Des processus aléatoires se produisent tout autour de nous. Il pleut un jour mais pas le lendemain ; les actions et les obligations gagnent et perdent de la valeur ; les embouteillages fusionnent et disparaissent. Parce qu’ils sont régis par de nombreux facteurs qui interagissent les uns avec les autres de manière complexe, il est impossible de prédire le comportement exact de ces systèmes. Au lieu de cela, nous les considérons en termes de probabilités, qualifiant les résultats de probables ou rares.

Aujourd'hui, le théoricien français des probabilités Michel Talagrand a reçu le prix Abel, l'une des plus hautes distinctions en mathématiques, pour avoir développé une compréhension approfondie et sophistiquée de ces processus. Le prix, décerné par le roi de Norvège, est calqué sur le prix Nobel et est doté de 7.5 millions de couronnes norvégiennes (environ 700,000 XNUMX dollars). Lorsqu’on lui a annoncé qu’il avait gagné, « mon esprit est devenu vide », a déclaré Talagrand. « Le type de mathématiques que je pratique n’était pas du tout à la mode lorsque j’ai commencé. C’était considéré comme des mathématiques inférieures. Le fait que j’aie reçu ce prix est la preuve absolue que ce n’est pas le cas. »

D'autres mathématiciens sont d'accord. Le travail de Talagrand « a changé ma façon de voir le monde », a déclaré Assaf Naor de l'Université de Princeton. Aujourd'hui, ajouté Helge Holden, président du comité du prix Abel, « il devient très courant de décrire et de modéliser des événements du monde réel par des processus aléatoires. La boîte à outils de Talagrand apparaît immédiatement.

Talagrand considère sa propre vie comme une chaîne d'événements improbables. Il passe à peine l'école primaire à Lyon : même s'il s'intéresse aux sciences, il n'aime pas étudier. À l’âge de 5 ans, il a perdu la vue de son œil droit suite au détachement de sa rétine ; à 15 ans, il a subi trois décollements de rétine à l'autre œil, l'obligeant à passer un mois à l'hôpital, les yeux bandés, de peur de devenir aveugle. Son père, professeur de mathématiques, lui rendait visite tous les jours, occupant son esprit en lui apprenant les mathématiques. "C'est ainsi que j'ai appris le pouvoir de l'abstraction", Talagrand écrit dans 2019 après avoir remporté le prix Shaw, un autre prix mathématique majeur doté d'une prime de 1.2 million de dollars. (Talagrand utilise une partie de cet argent, ainsi que ses gains Abel, pour fonder son propre prix, « reconnaissant les réalisations de jeunes chercheurs dans les domaines auxquels j'ai consacré ma vie. »)

Il a raté six mois d'école pendant sa convalescence, mais il a eu envie de commencer à se concentrer sur ses études. Il excellait en mathématiques et après avoir obtenu son diplôme universitaire en 1974, il a été embauché par le Centre national de la recherche scientifique français, le plus grand institut de recherche d'Europe, où il a travaillé jusqu'à sa retraite en 2017. Pendant cette période, il a obtenu son doctorat ; est tombé amoureux de sa future épouse, statisticienne, au premier regard (il lui a proposé trois jours après l'avoir rencontrée) ; et a progressivement développé un intérêt pour les probabilités, publiant des centaines d'articles sur le sujet.

Ce n’était pas prédéterminé. Talagrand a commencé sa carrière en étudiant les espaces géométriques de grande dimension. "Depuis 10 ans, je n'avais pas découvert dans quoi j'étais doué", a-t-il déclaré. Mais il ne regrette pas ce détour. Cela l’a finalement conduit à la théorie des probabilités, où « j’avais cet autre point de vue… qui m’a donné une façon de voir les choses différemment », a-t-il déclaré. Cela lui a permis d’examiner les processus aléatoires à travers le prisme de la géométrie de grande dimension.

"Il utilise son intuition géométrique pour résoudre des questions purement probabilistes", a déclaré Naor.

Un processus aléatoire est un ensemble d’événements dont les résultats varient en fonction du hasard d’une manière qui peut être modélisée – comme une séquence de lancers de pièces de monnaie, ou les trajectoires d’atomes dans un gaz, ou les totaux de précipitations quotidiens. Les mathématiciens veulent comprendre la relation entre les résultats individuels et le comportement global. Combien de fois faut-il lancer une pièce pour savoir si elle est juste ? Une rivière va-t-elle déborder de ses rives ?

Talagrand s'est concentré sur les processus dont les résultats sont distribués selon une courbe en forme de cloche appelée gaussienne. De telles distributions sont de nature courante et possèdent un certain nombre de propriétés mathématiques souhaitables. Il voulait savoir ce qui pouvait être dit avec certitude sur les conséquences extrêmes de ces situations. Il a donc démontré un ensemble d’inégalités qui imposent des limites supérieures et inférieures strictes aux résultats possibles. "Obtenir une bonne inégalité est une œuvre d'art", a déclaré Holden. Cet art est utile : les méthodes de Talagrand peuvent donner une estimation optimale, par exemple, du niveau le plus élevé qu'une rivière pourrait atteindre au cours des 10 prochaines années, ou de la magnitude du tremblement de terre potentiel le plus puissant.

Lorsque nous traitons de données complexes et de grande dimension, il peut être difficile de trouver de telles valeurs maximales.

Supposons que vous souhaitiez évaluer le risque d’inondation d’une rivière, qui dépendra de facteurs tels que les précipitations, le vent et la température. Vous pouvez modéliser la hauteur de la rivière selon un processus aléatoire. Talagrand a passé 15 ans à développer une technique appelée chaînage générique qui lui a permis de créer un espace géométrique de grande dimension lié à un tel processus aléatoire. Sa méthode « vous donne un moyen de lire le maximum de la géométrie », a déclaré Naor.

La technique est très générale et donc largement applicable. Supposons que vous souhaitiez analyser un ensemble de données massif et de grande dimension qui dépend de milliers de paramètres. Pour tirer une conclusion significative, vous souhaitez conserver les caractéristiques les plus importantes de l'ensemble de données tout en le caractérisant en termes de quelques paramètres seulement. (Par exemple, c'est une façon d'analyser et de comparer les structures complexes de différentes protéines.) De nombreuses méthodes de pointe parviennent à cette simplification en appliquant une opération aléatoire qui mappe les données de grande dimension dans un espace de dimension inférieure. . Les mathématiciens peuvent utiliser la méthode de chaînage générique de Talagrand pour déterminer la quantité maximale d'erreurs introduite par ce processus, ce qui leur permet de déterminer les chances qu'une caractéristique importante ne soit pas préservée dans l'ensemble de données simplifié.

Le travail de Talagrand ne se limitait pas à analyser les meilleurs et les pires résultats possibles d'un processus aléatoire. Il a également étudié ce qui se passe dans un cas moyen.

Dans de nombreux processus, des événements individuels aléatoires peuvent, dans leur ensemble, conduire à des résultats hautement déterministes. Si les mesures sont indépendantes, les totaux deviennent alors très prévisibles, même si chaque événement individuel est impossible à prédire. Par exemple, lancez une pièce de monnaie équitable. On ne peut rien dire à l’avance sur ce qui va se passer. Retournez-le 10 fois et vous obtiendrez quatre, cinq ou six faces – proche de la valeur attendue de cinq faces – environ 66 % du temps. Mais lancez la pièce 1,000 450 fois et vous obtiendrez entre 550 et 99.7 face dans 500 % du temps, un résultat encore plus concentré autour de la valeur attendue de XNUMX. « Il est exceptionnellement net autour de la moyenne », a déclaré Holden.

"Même si quelque chose comporte tellement de hasard, le hasard s'annule", a déclaré Naor. « Ce qui semblait au départ être un horrible gâchis est en réalité organisé. »

Ce phénomène, connu sous le nom de concentration de mesure, se produit également dans des processus aléatoires beaucoup plus complexes. Talagrand a proposé un ensemble d'inégalités permettant de quantifier cette concentration et a prouvé qu'elle se produit dans des contextes très différents. Ses techniques marquaient une rupture avec les travaux antérieurs dans le domaine. Prouver la première inégalité de ce type, écrit-il dans son essai de 2019, a été « une expérience magique ». Il était « dans un état d’exaltation constante ».

Il est particulièrement fier d'une de ses inégalités de concentration ultérieures. "Il n'est pas facile d'obtenir un résultat qui tente de penser l'univers tout en ayant une preuve d'une page facile à expliquer", a-t-il déclaré. (Il se souvient avec plaisir qu’il avait autrefois utilisé un service de taxi dont le propriétaire avait reconnu son nom, après avoir appris l’inégalité lors d’un cours de probabilités en école de commerce. « C’était extraordinaire », a-t-il déclaré.)

À l’instar de sa méthode générique d’enchaînement, les inégalités de concentration de Talagrand apparaissent partout en mathématiques. "C'est incroyable jusqu'où cela va", a déclaré Naor. « Les inégalités Talagrand sont les vis qui maintiennent les choses ensemble. »

Considérons un problème d'optimisation dans lequel vous devez trier des éléments de différentes tailles dans des bacs – un modèle d'allocation de ressources. Lorsque vous avez beaucoup d’articles, il est très difficile de déterminer le plus petit nombre de bacs dont vous aurez besoin. Mais les inégalités de Talagrand peuvent vous indiquer le nombre de bacs dont vous aurez probablement besoin si la taille des objets est aléatoire.

Des méthodes similaires ont été utilisées pour prouver les phénomènes de concentration en combinatoire, en physique, en informatique, en statistiques et dans d’autres contextes.

Plus récemment, Talagrand a appliqué sa compréhension des processus aléatoires pour prouver une conjecture importante sur les verres de spin, des matériaux magnétiques désordonnés créés par des interactions aléatoires et souvent contradictoires. Talagrand était frustré par le fait que, même si les verres de spin sont mathématiquement bien définis, les physiciens les comprenaient mieux que les mathématiciens. "C'était une épine dans notre pied", a-t-il déclaré. Il a prouvé un résultat – concernant ce qu’on appelle l’énergie libre des verres de spin – qui a servi de base à une théorie plus mathématique.

Tout au long de sa carrière, les recherches de Talagrand ont été marquées par « cette capacité à prendre du recul et à trouver des principes généraux réutilisables partout », explique Naor. « Il revisite et revisite et réfléchit à quelque chose sous toutes sortes de perspectives. Et finalement, il publie une idée qui devient une bête de somme, que tout le monde utilise.

"J'aime très bien comprendre les choses simples, car mon cerveau est très lent", a déclaré Talagrand. "Je pense donc à eux pendant très, très longtemps." Il est motivé, dit-il, par le désir de « comprendre quelque chose en profondeur, d'une manière pure, ce qui rend la théorie beaucoup plus facile. La prochaine génération pourra alors repartir de là et progresser selon ses propres conditions.

Au cours de la dernière décennie, il y est parvenu en écrivant des manuels – non seulement sur les processus aléatoires et les lunettes de spin, mais également sur un domaine dans lequel il ne travaille pas du tout, la théorie quantique des champs. Il avait voulu en savoir plus, mais s'est rendu compte que tous les manuels qu'il pouvait trouver étaient écrits par et pour des physiciens, et non des mathématiciens. Il en a donc écrit un lui-même. "Une fois qu'on ne peut plus inventer des choses, on peut les expliquer", dit-il.