Le changement de plan s’est produit lors d’un road trip. Par une belle journée d'avril dernier, les mathématiciens Rachel Greenfeld ainsi que Sarah Péluse sont partis de leur institution d'origine, l'Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey, en direction de Rochester, New York, où tous deux devaient donner des conférences le lendemain.

Ils se débattaient depuis près de deux ans avec une conjecture importante dans l'analyse harmonique, le domaine qui étudie comment décomposer des signaux complexes en leurs fréquences composantes. Avec un troisième collaborateur, Marina Iliopoulou, ils étudiaient une version du problème dans laquelle les fréquences des composantes sont représentées comme des points dans un plan dont les distances les unes par rapport aux autres sont liées à des nombres entiers. Les trois chercheurs essayaient de montrer qu'il ne pouvait pas y avoir trop de ces points, mais jusqu'à présent, toutes leurs techniques avaient échoué.

Ils semblaient faire tourner leurs roues. Alors Peluse a eu une pensée : et s’ils abandonnaient le problème de l’analyse harmonique – temporairement, bien sûr – et tournaient leur attention vers des ensembles de points dans lesquels la distance entre deux points quelconques est exactement un nombre entier ? Quelles structures possibles de tels ensembles peuvent-ils avoir ? Les mathématiciens tentent de comprendre les ensembles de distances entières depuis l’Antiquité. Par exemple, les triplets de Pythagore (tels que 3, 4 et 5) représentent des triangles rectangles dont les trois sommets sont tous éloignés de distances entières.

"Dans la voiture, je suppose que parce que Rachel était coincée avec moi, j'en ai parlé", a déclaré Peluse, qui est maintenant professeur à l'Université du Michigan. L’idée de s’attaquer aux distances entières a électrisé Greenfeld.

Avant de s’en rendre compte, ils s’étaient lancés non pas dans un changement de direction, mais dans deux.

« En fait, nous avons cessé de prêter attention à l'endroit où nous allions et n'avons pas quitté l'autoroute », a déclaré Peluse. "Nous allions dans la direction opposée à Rochester pendant environ une heure avant de nous en rendre compte, parce que nous étions tellement enthousiasmés par les mathématiques."

En 1945, Norman Anning et Paul Erdős prouvé qu'un ensemble infini de points dans le plan qui sont tous distants de nombres entiers doivent se trouver sur une ligne. Pour un ensemble fini de points, les possibilités sont un peu plus variées. Les mathématiciens ont construit de grands ensembles qui se trouvent soit sur une ligne, soit sur un cercle, avec parfois trois ou quatre points supplémentaires situés en dehors de la rue principale. (Les points eux-mêmes ne doivent pas nécessairement avoir des coordonnées entières : la question concerne les distances qui les séparent.)

Personne n'a proposé un grand nombre de points avec une autre configuration, mais personne n'a prouvé que d'autres configurations sont impossibles. Au cours des près de 80 ans qui se sont écoulés depuis les résultats d'Anning et Erdős, le sujet n'a connu pratiquement aucun progrès – jusqu'à présent.

Greenfeld, Iliopoulou et Peluse ont prouvé que tous les points d'un grand ensemble de distances entières - à l'exception peut-être d'une poignée de points aberrants - doivent se trouver sur une seule ligne ou un seul cercle. "Si vous voulez avoir un grand ensemble dans lequel toutes les distances par paires sont des nombres entiers, alors les cercles et les lignes sont les seuls acteurs", a déclaré Joseph Solymosi de l'Université de la Colombie-Britannique. Il a qualifié leur résultat de « solution fantastique ».

La nouvelle approche utilise des idées et des techniques issues de trois domaines mathématiques distincts : la combinatoire, la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Ce rapprochement de différents domaines « pourrait être une véritable avancée psychologique », estime-t-il. Terence tao, mathématicien à l'Université de Californie à Los Angeles.

Alex Iosevitch, de l'Université de Rochester, est d'accord. « Ils ont jeté des bases très solides pour un ensemble très large de problèmes », a-t-il déclaré. "Il ne fait aucun doute dans mon esprit que cela trouvera des applications encore plus profondes."

Les limites de la simplicité

Dans un plan, il est facile de choisir un ensemble infini de points qui sont tous distants de nombres entiers : il suffit de prendre votre droite préférée, d'imaginer une droite numérique superposée et d'utiliser tout ou partie des points correspondant à des nombres entiers. Mais c'est la seule façon de construire une distance entière infinie définie dans le plan, comme Anning et Erdős l'ont réalisé en 1945. Dès que vous n'avez que trois points qui ne sont pas tous sur la même ligne, votre configuration devient tellement contrainte qu'il est impossible pour ajouter une infinité de points supplémentaires.

La raison se résume à une simple géométrie. Imaginez commencer par deux points, A et B, distants d’un nombre entier. Si vous souhaitez ajouter un troisième point, C, qui est une distance entière de A et B mais qui ne se trouve pas sur la ligne qui les traverse, la plupart des points du plan ne fonctionneront pas. Les seuls points viables se trouvent sur des courbes spéciales appelées hyperboles qui coupent entre A et B. Si A et B sont, disons, espacés de 4 unités, alors il y a exactement quatre de ces hyperboles. (Une hyperbole comporte généralement deux parties distinctes, ainsi par exemple les deux courbes rouges de la figure ci-dessous forment une seule hyperbole.)

Une fois que vous avez choisi C (qui dans cet exemple correspond à 3 unités de A et 5 unités de B), vous n'avez pratiquement aucune option pour ajouter plus de points. Tout point que vous pourriez ajouter doit se trouver sur l’une des hyperboles entre A et B, ou sur la ligne qui les traverse. Mais il doit aussi se trouver sur l'une des hyperboles entre A et C, et sur l'une des hyperboles entre B et C (ou les lignes correspondantes) — en d'autres termes, un nouveau point ne peut être placé qu'à l'endroit où trois hyperboles ou lignes se coupent (bien que tous les points d'intersection ne fonctionneront pas). Au départ, il n’existe qu’un nombre fini de ces hyperboles et lignes, et deux hyperboles (ou lignes) peuvent se croiser en quatre points au maximum. Vous vous retrouvez donc avec un nombre fini de points d'intersection parmi lesquels choisir — vous ne pouvez pas construire un ensemble infini.

Lorsqu’il s’agit de comprendre à quoi ressemble réellement un ensemble fini de points de distance entiers, l’approche hyperbole devient rapidement lourde. Au fur et à mesure que vous ajoutez des points, vous devez faire face à un nombre croissant d’hyperboles. Par exemple, au moment où votre ensemble ne compte que 10 points, en ajouter un 11 créera 10 nouvelles familles d'hyperboles - toutes celles situées entre votre nouveau point et chacun des points déjà présents dans l'ensemble. "Vous ne pouvez pas ajouter beaucoup de points, car vous vous perdriez dans toutes ces hyperboles et intersections", a déclaré Greenfeld.

Les mathématiciens ont donc recherché des principes plus simples pour construire de grands ensembles de points de distance entière qui ne se trouvent pas sur une ligne. Mais ils n’ont pu proposer qu’une seule approche : mettre vos points sur un cercle. Si vous voulez une distance entière définie avec, disons, un billion de points, il existe des moyens de trouver un billion de points sur un cercle de rayon 1 dont les distances les unes des autres sont toutes des fractions. Ensuite, vous pouvez gonfler le cercle jusqu'à ce que toutes les distances fractionnaires se transforment en nombres entiers. Plus vous voulez de points dans votre ensemble, plus vous devrez gonfler le cercle.

Au fil des années, les mathématiciens n’ont proposé que des exemples légèrement plus exotiques. Ils peuvent construire de grands ensembles de distances entières dans lesquels tous les points sauf quatre se trouvent sur une ligne ou tous sauf trois se trouvent sur un cercle. De nombreux mathématiciens soupçonnent qu’il s’agit des seuls grands ensembles de distances entières dans lesquels tous les points ne se trouvent pas sur une ligne ou un cercle. Ils le sauront avec certitude s’ils parviennent un jour à prouver ce qu’on appelle la conjecture de Bombieri-Lang. Mais les mathématiciens sont divisés sur la véracité de cette conjecture.

Depuis les travaux d'Anning et Erdős en 1945, les mathématiciens ont fait peu de progrès dans la compréhension des ensembles de distances entières. Au fil du temps, le problème de la distance entière a semblé rejoindre une série d’autres problèmes de combinatoire, de théorie des nombres et de géométrie qui sont simples à énoncer mais apparemment impossibles à résoudre. "Cela montre à quel point nos mathématiques sont pathétiques", a déclaré Tao.

D’une certaine manière, le problème de la distance entière a été victime de ses premiers succès. La preuve hyperbole, avec son ingénieuse simplicité, est emblématique de la philosophie adoptée par Erdős, un mathématicien très influent qui parlait souvent du « Livre » – un volume imaginé des preuves mathématiques les plus élégantes. La culture de la simplicité promue par Erdős a conduit à des « résultats formidables » en géométrie combinatoire, a déclaré Iosevich. Mais cela peut également conduire à des angles morts – dans ce cas, sur l’intérêt d’introduire des approches issues de la géométrie algébrique.

"Je ne pense pas que vous trouverez un résultat [en géométrie algébrique] prouvé au cours des 50 dernières années qui ne soit pas très complexe et compliqué sur le plan technique", a déclaré Iosevich. "Cependant, il faut parfois que les choses se passent ainsi."

Rétrospectivement, le problème de la distance entière attendait des mathématiciens disposés à considérer des courbes plus indisciplinées que des hyperboles, puis à s'appuyer sur des outils obscurs issus de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres pour les apprivoiser. "Cela nécessitait des personnes possédant des connaissances et un intérêt suffisants", a déclaré Iosevich.

La plupart des mathématiciens, dit-il, se contentent d’utiliser quelques outils dans un domaine des mathématiques tout au long de leur carrière. Mais Greenfeld, Iliopoulou et Peluse sont des explorateurs intrépides, a déclaré Iosevich. « Ils considèrent les mathématiques comme un tout cohérent. »

Complexifier le problème

À l’été 2021, Greenfeld a décidé qu’il était temps de s’attaquer à un problème d’analyse harmonique auquel elle réfléchissait depuis ses études supérieures. L'analyse harmonique classique, qui constitue la base du traitement du signal dans le monde réel, consiste à décomposer les signaux en ondes sinusoïdales de différentes fréquences et phases. Ce processus fonctionne car il est possible de créer une liste infinie d'ondes sinusoïdales qui, une fois combinées, capturent toutes les caractéristiques de n'importe quel signal, sans aucune redondance.

Mais souvent, les chercheurs souhaitent étudier quelque chose de plus compliqué qu’un signal unidimensionnel. Par exemple, ils pourraient vouloir décomposer un signal sur un disque dans l’avion. Mais le disque ne peut héberger qu’une collection limitée d’ondes sinusoïdales compatibles – trop peu pour capturer le comportement de tous les signaux possibles sur le disque. La question devient alors : quelle peut être la taille de cette collection finie ?

Dans une telle collection, les fréquences des sinus peuvent être représentées comme des points dans le plan qui semblent opposés au regroupement en lignes et en cercles : vous ne trouverez jamais trois points qui sont tous proches de la même ligne, ou quatre qui sont tous proches. au même cercle. Greenfeld espérait utiliser cette aversion pour prouver que ces ensembles de fréquences ne peuvent contenir que quelques points.

Lors d'une réunion en 2021 à l'Université de Bonn, Greenfeld a assisté à une conférence sur la « méthode des déterminants », une technique issue de la théorie des nombres qui peut être utilisée pour estimer combien de points entiers de certains types peuvent se trouver sur des courbes. Cet outil, réalisa-t-elle, pourrait être exactement ce dont elle avait besoin. Greenfeld a recruté Iliopoulou et Peluse, qui étaient également présents à la réunion. "Nous avons commencé à apprendre cette méthode ensemble", a déclaré Greenfeld.

Mais malgré de nombreux efforts, ils ne parvenaient pas à adapter la méthode déterminante à leur objectif et, au printemps 2023, ils se sentaient découragés. Iosevich avait invité Greenfeld et Peluse à se rendre à Rochester pour une visite. "Nous nous sommes donc dit : 'OK, nous irons à Rochester et parler à Alex nous revigorera'", a déclaré Peluse. Mais il s’est avéré qu’ils ont atterri à Rochester déjà revigorés, grâce à une discussion vivifiante sur les distances entières lors de leur détour imprévu le long de la rivière Susquehanna en Pennsylvanie.

Ils sont arrivés trop tard pour un dîner prévu avec Iosevich, mais ils l'ont trouvé en train d'attendre dans le hall de l'hôtel avec des sacs de plats à emporter. Il a pardonné leur retard – et a été plus que indulgent le lendemain matin, lorsqu'ils lui ont fait part de leur projet de s'attaquer à des séries de distances entières. "Il était tellement excité", se souvient Peluse. « Émotionnellement, cela a été un énorme coup de pouce. »

Comme pour l'approche hyperbole, Greenfeld, Iliopoulou et Peluse ont essayé de contrôler la structure des ensembles de distances entières en identifiant des familles de courbes sur lesquelles les points doivent se trouver. La méthode des hyperboles commence à devenir trop compliquée dès que vous avez plus de quelques points, mais Greenfeld, Iliopoulou et Peluse ont compris comment considérer plusieurs points en même temps en déplaçant l'ensemble de la configuration dans un espace de dimension supérieure.

Pour voir comment cela fonctionne, supposons que vous commenciez par un point de « référence » A dans votre ensemble de distances entières. Tous les autres points de l'ensemble sont à une distance entière de A. Les points vivent dans un plan, mais vous pouvez déplacer le plan dans un espace tridimensionnel en attachant une troisième coordonnée à chaque point, dont la valeur est la distance de A. Par exemple , supposons que A soit le point (1, 3). Ensuite, le point (4, 7), situé à 5 unités de A, se transforme en point (4, 7, 5) dans l'espace tridimensionnel. Ce processus convertit le plan en cône dans un espace tridimensionnel dont la pointe se trouve en A, maintenant étiqueté (1, 3, 0). Les points de distance entière deviennent des points dans l'espace tridimensionnel qui se trouvent sur le cône ainsi que sur un certain réseau.

De même, si vous choisissez deux points de référence, A et B, vous pouvez convertir des points du plan en points dans un espace à quatre dimensions — donnez simplement à chaque point deux nouvelles coordonnées dont les valeurs sont ses distances à A et B. Ce processus convertit le plan. dans une surface courbe dans un espace à quatre dimensions. Vous pouvez continuer à ajouter plus de points de référence de cette manière. À chaque nouveau point de référence, la dimension augmente de un et le plan est mappé sur une surface encore plus ondulée (ou, comme disent les mathématiciens, une surface de degré supérieur).

Une fois ce cadre en place, les chercheurs ont utilisé la méthode déterminante issue de la théorie des nombres. Les déterminants sont des nombres, généralement associés à des matrices, qui capturent une multitude de propriétés géométriques d'un ensemble de points. Par exemple, un déterminant particulier peut mesurer l'aire du triangle formé par trois des points. La méthode des déterminants offre un moyen d'utiliser de tels déterminants pour estimer le nombre de points qui se trouvent simultanément sur une surface ondulée et sur un réseau – exactement le genre de situation à laquelle Greenfeld, Iliopoulou et Peluse étaient confrontés.

Les chercheurs ont utilisé une ligne de travail basée sur la méthode des déterminants pour montrer que lorsqu'ils augmentent leur distance entière jusqu'à une dimension suffisamment élevée, les points doivent tous se trouver sur un petit nombre de courbes spéciales. Ces courbes, lorsque leurs ombres dans le plan ne sont pas une ligne ou un cercle, ne peuvent pas contenir de nombreux points du réseau, qui sont les seuls candidats pour les points dans l'ensemble des distances entières. Cela signifie que le nombre de points de l'ensemble pouvant s'écarter de la ligne ou du cercle principal est limité. Les chercheurs ont montré qu'il doit être inférieur à une fonction qui croît très lentement du diamètre de l'ensemble.

Leur limite n'atteint pas le standard de la conjecture « quatre points hors de la ligne ou trois points hors du cercle » que de nombreux mathématiciens considèrent comme vraie pour les grands ensembles de distances entières. Malgré cela, le résultat montre que « l’essence de la conjecture est vraie », a déclaré Jacob Fox de l’Université de Stanford. Une preuve complète de la conjecture nécessitera probablement une nouvelle infusion de nouvelles idées, ont déclaré les mathématiciens.

Le schéma de codage haute dimension de l'équipe est « extrêmement robuste », a déclaré Iosevich. "Il n'y a pas que des applications de principe, il y a des applications auxquelles je réfléchis déjà."

Une application, espèrent Greenfeld, Iliopoulou et Peluse, concernera leur problème initial d'analyse harmonique, auquel les trois reviennent maintenant. Leurs résultats sur des ensembles de distances entières « pourraient être un tremplin vers cela », a déclaré Greenfeld.

La synthèse de la combinatoire avec la géométrie algébrique initiée par les chercheurs ne s'arrêtera pas aux ensembles de distances entières ou aux problèmes connexes d'analyse harmonique, a prédit Iosevich. « Je crois que ce à quoi nous assistons est une avancée conceptuelle », a-t-il déclaré. "Cela envoie le message aux personnes des deux domaines qu'il s'agit d'une interaction très productive."

Cela envoie également un message sur l’intérêt de rendre parfois un problème plus compliqué, a déclaré Tao. Les mathématiciens s’efforcent généralement de faire l’inverse, a-t-il noté. "Mais c'est un exemple où complexifier le problème est en fait la bonne décision."

Ces progrès ont changé sa façon de concevoir les courbes à haut degré, a-t-il déclaré. "Parfois, ils peuvent être vos amis et non vos ennemis."