La répétition ne doit pas toujours être banale. En mathématiques, c’est une force puissante, capable de générer une complexité ahurissante.

Même après des décennies d’études, les mathématiciens se retrouvent incapables de répondre aux questions sur l’exécution répétée de règles très simples – les « systèmes dynamiques » les plus élémentaires. Mais en essayant de le faire, ils ont découvert des liens profonds entre ces règles et d’autres domaines apparemment éloignés des mathématiques.

Par exemple, l'ensemble de Mandelbrot, que j'ai écrit sur le mois dernier, est une carte de la façon dont une famille de fonctions - décrite par l'équation f(x) = x² + c — se comporte comme la valeur de c s'étend sur le plan dit complexe. (Contrairement aux nombres réels, qui peuvent être placés sur une ligne, les nombres complexes ont deux composantes, qui peuvent être tracées sur la ligne. x- ainsi que y-axes d'un plan bidimensionnel.)

Peu importe à quel point vous zoomez sur l’ensemble de Mandelbrot, de nouveaux modèles apparaissent toujours, sans limite. "C'est complètement époustouflant pour moi, même maintenant, que cette structure très complexe émerge de règles aussi simples", a déclaré Matthieu Boulanger de l'Institut de technologie de Géorgie. "C'est l'une des découvertes les plus surprenantes du 20e siècle."

La complexité de l’ensemble de Mandelbrot apparaît en partie parce qu’il est défini en termes de nombres qui sont eux-mêmes complexes. Mais, ce qui est peut-être surprenant, ce n’est pas toute l’histoire. Même quand c est un nombre réel simple comme, disons, –3/2, toutes sortes de phénomènes étranges peuvent se produire. Personne ne sait ce qui se passe lorsque vous appliquez l'équation à plusieurs reprises. f(x) = x² – 3/2, en utilisant chaque sortie comme entrée suivante dans un processus appelé itération. Si vous commencez à itérer à partir de x = 0 (le « point critique » d'une équation quadratique), il n'est pas clair si vous produirez une séquence qui finira par converger vers un cycle répétitif de valeurs, ou une séquence qui continuera à rebondir sans fin selon un modèle chaotique.

Pour les valeurs de c inférieur à –2 ou supérieur à 1/4, l’itération explose rapidement jusqu’à l’infini. Mais dans cet intervalle, il existe une infinité de valeurs de c connu pour produire des comportements chaotiques, et une infinité de cas comme –3/2, où « on ne sait pas ce qui se passe, même si c'est super concret », dit Giulio Tiozzo de l'Université de Toronto.

Mais dans les années 1990, le mathématicien de l'Université Stony Brook Misha Lyubitch, qui figurait en bonne place dans mon rapport sur le plateau de Mandelbrot, prouvé que dans l’intervalle entre –2 et 1/4, la grande majorité des valeurs de c produire un joli comportement « hyperbolique ». (Les mathématiciens Jacek Graczyk et Grzegorz Swiatek prouvé de manière indépendante le résultat à peu près au même moment.) Cela signifie que les équations correspondantes, lorsqu’elles sont itérées, convergent vers une valeur unique ou vers un cycle répétitif de nombres.

Une décennie plus tard, un trio de mathématiciens démontra que la plupart des valeurs de c sont hyperboliques non seulement pour les équations quadratiques, mais aussi pour toute famille de polynômes réels (fonctions plus générales qui combinent des variables élevées en puissances, comme x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Et maintenant l'un d'eux, Sébastien van Strien de l'Imperial College de Londres, pense avoir une preuve de cette propriété pour une classe encore plus large d'équations appelées fonctions analytiques réelles, qui comprennent les fonctions sinus, cosinus et exponentielles. Van Strien espère annoncer le résultat en mai. S’il tient le coup après examen par les pairs, il marquera une avancée majeure dans la caractérisation du comportement des systèmes unidimensionnels réels.

Intersections improbables et bagels d’entropie

Il existe une infinité d’équations quadratiques réelles qui, lorsqu’elles sont itérées à partir de zéro, finissent par produire un cycle répétitif de nombres. Mais si vous restreignez c aux valeurs rationnelles – celles qui peuvent être écrites sous forme de fractions – seules trois valeurs génèrent finalement des séquences périodiques : 0, –1 et –2. "Ces systèmes dynamiques sont très, très spéciaux", a déclaré Clayton Petsche de l'Université d'État de l'Oregon.

In un document publié l'année dernière, Petsche et Chatchai Noytaptim de l'Université de Waterloo ont prouvé qu'ils sont encore plus spéciaux qu'il n'y paraît à première vue. Les mathématiciens se sont penchés sur les nombres « totalement réels », qui sont plus restrictifs que les nombres réels mais moins restrictifs que les nombres rationnels.

Si vous branchez un nombre dans un polynôme et obtenez un résultat de zéro, ce nombre est une solution ou une racine du polynôme. Par exemple, 2 est une racine de f(x) = x² - 4, f(x) = x³ au 10 Févrierx² + 31x – 30, et une infinité d’autres équations. De tels polynômes peuvent avoir des racines réelles ou complexes. (Par exemple, les racines de x² + 1 sont la racine carrée de –1, écrite sous la forme i, et -i — les deux nombres complexes.)

Un nombre est totalement réel s’il satisfait une équation polynomiale à coefficients entiers qui n’a que des racines réelles. Tous les nombres rationnels sont totalement réels, tout comme certains nombres irrationnels. Par exemple, $latex sqrt{2}$ est totalement réel, car c'est une solution à f(x) = x² – 2, qui n'a que de vraies racines ($latex sqrt{2}$ et sa racine « sœur » $latex -sqrt{2}$). Mais la racine cubique de 2, $latex sqrt[3]{2}$, n'est pas totalement réelle. C'est une solution à f(x) = x³ – 2, qui a deux racines sœurs supplémentaires, également appelées conjuguées de Galois, qui sont complexes.

Petsche et Noytaptim ont prouvé qu'il n'existe pas de nombres irrationnels totalement réels qui finissent par produire des cycles périodiques. Au contraire, 0, –1 et –2 sont les seuls nombres totalement réels qui font cela. Ils représentent une intersection improbable entre des propriétés de deux mondes apparemment différents : la théorie des nombres (l’étude des nombres entiers) et les systèmes dynamiques. Petsche et Noytaptim ont utilisé des résultats importants de la théorie des nombres dans leur preuve, soulignant le lien entre les deux domaines.

Les mathématiciens Xavier Buff ainsi que Sarah Koch trouvé une autre intersection improbable. Ils ont montré que seules quatre valeurs totalement réelles de c — 1/4, –3/4, –5/4 et –7/4 — génèrent des séquences d'un type particulier et bien compris appelé cycle parabolique.

Les conjugués de Galois ont également ouvert la voie à la découverte d’un objet mystérieux surnommé le « bagel d’entropie », un anneau fractal brillant dans le plan complexe. L'entropie est une mesure du caractère aléatoire ; dans ce contexte, il mesure à quel point il est difficile de prédire la séquence de nombres générée par itération x² + c. Dans le dernier article qu'il a écrit avant sa mort en 2012, le célèbre topologue William Thurston a représenté graphiquement l'ensemble des valeurs d'entropie correspondant à près d'un milliard de valeurs réelles différentes de c — avec les conjugués galoisiens de ces valeurs d'entropie, qui peuvent être complexes. La notion d'entropie "est juste sur la vraie ligne, mais d'une manière ou d'une autre, vous pouvez toujours voir cette ombre du monde complexe", a déclaré Tiozzo.

"Vous voyez que cela s'organise dans cette incroyable structure fractale en dentelle", a déclaré Koch. "C'est trop cool." Le bagel d’entropie n’est qu’un modèle très complexe qui émerge de l’itération d’équations quadratiques réelles. "Nous sommes encore en train d'apprendre toutes ces déclarations magiques - de petits joyaux - sur les vrais polynômes quadratiques", a-t-elle ajouté. "Vous pouvez toujours revenir en arrière et être surpris par cette chose que vous pensiez extrêmement bien connaître."