अरस्तू ने 2,000 साल पहले जो शुरू किया था, उसे मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में 30 स्नातक छात्रों की एक टीम जारी रख रही है। वे इसका लाभ उठा रहे हैं हालिया गणितीय प्रगति जिसने उन आकृतियों की पहचान करने की सहस्राब्दी लंबी खोज में नई जान डाल दी है जो त्रि-आयामी स्थान को पूरी तरह से भर सकती हैं, या टाइल कर सकती हैं।
एमआईटी प्रोफेसर द्वारा आयोजित कार्य में भाग लेने वाले एमआईटी प्रथम वर्ष के छात्र युयुआन लुओ ने कहा, "यह काफी रोमांचक है लेकिन साथ ही यह जानना थोड़ा डराने वाला भी है कि कुछ महान दिमाग इस विषय पर काम कर रहे हैं।" ब्योर्न पूनन. (पूनेन को सिमंस फाउंडेशन से फंडिंग मिलती है, जो इसे भी फंड करता है संपादकीय स्वतंत्र प्रकाशन.)
इस प्रश्न में अरस्तू की रुचि उनके शिक्षक प्लेटो की फटकार के रूप में उत्पन्न हुई।
उनके 360 ईसा पूर्व संवाद में तमीजप्लेटो ने प्राचीन सिद्धांत पर चर्चा की कि दुनिया चार तत्वों से बनी है: पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि। उन्होंने अनुमान लगाया कि इनमें से प्रत्येक तत्व पांच नियमित ठोस पदार्थों में से एक के अनुरूप अद्वितीय आकार वाले कणों से बना था: पृथ्वी का एक कण एक घन के आकार का था, पानी का एक कण 20-पक्षीय इकोसाहेड्रोन जैसा था, हवा का एक कण था अष्टफलक, और आग का एक कण जैसे नुकीला, चार भुजाओं वाला, पिरामिडनुमा चतुष्फलक (क्योंकि आग कांटेदार होती है)।
अरस्तू ने अपनी धारणा के आधार पर आपत्ति जताई (जिसे अब हम गलत मानते हैं) कि इन तत्वों के कणों को अंतरिक्ष को पूरी तरह से भरने में सक्षम होना होगा। यानी, उन्होंने सोचा कि जहां पानी है, आपको इकोसाहेड्रल पानी के कण की प्रतियों को इस तरह व्यवस्थित करने में सक्षम होने की आवश्यकता होगी कि इकोसाहेड्रा ओवरलैपिंग के बिना पूरी तरह से पानी वाले स्थान पर कब्जा कर ले।
और वहाँ, अरस्तू ने सोचा, पकड़ थी। उन्होंने अपने 350 ईसा पूर्व के ग्रंथ में इसकी व्याख्या की स्वर्ग पर एक इकोसाहेड्रोन की प्रतियां "पूरे को भरने में सफल नहीं होंगी।" इसलिए, उन्होंने तर्क दिया, पानी के कणों का आकार संभवतः वैसा नहीं हो सकता। इसी कारण से, उन्हें संदेह था कि हवा के कणों का आकार अष्टधातु जैसा हो सकता है। लेकिन उन्होंने अनुमति दी कि एक घन (पृथ्वी) और एक टेट्राहेड्रोन (अग्नि) की प्रतियां जगह भरती हैं, इसलिए उन्होंने प्लेटो के सिद्धांत को उन दो तत्वों के लिए खड़ा रहने दिया।
हजारों साल बाद, यह पता चला कि अरस्तू वहां भी आंशिक रूप से गलत था।
1400 के दशक की शुरुआत में ही वैज्ञानिकों को संदेह होने लगा था कि नियमित टेट्राहेड्रोन - जिसमें पिरामिड के सभी चार चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं - का उपयोग अंतरिक्ष को भरने के लिए भी नहीं किया जा सकता है। 1600 के दशक तक उन्होंने इसे निश्चित रूप से स्थापित कर लिया था। यह कुछ ऐसा है जिसे अरस्तू ने भी पहचाना होगा, यदि केवल उसने स्वयं ही इसका पता लगाने का प्रयास किया होता।
“अगर अरस्तू ने नियमित टेट्राहेड्रा के मॉडल बनाए होते, तो वह एक टेट्राहेड्रॉन को लेकर और उसके ठीक बगल में दूसरे को फिट करके एक किनारे के आसपास कई मॉडल बनाते। पाँच के भीतर उसने देखा होगा कि एक छोटा सा अंतर है जिसे किसी अन्य टेट्राहेड्रोन द्वारा नहीं भरा जा सकता है, ”कहा मारजोरी सेनेचल स्मिथ कॉलेज की।
यदि नियमित टेट्राहेड्रॉन स्थान को टाइल नहीं करता है, तो प्रश्न बन जाता है: क्या कोई टेट्राहेड्रा है?
1923 में डंकन सोमरविले ने पहले उदाहरणों की पुष्टि की। सभी ने बताया, गणितज्ञों को अब दो व्यक्तिगत टेट्राहेड्रा और टेट्राहेड्रा के तीन अनंत परिवार मिले हैं जो जगह भरते हैं। परिवारों में एक पैरामीटर होता है जिसे आप टाइल की जगह की क्षमता बनाए रखते हुए कुछ आंतरिक कोणों को छोटा और अन्य को आनुपातिक रूप से बड़ा बनाने के लिए असीमित तरीकों से समायोजित कर सकते हैं। गणितज्ञों को कोई अन्य नहीं मिला है। उन्हें कोई अंदाज़ा नहीं है कि कितने लोग मौजूद हो सकते हैं।
सेनेचल ने कहा, "मुझे नहीं पता कि यह एक ऐसी समस्या है जिसका सिर्फ इन चीजों को खोजने से परे कोई सैद्धांतिक समाधान होगा।"
तथ्य यह है कि, अधिकांश त्रि-आयामी आकृतियाँ स्थान को टाइल नहीं करती हैं। "हम इस बात की सराहना नहीं करते कि त्रि-आयामी स्थान पर टाइल लगाना कितना कठिन है," ने कहा इन्ना ज़खारेविच कॉर्नेल विश्वविद्यालय के. "मुझे लगता है कि जो कुछ भी होता है वह बहुत अच्छा होता है।"
इसका मतलब है कि ऐसी आकृतियों की तलाश करना एक अंधी खोज जैसा है। सौभाग्य से, टेट्राहेड्रा की खोज जो त्रि-आयामी स्थान को टाइल कर सकती है, समस्या और दो अन्य संबंधित प्रश्नों के बीच एक सुंदर पत्राचार द्वारा सहायता प्राप्त है।
पहला संबंधित प्रश्न यह है: क्या समान आयतन की दो सपाट-पक्षीय आकृतियों को हमेशा सीधे कट के साथ विभाजित किया जा सकता है और एक-दूसरे के रूप में पुनः जोड़ा जा सकता है? डेविड हिल्बर्ट ने 1900 में यह पूछा था, और उसी वर्ष उनके पूर्व छात्र, मैक्स डेन ने उत्तर का एक महत्वपूर्ण हिस्सा प्रदान किया।
देहान ने दिखाया कि एकल मात्रा की गणना करने के लिए किसी भी बहुफलकीय आकार के कोणों - जैसे टेट्राहेड्रोन या घन - का उपयोग करना संभव है, जिसे अब देहान अपरिवर्तनीय कहा जाता है। उन्होंने साबित किया कि दो आकृतियों के लिए "कैंची सर्वांगसम” - जिसका अर्थ है कि उन्हें काटा जा सकता है और एक दूसरे के रूप में पुनः जोड़ा जा सकता है - उनके पास एक ही डेहन अपरिवर्तनीय होना चाहिए। देहान ने अपने नए माप का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि नियमित टेट्राहेड्रोन एक घन के अनुरूप कैंची नहीं है क्योंकि उनके देहान अपरिवर्तनीय भिन्न होते हैं।
बाद में सदी में गणितज्ञों ने दो अन्य प्रमुख तथ्य सिद्ध किए जो कैंची अनुरूपता और टाइलिंग को एक साथ जोड़ते थे। 1965 में जीन-पियरे सिडलर ने सिद्ध किया कि समान आयतन और समान डेहन अपरिवर्तनीय वाली कोई भी दो आकृतियाँ कैंची सर्वांगसम होती हैं। इसके अलावा, 1980 में हंस डेब्रूनर ने दिखाया कि किसी भी टेट्राहेड्रोन में 0 का डेहन अपरिवर्तनीय होना चाहिए - एक घन के समान। इन खोजों का नतीजा यह है कि एक चतुष्फलक को टाइलिंग स्थान की संभावना के लिए एक घन के अनुरूप कैंची होना चाहिए।
यदि आपको टेट्राहेड्रोन दिया गया है, तो यह गणना करना अपेक्षाकृत आसान है कि क्या इसमें 0 का डेन अपरिवर्तनीय है और इसलिए इसमें स्थान को टाइल करने की क्षमता है। हालाँकि, सभी टेट्राहेड्रा को ढूंढना जिनमें 0 का डेन अपरिवर्तनीय है, कोई आसान काम नहीं है।
यहीं पर दूसरा संबंधित प्रश्न आता है।
एक टेट्राहेड्रोन में छह "डायहेड्रल" कोण होते हैं जो किनारों पर बनते हैं जहां चेहरों के जोड़े मिलते हैं। 1976 में जॉन एच. कॉनवे और एंटोनिया जे. जोन्स ने पूछा: क्या सभी टेट्राहेड्रा की पहचान करना संभव है जिसमें उन सभी छह डायहेड्रल कोणों की डिग्री माप तर्कसंगत संख्याएं हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें अंशों के रूप में बड़े करीने से लिखा जा सकता है? यह अरस्तू के संकेत के साथ एक आधुनिक प्रश्न है।
"मुझे यह कहना पसंद है कि यह समस्या प्राचीन काल में पूछी जा सकती थी, लेकिन जहाँ तक मुझे पता है यह नहीं थी," कहा किरण केडलाया कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय सैन डिएगो के. केडलाया, पूनेन और दो अन्य सह-लेखकों ने साबित किया कि ठीक 59 अलग-अलग उदाहरण और टेट्राहेड्रा के दो अनंत परिवारों में तर्कसंगत डायहेड्रल कोण हैं। क्वांटा ने हाल ही में इस परिणाम को हमारी कहानी में शामिल किया है "टेट्राहेड्रोन सॉल्यूशंस अंत में कंप्यूटर खोज के बाद प्रमाणित निर्णय".
और महत्वपूर्ण रूप से, तर्कसंगत डायहेड्रल कोण वाले किसी भी टेट्राहेड्रोन में 0 का डेन अपरिवर्तनीय होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक घन के अनुरूप कैंची है और टाइलिंग स्थान का मौका देता है।
इससे पता चलता है कि एमआईटी के स्नातक पूनेन के साथ मिलकर किस पर काम कर रहे हैं - यह जांच करना कि इनमें से कौन सा उम्मीदवार त्रि-आयामी टाइल्स के रूप में अपनी क्षमता को पूरा करता है।
जनवरी के मध्य में, समूह ने साबित कर दिया कि पृथक तर्कसंगत टेट्राहेड्रा में से एक भी जगह नहीं भरता है। उनका परिणाम यह दर्शाता है कि पहली बार किसी को टेट्राहेड्रोन का उदाहरण मिला है जो एक घन के अनुरूप कैंची है लेकिन जगह को टाइल नहीं करता है। यह उस बौद्धिक चोटी में नवीनतम मोड़ भी है जो बहुत पहले एक प्राचीन जिज्ञासा के साथ शुरू हुई थी।
