Au cours des deux dernières années, les mathématiciens ont identifié les meilleures versions des formes d’une salle de jeux pour enfants. Ces résultats occupent un aspect étrange des mathématiques et, à juste titre, ont été produits par des collaborations improbables, impliquant un mathématicien pratiquant l'origami avec sa femme et un professeur apprenant à ses étudiants à jouer avec du papier.

Le travail s’inscrit dans le cadre de l’étude des formes « optimales », ce qui implique de comprendre quelle version d’une forme atteint le mieux un objectif compte tenu de certaines contraintes. Les abeilles le comprennent implicitement : elles construisent des nids d’abeilles avec des cellules hexagonales, car les hexagones offrent la plus grande capacité de stockage en utilisant le moins de ressources.

Au moins dans la tradition, la première personne à rechercher une telle forme fut Didon, la reine fondatrice de Carthage. Après avoir débarqué sur ce qui est aujourd’hui la côte tunisienne, elle a conclu un accord avec le roi berbère Iarbas. Il accepta de lui donner toutes les terres qu'elle pourrait enfermer dans une seule peau de bœuf. Plutôt que de poser la maigre peau à plat, comme Iarbas l'avait prévu, Didon la coupa en fines lanières, qu'elle utilisa pour encercler et revendiquer une colline entière. L’idée de la reine ascendante était qu’avec une quantité fixe de matériau, la forme optimale entourant la zone, qui définissait les limites de la ville de Carthage, était le cercle.

« Ils ont généralement cette saveur. Il existe une famille d’objets et vous voulez savoir lequel maximise ceci ou minimise cela », a déclaré Richard Schwartz de l'Université Brown, qui a publié trois résultats sur les formes optimales coup sur coup à partir d'août dernier, dont un avec sa femme, Brienne Elisabeth Brown.

Tous les résultats récents visent à minimiser la quantité de papier, de corde ou de ficelle utilisée pour créer une forme particulière. La récente course de Schwartz a commencé avec la bande de Möbius, qui est formée en prenant une bande de papier, en lui donnant une torsion et en joignant les extrémités. Il a la particularité bizarre d’être une surface qui n’a qu’un seul côté, ce qui signifie que vous pouvez tracer toute sa surface sans jamais lever le doigt.

Dès les années 1930, les mathématiciens ont essayé de trouver le rectangle le plus trapu possible pouvant être tordu en une bande de Möbius. Il semble intuitivement clair qu’il est facile de tordre un long et mince rectangle en une bande unilatérale, mais que cela est impossible avec un carré. Mais où est exactement la frontière ?

Les formes optimales apparaissent lorsque nous essayons de minimiser ou de maximiser une valeur, comme, dans ce cas, le rapport entre la largeur d'une bande et sa longueur. D’un point de vue mathématique crucial, ils constituent la version la plus extrême d’une forme. L'étude des formes optimales constitue un pont entre la géométrie, dans laquelle la longueur compte, et la topologie, une branche des mathématiques qui traite des objets idéalisés, extensibles et compressibles à l'infini. En topologie, les bandes de Möbius de différentes tailles sont interchangeables, puisqu'une petite bande peut être étirée en une grande, une large écrasée en une fine, et ainsi de suite. De même, les bandes rectangulaires de toute taille sont toutes identiques, topologiquement.

Cependant, l’opération de torsion d’une bande et de jonction des extrémités change la donne. Tenir compte des formes optimales, c’est tenir compte des limites de la topologie. Oui, vous pouvez insérer une bande de Möbius dans une autre. Mais jusqu’où pouvez-vous presser avant qu’il ne devienne impossible d’aller plus loin ?

"Une question est de savoir quelle est la longueur minimale et l'autre est de savoir s'il existe un moyen d'atteindre cette longueur minimale et à quoi cela ressemble-t-il", a déclaré Elizabeth Denné de l'Université de Washington et Lee.

Au total, au moins cinq résultats ont été obtenus ces dernières années qui ont identifié de nouvelles meilleures valeurs pour différentes formes, notamment la bande de Möbius (avec une seule torsion), la bande de Möbius à trois torsions et le nœud simple. Certains de ces résultats identifient la valeur la plus connue pour une forme ; d’autres vont plus loin et prouvent qu’aucune meilleure valeur n’est possible.

La bande de Möbius optimale

Pour formaliser la proximité d'un rectangle avec un carré, les mathématiciens utilisent un nombre appelé rapport hauteur/largeur. C'est simplement la longueur divisée par la largeur. Un carré a un rapport hauteur/largeur de 1, tandis qu'un rectangle long et mince en forme de ruban a un rapport hauteur/largeur beaucoup plus grand. Ce ruban a beaucoup de jeu, ce qui permet aux extrémités du rectangle d'être tordues et attachées les unes aux autres. Mais à mesure que la bande devient plus courte et que le rapport hauteur/largeur se rapproche de 1 (un carré), cela devient plus difficile. À un moment donné, ce n’est plus possible.

En 1977, deux mathématiciens ont émis l'hypothèse que pour être tordu dans une bande de Möbius, un rectangle de largeur 1 devait être plus long que $latex sqrt{3}$, comme dans la bande en bas à droite. En août 2023, Schwartz a prouvé qu’ils avaient raison : si c’est plus proche d’un carré que cela, il n’y a aucun moyen de tordre le rectangle en une bande de Möbius.

Vous pourriez être tenté de trouver une solution de contournement intelligente. Si vous pliez un carré comme un accordéon, créant ainsi une fine bande de papier, vous pouvez ensuite le tordre pour obtenir une bande de Möbius. Mais cela ne compte pas, car les plis sont nets et non lisses. (La douceur a une signification mathématique particulière qui correspond au sens anglais simple.)

Un outil central pour déterminer à quoi ressemblent les formes optimales est appelé « forme limite ». Les formes limites sont différentes sur des aspects cruciaux des formes optimisées, mais partagent également certaines de leurs propriétés. Par analogie grossière, pensez à la façon dont si vous étirez un rectangle pour le rendre plus long et plus fin, il commence à ressembler à une ligne, ou à la façon dont les polygones avec de plus en plus de côtés commencent à ressembler à un cercle.

Dans ce cas, Schwartz crée une forme limite pour la bande de Möbius. Commencez avec un morceau de papier plat d'une unité de large et de $latex sqrt{3}$ unités de long. Commencez par le plier en suivant les instructions ci-dessous. Cela créera des plis nets semblables à ceux de l'accordéon, mais dans un instant, nous adoucirons ces plis en relâchant un peu le papier.

Pliez vers le bas à partir du coin supérieur gauche et vers le haut à partir du coin inférieur droit, créant ainsi un losange. Repliez ensuite sur la ligne médiane du diamant et collez ensemble les deux bords, représentés par des lignes pointillées bleues et jaunes, qui se rejoignent à l'intérieur du diamant. Maintenant, ajoutez juste un tout petit peu de jeu en rendant la bande un peu plus longue ou un peu plus étroite, afin de pouvoir séparer les triangles. C'est votre bande de Möbius. Une fourmi infinitésimale qui voyageait à la surface du triangle, en suivant les plis, en ferait tout le tour : elle n'a qu'un seul côté.

Les mathématiciens savent depuis longtemps qu’un tel triangle est une forme limitante pour les bandes de Möbius. Schwartz a montré qu'il n'existe pas d'autres formes limites permettant d'obtenir une bande plus trapue. Pour ce faire, il a utilisé le « T » formé par les plis du triangle, comme on le voit dans le triangle le plus à droite ci-dessus.

Schwartz arguments combinés de la topologie et de la géométrie. Il a utilisé la topologie pour montrer que sur chaque bande de papier de Möbius, il est possible de tracer des lignes sécantes qui forment un T d'une manière particulière. Ensuite, en utilisant une géométrie de base - le théorème de Pythagore et l'inégalité triangulaire - il a montré que si un tel T existe (ce qui doit être le cas), le rapport hauteur/largeur de la bande doit être supérieur à $latex sqrt {3}$.

Le cylindre de papier torsadé optimal

Après que Schwartz ait identifié la bande de Möbius optimale, les gens lui ont demandé : que se passerait-il avec plus de rebondissements ? Tout nombre impair de torsions produit une bande de Möbius, car la forme résultante n'a toujours qu'un seul côté. D’un autre côté, un nombre pair de torsions donne une structure à deux côtés appelée cylindre torsadé (illustré en bas à gauche). Contrairement à un cylindre ordinaire, il n’a pas d’intérieur et d’extérieur bien définis.

Après son article sur la bande de Möbius, Schwartz prouvé fin septembre, la forme limite du cylindre torsadé peut être obtenue en pliant un rectangle 1 par 2 formé de quatre triangles isocèles droits empilés (comme indiqué ci-dessus à droite). Pour commencer, pliez le triangle B derrière le triangle A et le triangle D au-dessus du triangle C. (Les flèches en pointillé indiquent les plis vers l'arrière et les flèches pleines indiquent les plis vers l'avant.) Pliez ensuite le triangle obtenu en deux en mettant la moitié inférieure. derrière la moitié supérieure. Collez ensuite ensemble les lignes pointillées bleues et jaunes (qui étaient à l'origine le haut et le bas du rectangle). Enfin, allongez légèrement le rectangle de départ, de manière à avoir suffisamment de jeu pour tirer la forme plate vers le haut en un cylindre tordu écrasé. "L'idée de base est de construire d'abord la forme limite, puis de la détendre un peu et d'arrondir les plis", a écrit Schwartz. "Je pense que c'est un peu comme fabriquer la chose puis la tremper toute la nuit dans l'eau." Comme vous pouvez le voir sur la figure (en haut à droite), la forme du triangle empilé est deux fois plus longue que large, donc le rapport hauteur/largeur optimal du cylindre torsadé est de 2.

La bande Möbius optimale à trois torsions

Schwartz a ensuite porté son attention sur la bande de Möbius à trois torsions. Comme la bande à une torsion, il s’agit d’une figure à un côté, mais en raison des deux torsions supplémentaires, sa limite est plus compliquée. Schwartz pensait que sa forme limite serait l'hexaflexagone, une forme déroutante popularisée par Martin Gardner dans un livre. Colonne 1956 in Scientific American. Les hexaflexagones sont fabriqués en pliant une bande de triangles équilatéraux et en collant les extrémités ensemble. Un hexaflexagone aplati ressemble à un hexagone divisé en six triangles. Mais il peut être « fléchi » en pinçant les côtés adjacents ensemble, comme dans jeu pour enfants MASH. Lorsqu’il est à nouveau ouvert, un ensemble différent de triangles est tourné vers l’extérieur. "C'est comme si une diseuse de bonne aventure et un groupe de Möbius avaient un bébé", a déclaré Schwartz.

Mais l’épouse de Schwartz, Brienne Elisabeth Brown, a elle-même commencé à jouer avec le papier et a révélé que l’hexaflexagone était « un peu une fausse piste », a déclaré Schwartz. Brown a trouvé une construction qu'elle appelle le « entrecroisé » (illustré ci-dessous) qui est une forme limite d'une bande de Möbius à trois torsions et est trois fois plus longue que large. Commencez par plier le long de la ligne diagonale au milieu de la bande, en plaçant la partie inférieure devant la partie supérieure. Ensuite, vous pliez le triangle supérieur droit devant le triangle inférieur et à sa gauche. Vous avez maintenant la forme montrée à l'étape 2 : un parallélogramme incliné avec un carré dépassant vers la droite. Amenez le carré derrière le parallélogramme et le triangle du haut devant le carré qui se trouve maintenant en dessous. Cela crée un nouveau carré, illustré à l'étape 3.

Ce qui était à l'origine les bords supérieur et inférieur (indiqués par des lignes pointillées bleues et jaunes) se trouvent maintenant tous deux sur le bord gauche du carré ; Collez-les ensemble et vous avez créé une forme limite pour une bande de Möbius à trois torsions. Comme dans le cas de la bande à une torsion, cette forme plate n'est pas en soi une bande de Möbius, mais si on lui donne juste un peu plus de longueur pour qu'elle puisse se détendre en trois dimensions sans courbures brusques, elle formera une bande à trois torsions.

Brown et Schwartz ont également trouvé une forme limite complètement différente pour le cylindre à trois torsions, qu'ils appellent la coupelle. Contrairement au modèle entrecroisé, la coupe ne peut pas être posée à plat. Cependant, comme le quadrillage, il est trois fois plus long que large. Dans un papier posté le 16 octobre, Brown et Schwartz expliquent pourquoi ils pensent que la bande optimale à trois torsions a un rapport hauteur/largeur de 3. Mais ils n'ont pas encore pu le prouver, en partie à cause de l'existence de la coupelle, qui ne peut pas le prouver. être aplati, signifie que les types d'arguments avancés par Schwartz dans les cas à une et deux torsions ne peuvent pas être étendus au cas à trois torsions.

Noeuds de trèfle optimaux

Toutes les formes optimales ne sont pas des variantes de la bande de Möbius. Les mathématiciens réfléchissent également à la quantité de matériel dont vous avez besoin pour réaliser différents types de nœuds. En 2020, cette et deux de ses étudiants de premier cycle – John Carr Haden et Troy Larsen – étudiaient les nœuds qui peuvent être dessinés à la surface d'un tore ou d'un beignet.

Le nœud torique le plus simple – en fait, le nœud non trivial le plus simple, point final – s’appelle un trèfle. C'est comme celui que beaucoup de gens utilisent dans la première étape pour attacher leurs lacets en faisant une boucle dans un morceau de corde et en tirant une extrémité à travers, si au lieu de faire ensuite un nœud, ils collaient simplement les pointes des lacets ensemble pour former un nœud simple avec les deux extrémités libres connectées.

La manière habituelle d'attacher le trèfle équivaut à enrouler un morceau de ficelle autour du tore comme indiqué ici :