक पैटर्न के विपरीत, जिसका अर्थ है कि एक पूरी रेखा के साथ एक विलक्षणता मौजूद हो सकती है , एक शंक्वाकार पैटर्न में केवल एक बिंदु पर एक तेज विलक्षणता हो सकती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, उन्होंने दिखाया कि ये विलक्षणताएँ अंतरिक्ष और समय में अलग-थलग हैं। जैसे ही वे बनते हैं, वे चले जाते हैं।

दूसरी तरह की विलक्षणता और भी रहस्यमयी थी। इसका अंदाजा लगाने के लिए, बर्फ की एक पतली चादर को पानी में डुबाने की कल्पना करें। यह सिकुड़ेगा और सिकुड़ेगा और अचानक एक ही बार में गायब हो जाएगा। लेकिन उस क्षण से ठीक पहले, यह एक चादर जैसी विलक्षणता का निर्माण करेगा, एक दो-आयामी दीवार एक रेजर की तरह तेज।

कुछ बिंदुओं पर, शोधकर्ता एक समान परिदृश्य को खोजने के लिए ज़ूम इन करने में कामयाब रहे: बर्फ के दो मोर्चे बिंदु की ओर गिर रहे थे जैसे कि यह बर्फ की पतली चादर के अंदर स्थित हो। ये बिंदु बिल्कुल विलक्षणता नहीं थे, बल्कि ऐसे स्थान थे जहाँ एक विलक्षणता बनने वाली थी। सवाल यह था कि क्या इन बिंदुओं के पास के दो मोर्चे एक ही समय में ढह गए। यदि ऐसा होता है, तो एक चादर जैसी विलक्षणता गायब होने से पहले केवल एक संपूर्ण क्षण के लिए बनेगी। अंत में, उन्होंने साबित कर दिया कि वास्तव में समीकरणों में परिदृश्य कैसे चलता है।

"यह किसी तरह अंतर्ज्ञान की पुष्टि करता है," ने कहा डेनिएला डी सिल्वा बर्नार्ड कॉलेज के।

यह दिखाने के बाद कि विदेशी शाखाओं में बंटी और चादर जैसी विलक्षणता दोनों दुर्लभ हैं, शोधकर्ता सामान्य बयान दे सकते हैं कि स्टीफन समस्या के लिए सभी विलक्षणताएं दुर्लभ हैं।

"यदि आप बेतरतीब ढंग से एक समय चुनते हैं, तो एक विलक्षण बिंदु को देखने की संभावना शून्य है," रोस-ओटन ने कहा।

गणितज्ञों का कहना है कि काम के तकनीकी विवरण को पचने में समय लगेगा। लेकिन उन्हें विश्वास है कि परिणाम कई अन्य समस्याओं पर प्रगति के लिए आधार तैयार करेंगे। स्टीफन समस्या गणित के पूरे उपक्षेत्र के लिए एक आधारभूत उदाहरण है जहां सीमाएं चलती हैं। लेकिन जहां तक ​​स्टीफन की समस्या है, और बर्फ के टुकड़े पानी में कैसे पिघलते हैं, इसका गणित?

"यह बंद है," साल्सा ने कहा।