Dispersez trois points dans un plan, puis mesurez les distances entre chaque paire d'entre eux. Selon toute vraisemblance, vous trouverez trois distances différentes. Mais si vous disposez les points dans un triangle équilatéral, alors chaque distance est la même. Dans un avion, cela est impossible à faire avec quatre points. Le plus petit nombre de distances que vous pouvez créer est de 2 : les bords et les diagonales d'un carré.

Mais si vous soulevez l'un des points du plan pour créer une pyramide dont chacun des côtés est un triangle équilatéral, vous obtiendrez un ensemble de quatre points séparés par une seule distance unique - la longueur d'un côté de le triangle.

Si vous avez beaucoup de points, ces schémas deviennent encore plus prononcés. Une centaine de points dispersés aléatoirement dans un plan sont susceptibles de définir 4,950 100 distances distinctes par paires. Mais si vous disposez 50 points sur une grille plate et carrée, n’importe quelle paire de points sera séparée par l’une des XNUMX distances possibles. Soulevez les points dans une grille tridimensionnelle et vous pourrez réduire encore plus ce nombre.

Répondre à des questions sur le nombre de distances entre des points peut ressembler à un exercice ésotérique. Mais au cours des décennies de recherche visant à résoudre de tels problèmes, les mathématiciens ont développé des outils qui ont un large éventail d'autres applications, de la théorie des nombres à la physique.

"Quand les gens essayaient de résoudre le problème", a déclaré Pablo Chmerkin de l’Université de la Colombie-Britannique, « ils ont commencé à découvrir des liens surprenants et inattendus ».

Le dernier développement est survenu à la fin de l'année dernière, lorsqu'une collaboration de quatre mathématiciens prouvé une nouvelle relation entre la géométrie des ensembles de points et les distances qui les séparent.

La liste des différentes distances déterminées par un ensemble de points est appelée son ensemble de distances ; comptez le nombre de nombres dans cette liste et vous obtenez la taille de l'ensemble de distances. En 1946, le prolifique mathématicien Paul Erdős a émis l'hypothèse que pour un grand nombre de points, la distance définie ne peut pas être inférieure à celle obtenue lorsque vous disposez les points dans une grille. Le problème, bien que simple à première vue, s’est avéré extrêmement profond et difficile. Même en deux dimensions, cela n'a pas encore été pleinement prouvé, même si en 2010, deux mathématiciens je suis devenu si proche qu'elle est désormais considérée comme effectivement réglée ; il reste ouvert dans les dimensions supérieures.

Pendant ce temps, les mathématiciens ont également formulé de nouvelles versions de la conjecture. L'un des plus importants d'entre eux s'est produit dans un papier 1985 by Kenneth Falconer, mathématicien à l'Université de St. Andrews en Écosse. Falconer se demandait ce qu'on pouvait dire des distances distinctes entre un nombre infini de points.

Si vous disposez d’une infinité de points, le simple fait de compter n’est plus très utile. Mais les mathématiciens disposent d’autres moyens de définir la taille. La conjecture de Falconer postule une relation entre la géométrie de l'ensemble des points — caractérisé par un nombre appelé dimension fractale — et la taille de l'ensemble des distances, caractérisée par un nombre appelé mesure.

La dimension fractale s'aligne sur l'intuition ordinaire concernant les dimensions. Tout comme le concept plus familier de dimension, un segment de ligne a une dimension fractale de 1, tandis qu'un carré (avec son intérieur rempli) a une dimension fractale de 2. Mais si un ensemble de points forme un motif fractal plus compliqué — comme une courbe où des rebondissements microscopiques continuent d’apparaître, quelle que soit la distance à laquelle vous zoomez – sa dimension fractale n’est peut-être pas un nombre entier. Par exemple, la courbe de flocon de neige de Koch illustrée ci-dessous, qui présente une série infinie de bosses triangulaires de plus en plus petites, a une dimension d'environ 1.26.

En général, une collection infinie de points a une dimension fractale qui dépend approximativement de son degré de dispersion. S'il est réparti autour du plan, sa dimension fractale sera proche de 2. S'il ressemble davantage à une ligne, sa dimension fractale sera proche de 1. Les mêmes types de structures peuvent être définies pour des ensembles de points dans un espace tridimensionnel. , ou dans des dimensions encore plus élevées.

De l’autre côté de la conjecture de Falconer se trouve la mesure de la distance définie. La mesure est une sorte de généralisation mathématique de la notion de longueur. Un nombre unique, qui peut être représenté par un point sur une droite numérique, a une mesure nulle. Mais même des ensembles infinis peuvent avoir une mesure nulle. Par exemple, les entiers sont si finement dispersés parmi les nombres réels qu’ils n’ont pas de « longueur » collective et forment ainsi un ensemble de mesure zéro. D'un autre côté, les nombres réels compris entre, disons, 3/4 et 1 mesurent 1/4, car c'est la longueur de l'intervalle.

La mesure permet de caractériser la taille de l'ensemble des distances distinctes entre une infinité de points. Si le nombre de distances est « petit », cela signifie que la distance définie aura une mesure nulle : il y a beaucoup de distances dupliquées. Si, en revanche, la distance définie a une mesure supérieure à zéro, cela signifie qu'il existe de nombreuses distances différentes.

En deux dimensions, Falconer a prouvé que tout ensemble de points de dimension fractale supérieure à 1.5 a une distance définie avec une mesure non nulle. Mais les mathématiciens en sont rapidement venus à croire que cela était vrai pour tous les ensembles ayant une dimension fractale supérieure à 1. « Nous essayons de résoudre cet écart de moitié », a déclaré Yumeng Ou de l'Université de Pennsylvanie, l'un des co-auteurs du nouvel article. De plus, la conjecture de Falconer s'étend à trois dimensions ou plus : pour les points dispersés dans un d-espace dimensionnel, il indique que si la dimension fractale des points est supérieure à d / 2, alors la mesure de la distance définie doit être supérieure à 0.

En 2018, Ou, avec ses collègues, a montré que la conjecture est valable en deux dimensions pour tous les ensembles dont la dimension fractale est supérieure à 5/4. Maintenant Ou — avec Xiumin Du de l'Université Northwestern, Ruixiang Zhang de l'Université de Californie, Berkeley, et Kévin Ren de l'Université de Princeton - ont prouvé que dans des dimensions supérieures, le seuil pour garantir une distance fixée avec une mesure non nulle est un peu plus petit que d/2 + 1/4. "Les limites dans les dimensions supérieures, dans cet article, sont, pour la première fois, meilleures que dans la dimension 2", a déclaré Shmerkin. (En deux dimensions, le seuil est précisément d/2 + 1/4.)

Ce dernier résultat n’est qu’un parmi une vague des avancées récentes on La conjecture de Falconer. La preuve a affiné les techniques d’analyse harmonique – un domaine mathématique apparemment lointain qui traite de la représentation de fonctions arbitrairement compliquées en termes d’ondes simples – pour renforcer la limite. Mais certaines de ces techniques ont d’abord été développées pour résoudre ce même problème.

Cette question sur les distances entre les points « a servi de terrain de jeu à certaines des plus grandes idées en analyse harmonique », a déclaré Alex Iosevitch de l'Université de Rochester.

Bien qu'ils n'aient comblé que la moitié de l'écart laissé par Falconer dans son article de 1985, les mathématiciens considèrent la récente vague de travaux comme la preuve que la conjecture complète pourrait enfin être à portée de main. En attendant, ils continueront à utiliser le problème comme terrain d’essai pour leurs outils les plus sophistiqués.