Si vous souhaitez carreler le sol d'une salle de bain, les carreaux carrés sont l'option la plus simple : ils s'emboîtent sans aucun espace dans un motif en grille qui peut continuer indéfiniment. Cette grille carrée a une propriété partagée par de nombreux autres pavages : décalez toute la grille d'une quantité fixe, et le motif résultant est impossible à distinguer de l'original. Mais pour de nombreux mathématiciens, de tels carrelages « périodiques » sont ennuyeux. Si vous avez vu une petite parcelle, vous avez tout vu.

Dans les années 1960, les mathématiciens ont commencé à étudier jeux de tuiles « apériodiques » avec un comportement beaucoup plus riche. Le plus célèbre est peut-être une paire de carreaux en forme de losange découverts dans les années 1970 par le physicien polymathe et futur lauréat du prix Nobel. Roger Penrose. Les copies de ces deux carreaux peuvent former une infinité de motifs différents qui durent éternellement, appelés carrelages Penrose. Pourtant, quelle que soit la façon dont vous disposez les carreaux, vous n’obtiendrez jamais un motif répétitif périodique.

"Ce sont des carrelages qui ne devraient pas vraiment exister", a déclaré Nicolas Breuckmann, physicien à l'Université de Bristol.

Depuis plus d’un demi-siècle, les carrelages apériodiques fascinent les mathématiciens, les amateurs et les chercheurs dans de nombreux autres domaines. Aujourd'hui, deux physiciens ont découvert un lien entre les pavages apériodiques et une branche apparemment sans rapport de l'informatique : l'étude de la manière dont les futurs ordinateurs quantiques peuvent coder des informations pour protégez-le des erreurs. Dans un papier publié sur le serveur de préimpression arxiv.org en novembre, les chercheurs ont montré comment transformer les pavages de Penrose en un tout nouveau type de code de correction d'erreurs quantiques. Ils ont également construit des codes similaires basés sur deux autres types de carrelage apériodique.

Au cœur de la correspondance se trouve une observation simple : dans les pavages apériodiques et les codes de correction d’erreurs quantiques, l’apprentissage d’une petite partie d’un grand système ne révèle rien sur le système dans son ensemble.

"C'est une de ces belles choses qui semblent évidentes rétrospectivement", a déclaré Toby Cubitt, chercheur en information quantique à l'University College de Londres. « Vous vous dites : « Pourquoi n'y ai-je pas pensé ? »

Savoir interdit

Les ordinateurs ordinaires représentent les informations à l'aide de bits avec deux états distincts, étiquetés 0 et 1. Les bits quantiques, ou qubits, ont également deux états, mais ils peuvent également être amenés à former des superpositions dans lesquelles leurs états 0 et 1 coexistent. En exploitant des superpositions plus élaborées impliquant de nombreux qubits, ordinateurs quantiques peut effectuer certains calculs beaucoup plus rapidement que n’importe quelle machine conventionnelle.

Pourtant, les superpositions quantiques sont des créatures capricieuses. Mesurez un qubit dans un état de superposition et il s'effondrera à 0 ou 1, effaçant tout calcul en cours. Pire encore, les erreurs résultant de faibles interactions entre les qubits et leur environnement peuvent imiter les effets destructeurs des mesures. Tout ce qui frotte un qubit dans le mauvais sens, qu'il s'agisse d'un chercheur curieux ou d'un photon parasite, peut gâcher le calcul.

Cette extrême fragilité pourrait rendre l’informatique quantique désespérée. Mais en 1995, le mathématicien appliqué Peter Shor découvert une manière intelligente de stocker des informations quantiques. Son codage avait deux propriétés clés. Premièrement, il pouvait tolérer des erreurs affectant uniquement des qubits individuels. Deuxièmement, il était doté d’une procédure permettant de corriger les erreurs au fur et à mesure qu’elles se produisaient, évitant ainsi qu’elles ne s’accumulent et ne fassent dérailler un calcul. La découverte de Shor était le premier exemple de code de correction d'erreurs quantiques, et ses deux propriétés clés sont les caractéristiques déterminantes de tous ces codes.

La première propriété découle d'un principe simple : l'information secrète est moins vulnérable lorsqu'elle est divisée. Les réseaux d'espionnage emploient une stratégie similaire. Chaque espion sait très peu de choses sur le réseau dans son ensemble, de sorte que l'organisation reste en sécurité même si un individu est capturé. Mais les codes de correction d’erreurs quantiques poussent cette logique à l’extrême. Dans un réseau d’espionnage quantique, aucun espion à lui seul ne saurait quoi que ce soit, mais ensemble, ils en sauraient beaucoup.

Chaque code correcteur d’erreurs quantiques est une recette spécifique pour distribuer des informations quantiques sur plusieurs qubits dans un état de superposition collective. Cette procédure transforme efficacement un cluster de qubits physiques en un seul qubit virtuel. Répétez le processus plusieurs fois avec un large éventail de qubits et vous obtiendrez de nombreux qubits virtuels que vous pourrez utiliser pour effectuer des calculs.

Les qubits physiques qui composent chaque qubit virtuel sont comme ces espions quantiques inconscients. Mesurez n’importe lequel d’entre eux et vous n’apprendrez rien sur l’état du qubit virtuel dont il fait partie – une propriété appelée indiscernabilité locale. Étant donné que chaque qubit physique ne code aucune information, les erreurs dans des qubits uniques ne ruineront pas un calcul. Les informations importantes sont partout, mais nulle part en particulier.

"Vous ne pouvez pas l'attribuer à un qubit individuel", a déclaré Cubitt.

Tous les codes quantiques de correction d’erreurs peuvent absorber au moins une erreur sans aucun effet sur les informations codées, mais ils finiront tous par succomber à mesure que les erreurs s’accumulent. C’est là qu’intervient la deuxième propriété des codes de correction d’erreurs quantiques : la correction d’erreurs proprement dite. Ceci est étroitement lié à l'indiscernabilité locale : étant donné que les erreurs dans les qubits individuels ne détruisent aucune information, il est toujours possible de annuler toute erreur en utilisant des procédures établies spécifiques à chaque code.

Emmené pour un tour

Li Li, postdoctorant à l'Institut Périmètre de physique théorique de Waterloo, au Canada, connaissait bien la théorie de la correction des erreurs quantiques. Mais le sujet était loin de son esprit lorsqu'il entama la conversation avec son collègue Latham Boyle. C'était à l'automne 2022, et les deux physiciens prenaient une navette en soirée entre Waterloo et Toronto. Boyle, un expert en carrelages apériodiques qui vivait à Toronto à l'époque et qui travaille maintenant à l'Université d'Édimbourg, était un visage familier sur ces trajets en navette, qui restaient souvent coincés dans un trafic intense.

"Normalement, ils pourraient être très malheureux", a déclaré Boyle. "C'était comme le plus grand de tous les temps."

Avant cette soirée fatidique, Li et Boyle connaissaient le travail de chacun, mais leurs domaines de recherche ne se chevauchaient pas directement et ils n'avaient jamais eu de conversation en tête-à-tête. Mais comme d’innombrables chercheurs dans des domaines non liés, Li était curieux des pavages apériodiques. « C'est très difficile de ne pas être intéressé », dit-il.

L'intérêt s'est transformé en fascination lorsque Boyle a mentionné une propriété particulière des pavages apériodiques : l'indiscernabilité locale. Dans ce contexte, le terme signifie quelque chose de différent. Le même ensemble de tuiles peut former une infinité de pavages qui semblent globalement complètement différents, mais il est impossible de distinguer deux pavages en examinant une zone locale. En effet, chaque parcelle finie d'un pavage, quelle que soit sa taille, apparaîtra quelque part dans tous les autres pavages.

"Si je vous laisse tomber dans un carrelage ou dans l'autre et que je vous donne le reste de votre vie à explorer, vous ne saurez jamais si je vous ai déposé dans votre carrelage ou dans le mien", a déclaré Boyle.

Pour Li, cela semblait étonnamment similaire à la définition de l’indiscernabilité locale dans la correction d’erreurs quantiques. Il a mentionné le lien avec Boyle, qui a été immédiatement stupéfait. Les mathématiques sous-jacentes dans les deux cas étaient très différentes, mais la ressemblance était trop intrigante pour être écartée.

Li et Boyle se sont demandés s'ils pouvaient établir un lien plus précis entre les deux définitions de l'indiscernabilité locale en construisant un code de correction d'erreurs quantiques basé sur une classe de pavages apériodiques. Ils ont continué à discuter pendant tout le trajet de deux heures en navette et, lorsqu'ils sont arrivés à Toronto, ils étaient sûrs qu'un tel code était possible : il s'agissait simplement d'en construire une preuve formelle.

Tuiles quantiques

Li et Boyle ont décidé de commencer avec les carrelages Penrose, simples et familiers. Pour les transformer en un code de correction d’erreurs quantiques, ils devraient d’abord définir à quoi ressembleraient les états quantiques et les erreurs dans ce système inhabituel. Cette partie était facile. Un plan bidimensionnel infini recouvert de tuiles de Penrose, comme une grille de qubits, peut être décrit en utilisant le cadre mathématique de la physique quantique : les états quantiques sont des pavages spécifiques au lieu de 0 et de 1. Une erreur supprime simplement un seul patch du motif de mosaïque, de la même manière que certaines erreurs dans les tableaux de qubits effacent l'état de chaque qubit dans un petit cluster.

L'étape suivante consistait à identifier les configurations de pavage qui ne seraient pas affectées par des erreurs localisées, comme les états de qubits virtuels dans les codes correcteurs d'erreurs quantiques ordinaires. La solution, comme dans un code ordinaire, consistait à utiliser des superpositions. Une superposition soigneusement choisie de carrelages Penrose s'apparente à un agencement de carrelage de salle de bain proposé par le décorateur d'intérieur le plus indécis au monde. Même s’il manque un morceau de ce plan confus, il ne trahira aucune information sur le plan d’étage global.

Pour que cette approche fonctionne, Li et Boyle ont d’abord dû distinguer deux relations qualitativement différentes entre des pavages de Penrose distincts. Étant donné n'importe quel pavage, vous pouvez générer un nombre infini de nouveaux pavages en le déplaçant dans n'importe quelle direction ou en le faisant pivoter. L’ensemble de tous les pavages générés de cette manière est appelé une classe d’équivalence.

Mais tous les carrelages Penrose n’entrent pas dans la même classe d’équivalence. Un pavage dans une classe d'équivalence ne peut pas être transformé en pavage dans une autre classe par une combinaison de rotations et de traductions - les deux modèles infinis sont qualitativement différents, mais toujours localement indiscernables.

Une fois cette distinction établie, Li et Boyle pourraient enfin construire un code correcteur d’erreurs. Rappelons que dans un code correcteur d’erreurs quantiques ordinaire, un qubit virtuel est codé en superpositions de qubits physiques. Dans leur code basé sur le carrelage, les états analogues sont des superpositions de tous les carrelages au sein d'une seule classe d'équivalence. Si le plan est recouvert de ce type de superposition, il existe une procédure permettant de combler les lacunes sans révéler aucune information sur l'état quantique global.

"Le carrelage de Penrose connaissait d'une manière ou d'une autre la correction des erreurs quantiques avant l'invention de l'ordinateur quantique", a déclaré Boyle.

L'intuition de Li et Boyle pendant le trajet en bus s'était avérée juste. Au fond, les deux définitions de l’indiscernabilité locale étaient elles-mêmes indiscernables.

Trouver le modèle

Bien que mathématiquement bien défini, le nouveau code de Li et Boyle n'était guère pratique. Les bords des tuiles dans les pavages Penrose ne tombent pas à intervalles réguliers, donc spécifier leur distribution nécessite des nombres réels continus plutôt que des entiers discrets. Les ordinateurs quantiques, quant à eux, utilisent généralement des systèmes discrets comme des grilles de qubits. Pire encore, les pavages de Penrose ne sont indiscernables que localement sur un plan infini, ce qui ne se traduit pas bien dans le monde réel fini.

"C'est un lien très curieux", a déclaré Barbara Terhal, chercheur en informatique quantique à l'Université de technologie de Delft. "Mais c'est aussi bien de ramener les choses sur terre."

Li et Boyle ont déjà fait un pas dans cette direction, en construisant deux autres codes basés sur le pavage dans lesquels le système quantique sous-jacent est fini dans un cas et discret dans l'autre. Le code discret peut également être rendu fini, mais d'autres défis demeurent. Les deux codes finis ne peuvent corriger que les erreurs regroupées, tandis que les codes de correction d’erreurs quantiques les plus populaires peuvent gérer les erreurs distribuées de manière aléatoire. Il n'est pas encore clair s'il s'agit d'une limitation inhérente aux codes basés sur le carrelage ou si elle pourrait être contournée grâce à une conception plus intelligente.

« De nombreux travaux de suivi peuvent être effectués », a déclaré Félix Scintillement, physicien à l'Université de Bristol. "Tous les bons journaux devraient faire ça."

Ce ne sont pas seulement les détails techniques qui doivent être mieux compris : la nouvelle découverte soulève également des questions plus fondamentales. Une prochaine étape évidente consiste à déterminer quels autres pavages fonctionnent également comme codes. L'année dernière, des mathématiciens ont découvert une famille de carrelages apériodiques que chacun n’utilise qu’une seule tuile. "Il serait fascinant de voir comment ces développements récents pourraient peut-être être liés au problème de la correction des erreurs quantiques", a écrit Penrose dans un e-mail.

Une autre direction consiste à explorer les liens entre les codes de correction d'erreurs quantiques et certains modèles de gravité quantique. Dans un papier 2020, Boyle, Flicker et feu Madeline Dickens ont montré que des pavages apériodiques apparaissent dans la géométrie espace-temps de ces modèles. Mais ce lien découle d'une propriété des pavages qui ne joue aucun rôle dans le travail de Li et Boyle. Il semble que la gravité quantique, la correction d’erreurs quantiques et les pavages apériodiques soient différentes pièces d’un puzzle dont les chercheurs commencent tout juste à comprendre les contours. Comme pour les carrelages apériodiques eux-mêmes, comprendre comment ces pièces s'emboîtent peut être remarquablement subtil.

« Il existe des racines profondes qui relient ces différentes choses », a déclaré Flicker. «Cet ensemble de connexions alléchantes ne demande qu’à être élaboré.»