Nous avons tendance à considérer les mathématiques comme purement logiques, mais l’enseignement des mathématiques, ses valeurs, son utilité et son fonctionnement regorge de nuances. Alors, qu’est-ce que les « bonnes » mathématiques ? En 2007, le mathématicien Terence tao a écrit un essai pour le Bulletin de l'American Mathematical Society qui cherchait à répondre à cette question. Aujourd'hui, récipiendaire d'une médaille Fields, d'un prix de percée en mathématiques et d'une bourse MacArthur, Tao est l'un des mathématiciens les plus honorés et les plus prolifiques du monde. Dans cet épisode, il rejoint notre hôte et collègue mathématicien Steven Strogatz pour revisiter l'étoffe des bonnes mathématiques.

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Transcription

STEVEN STROGATZ: En octobre 2007, à l'époque où l'iPhone de première génération était encore un produit très prisé et où le marché boursier était à un niveau record avant la Grande Récession, Terence Tao, professeur de mathématiques à l'UCLA, était déterminé à répondre à une question. question qui a longtemps été débattue parmi les mathématiciens : qu’est-ce que les bonnes mathématiques exactement ?

Est-ce une question de rigueur ? Élégance? Une utilité dans le monde réel ? Terry a écrit un essai très réfléchi et généreux, je dirais même ouvert, sur toutes les façons dont les mathématiques peuvent être bonnes. Mais aujourd’hui, plus de 15 ans plus tard, devons-nous repenser ce que sont de bonnes mathématiques ?

Je m'appelle Steve Strogatz et voici « The Joy of Why », un podcast de Quanta Magazine où ma co-animatrice, Janna Levin, et moi explorons à tour de rôle certaines des plus grandes questions sans réponse en mathématiques et en sciences aujourd'hui.

(Jeux à thème)

Aujourd'hui, Terry Tao lui-même revient sur l'éternelle question de savoir ce qui rend les mathématiques bonnes. Le professeur Tao est l'auteur de plus de 300 articles de recherche sur un éventail incroyablement large de mathématiques, notamment l'analyse harmonique, les équations aux dérivées partielles, la combinatoire, la théorie des nombres, la science des données, les matrices aléatoires et bien plus encore. Il est surnommé le « Mozart des mathématiques ». Et en tant que lauréat d'une médaille Fields, d'un Breakthrough Prize in Mathematics, d'une bourse MacArthur et de nombreux autres prix, ce surnom est certainement bien mérité.

Terry, bienvenue dans « La joie du pourquoi ».

TERENCE TAO: C'est un plaisir d'être ici.

STROGATZ: Je suis très heureux de pouvoir vous parler de cette question de savoir ce qui fait la qualité de certains types de recherche mathématique. Je me souviens très bien d'avoir feuilleté le Bulletin de l'American Math Society en 2007 et je suis tombé sur votre essai sur ce problème que tu as posé pour nous. C'est une chose à laquelle pensent tous les mathématiciens. Mais pour les personnes qui ne sont peut-être pas si familières, pourriez-vous nous dire, comment en êtes-vous arrivé à cette question ? Comment définissiez-vous les bonnes mathématiques à l’époque ?

TAO: C'est vrai, oui. Il s'agissait en fait d'une sollicitation. Ainsi, le rédacteur en chef du bulletin à l'époque m'avait demandé de rédiger un article. Je pense que j'avais une idée très naïve de ce qu'étaient les mathématiques en tant qu'étudiant. J'avais en quelque sorte l'idée qu'il existait une sorte de conseil de barbes grises qui confierait les problèmes aux gens sur lesquels travailler. Et cela a été un choc pour moi, en tant qu'étudiant diplômé, de réaliser qu'il n'y avait pas réellement cette autorité centrale pour répartir les problèmes et que les gens faisaient des recherches autonomes.

J'ai continué à participer à des conférences et à écouter comment d'autres mathématiciens parlaient de ce qu'ils trouvaient passionnant et de ce qui les passionnait pour les mathématiques, ainsi que du fait que chaque mathématicien avait une manière différente d'aborder les mathématiques. Par exemple, certains poursuivraient des applications, certains par une sorte de beauté esthétique, d’autres simplement par la résolution de problèmes. Ils voulaient résoudre un problème et se concentraient sur les tâches les plus difficiles, les plus difficiles. Certains se concentreraient sur la technique ; certains essaieraient de rendre les choses aussi élégantes que possible.

Mais ce qui m'a frappé en écoutant tant de ces différents mathématiciens parler de ce qu'ils trouvent précieux en mathématiques, c'est que, même si nous avions tous des idéaux différents quant à ce à quoi devraient ressembler les bonnes mathématiques, ils ont tous tendance à convergent vers la même chose.

Si un élément mathématique est vraiment bon, les personnes qui recherchent la beauté finiront par le découvrir. Les gens qui recherchent, qui valorisent, vous savez, la puissance technique ou les applications finiront par y atterrir.

Eugene Wigner avait un essai très célèbre sur efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences physiques il y a près d'un siècle, où il a simplement observé qu'il y avait des domaines des mathématiques — par exemple, la géométrie riemannienne, l'étude de l'espace courbe — qui n'étaient au départ qu'un exercice purement théorique pour les mathématiciens, vous savez, essayant de prouver la postulat parallèle et ainsi de suite, s'avérant être précisément ce dont Einstein, Poincaré et Hilbert avaient besoin pour décrire les mathématiques de la relativité générale. Et c'est juste un phénomène qui se produit.

Ce n’est donc pas seulement que les mathématiques, ce que les mathématiciens trouvent intellectuellement intéressant, finissent par être physiquement importantes. Mais même en mathématiques, les sujets que les mathématiciens trouvent élégants fournissent également des informations approfondies.

Ce que j'ai l'impression, c'est que, vous savez, il existe de bonnes mathématiques platoniques, et tous nos différents systèmes de valeurs ne sont que des manières différentes d'accéder à ces bonnes choses objectives.

STROGATZ: C'est très intéressant. Étant moi-même une personne encline à une pensée platonique, je suis tenté d’être d’accord. Bien que je sois un peu surpris de vous entendre dire cela, parce que j'aurais pensé que là où vous alliez au départ, il semblait y avoir tellement de points de vue différents à ce sujet. C'est un fait intéressant, cependant, un fait plutôt empirique, que nous convergeons vers un accord sur ce qui est bon ou pas bon, même si, comme vous le dites, nous abordons la question à partir de tant de valeurs différentes.

TAO: Droite. La convergence peut prendre du temps. Vous savez, il y a donc certainement des domaines, par exemple, où ils semblent bien meilleurs, mesurés par une métrique que par d'autres. Peut-être qu'ils ont beaucoup d'applications, mais leur présentation est extrêmement dégoûtante, vous savez.

(Strogatz rit)

Ou des choses très élégantes mais qui n'ont pas encore beaucoup de bonnes applications dans le monde réel. Mais j’ai l’impression que cela finira par converger.

STROGATZ: Eh bien, laissez-moi vous poser des questions sur ce point de contact avec le monde réel. C'est une tension intéressante en mathématiques. Et, vous savez, en tant que petits enfants, disons, lorsque nous apprenons la géométrie pour la première fois, vous pourriez penser à ce moment-là que les triangles sont réels, ou que les cercles ou les lignes droites sont réels, et qu'ils peuvent vous renseigner sur les formes rectangulaires que vous voyez. dans les bâtiments du monde, ou que les géomètres doivent utiliser la géométrie. Et après tout, le mot vient de la mesure de la Terre, c’est vrai, « géométrie ». Il fut donc un temps où la géométrie était empirique.

Mais ce que je voulais vous demander concerne un commentaire selon lequel John von Neumann fait. Ainsi, von Neumann, pour quiconque ne le connaît pas, était lui-même un grand mathématicien. Et il a fait ce commentaire dans cet essai : «Le mathématicien", sur la relation entre les mathématiques et le monde empirique, le monde réel, où il dit en gros que les idées mathématiques proviennent de l'empirique, mais qu'à un moment donné, une fois que vous avez compris les idées mathématiques, le sujet commence à prendre une vie qui lui est propre. propre. Et puis c'est plutôt une œuvre d'art créative. Les critères esthétiques deviennent importants. Mais il dit que cela représente un danger. Que lorsqu'un sujet commence à s'éloigner trop de sa source empirique, comme en particulier dans sa deuxième ou troisième génération, il dit qu'il y a une chance que le sujet souffre d'une consanguinité trop abstraite et qu'il soit en danger de dégénérescence.

Des idées à ce sujet ? Je veux dire, les mathématiques doivent-elles rester en contact avec leur source empirique ?

TAO : Oui, je pense qu'il faut que cela soit fondé. Quand je dis que, empiriquement, toutes ces différentes façons de faire des mathématiques convergent, c'est uniquement parce que cela n'arrive que lorsque le sujet est en bonne santé. Donc, vous savez, la bonne nouvelle est que c’est généralement le cas.

Mais, par exemple, les mathématiciens privilégient les preuves courtes aux preuves longues, toutes choses étant égales par ailleurs. Mais on pourrait imaginer des gens aller trop loin et, par exemple, un sous-domaine des mathématiques obsédé par la nécessité de rendre les preuves aussi courtes que possible et d'avoir ces preuves extrêmement opaques de théorèmes profonds sur deux lignes. Et ils en font une sorte de concours, et puis cela devient une sorte de jeu abstrus et alors vous perdez toute intuition. Vous perdez peut-être une compréhension plus profonde parce que vous êtes tellement obsédé par l'idée de rendre toutes vos preuves aussi courtes que possible. Or, cela ne se produit pas réellement dans la pratique. Mais il s’agit en quelque sorte d’un exemple théorique, et je pense que von Neumann faisait valoir un point similaire.

Et dans les années 60 et 70, il y avait une ère mathématique où l'abstraction faisait d'énormes progrès en simplifiant et en unifiant beaucoup de mathématiques qui étaient auparavant très empiriques. Surtout en algèbre, les gens réalisaient, vous savez, des nombres, des polynômes et de nombreux autres objets qui étaient auparavant traités séparément, vous pouviez tous les considérer comme des membres de la même classe algébrique, en l'occurrence un anneau.

Et beaucoup de progrès en mathématiques ont été réalisés en trouvant la bonne abstraction, vous savez, qu'il s'agisse d'un espace topologique ou d'un espace vectoriel, peu importe, et en prouvant des théorèmes dans une grande généralité. Et c’est parfois ce qu’on appelle l’ère Bourbaki en mathématiques. Et il était un peu trop loin d’être ancré.

Nous avons bien sûr eu tout l'épisode New Math aux États-Unis, où les éducateurs essayaient de enseigner les mathématiques dans le style Bourbaki et j'ai finalement réalisé que ce n'était pas la pédagogie appropriée à ce niveau.

Mais aujourd’hui, le pendule a légèrement reculé. Nous avons en quelque sorte — le sujet a pas mal mûri et dans tous les domaines des mathématiques, de la géométrie, de la topologie, peu importe, nous avons en quelque sorte des formalisations satisfaisantes et nous savons en quelque sorte quelles sont les bonnes abstractions. Et maintenant, le domaine se concentre à nouveau sur les interconnexions et les applications. Cela se connecte désormais beaucoup plus au monde réel.

Je veux dire, pas seulement la physique, qui est un lien traditionnel, mais, vous savez, l'informatique, les sciences de la vie, les sciences sociales, vous savez. Avec l’essor du Big Data, presque toutes les disciplines humaines peuvent désormais être mathématisées dans une certaine mesure.

STROGATZ: Je suis très intéressé par le mot que vous venez d'utiliser il y a une minute à propos d'« interconnexions », car cela semble être un point central dont nous devons discuter. C'est quelque chose que vous mentionnez dans votre essai : en plus de ceux-ci, de ce que vous appelez des critères « locaux » sur l'élégance, ou des applications dans le monde réel, ou autre, vous mentionnez cet aspect « global » des bonnes mathématiques : le fait que les bonnes mathématiques se connectent à d'autres. bonnes mathématiques.

C'est presque la clé de ce qui le rend bon, qu'il soit intégré à d'autres parties. Mais c'est intéressant parce que cela ressemble presque à un raisonnement circulaire : les bonnes mathématiques sont les mathématiques qui se connectent à d'autres bonnes mathématiques. Mais c'est une idée vraiment puissante, et je me demande simplement si vous pourriez la développer un peu plus.

TAO: Oui, donc, je veux dire, ce que sont les mathématiques — l'une des choses que font les mathématiques, c'est qu'elles établissent des liens qui sont très basiques et fondamentaux, mais pas évidents si vous les regardez simplement du point de vue de la surface. Un des premiers exemples en est l'invention par Descartes des coordonnées cartésiennes qui établissent un lien fondamental entre la géométrie - l'étude des points, des lignes et des objets spatiaux - et les nombres, l'algèbre.

Ainsi, par exemple, un cercle que vous pouvez considérer comme un objet géométrique, mais vous pouvez également le considérer comme une équation : x² + y² = 1 est l'équation d'un cercle. À l’époque, c’était une connexion très révolutionnaire. Vous savez, les Grecs de l’Antiquité considéraient la théorie des nombres et la géométrie comme des sujets presque complètement disjoints.

Mais avec Descartes, il y avait ce lien fondamental. Et maintenant, c'est intériorisé ; vous savez, la façon dont nous enseignons les mathématiques. Il n'est plus surprenant que si vous avez un problème géométrique, vous l'attaquiez avec des chiffres. Ou si vous avez un problème avec les nombres, vous pouvez l'attaquer avec la géométrie.

C'est en quelque sorte parce que la géométrie et les nombres sont des aspects du même concept mathématique. Nous avons tout un domaine appelé géométrie algébrique, qui n'est ni l'algèbre ni la géométrie, mais c'est un sujet unifié qui étudie des objets que l'on peut considérer soit comme des formes géométriques, comme des lignes et des cercles, etc., soit comme des équations.

Mais en réalité, c’est une union holistique des deux que nous étudions. Et à mesure que le sujet s'approfondissait, nous avons réalisé que cela était d'une certaine manière plus fondamental que l'algèbre ou la géométrie séparément, à certains égards. Ainsi, ces connexions nous aident à découvrir en quelque sorte les vraies mathématiques qui, au départ, d’une manière ou d’une autre, nos études empiriques ne nous donnent qu’un coin du sujet.

Il y a cette fameuse parabole de l'éléphant, je ne sais plus où, que si tu as… Il y a quatre aveugles, et ils découvrent un éléphant. Et l'un d'eux palpe la patte de l'éléphant et ils pensent : « Oh, ça, c'est très dur. Ça doit ressembler à un arbre ou quelque chose comme ça.

Et l'un d'eux palpe la trompe, et ce n'est que beaucoup plus tard qu'ils voient qu'il y a un seul objet éléphant qui explique toutes leurs hypothèses distinctes. Ouais, donc nous sommes tous aveugles au départ, vous savez. Nous observons simplement les ombres sur la grotte de Platon et nous réalisons seulement plus tard :

STROGATZ: Wow, vous êtes très philosophe ici. C'est quelque chose. Je ne peux pas résister maintenant : si vous commencez à parler de l'éléphant et des aveugles, cela suggère que vous pensez que les mathématiques existent – ​​que c'est quelque chose comme l'éléphant et que nous sommes les aveugles… Ou alors, vous vous savez, nous essayons de voir quelque chose qui existe indépendamment des êtres humains. Est-ce vraiment ce que vous croyez ?

TAO: Quand vous faites de bonnes mathématiques, il ne s'agit pas seulement de déplacer des symboles. Vous avez l'impression qu'il y a un objet réel que vous essayez de comprendre, et toutes nos équations dont nous disposons ne sont que des approximations de cela, ou des ombres.

Vous pouvez débattre du point philosophique de ce qu’est réellement la réalité, etc. Je veux dire, ce sont des choses que l’on peut réellement toucher, et plus les choses deviennent mathématiquement réelles, parfois moins elles semblent physiques. Comme vous l'avez dit, au départ, la géométrie, vous savez, était une chose très tangible concernant les objets dans l'espace physique que vous pouviez — vous savez, vous pouvez réellement construire un cercle et un carré, etc.

Mais dans la géométrie moderne, vous savez, nous travaillons dans des dimensions supérieures. On peut parler de géométries discrètes, de toutes sortes de topologies farfelues. Et je veux dire, le sujet mérite toujours d’être appelé géométrie, même si la Terre n’est plus mesurée. L'étymologie grecque antique est très dépassée, mais elle l'est, mais il y a certainement quelque chose là-dedans. Que ce soit – à quel point vous voulez l’appeler réel. Mais je suppose que le fait est que pour faire des mathématiques, il est utile de croire que c'est réel.

STROGATZ: Ouais, n'est-ce pas intéressant ? Cela fait. Il semble que ce soit quelque chose de très profond dans l’histoire des mathématiques. J'ai été frappé par un essai d'Archimède écrivant à son ami, ou du moins à son collègue, Ératosthène.

Nous parlons maintenant de 250 avant JC. Et il fait la remarque qu'il a découvert un moyen de trouver l'aire de ce que nous appellerions le segment d'une parabole. Il prend une parabole, il la coupe avec un segment de droite qui forme un angle oblique par rapport à l'axe de la parabole, et il détermine cette zone. Il obtient un très beau résultat. Mais il dit quelque chose à Eratosthène : « Ces résultats étaient inhérents aux chiffres depuis le début. » Vous savez, ils sont là. Ils sont là. Ils attendent juste qu'il le trouve.

Ce n'est pas comme s'il les avait créés. Ce n'est pas comme la poésie. Je veux dire, c'est intéressant, en fait, n'est-ce pas ? Beaucoup de grands artistes… Michel-Ange a parlé de libérer la statue de la pierre, vous savez, comme si elle était là pour commencer. Et il semble que vous et beaucoup d’autres grands mathématiciens l’ayez fait – comme vous le dites, il est très utile de croire à cette idée, qu’elle est là à nous attendre, à attendre que les bons esprits la découvrent.

TAO: Droite. Eh bien, je pense qu'une des manifestations de cela est que les idées qui sont souvent très compliquées à expliquer lorsqu'elles sont découvertes pour la première fois, sont simplifiées. Je veux dire, vous savez, souvent la raison pour laquelle quelque chose semble très profond ou difficile au début est que vous n'avez pas la bonne notation.

Par exemple, nous disposons désormais d’une notation décimale pour manipuler les nombres, et c’est très pratique. Mais dans le passé, nous avions, vous savez, des chiffres romains, puis il y avait des systèmes numériques encore plus primitifs avec lesquels il était vraiment très difficile de travailler si vous vouliez faire des mathématiques.

d'Euclide Éléments, vous savez – certains des arguments contenus dans ces textes anciens. Par exemple, il y a un théorème dans celui d'Euclide Éléments Je pense qu'il s'appelle le Pont des Fous ou quelque chose comme ça. C'est comme l'affirmation selon laquelle, je pense que l'énoncé est comme un triangle isocèle, les deux angles de base sont égaux. C'est comme une preuve en deux lignes dans les textes géométriques modernes, vous savez, avec les bons axiomes. Mais Euclide avait cette horrible façon de procéder. Et c’est là que de nombreux étudiants en géométrie à l’époque classique ont complètement abandonné les mathématiques.

STROGATZ: Vrai. (rit)

TAO: Mais, vous savez, nous avons maintenant une bien meilleure façon de procéder. Très souvent, les complications que nous constatons en mathématiques sont le fruit de nos propres limites. Et donc, à mesure que nous mûrissons, vous savez, les choses deviennent plus simples. Et cela semble plus réel à cause de cela. Nous ne voyons pas les artefacts. Nous voyons l'essentiel.

STROGATZ: Eh bien, revenons à votre essai : lorsque vous l'avez écrit, à l'époque — je veux dire, c'était assez tôt dans votre carrière, pas au tout début, mais quand même. Pourquoi avez-vous pensé à l’époque qu’il était important d’essayer de définir ce qu’étaient de bonnes mathématiques ?

TAO: Je pense… Donc à ce moment-là, je commençais déjà à conseiller des étudiants diplômés, et je remarquais que, vous savez, il y avait des idées fausses sur, en quelque sorte, ce qui est bien et ce qui ne l'est pas. Et je parlais également à des mathématiciens de différents domaines, et ce que leur domaine valorisait en mathématiques semblait différent des autres. Et pourtant, d’une manière ou d’une autre, nous étudiions tous le même sujet.

Et parfois, quelqu'un disait quelque chose qui me dérangeait, vous savez, comme : « Ces mathématiques n'ont pas d'applications, donc elles n'ont aucune valeur. » Ou « Cette preuve est tout simplement trop compliquée ; donc ça n’a aucune valeur », ou quelque chose comme ça. Ou à l’inverse, vous savez : « Cette preuve est trop simple ; donc ça ne vaut pas… » Vous savez. Il y avait une sorte de snobisme, etc., que je rencontrais parfois.

Et d’après mon expérience, les meilleures mathématiques sont venues lorsque j’ai compris un point de vue différent, une manière différente de penser les mathématiques de la part de quelqu’un dans un domaine différent et de l’appliquer à un problème qui me tenait à cœur. Et donc mon expérience sur la façon d’utiliser correctement les mathématiques, comment les manier, était si différente de celles-ci – en quelque sorte « la seule vraie façon de faire des mathématiques ».

J’avais l’impression que ce point devait être souligné d’une manière ou d’une autre. Qu'il y a bien une manière plurielle de faire les mathématiques, mais que les mathématiques restent unies.

STROGATZ: C'est très révélateur, parce que je m'étais demandé, vous savez, dans mon introduction, j'avais mentionné les nombreuses branches différentes des mathématiques que vous avez explorées, et je n'en ai même pas inclus certaines. Je me souviens par exemple, il y a quelques années à peine, de votre travail sur ce mystère de la dynamique des fluides, sur la question de savoir si certaines équations que nous pensons réussissent bien à rapprocher les mouvements de l'eau et de l'air. Je ne veux pas trop entrer dans les détails, mais juste pour dire, voilà, les gens pensent à vous en train de faire de la théorie des nombres ou de l'analyse harmonique, et soudain vous travaillez sur des questions de dynamique des fluides. Je veux dire, je réalise que ce sont des équations aux dérivées partielles. Mais néanmoins, l’étendue de votre intérêt semble être liée à votre capacité à accepter différentes idées, différentes idées précieuses provenant de toutes les différentes façons de faire de bons calculs.

TAO: J'oublie qui l'a dit, mais il existe deux types de mathématiciens. Il y a des hérissons et des renards. Un renard est quelqu'un qui sait un peu tout. Un hérisson est une créature qui sait très, très bien une chose. Et ni l’un ni l’autre n’est meilleur que l’autre. Ils se complètent. Je veux dire, en mathématiques, vous avez besoin de personnes qui sont des experts très approfondis dans un sous-domaine et qui connaissent un sujet par cœur. Et vous avez besoin de personnes capables de voir les liens entre un domaine et un autre. Je m'identifie donc définitivement comme un renard, mais je travaille avec beaucoup de hérissons. Le travail dont je suis le plus fier est souvent une collaboration comme celle-là.

STROGATZ: Oh ouais. Se rendent-ils compte qu'ils sont des hérissons ?

TAO: Bon, d'accord, les rôles changent avec le temps. Par exemple, il y a d'autres collaborations dans lesquelles je suis le hérisson et quelqu'un d'autre est le renard. Ce ne sont en quelque sorte pas permanents – vous savez, cela ne fait pas partie de votre ADN.

STROGATZ: Ah, bon point. Nous pouvons adopter – nous pouvons porter les deux capes.

Et bien, y a-t-il eu une réponse à l'essai à l'époque ? Est-ce que les gens vous ont répondu quelque chose ?

TAO: J'ai eu une réponse assez positive en général. Je veux dire, le Bulletin de l'AMS n'est pas une publication extrêmement diffusée, je pense. Et puis, je n’ai rien dit de trop controversé. De plus, ce genre de médias sociaux est antérieur, donc je pense qu'il y a peut-être quelques blogs mathématiques qui l'ont repris, mais il n'y avait pas de Twitter. Il n’y avait rien pour que cela devienne viral.

Oui, je pense aussi qu'en général, les mathématiciens ne consacrent pas beaucoup de temps et de capital intellectuel à la spéculation. Je veux dire, il y a un autre mathématicien appelé Min Hyong Kim qui a eu cette très belle métaphore selon laquelle, pour les mathématiciens, la crédibilité est comme la monnaie, comme l'argent. Si vous prouvez des théorèmes et démontrez que vous connaissez le sujet, vous accumulez en quelque sorte cette monnaie de crédibilité en banque. Et une fois que vous avez suffisamment de monnaie, vous pouvez vous permettre de spéculer un peu en étant un peu philosophique et en disant ce qui pourrait être vrai plutôt que ce que vous pouvez réellement prouver.

Mais nous avons tendance à être conservateurs et nous ne voulons pas de découvert sur notre compte bancaire. Vous savez, vous ne voulez pas que la plupart de vos écrits soient spéculatifs et que seulement un pour cent prouve réellement quelque chose.

STROGATZ: Assez juste. Alors ok. Ainsi, de nombreuses années se sont écoulées depuis. De quoi parle-t-on? Cela fait plus de 15 ans.

TAO: Oh ouais, le temps passe vite.

STROGATZ: Votre avis a-t-il changé ? Y a-t-il quelque chose que nous devons réviser ?

TAO: Eh bien, la culture des mathématiques évolue un peu. J’avais déjà une vision large des mathématiques, et maintenant j’en ai une encore plus large.

Ainsi, un exemple très concret est le suivant : les preuves assistées par ordinateur étaient encore controversées en 2007. Il existait une conjecture célèbre appelée conjecture de Kepler, qui concerne la manière la plus efficace d'emballer des billes unitaires dans un espace tridimensionnel. Et il y a une garniture standard, je pense qu'elle s'appelle la garniture centrale cubique ou quelque chose comme ça, que Kepler a supposé être la meilleure possible.

Ce problème a finalement été résolu, mais le la preuve était très assistée par ordinateur. C'était assez compliqué et [Thomas] HalesFinalement, il a créé tout un langage informatique pour vérifier formellement cette preuve particulière, mais il n'a pas été accepté comme preuve réelle pendant de nombreuses années. Mais cela illustrait à quel point le concept de preuve nécessitant une assistance informatique pour être vérifié était controversé.

Au cours des années qui ont suivi, il y a eu de très nombreux autres exemples de preuves où un humain peut réduire un problème complexe à quelque chose qui nécessite encore un ordinateur pour être vérifié. Et puis l’ordinateur continue et le vérifie. Nous avons en quelque sorte développé des pratiques sur la manière de procéder de manière responsable. Vous savez, comment publier du code et des données et comment vérifier les nouvelles choses open source, etc. Et maintenant, les preuves assistées par ordinateur sont largement acceptées.

Maintenant, je pense que le prochain changement culturel sera si les preuves générées par l'IA seront acceptées. À l’heure actuelle, les outils d’IA ne sont pas au niveau où ils peuvent générer des preuves permettant de réellement faire avancer des problèmes mathématiques. Peut-être que les devoirs au niveau du premier cycle, ils peuvent en quelque sorte gérer, mais la recherche en mathématiques, ils n'en sont pas encore à ce niveau. Mais à un moment donné, nous allons commencer à voir des articles assistés par l’IA paraître et il y aura un débat.

La façon dont notre culture a changé à certains égards… En 2007, seule une fraction des mathématiciens rendait leurs prépublications disponibles avant de les publier. Les auteurs gardaient jalousement leurs prépublications jusqu'à ce qu'ils reçoivent la notification d'acceptation de la revue. Et puis ils pourraient partager.

Mais maintenant tout le monde met ses papiers des serveurs publics comme arXiv. Il y a beaucoup plus d'ouverture pour publier des vidéos et des articles de blog sur l'origine des idées d'un article. Parce que les gens réalisent que c’est ce qui rend le travail plus influent et plus impactant. Si vous essayez de ne pas faire connaître votre travail et d'être très secret à son sujet, cela ne fera pas sensation.

Les mathématiques sont devenues beaucoup plus collaboratif. Vous savez, il y a 50 ans, je dirais que la majorité des articles en mathématiques étaient rédigés par un seul auteur. Maintenant, la majorité est constituée de deux, trois ou quatre auteurs. Et nous commençons tout juste à voir de très grands projets comme nous le faisons dans le domaine scientifique, vous savez, des dizaines, des centaines de personnes collaborent. C’est encore difficile à faire pour les mathématiciens, mais je pense que nous allons y arriver.

Parallèlement, nous devenons beaucoup plus interdisciplinaires. Nous travaillons beaucoup plus avec d'autres sciences. Nous travaillons entre les domaines des mathématiques. Et grâce à Internet, nous pouvons collaborer avec des personnes du monde entier. Ainsi, la façon dont nous pratiquons les mathématiques est en train de changer définitivement.

J'espère qu'à l'avenir, nous pourrons utiliser davantage la communauté des mathématiques amateurs. Il existe d'autres domaines comme l'astronomie, où les astronomes font un grand usage de la communauté des astronomes amateurs, comme, vous savez, beaucoup de comètes, par exemple, sont trouvées par des amateurs.

Mais les mathématiciens… Il existe quelques domaines mathématiques isolés tels que le carrelage, le carrelage bidimensionnel et peut-être la recherche d'enregistrements dans les nombres premiers. Il existe des domaines mathématiques très sélects auxquels les amateurs contribuent, et ils sont les bienvenus. Mais il y a beaucoup d'obstacles. Dans la plupart des domaines des mathématiques, il faut tellement de formation et de sagesse intériorisée ou conventionnelle que nous ne pouvons pas nous procurer des choses en masse. Mais cela pourrait changer à l’avenir. L’un des impacts de l’IA serait peut-être de permettre aux mathématiciens amateurs de contribuer de manière significative aux mathématiques.

STROGATZ: C'est très intéressant.

[Pause pour l'insertion de l'annonce]

STROGATZ: Donc les amateurs pourraient, avec l'aide des IA, soit poser de nouvelles questions qui sont bonnes, soit aider à de bonnes explorations de questions existantes, ce genre de choses ?

TAO: Il existe de nombreuses modalités différentes — ouais. Ainsi, par exemple, il existe désormais des projets visant à formaliser des preuves de grands théorèmes dans ces choses appelées assistants de preuve formelle, qui sont comme des langages informatiques qui peuvent vérifier à 100 % qu'un théorème est vrai ou non et qu'il est prouvé ou non. Cela permet en fait une collaboration à grande échelle en mathématiques.

Ainsi, dans le passé, si vous collaboriez avec 10 autres personnes pour prouver un théorème et que chacune contribue à une étape, tout le monde devait vérifier les calculs des autres. Parce que le problème avec les mathématiques, c'est que si une étape comporte une erreur, tout peut s'effondrer.

Il faut donc de la confiance, et donc, cela empêche, cela inhibe vraiment les collaborations à très grande échelle en mathématiques. Mais il y a maintenant, il y a eu des exemples réussis de formalisation de très grands théorèmes où il y a une énorme communauté, ils ne se connaissent pas tous, ils ne se font pas tous confiance, mais ils communiquent en les téléchargeant sur un référentiel Github ou quelque chose comme des preuves individuelles d’étapes individuelles dans l’argumentation. Et le logiciel de preuve formelle vérifie tout, vous n'avez donc pas à vous soucier de la confiance. Nous permettons ainsi de nouveaux modes de collaboration, que nous n'avions pas vraiment vus dans le passé.

STROGATZ: C'est vraiment intéressant d'entendre ta vision, Terry. C'est une pensée fascinante. Vous n’entendez pas l’expression « mathématicien citoyen ». Vous entendez parler de science citoyenne, mais pourquoi pas de mathématiques citoyennes ?

Mais je me demande simplement s'il y a des tendances qui vous inquiètent, par exemple en ce qui concerne les épreuves assistées par ordinateur ou les épreuves générées par l'IA ? Saurons-nous que certains résultats sont vrais, mais nous ne comprendrons pas pourquoi ?

TAO: C'est donc un problème. Je veux dire, c'est déjà un problème avant même l'avènement de l'IA. Il existe donc de nombreux domaines dans lesquels les articles sur un sujet sont de plus en plus longs, atteignant des centaines de pages. Et j’espère qu’à l’inverse, l’IA pourra contribuer à simplifier et à expliquer ainsi qu’à prouver.

Il existe donc déjà des logiciels expérimentaux où, par exemple, si vous prenez une preuve qui a été formalisée, vous pouvez la convertir en un document interactif lisible par l'homme, où vous avez la preuve et vous voyez les étapes de haut niveau et s'il y a une phrase vous ne comprenez pas, vous pouvez double-cliquer dessus, et il se développera en étapes plus petites. Bientôt, je pense que vous pourrez également avoir un chatbot IA assis à côté de vous pendant que vous examinez la preuve, et ils pourront répondre aux questions et expliquer chaque étape comme s'ils en étaient l'auteur. Je pense que nous en sommes déjà très proches.

Il y a des inquiétudes. Nous devons changer la façon dont nous éduquons nos étudiants, en particulier maintenant que bon nombre de nos méthodes traditionnelles d'attribution des devoirs, etc., nous sommes presque au point où ces outils d'IA peuvent simplement répondre instantanément à bon nombre de nos questions d'examen standard. Nous devons donc enseigner de nouvelles compétences à nos étudiants, comme savoir comment vérifier si un résultat généré par l’IA est correct ou non et comment obtenir un deuxième avis.

Et nous pourrions assister à l’avènement d’un côté plus expérimental des mathématiques, vous savez. Ainsi, les mathématiques sont presque entièrement théoriques, alors que la plupart des sciences comportent à la fois une composante théorique et expérimentale. Nous pourrions éventuellement avoir des résultats qui ne sont d'abord prouvés que par des ordinateurs et, comme vous le dites, nous ne comprenons pas. Mais une fois que nous aurons les données fournies par l’IA, les preuves générées par ordinateur, nous pourrons peut-être mener des expériences.

Il y a un peu de mathématiques expérimentales maintenant. Les gens étudient, par exemple, de grands ensembles de données sur diverses choses, des courbes elliptiques, par exemple. Mais cela pourrait devenir beaucoup plus important à l’avenir.

STROGATZ: Eh bien, vous avez une vision très optimiste, à mon avis. Ce n’est pas comme si l’âge d’or appartenait au passé. Si je vous comprends bien, vous pensez qu'il y a beaucoup de choses très excitantes à venir.

TAO: Oui, beaucoup de nouveaux outils technologiques sont très puissants. Je veux dire, l’IA en général présente de nombreux avantages et inconvénients complexes. Et en dehors des sciences, il existe de nombreuses perturbations possibles pour l'économie, les droits de propriété intellectuelle, etc. Mais en mathématiques, je pense que le rapport entre le bien et le mal est meilleur que dans de nombreux autres domaines.

Et vous savez, Internet a vraiment transformé notre façon de faire des mathématiques. Je collabore avec beaucoup de personnes dans beaucoup de domaines différents. Je ne pourrais pas faire cela sans Internet. Le fait que je peux aller sur Wikipédia ou autre et commencer à apprendre un sujet, que je peux envoyer un e-mail à quelqu'un et que nous pouvons collaborer en ligne. Si je devais faire des choses à l'ancienne où je ne pouvais parler qu'aux gens de mon service et utiliser le courrier physique pour tout le reste, je ne pourrais pas faire les calculs que je fais maintenant.

STROGATZ: Wow, d'accord. Je dois juste souligner ce que vous venez de dire, car je n'aurais jamais pensé que dans un million d'années j'allais entendre ça : Terry Tao lit Wikipédia pour apprendre les mathématiques ?

TAO: Comme point de départ. Je veux dire, ce n'est pas toujours Wikipédia, mais juste pour obtenir les mots-clés, et ensuite je ferai une recherche plus spécialisée, disons, MathSciNet ou une autre base de données. Mais ouais.

STROGATZ: Ce n'est pas une critique. Je veux dire, je fais la même chose. Wikipédia est en fait, s'il y a une critique à l'égard des mathématiques sur Wikipédia, c'est peut-être parce que parfois c'est un peu trop avancé pour les lecteurs auxquels il est destiné, je pense. Pas toujours. Je veux dire, ça dépend. Cela varie beaucoup d’un article à l’autre. Mais c'est juste drôle. J'adore entendre ça.

TAO: Je veux dire, ces outils, vous devez être capable de vérifier le résultat. Vous savez, donc, je veux dire, la raison pour laquelle je peux utiliser Wikipédia pour faire des mathématiques est parce que je connais déjà suffisamment de mathématiques pour pouvoir sentir si un morceau de Wikipédia en mathématiques est suspect ou non. Vous savez, certaines sources peuvent être obtenues et l’une d’elles sera une meilleure source que l’autre. Et je connais les auteurs, et j'ai une idée de quelle référence sera la meilleure pour moi. Si j'utilisais Wikipédia pour en savoir plus sur un sujet dans lequel je n'avais aucune expérience, alors je pense qu'il s'agirait davantage d'une variable aléatoire.

STROGATZ: Eh bien, nous avons donc beaucoup parlé de ce qui fait de bonnes mathématiques, de l'avenir possible de nouveaux types de bonnes mathématiques. Mais peut-être devrions-nous répondre à la question : pourquoi est-ce important ? Pourquoi est-il important que les mathématiques soient bonnes ?

TAO: Eh bien, tout d'abord, je veux dire, pourquoi avons-nous des mathématiciens ? Pourquoi la société valorise-t-elle les mathématiciens et nous donne-t-elle les ressources nécessaires pour faire ce que nous faisons ? Vous savez, c'est parce que nous apportons une certaine valeur. Nous pouvons avoir des applications dans le monde réel. Il y a un intérêt intellectuel, et certaines des théories que nous développons finissent par donner un aperçu d’autres phénomènes.

Et toutes les mathématiques n’ont pas la même valeur. Je veux dire, on pourrait calculer de plus en plus de chiffres de pi, mais à un moment donné, on n'apprendrait rien. Tout sujet nécessite une sorte de jugement de valeur car il faut allouer des ressources. Il y a tellement de mathématiques là-bas. Quelles avancées souhaitez-vous mettre en évidence, faire connaître et faire connaître à d’autres personnes, et lesquelles devraient peut-être simplement être discrètement publiées dans un journal quelque part ?

Même si on considère un sujet comme complètement objectif et que, vous savez, il n'y a que du vrai ou du faux, il faut quand même faire des choix. Vous savez, tout simplement parce que le temps est une ressource limitée. L'attention est une ressource limitée. L'argent est une ressource limitée. Ce sont donc toujours des questions importantes.

STROGATZ: Eh bien, c'est intéressant que vous parliez de la publicité, car c'est quelque chose qui, je pense, est une caractéristique distinctive de votre travail, que vous avez également déployé beaucoup d'efforts pour rendre les mathématiques accessibles au public à travers votre blog, à travers divers articles que vous avez publiés. J'ai écrit. Je me souviens d'en avoir discuté d'un dans lequel tu as écrit Scientifique américain sur l'universalité et cette idée. Pourquoi est-il important de rendre les mathématiques accessibles et compréhensibles au public ? Je veux dire, qu'est-ce que tu essaies de faire ?

TAO: C'est en quelque sorte arrivé de manière organique. Au début de ma carrière, le World Wide Web était encore très nouveau et les mathématiciens ont commencé à avoir des pages Web avec des contenus variés, mais il n'y avait pas vraiment de répertoire central. Avant Google, etc., il était en fait difficile de trouver des ressources individuelles.

Alors, j'ai commencé à faire en quelque sorte petits répertoires sur ma page Web. Et je créerais également des pages Web pour mes propres articles et je ferais quelques commentaires. Au départ, c'était plutôt pour mon propre bénéfice, juste comme outil d'organisation, juste pour m'aider à trouver des choses. En tant que sous-produit, il était accessible au public, mais j'étais en quelque sorte le principal consommateur, du moins c'est ce que je pensais, de mes propres pages Web.

Mais je me souviens très clairement d'une fois où j'écrivais un article et je le mettais sur ma page Web, et j'avais une petite sous-page intitulée « Quoi de neuf ? Et j'ai juste dit : « Voici un document. Il y a une question à laquelle je ne peux toujours pas répondre et je ne sais pas comment la résoudre. Et je viens de faire ce commentaire. Et puis, environ deux jours plus tard, j'ai reçu un e-mail disant : « Oh, je vérifiais juste votre page d'accueil. Je connais la réponse à cette question. Il existe un document qui résoudra votre problème.

Et cela m'a fait réaliser, tout d'abord, que des gens visitaient réellement ma page Web, ce que je ne savais pas vraiment. Mais cette interaction avec la communauté pourrait vraiment… eh bien, elle pourrait m’aider directement à résoudre mes questions.

Il y a cette loi appelée La loi de Metcalfe dans les réseaux ça, tu sais, si tu as n les gens, et ils se parlent tous, il y a environ n² liens entre eux. Ainsi, plus le public est large et plus le forum où chacun peut parler à tout le monde est grand, plus vous pouvez établir de liens potentiels et plus de bonnes choses peuvent se produire.

Je veux dire, au cours de ma carrière, une grande partie des découvertes que j'ai faites ou des liens que j'ai établis sont dus à une connexion inattendue. Toute mon expérience professionnelle a été en quelque sorte la suivante: plus il y a de connexions, cela signifie simplement que de meilleures choses se produisent.

STROGATZ: Je pense qu'un bel exemple de ce à quoi vous venez de faire référence, mais j'aimerais vous entendre en parler, ce sont les liens que vous avez établis avec des gens de la science des données qui s'intéressent aux questions liées à l'imagerie par résonance médicale. , IRM. Pourriez-vous nous parler un peu de cette histoire ?

TAO: Donc, c'était vers 2006, 2005, je pense. Donc, il y avait un programme interdisciplinaire ici sur le campus de l'UCLA sur, je pense, l'analyse géométrique multi-échelles, ou quelque chose comme ça, où ils rassemblaient des mathématiciens purs qui s'intéressaient à une sorte de géométrie de type multi-échelles à part entière, et ensuite, vous savez, des gens qui avaient des problèmes très concrets de type de données.

Et je venais juste de commencer à travailler sur certains problèmes de théorie des matrices aléatoires, donc j'étais en quelque sorte connu comme quelqu'un qui savait manipuler les matrices. Et j'ai rencontré quelqu'un que je connaissais déjà, Emmanuel Candès, car à l'époque il travaillait juste à côté à Caltech. Et lui et un autre collaborateur, Justin Romberg, ils avaient découvert ce phénomène inhabituel.

Ils regardaient donc les images IRM, mais elles étaient très lentes. Pour collecter suffisamment d'images à très haute résolution d'un corps humain, ou suffisamment pour détecter une tumeur, ou toute autre caractéristique médicalement importante que vous souhaitez trouver, cela prend souvent plusieurs minutes car ils doivent scanner tous ces différents angles, puis synthétiser les données. . Et c'était en fait un problème, parce que les petits enfants, par exemple, rester assis tranquillement pendant trois minutes devant l'appareil IRM était assez problématique.

Ils expérimentaient donc une manière différente, en utilisant de l’algèbre linéaire. Ils espéraient obtenir une amélioration des performances de 10 à 20 %. Vous savez, une image légèrement plus nette en modifiant un peu l'algorithme standard.

L'algorithme standard s'appelait donc approximation des moindres carrés, et ils faisaient autre chose, appelé minimisation de la variation totale. Mais ensuite, lorsqu’ils ont exécuté le logiciel informatique, ils ont obtenu une reconstruction presque parfaite de leur image de test. Amélioration massive et massive. Et ils ne pouvaient pas expliquer cela.

Mais Emmanuel était à ce programme, et nous discutions autour d'un thé ou quelque chose du genre. Et il vient de le mentionner et, en fait, ma première pensée a été que vous avez dû vous tromper dans votre calcul, que ce que vous dites n'est pas réellement possible. Et je me souviens être rentré chez moi ce soir-là et avoir essayé d'écrire une preuve réelle que ce qu'ils voyaient ne pouvait pas réellement se produire. Et puis à mi-chemin, j’ai réalisé que j’avais fait une hypothèse qui n’était pas vraie. Et puis j’ai réalisé que ça pouvait marcher. Et puis j’ai compris quelle pourrait être l’explication. Et puis nous avons travaillé ensemble, et nous avons trouvé une bonne explication et nous l’avons publiée.

Et une fois que nous avons fait cela, les gens ont réalisé qu'il y avait de nombreuses autres situations dans lesquelles vous deviez prendre une mesure qui nécessitait normalement beaucoup de données, et dans certains cas, vous pouvez prendre une quantité beaucoup plus petite de données et quand même obtenir un résultat très élevé. mesure de résolution.

Alors maintenant, avec les appareils IRM modernes, par exemple, une analyse qui prenait trois minutes peut maintenant prendre 30 secondes parce que ce logiciel, cet algorithme est désormais câblé, codé en dur dans les machines.

STROGATZ: C'est une belle histoire, c'est une si belle histoire. Je veux dire, parler de mathématiques importantes qui changent des vies, littéralement, dans ce contexte de l'imagerie médicale. J’aime le hasard et votre ouverture d’esprit, vous savez, d’entendre cette idée et ensuite de penser : « c’est impossible, je peux le prouver ». Et puis je réalise que non, en fait. Fantastique de voir les mathématiques avoir un tel impact.

Eh bien, d'accord, je pense que je ferais mieux de te laisser partir, Terry. Ce fut un réel plaisir de discuter avec vous de l'essence des bonnes mathématiques. Merci beaucoup d'être parmi nous aujourd'hui.

TAO: Ouais, non, ça a été un plaisir. 

[Pause pour l'insertion de l'annonce]

STROGATZ: « The Joy of Why » est un podcast de Quanta Magazine, une publication éditorialement indépendante soutenue par la Fondation Simons. Les décisions de financement de la Fondation Simons n'ont aucune influence sur la sélection des sujets, des invités ou d'autres décisions éditoriales dans ce podcast ou dans Quanta Magazine.

« The Joy of Why » est produit par PRX Productions. L'équipe de production est composée de Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler et Merritt Jacob. Le producteur exécutif de PRX Productions est Jocelyn Gonzales. Morgan Church et Edwin Ochoa ont fourni une aide supplémentaire. Depuis Quanta Magazine, John Rennie et Thomas Lin ont fourni des conseils éditoriaux, avec le soutien de Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana et Madison Goldberg.

Notre thème musical provient d'APM Music. Julian Lin a proposé le nom du podcast. La pochette de l'épisode est de Peter Greenwood et notre logo est de Jaki King et Kristina Armitage. Un merci spécial à la Columbia Journalism School et à Burt Odom-Reed des Cornell Broadcast Studios.

Je suis votre hôte, Steve Strogatz. Si vous avez des questions ou des commentaires à nous faire, veuillez nous envoyer un courriel à [email protected]. Merci pour l'écoute.