En octobre, une fusée Falcon Heavy devrait être lancée depuis Cap Canaveral en Floride, transportant la mission Europa Clipper de la NASA. La mission, d'un coût de 5 milliards de dollars, vise à déterminer si Europe, la quatrième plus grande lune de Jupiter, peut accueillir la vie. Mais comme Europe est constamment bombardée par un rayonnement intense créé par le champ magnétique de Jupiter, le vaisseau spatial Clipper ne peut pas orbiter autour de la Lune elle-même. Au lieu de cela, il glissera sur une orbite excentrique autour de Jupiter et collectera des données en se balançant à plusieurs reprises autour d’Europe – 53 fois au total – avant de se retirer du pire rayonnement. Chaque fois que le vaisseau spatial fera le tour de Jupiter, sa trajectoire sera légèrement différente, ce qui lui permettra de prendre des photos et de collecter des données depuis les pôles d'Europe jusqu'à son équateur.

Pour planifier des circuits alambiqués comme celui-ci, les planificateurs de trajectoire utilisent des modèles informatiques qui calculent méticuleusement la trajectoire, étape par étape. La planification prend en compte des centaines d'exigences de mission et s'appuie sur des décennies de recherche mathématique sur les orbites et sur la manière de les intégrer dans des tournées complexes. Les mathématiciens développent actuellement des outils qui, espèrent-ils, pourront être utilisés pour créer une compréhension plus systématique des relations entre les orbites.

« Ce dont nous disposons, ce sont les calculs précédents que nous avons effectués, qui nous guident dans les calculs actuels. Mais ce n'est pas une image complète de toutes les options dont nous disposons », a déclaré Daniel Scheeres, ingénieur aérospatial à l'Université du Colorado, Boulder.

"Je pense que c'était ma plus grande frustration quand j'étais étudiant", a déclaré Dayung Koh, ingénieur au Jet Propulsion Laboratory de la NASA. "Je sais que ces orbites sont là, mais je ne sais pas pourquoi." Compte tenu du coût et de la complexité des missions vers les lunes de Jupiter et de Saturne, ne pas savoir pourquoi les orbites sont là où elles se trouvent est un problème. Et s’il existait une orbite complètement différente qui permettrait de faire le travail avec moins de ressources ? Comme l’a dit Koh : « Est-ce que je les ai tous trouvés ? Y en a-t-il d'autres ? Je ne peux pas le dire.

Après avoir obtenu son doctorat à l’Université de Californie du Sud en 2016, Koh s’est intéressée à la façon dont les orbites peuvent être cataloguées en familles. Les orbites joviennes éloignées d'Europe forment une telle famille ; il en va de même pour les orbites proches d’Europe. Mais d'autres familles sont moins évidentes. Par exemple, pour deux corps quelconques, comme Jupiter et Europe, il existe un point intermédiaire où les effets gravitationnels des deux corps s'équilibrent pour créer des points stables. Les vaisseaux spatiaux peuvent orbiter autour de ce point, même s'il n'y a rien au centre de l'orbite. Ces orbites forment une famille appelée orbites de Lyapunov. Ajoutez un peu d'énergie à une telle orbite en allumant un moteur de vaisseau spatial, et dans un premier temps vous resterez dans la même famille. Mais ajoutez-en suffisamment et vous passerez à une autre famille, par exemple une famille qui inclut Jupiter dans ses orbites. Certaines familles d'orbites peuvent nécessiter moins de carburant que d'autres, rester exposées au soleil à tout moment ou avoir d'autres fonctionnalités utiles.

En 2021, Koh est tombé sur un article qui expliquait comment gérer les orbites chaotiques du point de vue de la géométrie symplectique, un domaine abstrait des mathématiques qui est généralement très éloigné des détails désordonnés du monde réel. Elle a commencé à soupçonner que la géométrie symplectique pourrait disposer des outils dont elle avait besoin pour mieux comprendre les orbites, et elle a pris contact avec Augustin Moreno, l'auteur de l'article. Moreno, alors chercheur postdoctoral à l'Université d'Uppsala en Suède, a été surpris et heureux d'apprendre que quelqu'un à la NASA s'intéressait à son travail. "C'était inattendu, mais c'était aussi très intéressant et motivant en même temps", a-t-il déclaré.

Les deux hommes commencèrent à travailler ensemble, cherchant à appliquer les techniques abstraites de Moreno au système Jupiter-Europe ainsi qu'à Saturne et à sa lune Encelade, qui, comme Europe, pourrait avoir de la vie dans son océan souterrain. Au cours de la dernière année, avec d'autres collaborateurs, ils ont rédigé une série d'articles qui créer un cadre en catalogage des orbites. En janvier, Moreno, aujourd'hui professeur à l'Université de Heidelberg, a finalisé une première ébauche qui a transformé son document d'enquête en un document d'enquête. livre sur le sujet. Avec ce livre, il souhaite rendre le domaine abstrait de la géométrie symplectique utile aux ingénieurs qui tentent de planifier des missions spatiales. S’il réussit, il réunira des domaines de recherche qui se sont développés au fil des siècles.

Pas de voie royale vers la géométrie

La géométrie symplectique trouve ses racines dans la physique. Pour prendre un exemple simple, imaginez un pendule. Son mouvement peut être décrit par deux paramètres : l'angle et la vitesse. Si la vitesse est suffisamment faible, le pendule oscillera d'avant en arrière. Si la vitesse est plus élevée, il tournera en cercle. Dans un pendule idéalisé sans friction, une fois que vous avez choisi un angle de départ et une vitesse, le comportement du système est déterminé pour toujours.

Vous pouvez créer un graphique avec l'angle comme x-axe et la vitesse comme le y-axe. Mais comme voyager à 360 degrés vous ramène au début, vous pouvez coudre ensemble les lignes verticales où x est zéro degré et où x est à 360 degrés. Cela fait un cylindre. Le cylindre ne reflète pas directement la réalité physique – il ne montre pas les chemins tracés par le pendule – mais chaque point représente un état particulier du pendule. Le cylindre, ainsi que les lois qui déterminent les chemins que peut suivre le pendule, forment un espace symplectique.

Depuis le début du XVIIe siècle, lorsque Johannes Kepler a formulé ses lois, les physiciens et les mathématiciens savent parfaitement comment décrire le mouvement de deux corps soumis à la gravité. Selon la vitesse à laquelle ils se déplacent, leurs trajectoires forment une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Les espaces symplectiques correspondants sont plus compliqués que celui d'un pendule, mais toujours traitables. Mais l’introduction d’un troisième objet rend impossible le calcul de solutions analytiques exactes. Et cela devient encore plus compliqué si vous ajoutez plus de corps au modèle. "Sans cette vision analytique, vous vous retrouvez presque toujours, à un certain niveau, dans le noir", a déclaré Scheeres.

Un vaisseau spatial qui peut se déplacer librement dans n’importe quelle direction – de droite à gauche, de haut en bas et d’avant en arrière – a besoin de trois coordonnées pour décrire sa position et de trois autres pour décrire sa vitesse. Cela fait un espace symplectique à six dimensions. Pour décrire le mouvement de trois corps, comme Jupiter, Europe et un vaisseau spatial, vous avez besoin de 18 dimensions : six par corps. La géométrie de l'espace est définie non seulement par le nombre de dimensions qu'il possède, mais également par les courbes qui montrent comment le système physique décrit évolue au fil du temps.

Moreno et Koh ont travaillé sur une version « restreinte » du problème à trois corps dans laquelle l’un des corps (le vaisseau spatial) est si petit qu’il n’a aucun impact sur les deux autres (Jupiter et Europe). Pour simplifier davantage les choses, les chercheurs ont supposé que l'orbite de la Lune était parfaitement circulaire. Vous pouvez considérer son orbite circulaire comme un arrière-plan stable sur lequel considérer la trajectoire de la sonde spatiale. L'espace symplectique ne doit tenir compte que de la position et de la vitesse du vaisseau spatial, puisque le mouvement de Jupiter et d'Europe peut être facilement décrit. Ainsi, au lieu d’être à 18 dimensions, l’espace symplectique correspondant est à six dimensions. Lorsqu'un chemin dans cet espace à six dimensions forme une boucle, il représente une orbite périodique du vaisseau spatial à travers le système planète-lune.

Lorsque Koh a contacté Moreno, elle était curieuse de connaître les cas où l'ajout d'un tout petit peu d'énergie faisait passer l'orbite d'un vaisseau spatial d'une famille à une autre. Ces points de rencontre entre familles d'orbites sont appelés points de bifurcation. Souvent, de nombreuses familles se réunissent en un même point. Cela les rend particulièrement utiles aux planificateurs de trajectoire. "Comprendre la structure de bifurcation vous donne une feuille de route indiquant où se trouvent les trajectoires intéressantes que vous devriez examiner", a déclaré Scheeres. Koh voulait savoir comment identifier et prédire les points de bifurcation.

Après avoir entendu Koh, Moreno a fait appel à quelques autres géomètres : Urs Frauenfelder de l'Université d'Augsbourg, Cengiz Aydin de l'Université de Heidelberg, et Otto van Koert de l'Université nationale de Séoul. Frauenfelder et van Koert étudiaient depuis longtemps le problème des trois corps en utilisant la géométrie symplectique, même découvrir une nouvelle famille potentielle d’orbites. Mais même si les ingénieurs qui planifient les missions spatiales ont utilisé une myriade d'outils mathématiques, ils ont été intimidés au cours des dernières décennies par l'abstraction croissante de la géométrie symplectique.

Au cours des mois suivants, l'ingénieur et les quatre mathématiciens se familiarisent petit à petit avec leurs domaines respectifs. « Lorsqu'on fait un travail interdisciplinaire, il faut du temps pour, disons, surmonter les barrières linguistiques », a déclaré Moreno. "Mais une fois que vous avez fait un travail patient, cela commence à porter ses fruits."

La boîte à outils

L'équipe a rassemblé un certain nombre d'outils qui, espère-t-elle, seront utiles aux planificateurs de mission. L'un des outils est un nombre appelé indice de Conley-Zehnder qui peut aider à déterminer quand deux orbites appartiennent à la même famille. Pour le calculer, les chercheurs examinent des points proches, mais pas situés sur, de l'orbite qu'ils souhaitent étudier. Imaginez, par exemple, qu'un vaisseau spatial suive une orbite elliptique autour de Jupiter, influencé par la gravité d'Europe. Si vous le poussez hors de sa trajectoire, sa nouvelle trajectoire imitera l'orbite d'origine, mais seulement grossièrement. La nouvelle trajectoire serpentera autour de l’orbite d’origine, revenant à un point légèrement différent après avoir fait le tour de Jupiter. L’indice Conley-Zehnder est une mesure de l’ampleur de la spirale qui se produit.

Étonnamment, l'indice Conley-Zehnder ne dépend pas des spécificités de la manière dont vous poussez le vaisseau spatial : il s'agit d'un nombre associé à l'ensemble de l'orbite. De plus, c'est la même chose pour toutes les orbites d'une même famille. Si vous calculez l'indice de Conley-Zehnder pour deux orbites et que vous obtenez deux nombres différents, vous pouvez être sûr que les orbites appartiennent à des familles différentes.

Un autre outil, appelé nombre de Floer, peut faire allusion à des familles d'orbites non découvertes. Supposons que plusieurs familles entrent en collision à un point de bifurcation lorsque l'énergie atteint un nombre particulier, et que plusieurs autres familles se ramifient à partir de ce point de bifurcation lorsque l'énergie est plus élevée. Cela forme un réseau de familles dont le centre est la bifurcation.

Vous pouvez calculer le numéro de Floer associé à ce point de bifurcation en fonction simple des indices de Conley-Zehnder associés à chaque famille concernée. Vous pouvez calculer cette fonction à la fois pour toutes les familles dont l’énergie est juste un peu plus petite que le point de bifurcation et pour les familles dont l’énergie est plus grande. Si les deux nombres de Floer diffèrent, c'est un indice qu'il existe des familles cachées liées à votre point de bifurcation.

"Ce que nous faisons, c'est fournir des outils avec lesquels les ingénieurs testent leurs algorithmes", a déclaré Moreno. Les nouveaux outils sont principalement conçus pour aider les ingénieurs à comprendre comment les familles d'orbites s'articulent et à les inciter à rechercher de nouvelles familles lorsque cela est justifié ; il n'est pas destiné à remplacer les techniques de recherche de trajectoire qui ont été perfectionnées au fil des décennies.

En 2023, Moreno a présenté le travail lors d’une conférence organisée par le «Comité de mécanique des vols spatiaux", et il a été en contact avec des ingénieurs qui recherchent des trajectoires spatiales, dont certains au JPL et au laboratoire de Scheeres à Boulder. Scheeres était favorable au mélange des champs : il connaissait depuis longtemps l'approche symplectique du mouvement planétaire, mais se sentait mathématiquement dépassé. "C'était vraiment excitant de voir les mathématiciens essayer de mettre leur expertise au service de l'ingénierie", a-t-il déclaré. Le groupe de Scheeres travaille actuellement sur un système plus complexe impliquant quatre organismes.

Ed Belbruno, consultant en planification de trajectoire (et ancien analyste orbital du JPL) qui a travaillé avec Frauenfelder, prévient que les applications ne sont pas directes. "Bien qu'une technique mathématique telle que la géométrie symplectique puisse produire des trajectoires vraiment intéressantes, et que vous en obteniez toute une série, il se peut que très, très peu, voire aucune, satisfassent à la contrainte" dont une vraie mission pourrait avoir besoin. , il a dit.

Bien que les trajectoires de Clipper soient déjà largement fixées, Moreno se tourne vers la prochaine planète : Saturne. Il a déjà présenté ses recherches aux planificateurs de mission du JPL qui espèrent envoyer un vaisseau spatial sur la lune Encelade de Saturne. Moreno espère que la géométrie symplectique « fera partie de la boîte à outils standard des missions spatiales ».