आधुनिक गणित में अण्डाकार वक्र अधिक भ्रामक वस्तुओं में से एक हैं। वे जटिल प्रतीत नहीं होते हैं, लेकिन वे गणित के बीच एक एक्सप्रेसवे बनाते हैं जिसे कई लोग हाई स्कूल में सीखते हैं और गणित पर सबसे गूढ़ शोध करते हैं। वे 1990 के दशक में एंड्रयू विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रसिद्ध प्रमाण के केंद्र में थे। वे आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में प्रमुख उपकरण हैं। और 2000 में, क्ले गणित संस्थान ने एक नाम दिया आंकड़ों के बारे में अनुमान अण्डाकार वक्रों की सात "मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं" में से एक, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए $1 मिलियन का पुरस्कार दिया जाता है। वह अनुमान, सबसे पहले उद्यम किया गया ब्रायन बिर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर 1960 के दशक में, अभी भी साबित नहीं हुआ है।

अण्डाकार वक्रों को समझना एक उच्च जोखिम वाला प्रयास है जो गणित का केंद्र रहा है। इसलिए 2022 में, जब एक ट्रान्साटलांटिक सहयोग ने अण्डाकार वक्रों में पूरी तरह से अप्रत्याशित पैटर्न की खोज के लिए सांख्यिकीय तकनीकों और कृत्रिम बुद्धिमत्ता का उपयोग किया, तो यह अप्रत्याशित, यदि योगदान था, तो स्वागत योग्य था। “यह बस समय की बात है जब मशीन लर्निंग किसी दिलचस्प चीज़ के साथ हमारे दरवाजे पर उतरी,” उन्होंने कहा पीटर सरनक, इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी और प्रिंसटन यूनिवर्सिटी में गणितज्ञ। प्रारंभ में, कोई भी यह नहीं समझा सका कि नए खोजे गए पैटर्न क्यों मौजूद हैं। तब से, हाल के पत्रों की एक श्रृंखला में, गणितज्ञों ने पैटर्न के पीछे के कारणों को उजागर करना शुरू कर दिया है, जिसे झुंड के तारों के तरल आकार के समान होने के कारण "बड़बड़ाहट" कहा जाता है, और यह साबित करना शुरू कर दिया है कि वे न केवल विशेष रूप से घटित होते हैं। 2022 में उदाहरणों की जांच की गई, लेकिन आम तौर पर अण्डाकार वक्रों में।

अण्डाकार होने का महत्व

यह समझने के लिए कि वे पैटर्न क्या हैं, हमें थोड़ा सा आधार तैयार करना होगा कि अण्डाकार वक्र क्या हैं और गणितज्ञ उन्हें कैसे वर्गीकृत करते हैं।

एक अण्डाकार वक्र एक चर के वर्ग से संबंधित होता है, जिसे आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है y, दूसरे की तीसरी शक्ति के लिए, आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है x: y² = x³ + Ax + B, संख्याओं के कुछ जोड़े के लिए A और B, के रूप में लंबे समय के रूप में A और B कुछ सीधी शर्तों को पूरा करें. यह समीकरण एक वक्र को परिभाषित करता है जिसे समतल पर रेखांकन किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। (नामों में समानता के बावजूद, दीर्घवृत्त एक अण्डाकार वक्र नहीं है।)

हालांकि सादे दिखने वाले, अण्डाकार वक्र संख्या सिद्धांतकारों के लिए अविश्वसनीय रूप से शक्तिशाली उपकरण बन जाते हैं - गणितज्ञ जो पूर्णांक में पैटर्न की तलाश करते हैं। वेरिएबल्स देने के बजाय x और y सभी संख्याओं की सीमा के कारण, गणितज्ञ उन्हें अलग-अलग संख्या प्रणालियों तक सीमित रखना पसंद करते हैं, जिसे वे किसी दी गई संख्या प्रणाली के "ऊपर" एक वक्र को परिभाषित करना कहते हैं। परिमेय संख्याओं तक सीमित अण्डाकार वक्र - वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है - विशेष रूप से उपयोगी हैं। सरनाक ने कहा, "वास्तविक या जटिल संख्याओं पर अण्डाकार वक्र काफी उबाऊ हैं।" "केवल तर्कसंगत संख्याएँ ही गहरी हैं।"

यहाँ एक तरीका है जो सत्य है। यदि आप किसी अण्डाकार वक्र पर दो तर्कसंगत बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो वह स्थान जहां वह रेखा वक्र को फिर से काटती है, वह स्थान भी तर्कसंगत होगा। आप उस तथ्य का उपयोग अण्डाकार वक्र में "जोड़" को परिभाषित करने के लिए कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

बीच में एक रेखा खींचें P और Q. वह रेखा वक्र को तीसरे बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगी, R. (गणितज्ञों के पास उस मामले से निपटने के लिए एक विशेष युक्ति है जहां रेखा "अनंत पर बिंदु" जोड़कर वक्र को नहीं काटती है।) का प्रतिबिंब R के पार x-अक्ष आपका योग है P + Q. इस जोड़ ऑपरेशन के साथ, वक्र के सभी समाधान एक गणितीय वस्तु बनाते हैं जिसे समूह कहा जाता है।

गणितज्ञ इसका उपयोग किसी वक्र की "रैंक" को परिभाषित करने के लिए करते हैं। एक वक्र की रैंक इसका संबंध उसके तर्कसंगत समाधानों की संख्या से है। रैंक 0 वक्रों के समाधानों की एक सीमित संख्या होती है। उच्च रैंक वाले वक्रों में अनंत संख्या में समाधान होते हैं जिनका जोड़ ऑपरेशन का उपयोग करके एक दूसरे से संबंध रैंक द्वारा वर्णित किया जाता है।

रैंकों को अच्छी तरह से समझा नहीं गया है; गणितज्ञों के पास हमेशा उनकी गणना करने का कोई तरीका नहीं होता है और वे नहीं जानते कि वे कितना बड़ा हो सकते हैं। (किसी विशिष्ट वक्र के लिए ज्ञात सबसे बड़ी सटीक रैंक 20 है।) समान दिखने वाले वक्रों की पूरी तरह से अलग रैंक हो सकती है।

अण्डाकार वक्रों का भी अभाज्य संख्याओं से बहुत कुछ लेना-देना है, जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। विशेष रूप से, गणितज्ञ परिमित क्षेत्रों पर वक्रों को देखते हैं - चक्रीय अंकगणित की प्रणालियाँ जो प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए परिभाषित होती हैं। एक परिमित क्षेत्र एक घड़ी की तरह है जिसमें घंटों की संख्या अभाज्य के बराबर होती है: यदि आप ऊपर की ओर गिनती करते रहते हैं, तो संख्याएँ फिर से शुरू हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, 7 के लिए परिमित क्षेत्र में, 5 प्लस 2 बराबर शून्य है, और 5 प्लस 3 बराबर 1 है।

एक अण्डाकार वक्र में संख्याओं का एक संबद्ध क्रम होता है, जिसे कहा जाता है a_p, जो अभाज्य द्वारा परिभाषित परिमित क्षेत्र में वक्र के समाधानों की संख्या से संबंधित है p। एक छोटा a_p मतलब अधिक समाधान; एक बड़ा a_p मतलब कम समाधान. हालाँकि रैंक की गणना करना कठिन है, अनुक्रम a_p बहुत आसान है.

सबसे पहले कंप्यूटरों में से एक पर की गई कई गणनाओं के आधार पर, बिर्च और स्विनर्टन-डायर ने एक अण्डाकार वक्र की रैंक और अनुक्रम के बीच एक संबंध का अनुमान लगाया। a_p. जो कोई भी यह साबित कर सकता है कि वे सही थे, वह दस लाख डॉलर और गणितीय अमरता जीत सकता है।

एक आश्चर्यजनक पैटर्न उभरता है

महामारी की शुरुआत के बाद, यांग-हुई हेलंदन इंस्टीट्यूट फॉर मैथमैटिकल साइंसेज के एक शोधकर्ता ने कुछ नई चुनौतियों का सामना करने का फैसला किया। वह कॉलेज में भौतिक विज्ञान के प्रमुख थे, और उन्होंने गणितीय भौतिकी में मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी से डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की थी। लेकिन उनकी रुचि संख्या सिद्धांत में बढ़ती जा रही थी, और कृत्रिम बुद्धि की बढ़ती क्षमताओं को देखते हुए, उन्होंने सोचा कि वह संख्याओं में अप्रत्याशित पैटर्न खोजने के लिए एआई को एक उपकरण के रूप में उपयोग करने में अपना हाथ आजमाएंगे। (वह पहले से ही था मशीन लर्निंग का उपयोग करना वर्गीकृत करने के लिए कैलाबी-यौ कई गुना, गणितीय संरचनाएं जो स्ट्रिंग सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं।)

अगस्त 2020 में, जैसे-जैसे महामारी गहराती गई, नॉटिंघम विश्वविद्यालय ने उनकी मेजबानी की ऑनलाइन बात. वह अपनी प्रगति और नए गणित को उजागर करने के लिए मशीन लर्निंग का उपयोग करने की संभावना के बारे में निराशावादी था। "उनका कहना था कि संख्या सिद्धांत कठिन था क्योंकि आप संख्या सिद्धांत में चीजों को मशीन से नहीं सीख सकते थे," उन्होंने कहा थॉमस ओलिवर, वेस्टमिंस्टर विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ जो दर्शकों में थे। जैसा कि उन्हें याद है, “मुझे कुछ भी नहीं मिला क्योंकि मैं विशेषज्ञ नहीं था। मैं इसे देखने के लिए सही चीजों का उपयोग भी नहीं कर रहा था।

ओलिवर और क्यु-ह्वान लीकनेक्टिकट विश्वविद्यालय के गणितज्ञ ने हे के साथ काम करना शुरू किया। ओलिवर ने कहा, "हमने गणित का गंभीरता से अध्ययन करने के बजाय सिर्फ यह जानने के लिए ऐसा करने का फैसला किया कि मशीन लर्निंग क्या है।" "लेकिन हमने जल्द ही पाया कि आप बहुत सी चीज़ें मशीन से सीख सकते हैं।"

ओलिवर और ली ने सुझाव दिया कि वह जांच करने के लिए अपनी तकनीकें लागू करें L-कार्य, अनुक्रम के माध्यम से अण्डाकार वक्रों से निकटता से संबंधित अनंत श्रृंखला a_p. वे अण्डाकार वक्रों और उनसे संबंधित ऑनलाइन डेटाबेस का उपयोग कर सकते हैं L-फ़ंक्शंस को कहा जाता है एलएमएफडीबी उनके मशीन लर्निंग क्लासिफायर को प्रशिक्षित करने के लिए। उस समय डेटाबेस में परिमेय पर 3 मिलियन से कुछ अधिक अण्डाकार वक्र थे। अक्टूबर 2020 तक, उनके पास था एक पेपर जिससे प्राप्त जानकारी का उपयोग किया गया L-अण्डाकार वक्रों की एक विशेष संपत्ति की भविष्यवाणी करने का कार्य। नवंबर में उन्होंने साझा किया दूसरा पेपर जिसने संख्या सिद्धांत में अन्य वस्तुओं को वर्गीकृत करने के लिए मशीन लर्निंग का उपयोग किया। दिसंबर तक, वे सक्षम थे अण्डाकार वक्रों की श्रेणी की भविष्यवाणी करें उच्च सटीकता के साथ.

लेकिन वे निश्चित नहीं थे कि उनका मशीन लर्निंग एल्गोरिदम इतना अच्छा काम क्यों कर रहा है। ली ने अपने स्नातक छात्र एलेक्सी पॉज़्न्याकोव से यह देखने के लिए कहा कि क्या वह पता लगा सकता है कि क्या हो रहा है। जैसा कि होता है, एलएमएफडीबी कंडक्टर नामक मात्रा के अनुसार अण्डाकार वक्रों को क्रमबद्ध करता है, जो अभाज्य संख्याओं के बारे में जानकारी का सारांश देता है जिसके लिए एक वक्र अच्छा व्यवहार करने में विफल रहता है। इसलिए पॉज़्न्याकोव ने समान कंडक्टरों वाले बड़ी संख्या में वक्रों को एक साथ देखने की कोशिश की - मान लीजिए, 7,500 और 10,000 के बीच कंडक्टर वाले सभी वक्र।

यह कुल मिलाकर लगभग 10,000 वक्र था। इनमें से लगभग आधे की रैंक 0 थी, और आधे की रैंक 1 थी। (उच्च रैंक अत्यंत दुर्लभ हैं।) फिर उन्होंने मूल्यों का औसत निकाला a_p सभी रैंक 0 वक्रों के लिए, अलग-अलग औसत a_p सभी रैंक 1 वक्रों के लिए, और परिणाम प्लॉट किए। बिंदुओं के दो सेटों ने दो अलग-अलग, आसानी से पहचाने जाने योग्य तरंगें बनाईं। यही कारण है कि मशीन लर्निंग क्लासिफायर विशेष वक्रों की रैंक का सही ढंग से पता लगाने में सक्षम थे।

पॉज़्न्याकोव ने कहा, "पहले तो मुझे ख़ुशी हुई कि मैंने काम पूरा कर लिया।" "लेकिन क्यू-ह्वान ने तुरंत पहचान लिया कि यह पैटर्न आश्चर्यजनक था, और तभी यह वास्तव में रोमांचक बन गया।"

ली और ओलिवर मंत्रमुग्ध थे। ओलिवर ने कहा, "एलेक्सी ने हमें तस्वीर दिखाई, और मैंने कहा कि यह उस चीज़ की तरह दिखती है जो पक्षी करते हैं।" "और फिर क्यू-ह्वान ने इसे देखा और कहा कि इसे बड़बड़ाहट कहा जाता है, और फिर यांग ने कहा कि हमें पेपर को बुलाना चाहिए'अण्डाकार वक्रों की बड़बड़ाहट। ' "

उन्होंने अप्रैल 2022 में अपना पेपर अपलोड किया और इसे कुछ अन्य गणितज्ञों को भेज दिया, घबराहट से यह उम्मीद करते हुए कि उन्हें बताया जाएगा कि उनकी तथाकथित "खोज" सर्वविदित थी। ओलिवर ने कहा कि यह रिश्ता इतना स्पष्ट है कि इसे बहुत पहले ही नोटिस किया जाना चाहिए था।

लगभग तुरंत ही, प्रीप्रिंट ने विशेष रूप से रुचि जगाई एंड्रयू सदरलैंडएमआईटी के एक शोध वैज्ञानिक, जो एलएमएफडीबी के प्रबंध संपादकों में से एक हैं। सदरलैंड को एहसास हुआ कि 3 मिलियन अण्डाकार वक्र उसके उद्देश्यों के लिए पर्याप्त नहीं थे। वह यह देखने के लिए बहुत बड़ी कंडक्टर रेंज को देखना चाहता था कि बड़बड़ाहट कितनी मजबूत थी। उन्होंने लगभग 150 मिलियन अण्डाकार वक्रों के एक अन्य विशाल भंडार से डेटा निकाला। फिर भी असंतुष्ट होने पर, उन्होंने 300 मिलियन वक्रों के साथ एक अलग भंडार से डेटा निकाला।

सदरलैंड ने कहा, "लेकिन वे भी पर्याप्त नहीं थे, इसलिए मैंने वास्तव में एक अरब से अधिक अण्डाकार वक्रों के एक नए डेटा सेट की गणना की, और इसका उपयोग मैंने वास्तव में उच्च-रिज़ॉल्यूशन चित्रों की गणना करने के लिए किया।" बड़बड़ाहट से पता चला कि क्या वह एक समय में औसतन 15,000 से अधिक अण्डाकार वक्र बनाता था या एक समय में दस लाख से अधिक। जब उन्होंने बड़ी और बड़ी अभाज्य संख्याओं पर वक्रों को देखा तब भी आकार वही रहा, इस घटना को स्केल इनवेरिएंस कहा जाता है। सदरलैंड ने यह भी महसूस किया कि बड़बड़ाहट अण्डाकार वक्रों के लिए अद्वितीय नहीं है, बल्कि अधिक सामान्य रूप में भी दिखाई देती है L-कार्य। उन्होंने लिखा है उनके निष्कर्षों का सारांश देने वाला एक पत्र और इसे सरनाक को भेजा और माइकल रुबिनस्टीन वाटरलू विश्वविद्यालय में।

सदरलैंड ने लिखा, "अगर इसके लिए कोई ज्ञात स्पष्टीकरण है तो मुझे उम्मीद है कि आप इसे जान लेंगे।"

उन्होंने नहीं किया।

पैटर्न की व्याख्या

ली, हे और ओलिवर ने अगस्त 2023 में ब्राउन यूनिवर्सिटी के इंस्टीट्यूट फॉर कम्प्यूटेशनल एंड एक्सपेरिमेंटल रिसर्च इन मैथमेटिक्स (आईसीईआरएम) में बड़बड़ाहट पर एक कार्यशाला का आयोजन किया। सरनाक और रुबिनस्टीन आए, साथ ही सरनाक के छात्र भी आए नीना ज़ुब्रिलिना.

ज़ुब्रिलिना ने बड़बड़ाहट पैटर्न पर अपना शोध प्रस्तुत किया मॉड्यूलर रूप, विशेष जटिल कार्य, जो अण्डाकार वक्रों की तरह जुड़े हुए हैं L-कार्य। बड़े कंडक्टरों के साथ मॉड्यूलर रूपों में, बड़बड़ाहट एक सुस्पष्ट लेकिन बिखरे हुए पैटर्न के बजाय एक तेजी से परिभाषित वक्र में परिवर्तित हो जाती है। में एक पेपर 11 अक्टूबर, 2023 को पोस्ट की गई, ज़ुब्रिलिना ने साबित किया कि इस प्रकार की बड़बड़ाहट उसके द्वारा खोजे गए एक स्पष्ट सूत्र का पालन करती है।

“नीना की बड़ी उपलब्धि यह है कि उन्होंने इसके लिए एक फॉर्मूला दिया है; मैं इसे ज़ुब्रिलिना बड़बड़ाहट घनत्व सूत्र कहता हूं," सरनाक ने कहा। "बहुत परिष्कृत गणित का उपयोग करके, उसने एक सटीक सूत्र सिद्ध किया है जो डेटा पर पूरी तरह से फिट बैठता है।"

उसका सूत्र जटिल है, लेकिन सरनाक इसे एक महत्वपूर्ण नए प्रकार के फ़ंक्शन के रूप में देखता है, जो कि एयरी फ़ंक्शंस के बराबर है जो प्रकाशिकी से लेकर क्वांटम यांत्रिकी तक भौतिकी में विभिन्न संदर्भों में उपयोग किए जाने वाले अंतर समीकरणों के समाधान को परिभाषित करता है।

हालाँकि ज़ुब्रिलिना का फ़ॉर्मूला पहला था, दूसरों ने इसका अनुसरण किया है। "अब हर हफ्ते, एक नया पेपर निकलता है," सरनाक ने कहा, "मुख्य रूप से ज़ुब्रिलिना के उपकरणों का उपयोग करते हुए, बड़बड़ाहट के अन्य पहलुओं को समझाते हुए।"

जोनाथन बॉबर, एंड्रयू बुकर और मिन ली ब्रिस्टल विश्वविद्यालय के, साथ में डेविड लोरी-डूडा आईसीईआरएम ने मॉड्यूलर रूपों में एक अलग प्रकार की बड़बड़ाहट के अस्तित्व को साबित किया एक और अक्टूबर पेपर. और क्यू-ह्वान ली, ओलिवर और पॉज़्डन्याकोव अस्तित्व को सिद्ध किया वस्तुओं में होने वाली बड़बड़ाहट को डिरिचलेट वर्ण कहा जाता है, जो निकटता से संबंधित हैं L-कार्य।

सदरलैंड भाग्य की उस महत्वपूर्ण खुराक से प्रभावित थे जिसके कारण बड़बड़ाहट की खोज हुई। यदि अण्डाकार वक्र डेटा को कंडक्टर द्वारा आदेशित नहीं किया गया होता, तो बड़बड़ाहट गायब हो जाती। उन्होंने कहा, "वे एलएमएफडीबी से डेटा लेने के लिए भाग्यशाली थे, जो कंडक्टर के अनुसार पहले से क्रमबद्ध था।" “यह वही है जो एक अण्डाकार वक्र को संबंधित मॉड्यूलर रूप से जोड़ता है, लेकिन यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। ... दो वक्र जिनके समीकरण बहुत समान दिखते हैं, उनमें बहुत भिन्न कंडक्टर हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, सदरलैंड ने यह नोट किया y² = x³ - 11x + 6 में कंडक्टर 17 है, लेकिन ऋण चिह्न को धन चिह्न में बदलने पर, y² = x³ + 11x + 6 में कंडक्टर 100,736 है।

फिर भी, बड़बड़ाहट केवल पॉज़्डन्याकोव की अनुभवहीनता के कारण पाई गई। ओलिवर ने कहा, "मुझे नहीं लगता कि हम उसके बिना इसे पा पाते," क्योंकि विशेषज्ञ परंपरागत रूप से सामान्यीकरण करते हैं a_p पूर्ण मान 1 होना। लेकिन उसने उन्हें सामान्य नहीं किया... इसलिए दोलन बहुत बड़े और दृश्यमान थे।"

ऑलिवर ने कहा कि एआई एल्गोरिदम रैंक के आधार पर अण्डाकार वक्रों को क्रमबद्ध करने के लिए जिन सांख्यिकीय पैटर्न का उपयोग करता है, वे पैरामीटर स्पेस में सैकड़ों आयामों के साथ मौजूद होते हैं - लोगों के दिमाग में क्रमबद्ध करने के लिए बहुत सारे हैं, कल्पना करना तो दूर की बात है। हालाँकि, मशीन लर्निंग ने छिपे हुए दोलनों का पता लगा लिया, "केवल बाद में हमने उन्हें बड़बड़ाहट के रूप में समझा।"

संपादक का नोट: एंड्रयू सदरलैंड, क्यू-ह्वान ली और एल-फ़ंक्शंस और मॉड्यूलर फॉर्म डेटाबेस (एलएमएफडीबी) को सिमंस फाउंडेशन से धन प्राप्त हुआ है, जो इस संपादकीय स्वतंत्र प्रकाशन को भी वित्त पोषित करता है। सिमंस फाउंडेशन के फंडिंग निर्णयों का हमारे कवरेज पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अधिक जानकारी उपलब्ध है यहाँ उत्पन्न करें.