Claire Voisin a mis du temps à tomber amoureuse des mathématiques.

Cela ne veut pas dire qu’elle n’a jamais aimé le sujet. Ayant grandi en France – la dixième de 10 enfants – elle aimait passer des heures à résoudre des problèmes de mathématiques avec son père, ingénieur. À l’âge de 12 ans, elle avait commencé à lire seule un manuel d’algèbre au lycée, fascinée par les définitions et les preuves présentées dans ses pages. « Il y avait toute cette structure », a-t-elle déclaré. "L'algèbre est en réalité une théorie des structures."

Mais elle ne considérait pas les mathématiques comme une vocation à vie. Ce n'est que pendant ses années universitaires qu'elle a compris à quel point cela pouvait être profond et beau – et qu'elle était capable de faire de nouvelles découvertes. Jusque-là, elle poursuivait sérieusement plusieurs intérêts autres que les mathématiques : la philosophie, la peinture et la poésie. ("Quand j'avais 20 ans, je pense que je ne faisais que des mathématiques et de la peinture. C'était peut-être un peu excessif", a-t-elle ri.) Au début de la vingtaine, les mathématiques englobaient tout le reste. Mais la peinture et la poésie continuent de l’influencer. Elle considère les mathématiques comme un art – et comme un moyen de repousser et de jouer avec les limites mêmes du langage.

Des décennies plus tard, après être devenu un leader dans le domaine de la géométrie algébrique, Voisin a retrouvé le temps de peindre et de réaliser des sculptures en argile. Pourtant, les mathématiques continuent d’occuper l’essentiel de son attention ; elle préfère passer son temps à explorer ce « monde différent » où « c'est comme si on rêvait ».

Voisin est chercheur principal au Centre national de la recherche scientifique à Paris. Là, elle étudie les variétés algébriques, qui peuvent être considérées comme des formes définies par des ensembles d'équations polynomiales, de la même manière qu'un cercle est défini par le polynôme x² + y² = 1. Elle est l'une des plus grandes expertes au monde en théorie de Hodge, une boîte à outils que les mathématiciens utilisent pour étudier les propriétés clés des variétés algébriques.

Voisin a remporté de nombreux prix pour ses travaux, notamment le Clay Research Award en 2008, le prix Heinz Hopf en 2015 et le prix Shaw de mathématiques en 2017. En janvier, elle est devenue la première femme à recevoir le prix Crafoord en XNUMX. Mathématiques.

Quanta s'est entretenu avec Voisin sur la nature créative des mathématiques. L'interview a été condensée et éditée pour plus de clarté.

Vous aimiez les mathématiques lorsque vous étiez enfant, mais vous ne vous voyiez pas les poursuivre. Pourquoi pas?

Il y a la magie d'une preuve – l'émotion que vous ressentez lorsque vous la comprenez, lorsque vous réalisez à quel point elle est forte et à quel point elle vous rend fort. Quand j'étais enfant, je pouvais déjà voir cela. Et j’ai apprécié la concentration que nécessitent les mathématiques. C'est quelque chose qu'en vieillissant, je trouve de plus en plus central dans la pratique des mathématiques. Le reste du monde disparaît. Tout votre cerveau existe pour étudier un problème. C'est une expérience extraordinaire, qui me tient à cœur : se forcer à quitter le monde des choses pratiques, à habiter un monde différent. C'est peut-être pour cela que mon fils aime tant jouer aux jeux vidéo.

Mais ce qui a fait de moi un retardataire dans les mathématiques, dans un certain sens, c’est que les jeux ne m’intéressent absolument pas. Ce n'est pas pour moi. Et au lycée, les mathématiques ressemblaient à un jeu. C'était difficile pour moi de prendre cela au sérieux. Au début, je n'ai pas vu la profondeur des mathématiques. Même lorsque j’ai commencé à découvrir des preuves et des théorèmes très intéressants après le lycée, à aucun moment je n’ai pensé que je pourrais inventer quelque chose moi-même, que je pourrais me l’approprier.

J'avais besoin de quelque chose de plus profond, de plus sérieux, de quelque chose que je pourrais faire mien.

Avant de trouver ça en mathématiques, où l’as-tu cherché ?

J'ai apprécié la philosophie et son insistance sur la notion de concept. Aussi, jusqu’à mes 22 ans environ, j’ai passé beaucoup de temps à peindre, notamment des pièces figuratives inspirées de la géométrie. Et j'aimais beaucoup la poésie, l'œuvre de Mallarmé, Baudelaire, René Char. Je vivais déjà dans un monde en quelque sorte différent. Mais c'est normal, je pense, quand on est plus jeune.

Mais les mathématiques sont devenues de plus en plus importantes. Cela prend vraiment tout votre cerveau. Lorsque vous n’êtes pas à votre bureau pour travailler sur un problème spécifique, votre esprit est toujours occupé. Donc plus je faisais de mathématiques, moins je peignais. Je n'ai recommencé à peindre que récemment, maintenant que mes enfants ont tous quitté la maison et que j'ai beaucoup plus de temps.

Qu’est-ce qui vous a finalement décidé à consacrer l’essentiel de votre énergie créatrice aux mathématiques ?

Les mathématiques m'intéressaient de plus en plus. En tant que maîtrise et doctorat. étudiant, j'ai découvert que les mathématiques du 20ème siècle étaient quelque chose de très profond et d'extraordinaire. C'était un monde d'idées et de concepts. En géométrie algébrique, il y a eu la fameuse révolution menée par Alexandre Grothendieck. Même avant Grothendieck, les résultats étaient incroyables. C'est donc un domaine récent, avec des idées belles mais aussi extrêmement puissantes. La théorie de Hodge, que j’étudie, en faisait partie.

Il devenait de plus en plus clair que ma vie était là. Bien sûr, j’avais une vie de famille – un mari et cinq enfants – et d’autres tâches et activités. Mais j’ai réalisé qu’avec les mathématiques, je pouvais créer quelque chose. Je pourrais y consacrer ma vie, parce que c'était si beau, si spectaculaire, si intéressant.

Vous avez déjà écrit sur le fait que les mathématiques sont une entreprise créative.

Je suis mathématicien professionnel, ma journée de travail est donc officiellement organisée autour des mathématiques. Je suis assis à un bureau; Je travaille sur un ordinateur. Mais la plupart de mes activités mathématiques ne se déroulent pas pendant cette période. Vous avez besoin d’une nouvelle idée, d’une bonne définition, d’un énoncé que vous pensez pouvoir exploiter. Ce n’est qu’alors que votre travail pourra commencer. Et cela n’arrive pas lorsque je suis à mon bureau. J'ai besoin de suivre mon esprit, de continuer à réfléchir.

Il semble que les mathématiques soient profondément personnelles pour vous. Avez-vous découvert quelque chose sur vous-même au cours de ce processus ?

En faisant des mathématiques, la plupart du temps, je dois en quelque sorte me battre contre moi-même, car je suis très désordonné, je ne suis pas très discipliné et j'ai aussi tendance à devenir déprimé. Je ne trouve pas que ce soit facile. Mais ce que j’ai découvert, c’est qu’à certains moments – comme le matin au petit-déjeuner, ou lorsque je me promène dans les rues de Paris ou que je fais quelque chose d’insensé comme faire le ménage – mon cerveau se met à fonctionner tout seul. Je me rends compte que je pense aux mathématiques, sans en avoir l’intention. C'est comme si tu rêvais. J'ai 62 ans et je n'ai pas vraiment de méthode pour faire de bonnes mathématiques : j'attends encore plus ou moins le moment où je trouverai un peu d'inspiration.

Vous travaillez avec des objets très abstraits – avec des espaces de grande dimension, avec des structures qui satisfont des équations complexes. Que pensez-vous d’un monde aussi abstrait ?

Ce n'est pas si difficile, en fait. La définition la plus abstraite, une fois qu’on la connaît, n’est plus abstraite. C'est comme une belle montagne que l'on voit très bien, car l'air est très clair et il y a de la lumière qui permet de voir tous les détails. Pour nous, les objets mathématiques que nous étudions semblent concrets, car nous les connaissons bien mieux que toute autre chose.

Bien sûr, il y a beaucoup de choses à prouver, et lorsque vous commencez à apprendre quelque chose, vous risquez de souffrir à cause de l'abstraction. Mais quand on utilise une théorie — parce qu’on en comprend les théorèmes — on se sent en fait très proche des objets en question, même s’ils sont abstraits. En apprenant à connaître les objets, en les manipulant et en les utilisant dans des arguments mathématiques, ils finissent par devenir vos amis.

Et cela nécessite aussi de les voir sous des angles différents ?

Au départ, je n'ai pas étudié la géométrie algébrique. J'ai travaillé en géométrie analytique et différentielle complexe. En géométrie analytique, vous étudiez une classe beaucoup plus large de fonctions et les formes définies localement par ces fonctions. Ils n'ont généralement pas d'équation globale, contrairement à la géométrie algébrique.

Au début, je n'ai pas prêté trop attention au point de vue algébrique. Mais plus je vieillis et plus je travaille dans ce domaine, plus je vois la nécessité d'avoir ces deux langues différentes.

Il existe un théorème incroyable, appelé GAGA, qui est un peu une blague ; cela signifie « sénile » en français, mais cela signifie aussi géométrie algébrique et géométrie analytique. Il dit qu'on peut passer d'une langue à l'autre. Vous pouvez faire un calcul en géométrie analytique complexe si c'est plus simple, puis revenir à la géométrie algébrique.

D’autres fois, la géométrie algébrique vous donne la possibilité d’étudier une version différente d’un problème qui peut donner des résultats extraordinaires. J'ai travaillé à comprendre la géométrie algébrique dans son ensemble, plutôt que de me concentrer uniquement sur son côté géométrie complexe.

Il est intéressant que vous les considériez comme des langages mathématiques différents.

La langue est essentielle. Avant les mathématiques, il y a le langage. Une grande partie de la logique est déjà présente dans le langage. Nous avons toutes ces règles logiques en mathématiques : quantificateurs, négations, parenthèses pour indiquer le bon ordre des opérations. Mais il est important de réaliser que toutes ces règles vitales pour les mathématiciens sont déjà dans notre langage courant.

Vous pourriez comparer un théorème mathématique à un poème. C’est écrit avec des mots. C'est un produit du langage. Nous n’avons nos objets mathématiques que parce que nous utilisons le langage, parce que nous utilisons des mots du quotidien et leur donnons un sens précis. Vous pouvez donc comparer la poésie et les mathématiques, dans la mesure où elles s’appuient toutes deux entièrement sur la langue tout en créant quelque chose de nouveau.

Vous avez été attiré par les mathématiques à cause de la révolution de Grothendieck en géométrie algébrique. Il a essentiellement créé un nouveau langage pour effectuer ce type de mathématiques.

Droite.

Y a-t-il des façons dont le langage mathématique que vous utilisez actuellement pourrait encore devoir changer ?

Les mathématiciens retravaillent constamment leur langage. C'est dommage, car cela rend les journaux plus anciens assez difficiles à lire. Mais nous retravaillons les mathématiques du passé parce que nous les comprenons mieux. Cela nous donne une meilleure façon d’écrire et de prouver des théorèmes. Ce fut le cas de Grothendieck, avec son application de la cohomologie des gerbes à la géométrie. C'est vraiment spectaculaire.

Il est important de se familiariser avec l'objet que vous étudiez, au point que pour vous, c'est comme une langue maternelle. Lorsqu’une théorie commence à se former, il faut du temps pour trouver les bonnes définitions et tout simplifier. Ou peut-être que c'est encore très compliqué, mais que nous nous familiarisons beaucoup plus avec les définitions et les objets ; il devient plus naturel de les utiliser.

C'est une évolution continue. Nous devons constamment réécrire et simplifier, théoriser sur ce qui est important, sur les outils à mettre à disposition.

Avez-vous dû introduire de nouvelles définitions dans votre travail ?

Parfois. Dans le travail que j'ai fait avec János Kollár, il y a eu un tournant où nous avons finalement pu trouver la bonne vision du problème – à travers une certaine définition. C'était un problème très classique, et nous avons travaillé avec des outils classiques, mais notre preuve reposait en réalité sur cette définition que nous avions établie.

Dans un autre cas, Olivier Débarré, Daniel Huybrechts, Emanuele Macri et je me suis montré gentil résultat du classement sur les objets appelés variétés hyper-Kähler. Et le point de départ de cette preuve a été l’introduction d’un invariant, que nous avons appelé à l’origine «a.”[des rires.]

Vous pourriez sous-estimer l’importance des définitions en mathématiques, mais vous ne devriez pas le faire.

Les définitions et le langage ne sont pas les seules forces directrices en mathématiques. Il en va de même pour les conjectures, qui peuvent être vraies ou non. Par exemple, vous avez beaucoup travaillé sur la conjecture de Hodge, un problème du millénaire de Clay dont la solution s'accompagne d'un 1 million de dollars de récompense.

Supposons que vous souhaitiez comprendre une variété algébrique. Vous passez donc du côté de la géométrie analytique complexe et la considérez plutôt comme ce qu’on appelle une variété complexe. Vous pouvez penser à une variété complexe en termes de forme globale ou de topologie. Il existe un objet, appelé homologie, qui vous donne de nombreuses informations topologiques sur la variété. Mais ce n’est pas si simple à définir.

Considérons maintenant les sous-variétés algébriques à l’intérieur de votre variété originale. Chacun aura un invariant topologique, certaines informations topologiques qui lui seront associées. Quelle partie de l'homologie de la variété complexe peut être obtenue en examinant ces invariants topologiques ?

La conjecture de Hodge donne une réponse spécifique. Et la réponse est très subtile.

Les mathématiciens ne savent donc pas si la conjecture de Hodge finira par être vraie ou fausse ?

Vous voulez croire à la conjecture de Hodge, car elle constitue un guide pour les principales théories de la géométrie algébrique.

Vous aimeriez vraiment comprendre les principales propriétés d'une variété algébrique. Et si la conjecture de Hodge est vraie, cela vous donnerait un contrôle incroyable sur la géométrie de votre variété. Vous obtiendrez des informations très importantes sur la structure des variétés.

Il y a de bonnes raisons d’y croire. Des cas particuliers de la conjecture de Hodge sont connus. Et il existe de nombreuses déclarations profondes sur les variétés algébriques qui suggèrent que la conjecture de Hodge est vraie.

Mais il y a eu un manque presque total de progrès pour le prouver. J'ai également prouvé qu'il n'y a aucun moyen d'étendre la conjecture de Hodge à un autre contexte où cela semblerait naturel. Donc ça a été un peu un choc.

Après des décennies de travail en tant que mathématicien, avez-vous l'impression de faire des mathématiques encore plus profondément maintenant ?

Maintenant que je suis plus âgé, j'ai beaucoup plus de temps pour consacrer mon énergie aux mathématiques, pour y être vraiment présent. J'ai aussi une meilleure capacité à aller ici et là. Dans le passé, peut-être parce que j'avais moins de temps, j'avais moins de mobilité – même si être trop mobile, se contenter d'aborder les problèmes sans s'y tenir, n'est pas non plus une bonne chose. Maintenant, je suis plus expérimenté et je peux me forger ma propre image.

Vous avez une bien meilleure idée de ce que vous ne connaissez pas, des problèmes ouverts. Vous avez une vue détaillée de votre champ et de ses limites. Il doit y avoir certains bons aspects du vieillissement. Et il y a encore tellement de choses à faire.