Ce qu'Aristote a commencé il y a plus de 2,000 ans, une équipe de 30 étudiants de premier cycle du Massachusetts Institute of Technology se poursuit. Ils ont capitalisé sur un progrès mathématique récent qui a insufflé une nouvelle vie dans une quête millénaire pour identifier des formes qui peuvent parfaitement remplir ou carreler un espace tridimensionnel.

«C'est assez excitant mais aussi un peu intimidant de savoir que certains des plus grands esprits ont travaillé sur ce sujet», a déclaré Yuyuan Luo, un étudiant de première année du MIT participant au travail organisé par un professeur du MIT Björn Poonen. (Poonen reçoit un financement de la Fondation Simons, qui finance également cette publication indépendante de la rédaction.)

L'intérêt d'Aristote pour la question a surgi comme une réprimande à Platon, son professeur.

Dans son dialogue 360 ​​BCE Timée, Platon a discuté de l'ancienne théorie selon laquelle le monde était composé de quatre éléments: la terre, l'eau, l'air et le feu. Il a conjecturé que chacun de ces éléments était fait de particules avec une forme unique correspondant à l'un des cinq solides réguliers: une particule de terre avait la forme d'un cube, une particule d'eau comme l'icosaèdre à 20 côtés, une particule d'air comme l'octaèdre, et une particule de feu comme le tétraèdre pyramidal pointu à quatre côtés (parce que le feu est épineux).

Aristote a objecté sur la base de sa présomption (que nous savons maintenant être fausse) que les particules de ces éléments devraient être capables de remplir complètement l'espace. Autrement dit, pensa-t-il, là où il y a de l'eau, vous auriez besoin de pouvoir disposer des copies de la particule d'eau icosaédrique de telle sorte que les icosaèdres occupent parfaitement l'intégralité de l'espace aquatique sans se chevaucher.

Et là, pensa Aristote, c'était le piège. Il a expliqué dans son traité de 350 avant notre ère Sur les cieux que les copies d'un icosaèdre «ne réussiront pas à remplir le tout». Par conséquent, a-t-il soutenu, les particules d'eau ne peuvent pas avoir cette forme. Il doutait, pour la même raison, que les particules d'air puissent avoir la forme d'un octaèdre. Mais il a permis que des copies d'un cube (la terre) et d'un tétraèdre (le feu) remplissent l'espace, alors il a laissé la théorie de Platon reposer sur ces deux éléments.

Des milliers d'années plus tard, il s'est avéré qu'Aristote avait en partie tort là aussi.

Dès les années 1400, les scientifiques ont commencé à soupçonner que le tétraèdre régulier - dans lequel les quatre faces de la pyramide sont des triangles équilatéraux - ne peut pas non plus être utilisé pour remplir l'espace. Dans les années 1600, ils l'avaient établi à coup sûr. C'est quelque chose qu'Aristote aurait pu reconnaître aussi, si seulement il avait essayé de le découvrir par lui-même.

«Si Aristote avait fait des modèles de tétraèdres réguliers, il en aurait mis plusieurs autour d'un bord en prenant un tétraèdre et en en ajustant un autre directement. En moins de cinq ans, il aurait vu qu'il y avait un petit vide qui ne peut pas être comblé par un autre tétraèdre », a déclaré Marjorie Sénéchal du Smith College.

Si le tétraèdre régulier ne fait pas d'espace, la question devient: Y a-t-il des tétraèdres?

En 1923, Duncan Sommerville a confirmé les premiers exemples qui le font. Au total, les mathématiciens ont maintenant trouvé deux tétraèdres individuels et trois familles infinies de tétraèdres qui remplissent l'espace. Les familles comportent un paramètre que vous pouvez ajuster de nombreuses façons pour rendre certains angles intérieurs plus petits et d'autres proportionnellement plus grands tout en conservant la possibilité de mosaïquer l'espace. Les mathématiciens n'en ont pas trouvé d'autres. Ils n'ont aucune idée du nombre qui pourrait en exister.

"Je ne sais pas si c'est un problème qui va avoir une solution théorique au-delà de la simple recherche de ces choses", a déclaré Senechal.

Le fait est que la plupart des formes tridimensionnelles ne recouvrent pas l'espace. "Nous n'apprécions pas à quel point il est difficile de carreler un espace tridimensionnel", a déclaré Inna Zakharevitch de l'Université Cornell. «Je pense que tout ce qui fait est plutôt cool.»

Cela signifie que la recherche de telles formes est un peu une chasse aveugle. Heureusement, la recherche de tétraèdres qui peuvent carreler l'espace tridimensionnel est facilitée par une correspondance élégante entre le problème et deux autres questions connexes.

La première question connexe est la suivante: deux formes à côtés plats du même volume peuvent-elles toujours être cloisonnées avec des coupes droites et remontées l'une comme l'autre? David Hilbert a posé cette question en 1900, et la même année, son ancien élève, Max Dehn, a fourni une partie importante de la réponse.

Dehn a montré qu'il est possible d'utiliser les angles de n'importe quelle forme polyédrique - comme un tétraèdre ou un cube - pour calculer une seule quantité, maintenant appelée invariant de Dehn. Il a prouvé que pour que deux formes soient «ciseaux congruents»- ce qui signifie qu'ils peuvent être découpés et remontés les uns comme les autres - ils doivent avoir le même invariant Dehn. Dehn a utilisé sa nouvelle mesure pour prouver que le tétraèdre régulier n'est pas des ciseaux congruents à un cube puisque leurs invariants de Dehn diffèrent.

Plus tard dans le siècle, les mathématiciens ont prouvé deux autres faits clés qui reliaient la congruence des ciseaux et le carrelage. En 1965, Jean-Pierre Sydler a prouvé que deux formes quelconques avec le même volume et le même invariant de Dehn sont des ciseaux congruents. De plus, en 1980, Hans Debrunner a montré que tout tétraèdre que l'espace de tuiles doit avoir un invariant de Dehn de 0 - le même qu'un cube. Le résultat de ces découvertes est qu'un tétraèdre doit être des ciseaux congruents à un cube pour avoir une chance de pavage de l'espace.

Si on vous remet un tétraèdre, il est relativement facile de calculer s'il a un invariant Dehn de 0 et a donc le potentiel de créer un espace de tuile. Cependant, trouver tous les tétraèdres qui ont un invariant Dehn de 0 n'est pas une tâche facile.

C'est là qu'intervient la deuxième question connexe.

Un tétraèdre contient six angles «dièdres» formés le long des bords où les paires de faces se rencontrent. En 1976, John H. Conway et Antonia J. Jones ont demandé: Est-il possible d'identifier tous les tétraèdres dans lesquels les mesures en degrés de ces six angles dièdres sont des nombres rationnels, ce qui signifie qu'ils peuvent être écrits proprement sous forme de fractions? C'est une question moderne avec des notes d'Aristote.

«J'aime dire que ce problème aurait pu être posé dans les temps anciens, mais ce n'était pas pour autant que je sache», a déclaré Kiran Kedlaya de l'Université de Californie à San Diego. Kedlaya, Poonen et deux autres co-auteurs ont prouvé qu'exactement 59 exemples isolés plus deux familles infinies de tétraèdres ont des angles dièdres rationnels. Quanta a récemment couvert ce résultat dans notre histoire "Tetrahedron Solutions a enfin prouvé des décennies après la recherche informatique. »

Et surtout, tout tétraèdre avec des angles dièdres rationnels a un invariant Dehn de 0, ce qui signifie que ses ciseaux sont congruents à un cube et ont une chance de pavage de l'espace.

Cela conduit à ce sur quoi les étudiants de premier cycle du MIT ont travaillé, avec Poonen, à savoir lesquels de ces candidats réalisent leur potentiel en tant que carreaux tridimensionnels.

À la mi-janvier, le groupe a prouvé que l'un des tétraèdres rationnels isolés ne remplit pas l'espace. Leur résultat marque la première fois que quelqu'un a trouvé un exemple de tétraèdre qui est des ciseaux congruents à un cube mais ne dalle pas d'espace. C'est aussi la dernière torsion d'une tresse intellectuelle qui a commencé il y a longtemps avec une curiosité ancienne.