Déposez un glaçon dans un verre d'eau. Vous pouvez probablement imaginer la façon dont il commence à fondre. Vous savez aussi que peu importe la forme qu'il prend, vous ne le verrez jamais se fondre en quelque chose comme un flocon de neige, composé partout d'arêtes vives et de fines cuspides.

Les mathématiciens modélisent ce processus de fusion avec des équations. Les équations fonctionnent bien, mais il a fallu 130 ans pour prouver qu'elles sont conformes à des faits évidents sur la réalité. Maintenant, dans un article publié en mars, Alessio Figalli ainsi que Joaquím Serra de l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich et Xavier Ros Oton de l'Université de Barcelone ont établi que les équations correspondent vraiment à l'intuition. Les flocons de neige dans le modèle ne sont peut-être pas impossibles, mais ils sont extrêmement rares et totalement éphémères.

« Ces résultats ouvrent une nouvelle perspective sur le terrain », a déclaré Marie Colombo de l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. "Il n'y avait pas de compréhension aussi profonde et précise de ce phénomène auparavant."

La question de savoir comment la glace fond dans l'eau s'appelle le problème Stefan, du nom du physicien Josef Stefan, qui posé il en 1889. C'est l'exemple le plus important d'un problème de « frontière libre », où les mathématiciens examinent comment un processus comme la diffusion de la chaleur fait bouger une frontière. Dans ce cas, la frontière est entre la glace et l'eau.

Pendant de nombreuses années, les mathématiciens ont essayé de comprendre les modèles compliqués de ces frontières en évolution. Pour progresser, le nouveau travail s'inspire d'études antérieures sur un autre type de système physique : les films de savon. Il s'appuie sur eux pour prouver que le long de la frontière évolutive entre la glace et l'eau, des points pointus comme des cuspides ou des bords se forment rarement, et même lorsqu'ils le font, ils disparaissent immédiatement.

Ces points aigus sont appelés singularités, et il s'avère qu'ils sont aussi éphémères dans les limites libres des mathématiques que dans le monde physique.

Faire fondre des sabliers

Considérez, encore une fois, un glaçon dans un verre d'eau. Les deux substances sont constituées des mêmes molécules d'eau, mais l'eau est dans deux phases différentes : solide et liquide. Une frontière existe là où les deux phases se rencontrent. Mais à mesure que la chaleur de l'eau se transfère dans la glace, la glace fond et la limite se déplace. Finalement, la glace - et la frontière avec elle - disparaissent.

L'intuition pourrait nous dire que cette frontière de fusion reste toujours lisse. Après tout, vous ne vous coupez pas sur des arêtes vives lorsque vous tirez un morceau de glace d'un verre d'eau. Mais avec un peu d'imagination, il est facile d'imaginer des scénarios où des points aigus émergent.

Prenez un morceau de glace en forme de sablier et plongez-le. Au fur et à mesure que la glace fond, la taille du sablier devient de plus en plus fine jusqu'à ce que le liquide mange tout le long. Au moment où cela se produit, ce qui était autrefois une taille lisse devient deux cuspides pointues, ou singularités.

"C'est l'un de ces problèmes qui présente naturellement des singularités", a déclaré Giuseppe Mingione de l'Université de Parme. « C'est la réalité physique qui vous le dit.

Mais la réalité nous dit aussi que les singularités sont maîtrisées. Nous savons que les cuspides ne devraient pas durer longtemps, car l'eau chaude devrait les faire fondre rapidement. Peut-être que si vous avez commencé avec un énorme bloc de glace construit entièrement à partir de sabliers, un flocon de neige pourrait se former. Mais cela ne durerait toujours pas plus d'un instant.

En 1889, Stefan a soumis le problème à un examen mathématique, énonçant deux équations décrivant la fonte de la glace. L'un décrit la diffusion de la chaleur de l'eau chaude dans la glace froide, ce qui rétrécit la glace tout en provoquant l'expansion de la région de l'eau. Une deuxième équation suit l'interface changeante entre la glace et l'eau au fur et à mesure que le processus de fonte progresse. (En fait, les équations peuvent également décrire la situation où la glace est si froide qu'elle fait geler l'eau environnante - mais dans le présent travail, les chercheurs ignorent cette possibilité.)

"L'important est de comprendre où les deux phases décident de passer de l'une à l'autre", a déclaré Colombo.

Il a fallu près de 100 ans jusqu'à ce que, dans les années 1970, les mathématiciens prouvent que ces équations ont une base solide. Compte tenu de certaines conditions de départ - une description de la température initiale de l'eau et de la forme initiale de la glace - il est possible d'exécuter le modèle indéfiniment pour décrire exactement comment la température (ou une quantité étroitement liée appelée température cumulée) change avec le temps.

Mais ils n'ont rien trouvé pour empêcher le modèle d'arriver à des scénarios incroyablement étranges. Les équations peuvent décrire une frontière glace-eau qui se transforme en une forêt de cuspides, par exemple, ou un flocon de neige pointu qui reste parfaitement immobile. En d'autres termes, ils ne pouvaient pas exclure la possibilité que le modèle produise un non-sens. Le problème de Stefan est devenu un problème de montrer que les singularités dans ces situations sont en fait bien contrôlées.

Sinon, cela signifierait que le modèle de fonte des glaces était un échec spectaculaire – un échec qui avait dupé des générations de mathématiciens en leur faisant croire qu'il était plus solide qu'il ne l'est.

Inspiration savonneuse

Au cours de la décennie avant que les mathématiciens ne commencent à comprendre les équations de la fonte des glaces, ils ont fait d'énormes progrès sur les mathématiques des films de savon.

Si vous plongez deux anneaux métalliques dans une solution savonneuse et que vous les séparez ensuite, un film de savon se forme entre eux. La tension superficielle tirera le film aussi tendu que possible, lui donnant une forme appelée caténoïde – une sorte de cylindre effondré. Cette forme se forme parce qu'elle relie les deux anneaux avec le moins de surface, ce qui en fait un exemple de ce que les mathématiciens appellent un surface minimale.

Les films de savon sont modélisés par leur propre ensemble unique d'équations. Dans les années 1960, les mathématiciens avaient progressé dans leur compréhension, mais ils ne savaient pas à quel point leurs solutions pouvaient être étranges. Tout comme dans le problème de Stefan, les solutions peuvent être inacceptablement étranges, décrivant des films de savon avec d'innombrables singularités qui ne ressemblent en rien aux films lisses auxquels nous nous attendons.

En 1961 et 1962, Ennio De Giorgi, Wendell Fleming et d'autres ont inventé un processus élégant pour déterminer si la situation des singularités était aussi mauvaise qu'on le craignait.

Supposons que vous ayez une solution aux équations du film de savon qui décrit la forme du film entre deux surfaces limites, comme l'ensemble de deux anneaux. Concentrez-vous sur un point arbitraire de la surface du film. A quoi ressemble la géométrie près de ce point ? Avant que nous ne sachions quoi que ce soit à ce sujet, il pourrait avoir n'importe quel type de caractéristique imaginable - n'importe quoi d'une cuspide pointue à une colline lisse. Les mathématiciens ont mis au point une méthode pour zoomer sur le point, comme s'ils disposaient d'un microscope à la puissance infinie. Ils ont prouvé que lorsque vous zoomez, tout ce que vous voyez est un plan plat.

"Toujours. C'est tout », a déclaré Ros-Oton.

Cette planéité impliquait que la géométrie près de ce point ne pouvait pas être singulière. Si le point était situé sur une cuspide, les mathématiciens verraient quelque chose comme un coin, pas un plan. Et comme ils ont choisi le point au hasard, ils ont pu conclure que tous les points du film doivent ressembler à un plan lisse lorsque vous les regardez de près. Leur travail a établi que l'ensemble du film doit être lisse, sans singularités.

Les mathématiciens voulaient utiliser les mêmes méthodes pour traiter le problème de Stefan, mais ils se sont vite rendu compte qu'avec la glace, les choses n'étaient pas aussi simples. Contrairement aux films de savon, qui ont toujours un aspect lisse, la glace fondante présente vraiment des singularités. Et tandis qu'un film de savon reste en place, la ligne entre la glace et l'eau est toujours en mouvement. Cela posait un défi supplémentaire qu'un autre mathématicien s'attaquerait plus tard.

Des films à la glace

En 1977, Luis Caffarelli a réinventé une loupe mathématique pour le problème de Stefan. Plutôt que de zoomer sur un film de savon, il a compris comment zoomer sur la frontière entre la glace et l'eau.

"C'était sa grande intuition", a déclaré Mingione. « Il a pu transporter ces méthodes de la théorie des surfaces minimales de de Giorgi à ce cadre plus général. »

Lorsque les mathématiciens ont zoomé sur les solutions des équations du film de savon, ils n'ont vu que la planéité. Mais lorsque Caffarelli zoomait sur la frontière gelée entre la glace et l'eau, il voyait parfois quelque chose de totalement différent : des points gelés entourés presque entièrement d'eau plus chaude. Ces points correspondaient à des cuspides glacées — des singularités — qui s'échouaient par le recul de la frontière de fusion.

Caffarelli a prouvé qu'il existe des singularités dans les mathématiques de la fonte des glaces. Il a également conçu un moyen d'estimer combien il y en a. A l'endroit exact d'une singularité glacée, la température est toujours de zéro degré Celsius, car la singularité est faite de glace. C'est un fait simple. Mais remarquablement, Caffarelli a découvert qu'à mesure que vous vous éloignez de la singularité, la température augmente de manière claire : si vous vous éloignez d'une unité de distance d'une singularité et dans l'eau, la température augmente d'environ une unité de température. Si vous vous éloignez de deux unités, la température augmente d'environ quatre.

C'est ce qu'on appelle une relation parabolique, car si vous tracez la température en fonction de la distance, vous obtenez approximativement la forme d'une parabole. Mais comme l'espace est tridimensionnel, vous pouvez représenter graphiquement la température dans trois directions différentes s'éloignant de la singularité, pas seulement une. La température ressemble donc à une parabole tridimensionnelle, une forme appelée paraboloïde.

Dans l'ensemble, la perspicacité de Caffarelli a fourni un moyen clair de dimensionner les singularités le long de la frontière entre la glace et l'eau. Les singularités sont définies comme des points où la température est de zéro degré Celsius et les paraboloïdes décrivent la température à et autour de la singularité. Par conséquent, partout où le paraboloïde est égal à zéro, vous avez une singularité.

Alors, combien d'endroits y a-t-il où un paraboloïde peut être égal à zéro ? Imaginez un paraboloïde composé d'une séquence de paraboles empilées côte à côte. Des paraboloïdes comme ceux-ci peuvent prendre une valeur minimale - une valeur de zéro - le long d'une ligne entière. Cela signifie que chacune des singularités observées par Caffarelli pourrait en fait avoir la taille d'une ligne, un bord glacé infiniment mince, plutôt qu'un simple point glacé. Et comme de nombreuses lignes peuvent être assemblées pour former une surface, son travail a laissé ouverte la possibilité qu'un ensemble de singularités puisse remplir toute la surface frontière. Si cela était vrai, cela signifierait que les singularités du problème de Stefan étaient complètement hors de contrôle.

« Ce serait une catastrophe pour le mannequin. Chaos complet », a déclaré Figalli, qui a remporté la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, en 2018.

Cependant, le résultat de Caffarelli n'était qu'un scénario du pire. Il a établi la taille maximale des singularités potentielles, mais il n'a rien dit sur la fréquence à laquelle les singularités se produisent réellement dans les équations, ni sur leur durée. En 2019, Figalli, Ros-Oton et Serra avaient trouvé un moyen remarquable d'en savoir plus.

Motifs imparfaits

Pour résoudre le problème de Stefan, Figalli, Ros-Oton et Serra ont dû prouver que les singularités qui surgissent dans les équations sont contrôlées : il n'y en a pas beaucoup et elles ne durent pas longtemps. Pour ce faire, ils avaient besoin d'une compréhension globale de tous les différents types de singularités qui pourraient éventuellement se former.

Caffarelli avait progressé dans la compréhension de la façon dont les singularités se développent à mesure que la glace fond, mais il y avait une caractéristique du processus qu'il ne savait pas comment aborder. Il a reconnu que la température de l'eau autour d'une singularité suit un modèle paraboloïde. Il a également reconnu qu'il ne suivait pas exactement ce schéma - il y a un petit écart entre un paraboloïde parfait et l'apparence réelle de la température de l'eau.

Figalli, Ros-Oton et Serra ont déplacé le microscope sur cette déviation du modèle paraboloïde. Lorsqu'ils ont zoomé sur cette petite imperfection - un murmure de fraîcheur s'échappant de la frontière - ils ont découvert qu'il avait ses propres types de motifs qui donnaient naissance à différents types de singularités.

"Ils vont au-delà de la mise à l'échelle parabolique", a déclaré Sandro Salsa de l'Université Polytechnique de Milan. "Ce qui est incroyable."

Ils ont pu montrer que tous ces nouveaux types de singularités disparaissaient rapidement — comme dans la nature — à l'exception de deux particulièrement énigmatiques. Leur dernier défi était de prouver que ces deux types disparaissent également dès leur apparition, excluant la possibilité que quelque chose comme un flocon de neige puisse perdurer.

Des cuspides en voie de disparition

Le premier type de singularité était apparu auparavant, en 2000. Un mathématicien nommé Frederick Almgren l'avait enquêté dans un article intimidant de 1,000 XNUMX pages sur les films de savon, qui n'a été publié que par sa femme, Jean Taylor - un autre expert en films de savon - après il est mort.

Alors que les mathématiciens avaient montré que les films de savon sont toujours lisses en trois dimensions, Almgren a prouvé qu'en quatre dimensions, un nouveau type de singularité « ramifiée » peut apparaître, rendant les films de savon tranchants de manière étrange. Ces singularités sont profondément abstraites et impossibles à visualiser proprement. Pourtant, Figalli, Ros-Oton et Serra ont réalisé que des singularités très similaires se forment le long de la frontière de fusion entre la glace et l'eau.

"La connexion est un peu mystérieuse", a déclaré Serra. « Parfois, en mathématiques, les choses évoluent de manière inattendue. »

Ils ont utilisé le travail d'Almgren pour montrer que la glace autour de l'une de ces singularités ramifiées doit avoir un motif conique qui a le même aspect lorsque vous continuez à zoomer. Et contrairement au motif paraboloïde pour la température, ce qui implique qu'une singularité peut exister le long d'une ligne entière , un motif conique ne peut avoir une singularité nette qu'en un seul point. Utilisant ce fait, ils ont montré que ces singularités sont isolées dans l'espace et dans le temps. Dès qu'ils se forment, ils disparaissent.

Le second type de singularité était encore plus mystérieux. Pour vous en rendre compte, imaginez que vous submergez une fine couche de glace dans l'eau. Il rétrécira et rétrécira et disparaîtra soudainement d'un seul coup. Mais juste avant ce moment, il formera une singularité en forme de feuille, un mur bidimensionnel aussi tranchant qu'un rasoir.

À certains endroits, les chercheurs ont réussi à zoomer pour trouver un scénario analogue : deux fronts de glace s'effondrant vers le point comme s'il se trouvait à l'intérieur d'une mince couche de glace. Ces points n'étaient pas exactement des singularités, mais des emplacements où une singularité était sur le point de se former. La question était de savoir si les deux fronts proches de ces points se sont effondrés en même temps. Si cela se produisait, une singularité en forme de feuille ne se formerait que pendant un instant parfait avant de disparaître. En fin de compte, ils ont prouvé que c'est en fait ainsi que le scénario se joue dans les équations.

"Cela confirme en quelque sorte l'intuition", a déclaré Daniela De Silva du Collège Barnard.

Après avoir montré que les singularités de branchement exotique et de type feuille étaient toutes deux rares, les chercheurs ont pu affirmer de manière générale que toutes les singularités du problème de Stefan sont rares.

"Si vous choisissez au hasard un moment, la probabilité de voir un point singulier est nulle", a déclaré Ros-Oton.

Les mathématiciens disent que les détails techniques du travail prendront du temps à digérer. Mais ils sont convaincus que les résultats jetteront les bases d'avancées sur de nombreux autres problèmes. Le problème de Stefan est un exemple fondamental pour tout un sous-domaine des mathématiques où les limites se déplacent. Mais qu'en est-il du problème de Stefan lui-même et des mathématiques sur la façon dont les glaçons fondent dans l'eau ?

"C'est fermé", a déclaré Salsa.