Un récent matin d'octobre, Rob Kirby se tenait devant une salle remplie de mathématiciens et leur a dit de ne pas se sentir liés par la façon dont il avait fait les choses dans le passé.

Depuis un demi-siècle Kirby, 85, a été une figure centrale de la topologie de basse dimension, l'étude des formes déformables. Outre d'importantes contributions à la recherche, il a publié en 1978 le première version de ce qui est devenu connu sous le nom de « liste de Kirby » – une collection de 80 problèmes ouverts qui ont contribué à définir le programme de recherche dans ce domaine au cours des prochaines décennies. Deux décennies plus tard, en 1997, il publia un deuxième ouvrage tout aussi influent version de la liste.

Les quelques dizaines de mathématiciens auxquels Kirby s'adressait s'étaient réunis au Institut américain de mathématiques (AIM) à Pasadena pour créer une troisième version de la liste. Non pas que tous les problèmes figurant sur les listes précédentes aient été résolus – la plupart ne l’ont pas été – mais beaucoup d’entre eux sont passés de mode. Bien que les mathématiques soient éternelles, ce domaine est pratiqué par des humains qui suivent les modes, et bon nombre des vieilles questions n'étaient plus considérées comme intéressantes.

"Nous pensons que certains sous-domaines sont prestigieux et d'autres que personne ne s'en soucie." dit Maggie Miller de l'Université du Texas à Austin, l'un des 14 rédacteurs de la liste.

La conférence a été conçue par Daniel Ruberman de l'Université Brandeis, qui avait été l'étudiant de Kirby au début des années 1980, et Inanç Baykur de l'Université du Massachusetts, qui était boursier postdoctoral sous Ruberman. Ils voulaient que la liste soit composée de problèmes difficiles et importants.

"Il devrait s'agir d'un problème suffisamment intéressant pour que si une solution était trouvée, elle aurait le potentiel de changer le domaine", a déclaré Miller. Baykur a ajouté : « Peut-être qu’un petit pourcentage pourra être résolu dans les deux à trois prochaines années. »

La manière dont les mathématiciens décident de ce qui est important a elle-même changé au cours du demi-siècle qui s'est écoulé depuis que Kirby a publié sa première liste. Même si la vérité ou la fausseté des conjectures individuelles est une question de vérité objective, classer leur importance est un processus social subjectif. Et ce processus est très différent dans le monde interconnecté d’aujourd’hui de ce qu’il était dans les années 1970. L’histoire de la nouvelle liste est l’histoire de ces changements.

Le début de la liste

La propre carrière de Kirby a commencé avec une liste de problèmes. En 1963, alors qu'il était étudiant diplômé à l'Université de Chicago, il assista à une conférence à Seattle où le mathématicien Jean Milnor a présenté une liste des sept problèmes ouverts les plus importants en topologie. Le dernier problème était la conjecture de l'anneau, selon laquelle les espaces entre deux sphères correctement définies prennent toujours la forme d'un anneau, qui est la région située entre deux cercles concentriques.

Cela est vrai pour les cercles et les boules tridimensionnelles normales, mais dans les dimensions supérieures – impliquant des paires de sphères de cinq ou six ou n’importe quel nombre de dimensions – des choses surprenantes se produisent. En 1969, alors qu'il était professeur adjoint à l'Université de Californie à Los Angeles, Kirby a prouvé que cela était vrai pour les dimensions cinq et plus, sous réserve de certaines restrictions (les sphères doivent être lisses dans un sens mathématique particulier).

Sur la base de ce résultat, l'UCLA l'a promu directement professeur titulaire et a doublé son salaire. Deux ans plus tard, il remporte le prestigieux Prix ​​Oswald Veblen en Géométrie. Kirby attribue ce succès en début de carrière en partie à l'existence de la liste Milnor, qui lui offrait une plus grande variété de projets parmi lesquels choisir que ce qu'il aurait reçu de la part de son entourage immédiat lors de ses études supérieures.

« Pour ceux qui aiment travailler sur des problèmes et ne veulent pas nécessairement faire ce que leur conseiller leur dit de faire, une liste de problèmes est précieuse », a-t-il déclaré.

Kirby a commencé à dresser sa première liste de problèmes en août 1976 lors d'une conférence de l'American Mathematical Society à l'Université de Stanford. Il a construit la liste au cours des deux années suivantes, grâce à des appels téléphoniques, des lettres et des conversations informelles avec des mathématiciens lors des conférences auxquelles il a assisté, et il l'a publiée sous la forme d'un article de revue détaillé en 1978.

Comme le dit Miller : « Il a simplement appelé au téléphone tous ceux qu’il connaissait. »

La liste contenait environ 80 problèmes organisés en cinq chapitres. Les quatre premiers chapitres portaient sur les nœuds unidimensionnels, les surfaces bidimensionnelles et les variétés tridimensionnelles et quadridimensionnelles (des espaces comme la surface d'une sphère qui semblent plats localement mais peuvent avoir une structure globale plus compliquée). Le cinquième chapitre concernait des problèmes divers. Bien que Kirby ait mené de nombreuses consultations pour dresser la liste, le produit final était incontestablement le sien.

"J'étais plus inclusif qu'exclusif", a déclaré Kirby, mais a ajouté : "J'étais à peu près l'arbitre final."

La deuxième liste

La fin des années 1970 était une période propice pour créer une liste de problèmes en topologie. Le domaine était petit au début de la décennie et a explosé au cours des dix années suivantes. En 10 Michael Freedman résolu une version quadridimensionnelle de la conjecture de Poincaré dans un preuve monumentale cela prendrait des années à digérer. (La conjecture demande si les objets mathématiques qui ressemblent à des sphères doivent en fait être des sphères. La réponse, a prouvé Freedman, est oui.) Un an plus tard, William Thurston a publié la conjecture de géométrisation, qui classe certaines structures topologiques en catégories géométriques. La conjecture a directement intégré les outils de l’analyse (une forme avancée de calcul) à la topologie. Cette même année Simon Donaldson a introduit la géométrie différentielle (qui combine le calcul et la géométrie) dans le domaine avec ses travaux sur les variétés à quatre dimensions.

« Il est difficile de décrire la rapidité avec laquelle les progrès ont été réalisés. C’était l’une de ces grandes périodes mathématiques, avec une révolution après l’autre », a déclaré Ruberman.

En raison de toute cette activité, la liste de Kirby était presque obsolète en quelques années. Mais dresser des listes de problèmes n’était pas la principale occupation de Kirby. Ce n'est qu'à l'occasion d'une conférence à l'Université de Géorgie à l'été 1993 qu'il décida de réviser la liste.

Kirby a commencé à collecter les problèmes lors de la conférence et a continué son travail par courrier électronique, ce qui n'était pas courant lorsqu'il avait dressé la première liste. En conséquence, la liste s’est étalée. La liste finale contenait 415 problèmes et a été publiée sous forme de livre en 1997. Une fois la troisième liste lancée, le deuxième effort est devenu rétroactivement connu sous le nom de K2, comme dans la deuxième version de la liste de Kirby, et aussi comme un clin d'œil à la deuxième. -la plus haute montagne du monde. Le format élargi a contribué à consolider la deuxième version de la liste en tant que pierre de touche et tableau de bord. Résoudre un problème de Kirby permet aux jeunes mathématiciens de se faire remarquer.

"Si vous écrivez une lettre de recommandation pour quelqu'un et qu'il a résolu un problème avec Kirby, vous le mentionnez dans votre lettre", a déclaré Jean Baudouin, un mathématicien du Boston College qui a participé à l'atelier et aide à éditer la liste.

Rayon Arunima" pour avoir une idée des grands problèmes qui intéressent les gens.

Bien entendu, les décisions sur ce qui est important sont influencées par la personne présente dans la salle qui prend ces décisions. Les listes Kirby reflètent une philosophie pédagogique issue de la vision sociopolitique du monde de Kirby. Il se décrit comme un libéral classique et cite le philosophe britannique du XIXe siècle John Stuart Mill comme une influence importante sur sa pensée.

« Les libéraux classiques croyaient vraiment à la liberté, à la liberté d'expression et à la légèreté du gouvernement, c'est donc en quelque sorte mon point de vue », a-t-il déclaré. « D’une certaine manière, cela revient à ne pas dire à mes élèves quoi faire. C'est un peu leur laisser carte blanche.»

Kirby insuffle ces convictions dans sa façon de penser et de parler de la communauté mathématique. En 2021, avec plus de 1,000 XNUMX autres professionnels mathématiques et scientifiques basés en Californie, il a cosigné un lettre ouverte critiquant la proposition de l'État d'adopter un nouveau programme de mathématiques de la maternelle à la 12e année qui aurait placé les considérations de justice sociale plus centrales dans la manière dont l'État enseigne cette matière. La proposition californienne a été soumise critiques considérables dans la communauté mathématique pour, entre autres choses, limiter la disponibilité des cours avancés et pour minimiser les cours de pré-calcul au profit de la « science des données ».

Kirby a toujours été sceptique quant à l'existence de préjugés structurels en mathématiques, notamment en ce qui concerne le déséquilibre entre les sexes dans ce domaine. Dans les années 1970, environ 10 % des mathématiciens étaient des femmes ; aujourd'hui, près de 30 % le sont, selon une étude 2020 rapport par le Conseil scientifique international.

In un article qu'il a écrit dans les années 1990, et qui a été soumis pour publication dans le Avis de l'American Mathematical Society mais jamais publié, Kirby a fait valoir que ces chiffres lamentables n'étaient pas le résultat d'un quelconque parti pris sur le terrain. "À mon avis, le plus petit nombre de femmes en mathématiques n'est pas dû à la discrimination des hommes ni à une infériorité inhérente aux femmes, mais plutôt au simple fait que plus d'hommes que de femmes choisissent d'entrer en mathématiques", a écrit Kirby.

Pour de nombreux mathématiciens, le fait que peu de femmes entrent dans ce domaine est tout sauf un simple fait. "Les preuves suggèrent qu'il y a ici un effet de rétroaction : comme il y a si peu de femmes professeurs, les étudiantes ne peuvent pas voir un cheminement de carrière clair à travers les mathématiques, elles décident donc de ne pas poursuivre de doctorat." a écrit quatre éminentes mathématiciennes en 2022 dans le Supplément Times Higher Education. Comme le dit le rapport du Conseil international des sciences, après avoir analysé un ensemble de données de centaines de milliers d’articles mathématiques publiés, « divers facteurs structurels et systémiques ont dû affecter la carrière des mathématiciennes d’une manière différente de celle des hommes ».

Les vues de Kirby sont bien connues au sein de la communauté de la topologie de basse dimension. J'ai demandé à Kirby s'il pensait que cela rendait plus difficile la participation des femmes à des contextes comme la récente conférence où il avait un rôle de premier plan. Il a répondu qu'il ne le savait pas car, à l'exception d'un mathématicien, personne ne lui en avait jamais parlé.

Ray, responsable de l'égalité des sexes à l'Institut Max Planck, a déclaré : « Je ne pense pas que cela ait influencé l'ambiance de la conférence. Je pense que cela façonne la façon dont il est perçu dans le domaine des mathématiques, mais je pense qu'en général, nous séparons les mathématiques du mathématicien.

Un effort communautaire

Tout comme après K1, la topologie de basse dimension a progressé rapidement après la sortie de K2. Un développement majeur a été l’élaboration de la théorie de Seiberg-Witten, qui utilisait des idées issues de la physique pour distinguer les variétés à quatre dimensions. À la fin des années 2000, la liste Kirby était à nouveau prête à être mise à jour.

"Le fait est que le domaine est devenu beaucoup plus vaste depuis les années 1990, il est devenu énorme", a déclaré Baykur.

Cette fois, l'impulsion en faveur de la création d'une nouvelle liste est venue de Ruberman et Baykur. Ils ont commencé à collecter les problèmes vers 2013. Mais entre leurs autres obligations et la pandémie, ce n'est qu'en octobre 2023 qu'ils ont réussi à réunir un groupe de topologues pour se rencontrer en personne. Ils voulaient que la troisième version de la liste soit davantage un effort communautaire.

"La liste initiale était merveilleuse, je suis très heureux qu'elle soit là, mais ce nouveau format est louable car il rend les choses un peu plus ouvertes", a déclaré Ray.

Fin 2022, Kirby a rejoint Baykur et Ruberman en tant que co-organisateur de la conférence. Ils ont invité des experts des principaux domaines de la topologie de basse dimension – correspondant à la même structure en cinq chapitres que Kirby avait utilisée dans les versions précédentes de la liste – mais ont essayé d'éviter d'inviter autant de spécialistes que personne n'avait rien en commun avec les autres.

Baykur et Ruberman ont fait l'essentiel de l'organisation tandis que Kirby a assumé davantage un rôle de titulaire.

« C'est un peu comme le bébé de Rob, vous savez, comme s'il était émotionnellement responsable. Mais Danny et Inanç se sont occupés de toute la logistique », a déclaré Miller.

Lundi 30 octobre, le groupe a commencé à travailler sur la liste K3 (comme on l'appelle pour des raisons évidentes et aussi en référence aux surfaces K3, qui sont des objets importants en topologie).

La liste reflète la façon dont la topologie de basse dimension s'est développée depuis K2. Au début des années 1990, les travaux d'Andreas Floer ont donné naissance à de nouvelles méthodes de tri des variétés tridimensionnelles. À la fin de cette décennie, ces méthodes se sont transformées en un domaine d’étude complet, l’homologie de Heegaard Floer, et dans ce domaine, il existe désormais un certain nombre d’approches différentes pour distinguer les variétés. Ces approches devraient toutes être cohérentes les unes avec les autres, mais on ne sait pas avec certitude si elles le sont, et K3 inclura des questions visant à régler le problème.

Kirby a installé son camp dans la salle de conférence principale où les mathématiciens se réunissaient chaque matin, évitant pour la plupart les séances de brainstorming. Le mardi matin Dave Gabaï de l'Université de Princeton a donné une conférence à l'ensemble du groupe sur les liens entre la conjecture de Schoenflies et la conjecture de Poincaré, sans doute les deux problèmes ouverts les plus importants en topologie lisse à quatre dimensions.

La conjecture de Schoenflies a une saveur similaire à la conjecture de l'anneau sur laquelle Kirby a travaillé dans les années 1960. Il prédit que si deux sphères diffèrent d'une dimension (comme un cercle par rapport à la surface d'une balle) et que vous intégrez celle de dimension inférieure (le cercle) dans celle de dimension supérieure (la surface d'une balle), la première coupe toujours cette dernière en l'équivalent de deux boules. Cela est clairement vrai lorsque vous gravez un cercle sur un globe (comme pour former l'équateur), mais comme pour la conjecture de l'anneau, c'est moins clairement vrai dans les dimensions supérieures.

Kirby a ensuite retrouvé Gabai et les deux ont parlé pendant des heures des implications du discours de Gabai. À d'autres moments de la semaine, Kirby a passé du temps à envoyer des courriers électroniques à son vaste réseau de la communauté mathématique pour obtenir des contributions à la liste.

"D'une certaine manière, c'était assez similaire à ce qu'il avait fait dans les listes précédentes", a déclaré Ruberman. « Il n'avait pas tendance à entrer autant dans les chambres. [Hed] envoyait des e-mails aux gens pour leur dire : « Quelqu'un à l'atelier a dit ceci, qu'en pensez-vous ? »

La salle de guerre

Au cours des deux derniers jours de la conférence, Baykur et Ruberman ont demandé aux participants de rédiger les problèmes qu'ils avaient compilés. C'était comme une salle de crise, alors que les mathématiciens se précipitaient pour rédiger des résumés des problèmes qu'ils avaient résolus avant leur vol de retour.

"C'était vraiment comme si vous étiez à l'université et que vous aviez des devoirs à rendre le lendemain, et que tout le monde dans la classe était dans une pièce et qu'il était 2 heures du matin", a déclaré Miller.

Un document partagé dans lequel les mathématiciens compilaient la liste était presque vide jeudi matin, mais s'est rapidement développé avec des dizaines de mathématiciens qui l'éditaient en même temps. Vendredi, la liste des problèmes comptait plus de 250 pages. L'expérience tourbillonnante était presque méconnaissable par rapport aux deux efforts précédents de Kirby.

« Cela m’a fait me sentir vieux dans le sens où, à l’époque où je faisais du K2, je le faisais sur une période de deux à trois ans. Je m'asseyais avec une personne et nous écrivions en quelque sorte le problème ensemble », a déclaré Kirby. "Avec K3, je n'ai été impliqué que dans un nombre modeste de problèmes."

Baykur et Ruberman espèrent publier une liste de quelque 400 problèmes d'ici la fin de l'année, après révisions et ajouts de topologues absents à la réunion de Pasadena. Baykur, Ruberman et les autres rédacteurs débattent encore de la fréquence à laquelle mettre à jour la liste. Ils pourraient prolonger la durée de conservation de K3 en gardant une version en ligne à jour, mais ils y voient des inconvénients. Les deux premières listes, a déclaré Baykur, « étaient des documents historiques et il était extrêmement instructif de voir comment ils voyaient les choses dans les années 1970 et 1990 et comment ils pensaient les mathématiques. Je voulais avoir un document contemporain similaire.