Sarah Hart a toujours été attentive à la façon dont les mathématiques imprègnent d’autres domaines. Enfant, elle est frappée par l'omniprésence du chiffre 3 dans ses contes de fées. La mère de Hart, professeur de mathématiques, l’a encouragée à rechercher des modèles, en lui proposant des énigmes mathématiques pour passer le temps.

Hart a ensuite obtenu un doctorat en théorie des groupes en 2000 et est ensuite devenu professeur à Birkbeck, Université de Londres. Les recherches de Hart ont porté sur la structure des groupes de Coxeter, des versions plus générales de structures qui cataloguent les symétries des polygones et des prismes. En 2023, elle publie Il était une fois Prime, un livre sur la manière dont les mathématiques apparaissent dans la fiction et la poésie. "Puisque nous, les humains, faisons partie de l'univers, il est tout à fait naturel que nos formes d'expression créative, y compris la littérature, manifestent également une inclination pour les modèles et les structures", a écrit Hart. « Les mathématiques sont donc la clé d’une perspective totalement différente sur la littérature. »

Depuis 2020, Hart est professeur de géométrie au Gresham College de Londres. Gresham n'a pas de cours traditionnels ; au lieu de cela, ses professeurs donnent chacun plusieurs conférences publiques par an. Hart est la première femme à occuper ce poste, vieux de 428 ans, occupé au XVIIe siècle par Isaac Barrow, célèbre pour avoir enseigné à un autre Isaac (Newton). Plus récemment, elle a été organisée par Roger Penrose, mathématicien lauréat du prix Nobel de physique 17. Hart a parlé avec Quanta sur la façon dont les mathématiques et l’art s’influencent mutuellement. L'interview a été condensée et éditée pour plus de clarté.

Pourquoi avez-vous choisi d’écrire votre livre sur les liens entre mathématiques et littérature ?

Ces liens sont moins explorés et moins connus que ceux entre les mathématiques et, par exemple, la musique. Les liens entre les mathématiques et la musique sont célébrés depuis au moins aussi loin que les Pythagoriciens. Cependant, bien qu’il y ait eu des écrits et des recherches universitaires sur des livres, des auteurs ou des genres spécifiques, je n’avais pas vu d’ouvrage destiné au grand public sur les liens plus larges entre les mathématiques et la littérature.

Comment les artistes devraient-ils considérer les mathématiques ?

Il y a beaucoup de points communs entre les mathématiques et, devrais-je dire, les autres arts. En littérature, comme en musique et en art, on ne part jamais de rien. Si vous êtes poète, vous choisissez : aurai-je un haïku avec ses contraintes numériques très précises, ou est-ce que j'écrirai un sonnet qui a un certain nombre de vers, un certain schéma de rimes, une certaine métrique ? Même quelque chose qui n’a pas de schéma de rimes aura des sauts de ligne, un rythme. Il y aura des contraintes qui inspireront la créativité, qui vous aideront à vous concentrer.

En mathématiques, nous avons la même chose. Nous avons quelques règles de base. Dans ce cadre, nous pouvons explorer, jouer et prouver des théorèmes. Ce que les mathématiques peuvent faire pour les arts, c’est aider à trouver de nouvelles structures, montrer quelles sont les possibilités. À quoi ressemblerait un morceau de musique sans armure ? Nous pouvons penser aux 12 tons et les organiser différemment, et voici toutes les façons dont vous pouvez y parvenir. Voici différentes combinaisons de couleurs que vous pouvez imaginer, voici différentes formes de mesure poétique.

Quel est un exemple de la façon dont les mathématiques ont été affectées par la littérature ?

Il y a des milliers d’années, en Inde, les poètes essayaient de réfléchir aux mètres possibles. Dans la poésie sanskrite, vous avez des syllabes longues et courtes. Long est deux fois plus long que court. Si vous voulez déterminer combien il y en a qui prennent une durée de trois, vous pouvez avoir court, court, court ou long, court ou court, long. Il existe trois façons d’en faire trois. Il existe cinq façons de créer une phrase de quatre longueurs. Et il existe huit façons de composer une phrase de cinq longueurs. Cette séquence que vous obtenez est celle où chaque terme est la somme des deux précédents. Vous reproduisez exactement ce que nous appelons aujourd’hui la séquence de Fibonacci. Mais c’était des siècles avant Fibonacci.

Qu’en est-il de l’influence des mathématiques sur la littérature ?

Une séquence assez simple, mais qui fonctionne de manière très, très puissante, c'est le livre d'Eleanor Catton Les luminaires, sorti en 2013. Elle a utilisé la séquence qui va 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Chaque chapitre de ce livre fait la moitié de la longueur du précédent. Cela crée cet effet vraiment fascinant, car le rythme s’accélère et les choix des personnages sont plus contraints. Tout se précipite vers sa conclusion. Au final, les chapitres sont extrêmement courts.

Un autre exemple de structure mathématique légèrement plus compliquée est ce qu’on appelle les carrés latins orthogonaux. Un carré latin est un peu comme une grille de sudoku. Dans ce cas, ce serait une grille de 10 x 10. Chaque numéro apparaît exactement une fois dans chaque ligne et dans chaque colonne. Les carrés latins orthogonaux sont formés en superposant deux carrés latins, de sorte qu'il y ait une paire de nombres dans chaque espace. La grille formée par le premier nombre de chaque paire est un carré latin, tout comme la grille formée par le deuxième nombre de chaque paire. De plus, dans la grille des paires, aucune paire n’apparaît plus d’une fois.

Ceux-ci sont très utiles à bien des égards. Vous pouvez en faire des codes de correction d'erreurs, qui sont utiles pour envoyer des messages sur des canaux bruyants. Mais l’un des aspects les plus intéressants de ces objets, de taille 10, est que l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, Leonhard Euler, pensait qu’ils ne pouvaient pas exister. C’était l’une des rares fois où il faisait une erreur ; c'est pourquoi c'était si excitant. Longtemps après avoir émis cette conjecture selon laquelle ces choses ne pouvaient pas exister pour des tailles particulières, elle fut réfutée et des carrés de cette taille furent découverts en 1959. C'était sur le couverture of Scientific American cette année.

Des années plus tard, un écrivain français, Georges Perec, cherchait une structure à utiliser pour son livre. La vie : un manuel d’utilisation. Il choisit un de ces carrés latins orthogonaux. Il a installé son livre dans un immeuble parisien de 100 pièces, sur un carré de 10 x 10. Chaque chapitre se déroulait dans une pièce différente et chaque chapitre avait sa saveur unique. Il avait des listes de 10 choses – différents tissus, couleurs, ce genre de choses. Chaque chapitre utiliserait une combinaison unique. C’est une façon vraiment fascinante de structurer le livre.

Vous appréciez clairement une bonne écriture. Que pensez-vous de la qualité de la rédaction des articles de recherche en mathématiques ?

C'est très variable ! Je sais que nous apprécions la brièveté, mais je pense que parfois cela va trop loin. Il y a trop d’articles qui ne contiennent aucun exemple utile.

Ce que nous apprécions en réalité, c’est un argument ingénieux qui, parce qu’il couvre tous les cas à la fois si intelligemment, est également bref et élégant. Ce n'est pas la même chose que d'écraser votre long argument dans un espace plus petit que nécessaire en couvrant la page avec des sceaux arcaniques que vous avez créés pour rendre la notation plus brève, mais que non seulement le lecteur mais probablement vous-même devrez déballer laborieusement. encore une fois afin de donner un sens à ce qui se passe.

Nous ne réfléchissons pas suffisamment à une notation utile qui rappelle au lecteur ce que l’on entend. La bonne notation peut complètement transformer une partie des mathématiques et peut également laisser la place à des généralisations. Pensez à la transition, historiquement, de l'écriture d'un inconnu, de son carré et de son cube avec trois lettres différentes, et à quel point il est plus probable, et même possible, de commencer à y penser  au moment où vous avez commencé à écrire ,  et  à la place.

Voyez-vous une évolution dans les liens entre mathématiques et art ?

Il y a tout le temps de nouvelles choses. Les fractales étaient partout dans les années 1990. Sur chaque mur des dortoirs d'étudiants, il y avait une photo du décor de Mandelbrot ou quelque chose comme ça. Tout le monde disait : « Oh, c’est excitant, les fractales. » Vous obtenez, par exemple, des musiciens, des compositeurs qui utilisent des séquences fractales dans leurs compositions.

Quand j’avais environ 16 ans, il y avait ces nouvelles choses appelées calculatrices graphiques. Très excitant. Et une amie de ma mère m’a donné ce programme capable de dessiner un jeu de Mandelbrot sur une de ces petites calculatrices graphiques. Il y avait environ, je ne sais pas, 200 pixels. Vous programmez ce truc, et ensuite j'ai dû le laisser pendant 12 heures. Il tracerait ces 200 points à la fin. Ainsi, même de simples écoliers pouvaient s’intéresser à ce sujet à la fin des années 80 et au début des années 90 et produire ces images pour eux-mêmes.

Même lorsque vous étiez à l’école, vous étiez déjà très intéressé par les mathématiques hardcore, semble-t-il.

 Je pense que j’ai été intéressé avant même de savoir que cela signifiait que j’étais mathématique. Par exemple, je faisais toujours des modèles depuis que j'étais un tout petit enfant.

Quand j’étais toute petite, mon jouet préféré était de simples carreaux de bois peints. Ils étaient de toutes les couleurs. J’en faisais des modèles, puis je les regardais fièrement pendant environ un jour, puis j’en faisais un autre.

Quand je serais un peu plus vieux, je jouerais avec les chiffres et regarderais les modèles. C'était à maman que j'allais et je disais : « Je m'ennuie ». Et puis elle disait : « Eh bien, pouvez-vous déterminer quel est le nombre de points dont vous avez besoin pour former un triangle ? » ou quoi que ce soit. Elle me ferait redécouvrir les nombres triangulaires ou quelque chose comme ça, et je serais très excité.

Ma pauvre mère, le nombre d'inventions étonnantes que j'apporterais à ma mère. « J’ai développé une toute nouvelle façon de faire quelque chose ! » Et elle disait : « OK, c’est très sympa. Mais, vous savez, Descartes y a pensé il y a des siècles. Et puis je m'en allais ; J’aurais eu une autre idée étonnante quelques jours plus tard. "C'est adorable, ma chérie. Mais les Grecs de l’Antiquité possédaient celui-là.

Vous souvenez-vous de moments particulièrement satisfaisants de votre carrière de chercheur en mathématiques ?

Les moments où vous comprenez enfin quel est le modèle que vous voyez sont toujours satisfaisants, ainsi que lorsque vous trouvez comment compléter une preuve avec laquelle vous avez lutté. Mes souvenirs les plus forts de ces sentiments de plaisir, probablement parce que c’était la première fois que je les ressentais, remontent au début de ma carrière de chercheur. Mais c’est quand même une sensation agréable d’entendre ce « aha », quand on comprend enfin ce qui se passe.

Très tôt, j'essayais de prouver quelque chose sur les groupes infinis de Coxeter. J’avais résolu certains cas et, en examinant le reste, j’ai trouvé une technique qui fonctionnerait si un critère spécifique était satisfait. Vous pouvez écrire ces relations dans un graphique, j'ai donc commencé à rassembler une collection de graphiques pour lesquels ma technique pourrait être appliquée. C'était à Noël, un an.

Au bout d'un moment, mon ensemble d'images a commencé à ressembler à un ensemble particulier de graphiques répertoriés dans un livre sur les groupes Coxeter qui se trouvait dans mon bureau, et j'ai commencé à espérer qu'il s'agissait exactement de cet ensemble de graphiques. Si c'était le cas, cela comblerait le trou dans ma preuve et mon théorème serait terminé. Mais je n’ai pas pu en être sûr avant de retourner à l’université après Noël – c’était avant qu’on puisse tout rechercher sur Google. Je pense que l'anticipation de devoir attendre pour confirmer mon intuition a rendu les choses encore meilleures lorsque je suis arrivé au livre et que j'ai comparé mon ensemble de diagrammes manuscrits avec ceux du livre, et ils correspondaient effectivement.

Que pensez-vous de la question de savoir si les mathématiques sont créées ou découvertes ? Presque personne ne dirait que l’un des romanciers dont vous parlez dans votre livre a « découvert » ses romans. Est-ce ou non une différence fondamentale entre les mathématiques et la littérature ?

C’est probablement le cas, même s’il existe encore quelques résonances.

Faire des mathématiques ressemble à une découverte. Si nous inventions les mathématiques, il ne serait sûrement pas si difficile de prouver les choses ! Parfois, nous voulons désespérément que quelque chose soit vrai, et ce n’est pas le cas. Nous ne pouvons pas éviter les conséquences de la logique, je suppose.

Tout cela ressemble à une découverte lorsque vous le faites. Certains choix reflètent ce que nous expérimentons dans le monde réel, comme les axiomes de géométrie avec lesquels nous travaillons, qui sont choisis parce que cela semble être à peu près ce qu'est la réalité – même si même là, il n'existe pas de « point » ou de « ligne » (parce que nous ne pouvons pas dessiner quelque chose qui ne prend pas de place, et qu'une ligne en géométrie n'a pas de largeur et s'étend infiniment loin).

Dans une certaine mesure, il existe des parallèles avec ce continuum dans la littérature. Une fois que vous aurez défini les règles d’un sonnet, vous aurez du mal à en écrire un dont la première ligne se termine par « orange » ou « cheminée ».

Mais je ne peux pas m'empêcher de partager quelque chose que J.R.R. Tolkien a dit à propos de l'écriture Bilbo le Hobbit: « Tout a commencé quand je lisais des copies d’examen pour gagner un peu d’argent supplémentaire. … Eh bien, un jour, je suis tombé sur une page blanche d'un cahier d'examen et j'ai griffonné dessus. « Dans un trou dans le sol vivait un hobbit. » Je n’en savais pas plus sur ces créatures, et il a fallu des années avant que son histoire ne prenne de l’ampleur. Je ne sais pas d’où vient le mot.

Les Hobbits : les a-t-il créés ou découverts ?